整式的乘除1

整式的乘法

一.教法建议 【抛砖引玉】

本单元讲授整式的乘法，应首先复习幂的运算性质（同底幂的乘法，幂的乘方，积的乘方），它是学习整式乘法的基础，教学时，适当复习幂，指数，底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在讲授三个性质中，同底数幂的乘法性质是最基本的，它又是第一个要学习的，因此，应集中力量，并用较多的时间进行学习。通过实例，重点练习，使学生理解，掌握同底幂的乘法性质的推导和运用，其他二个性质便迎刃而解了。在学生掌握了幂的运算性质以后，作为它们的一个直接应用。单项式的乘法是学好本单元的关键，我们知道，运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键是熟练地进行单项式乘法，因此，教学时，应予以足够重视，使学生能运用法则熟练地进行单项式乘法运算。 【指点迷津】

在本单元推导性质的学习中，是一个由特殊到一般的认识过程；把性质运用到具体的解题中去，则是一个由一般到特殊的过程，在学习时，一定要注意知识发生的过程，千万不要死记硬背性质的结论，再用结论模仿例题做题，在知识产生的学习中，应注意由具体到一般归纳推理的方法和依据，从知识发生的过程中理解并切实掌握性质，对性质字母表达式和文字语言表述，应在理解的基础上加以记忆，在运用的基础上加以巩固，产生质的飞跃，以强化数学素质。

在乘法法则的学习中，应注意“转化”的思想方法。例如，多项式与多项式相乘，根据法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法。单项式乘法“转化”为有理数乘法与幂的运算。步步孕育着转化，是本单元学习的“精髓”。总之，要打好幂运算性质的基础，抓好单项式乘法这个关键，熟练掌握“转化”方法，就能顺利学好本单元内容，并能取得较好的效果。 二.学海导航 【思维基础】

扎实基础，熟练掌握，灵活运用，便可更上一层楼，下面一些基础知识，一定要掌握。 1.aa(aaa)(aaa)(m,n表示任意正整数)

m

n



m个a

n个a

(aaa)a

(mn)



(

)个a

am·an=am+n(m、)。

这就是说，同底数。 2.(am)n=amn(m、)。

这就是说，幂的乘方。 3.(ab)n=anbn(n为。 这就是说，积的乘方，。

4.一般地，单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，

。

5.单项式与多项式相乘， 6.多项式与多项式相乘 7.(x+a)(x+b)=x2+( )x+( ) 8.

请你把如左图的长方形面积，用

算式表示出来： ( )( )

【学法摘要】 例1.计算： (1)m·m2·m3 (2)(－a)2·a3·(－a2) (3)(3x+2y)2·(3x+2y)3

(4)(a－3b)2·(a+3b)m1·(a－3b)2m+3

－

(5)22·23·24·2

思考：1.你知道同底数幂的乘法性质吗？2.在幂的运算法则中，底数可以是数字，字母，也可以是单项式或多项式吗？3.指数可以是自然数，也可以是代表自然数的字母吗？ 思路分析：本例是同底数幂的乘法运算，根据其性质，便可顺利求得结果。 解：(1)原式=m1+2+3=m6

(2)原式=a2·a3(－a2)=－a2+3+2=－a7 (3)原式=(3x+2y)2+3=(3x+2y)5 (4)原式=(a－3b)2+m

－1+2m+3

=(a－3b)3m4

－

(5)原式=22+3+4+1=210=1024 例2.计算 (1)x·xm－xm+1

(2)52·56－5·55+52·(－54)

(3)(a+b－c)2n·(c－a－b)2n1+(a+b－c)2n+1·(c－a－b)2n2

－

－

思考：1.你知道运算顺序吗？(2).幂的运算法则可以逆问应用吗？3.2n+1和2(n+1)都是偶数吗？

思路分析：本例为混合运算，应先根据同底数幂的运算性质进行乘法运算，再进行加减运算，对运算公式要考虑正向及逆向应用。 解：(1)原式=x1+m－xm+1=0 (2)原式＝52+6－51+5－52+4 =58－56－56

=－52·56－56－56 =(52－1－1)56 =23·56

(3)原式=(a+b－c)2n·[－(a+b－c)]2n1+(a+b－c)2n+1·[－(a+b－c)]2n2

－

－

= －(a+b－c)2n+2n1+(a+b－c)(2n+1)+(2n

－

－2)

=－(a+b－c)4n1+(a+b－c)4n1

－

－

=0 例3.计算 (1)(a3)5

(2)(－x3)2·(－x2)3 (3)(m2n1)2·(mn+1)3

－

(4)[(3x+2y)2]3·[(3x－2y)3]2

1323 (5)((ab)

3

(6)(－2a4)4+2a10·(－2a2)3+2a4·5(a4)3

思考：1.你知道幂的乘方性质吗？2.你会叙述积的乘方性质吗？3.幂的乘方和同底数的乘法有什么不同？4.负数的奇次幂为负，偶次幂为正，你知道吗？

思路分析：本例是幂的乘方和积的乘方运算。应用它们的性质可打通思路，对混合运算要注意运算顺序，对符号的变化也不可忽视。 解：(1)(a3)5=a3×5=a15

(2)(－x3)2·(－x2)3=(－1)2·(x3)2·(－1)3( x2)3=－x6·x6=－x12 (3)(m2n1)2·(mn+1)3=m2(2n

－

－1)

(n+1)

·m3·=m4n2·m3n+3=m7n+1

－

(4)[(3x+2y)2]3[(3x+2y)3]2=(3x+2y)2×3·(3x+2y)3×2=(3x+2y)6·(3x+2y)6=(3x+2y)12 (5)(ab)=()ab

1

3

323

13

33323

=

196

ab 27

(6)(－2a4)4+2a10·(－2a2)3+2a4·5(a4)3=(－2)4·(a4)4＋2a10·(－2)3(a2)3+2a4·5(a4)3 =16a16+2a10(－8)a6+2a4·5a12=16a16－16a16+10a16=10a16 例4.计算

32(1)a2bc30.25ab3c2(2ab)38 (2)(3a2b3)24(a3b2)5

(3)(xyz)(2xyz)2xyz(yz)(x)(y)

232

2

3

3

2

3

3



3

32



思考：1.单项式的乘法法则是什么？2.乘法的交换律，结合律你知道吗？3.幂的运算性质，积的乘方性质还熟悉吗？

思路分析：本例是单项式的乘法，按照单项式的乘法法则进行运算，单项式的相乘以幂的运算性质为基础的，凡有幂的乘方或积的乘方时，可先计算，最后转化为数的乘法及同底数幂的乘法。若单项式系数中既有系数，又有小数，通常化为分数。

323132

abc)(8a3b3)2

8432313266

abc(abc)64ab

84

解：(1)原式=abc( = －6a9b10c5

(2)原式=(－3)2·(a2)2·(b3)2·4(－1)5(a3)5(b2)5=9a4b6·4·(－1)a15b10=－36a19b16 (3)原式=x2·(y2)2(z3)2－23·(x2)3(y3)3z3+2x2yz3·(－1)3y3z3－(－x3)2·[(－y)3]2·y3z3 =x2y4z6－8x6y9z3－2x2y4z6－x6y6·y3z3 =x2y4z6－8x6y9z3－2x2y4z6－x6y9z3 =－x2y4z6－9x6y9z3 例5.计算

(1)4ab·(3a2+2ab－1) (2)(

1

y)(8y36x4) 2

(3)2x(x2－xy－y2)－3xy(4x－2y)+2y(7x2－4xy+y2)

思考：1.单项式与多项式的乘法计算方法如何？请叙述。2.单项式乘以多项式，积仍是一个多项式吗？其项数与所乘多项式的项数相等吗？3.积的各项符号应如何确定。 思路分析：本例是单项式乘以多项式，必须按照其法则进行。对于混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，后加减，运算结果要检查，如果有同类项要合并，结果要最简。

解：(1)原式=4ab·3a2+4ab·2ab+4ab·(－1)=12a3b+8a2b2－4ab (2)原式=(

111

y)8y3(y)(6x)(y)44y43xy2y 222

(3)原式=2x3－2x2y－2xy2－12x2y+6xy2+14x2y－8xy2+2y3=2x3－4xy2+2y3 例6.计算

(1)(3x4－3x2+1)(x4 +x2－2)

(2)(3x+1)(x+1)－(2x－1)(x－1)－3x(x－2)－2x(－3x)

思考：1.请叙述多项式乘以多项式的法则。2.怎样可避免出现多项式乘法展开后合，并同类项前，出现“重”或“漏”？检查的方法是什么？3.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时，如何确定积中各项的符号？

思路分析：多项式乘以多项式的运算法则，是打开本例的证结，要按照运算法则一步一步来运算，并要做到不“重”和不“漏”，别出现符号错误，计算结果要最简，便可为解决此类问题扫清障碍。

解：(1)原式=3x8+3x6－6x4－3x6－3x4＋6x2+x4+x2－2=3x8－8x4+7x2－2 (2)原式=3x2+3x+x+1－(2x2－2x－x+1)－(3x2－6x)+6x2 =3x2+3x+x+1－2x2+2x+x－1－3x2+6x+6x2 =4x2+13x 例７.计算 (1)(x+7)(x－8) (2)(－3x+2)(－3x+6)

思考：;2.利用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab可直接写出上两式的计算结果吗？3.多项式乘以多项式的法则还能应用吗？

思路分析：本例符合“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”的形式，可利用其公式直接写出结果，不过对(2)式必须视“－3x”为“x”，方可利用。

解：(1)(x+7)(x－8)=x2+(7－8)x+7·(－8)=x2－x－56

(2)(－3x+2)(－3x+6)=(－3x)2+(2+6)·(－3x)+2·6=9x2－24x＋12 例8.计算

(x+2)(x－2)(x2+4)

思考：1.三个多项式相乘应如何进行运算？多项式乘以多项式的运算法则还适用吗？2.本例是否可利用“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”这一公式？

思路分析：三个多项式相乘，可先把二个多项式相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘即可，对本例又符合“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”的形式，因此，本例有两种思路可走通。 解：(x+2)(x－2)(x2+4) =[(x2+(2－2)x+2·(－2)](x2+4) =(x2－4)(x2+4)

=(x2)2+(－4+4)x2+(－4)·4 =x4－16

又解：(x+2)(x－2)(x4+4) =(x2－2x+2x－4)(x4+4) =(x2－4)(x2+4) =x4+4x2－4x2－16 =x4－16 【思维体操】 例1.计算 1.(1)(3) (2)2

1999

1

5

1999

(

51999) 16

1

()2000 2

(3)(2.5)2000161000

思考：1.本例在进行运算中，可直接运用幂的运算性质吗？2.你仔细观察这些式题，它们的数字有何特征？它对我们有什么启示？3.幂的乘法，幂的乘方等性质逆向应用吗？ 思路分析：观察这三道试题可发现是年号题，意义深刻，数字较大，直接运用幂的运算性质是不可能的，且计算量大，但我们可以发现(1)中的底数之积3

15

为1，(3)中的516

底数之积(2.5×4)也为1，(2)中的底数互积与(1)、(3)相同，此时可果断采取逆向思维，根据

积的乘方(ab)n=anbn的逆向运算anbn=(ab)n，及同底幂的乘法am·an=am+n的逆向运算am+n=am·an便可找到十分简捷的思路。 解：

例2.已知：x2+x－1=0，求x3－2x+4的值。

思考：1.你如何根据题设条件求x3－2x+4的值？2.x3－2x+4含有x2+x－1的式子吗？3.如何将x2+x－1=0进行变形，向要求的未知过渡？反之，如何将x3－2x－4向已知变形，架起它们之间的桥梁？

思路分析：本例必须从已知向未知转化，或从未知向已知转化，也可二者同时进行，相辅相成，逆向思维，大胆探索，便可找到十分漂亮的解法。 解：∵x2+x－1=0 ∴x2=1－x ∴x3－2x+4

=x(1－x)－2x+4 =x－x2－2x +4 =x－(x2+x－1)－x+3 =x－0－x+3 =3

又解：∵x2+x－1=0

x3－2x+4=x3+x2－x+x2+x－1－2x2－2x+2+3 =x(x2+x－1)+(x2+x－1)－2(x2+x－1)+3 =x·0+0－2·0+3 =3 ∴x3－2x+4=3 再解：∵x2+x－1=0 ∴x3+x2－x=0 ∴x3=x－x2

∴x3－2x+4=x－x2－2x＋4 =－x2－x+1+3 =－(x2+x－1)+3 =－0+3 =3

例3.某学生在计算一个整式乘以3ac时错误地算成了加上3ac，得到的答案是3bc－3ac－2ab，那么正确的计算结果应是多少？

思考：1.如何找出这位学生产生错误的原因？怎样纠正？2.单项式乘以多项式的法则是什么？3.如何进行整式加减？

思路分析：应找出产生错误的症结是以乘误为加，可根据加数与和的关系求出原来正确的多项式，进而再应用单项式乘以多项式的法则进行运算，就可计算出正确结果。 解：依题意可知，原来正确的多项式是：

(3bc－3ac－2ab)－3ac =3bc－3ac－2ab－3ac =3bc－6ac－2ab ∴正确的计算结果为： (3bc－6ac－2ab)·3ac =3bc·3ac－6ac·3ac－2ab·3ac =9abc2－18a2c2－6a2bc

三.智能显示 【心中有数】

对本单元同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等幂的运算性质，能用字母式子和文字语言表述这些性质，加深理解，并能应用它进行运算，单项式的乘法法则是学好本单元的关键，要认真领会，熟练掌握，灵活运用其法则进行运算，单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的法则也应理解并掌握，以便运用它们进行运算。 【智能显示】 计算

13112 1.()()()

222

8.先化简，再求值：

12121121

(xyxyxy)(xy)，其中x,y2

25422

【智能显示】答案 1.原式()

12

312

11()6

264

2.原式=(ab)3(ab)4(ab)2(ab)2

(ab)3422(ab)

4

3

5

11

3.原式()()

34

5

34

()()(1)51

43

[***********]22232

5.原式=ab4abab6acab8bc

222

4.原式=()(aa)(bb)(cc)2abc 2ab3abc4abc

44

52

552

5

6.原式x4x310x2x3x210x5x25x50

x44x215x50

7.原式(4x2)(56)4x56

16x244x30

[1**********]

8.原式xy(xy)xy(xy)xy(xy)

[**************]xyxyxy

4108111322

(xy)(xy)y(xy)2y

4108

1

∵x,y2

21

∴xy(2)1

2

1113

(1)2(2)2(1)2(2) ∴上原式=(1)

4108

111

(1)141(2)

4108121



4542

5

注：本例视(xy)为一整体，然后进行代入求值，大大简化运算过程，可见，整体思维方法应好好学习与掌握。

【创新园地】

1.如图，计算变压器铁芯片的面积。(图中的长度单位：厘米)

2.若(x2+px+8)(x2－3x+q)的积中，不含x2和x3项，求p、q的值。 3.先化简，再求值

121212y)(3xy2xy),其中x,y2 (3xy－2x+222

2

4.解方程

5x(x－2)－(x－2)(x+4)＝2(x－2)(2x－3)。

【创新园地】答案

1.解法一：变压器铁芯片的面积是：

(2.5a15.a)(a2a2a2aa)22.5a2a

4a8a10a2

32a210a222a2(厘米2)

解法二：变压器铁芯片的面积是：

2.5aa2.5a2a2.5aa15.a8a

2.5a25a22.5a212a2

22a2(厘米2)

解法三：变压器铁芯片的面积是：

1(2.5a15.a)(a2a2a2.5a2a22

2

(4a4a5a)2

11a22

22a2(厘米2)

解法四：变压器铁芯片的面积是：

2(2.5a15.a)a(2.5a15.a)2a22a15.a2.4aa4a2a4a15.a8a28a26a2

22a(平方厘米)

2

2.(x2px8)(x23xq)

x43x3qx2px33px2pqx8x224x8qx4(p3)x3(q3p8)x2(pq24)x8q

∵积中不含x2和x3两项 ∴

p3083p80p3q1

∴

[1**********]2

3.原式9xy6xyxy6xy4xxyxyxyy

22414422

4x11xyy

4

1

当x,y2时

2

2

2

3

上原式=4()11(2)

12

4

12

2

1

24 4

4



111116164

1

1144364

2

2

4.解：5x10xx4x2x84x8x6x12

2

5x210xx24x2x8x6x4x2128

2x4

x2

又解：

5x(x2)(x2)(x4)2(x2)(2x3)5x(x2)(x2)(x4)2(x2)(2x3)0

(x2)5x(x4)2(2x3)0(x2)(5xx44x6)0

2(x2)0x2

四.同步题库 (一).填空题

1.积的乘方等于；用字母表示为 。

2.x2(x3)4

2

.

.

.

.

3.(abc)2(abc)34.0125.32125.若

x5

1999

0.22000,则x

6.正方体油箱的棱长为a×103毫米，则油箱的体积为 (毫米)3

7.光的速度是每秒3×105千米，太阳光射到地面需要8分20秒的时间，则地球与太阳之间

的距离为 。

8.若(2x+3)(5－2x)=ax2+bx+c，则。 9.若(x2+px+8)(x2－3x+1)的展开式中不含有x3的项，则P 。 10.(x－2)(x2 (二)选择题： 11.(－2)3(－2)4. A.27

B.－27

C.212

D.2

－12

12.下列说法中，错误的是 A.单项式乘单项式，积一定是单项式。

B.两个单项式相乘，乘积结果的次数是这两个单项式次数和。 C.两个单项式相乘，乘积结果的次数是这两个单项式次数的积 D.两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现。 13.m为正整数时，2m+1·8n的化简结果为 。 A.162m+1

B.16

m2m

C.24m+1

D.2

3m23m

14.(－2)5·(－2)n＞0，则n为 。 A.奇数

B.偶数

C.5

D. 6

15.若35·3n=3m+1；23·2m=23m，则m、n的值为 。

m5

n4

m4

n3

m3

n2

D. m2

n1

16.若(4×10n)×(20×103)×(5×102)=4×109，那么n的值等于 。 A.2

B.3

C.4

D.5

17.如果(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项，那么a与b一定是。 A.互为相反数

B.互为倒数

C.相等

D.a比b大

18.若M=(x－3)(x－5),N=(x－2)(x－6)，则M与N值的关系为。 A.M=N

B.M＞N

C.M＜N

D.M与N的大小由x的取值而定。

19.一条水渠的横断面为梯形，它和梯形的上底为a，下底为(a+2b),高为(a－b)，则梯形面积的代数式为 。

A.2a2－2b2

B.ab

22

C.2a2－2b2

D.

1212ab 22

20.一个正方形边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，那么这个正方体的边长是 。 A.5cm (三)计算题

B.6cm

C.8cm

D.9cm

21.x2(x3)4

2

1

22.(2x)2(3xy2)3y2

2

23.21000.5100(1)199924.xn1(yn2)2(xy)2

25.(4xy)(2xy)(

33xy) 2

26.5x3y(3y)2(6xy)2(xy)xy3(4x)2

m

n

2

n

27.(3ab2)2(ab22a2ba3)28.(x2)32x3x3x(4x21)29.5a(abc)2b(abc)4c(abc)30.(3x2y)(y3x)(2xy)(3xy)

(四)解答题

31.计算(xmn)2(xmn)3x2mn(x3)m

32.求值yn(yn9y12)3(3yn14yn)，其中y=－3，n=－2 33.已知x2+x－1=0，求x3－2x+4的值。

34.3(x2)4·(x3)3－x(－x4)4+(－2x4)2·(－x)3·(x2)3，其中x=－1 35.若x3n=5，试求代数式(－2x2n)3+4(x3)2n的值。

36.在半径为5R的圆圈内有一个半径为I的小圆圈，当小圆圈沿大圆圈内壁滚动一周后，小圆圈滚过的面积为多少？

37.x(x26x9)x(x28x15)2x(3x),其中x1

38.3xy(1x)6xy(x)2x3y2,其中x1,y2

2

1

39.(x2)(x26x9)x(x22x15),其中x

2

13

40.(x2y)2(xyxx2y)2(x3y)(xy),其中x4,y2

四.同步题库的答案： (一).填空题

12

1.因式分别乘方；幂相乘，(a·b)m=ambm 2.x28 3.－(a+b－c)5 4.8 5. 6. a3×109 7.1.5×108米 8.a=－4；b=4；c=15 9.P=3 10. x3－8 (二)选择题

1

5

11. B 12. C 13. C 14. A 15. C 16. A 17. A 18. B 19. B 20.A (三)计算题：

21.x2(x3)4

2

2

解原式x2x12

(x14)2x28

22.解:(2x)2(3xy2)3

2

3

6

12y2

12

4x(27xy)y

2

54x5y8

23.解210005.100(1)1999

1

2100()100(1)1999

2

124.解xn1(yn2)2(xy)2xn1y2n4x2y2

xn3y2n6

25.解:(4xmyn)(2x2yn)(

33xy)2

(8xm2y2n)(12xm5y2n1

33xy)2

26.解:5x3y(3y)2(6xy)2(xy)xy3(4x)2

45x3y336x2y2(xy)16x3y345xy36xy16xy7x3y3

27.解(3ab2)2(ab22a2ba3)

9a2b4(ab22a2ba3)9a3b618a4b59a5b4

28.(x2)32x3x3x(4x21)解:原式x62x3(x34x3x)

x62x68x62x4

3

3

3

3

3

3

7x62x4

29.解:5a(abc)2b(abc)4c(abc)5a25ab5ac2ab2b22bc4ac4bc4c25a27ab9ac6bc4c22b230.解:(3x2y)(y3x)(2xy)(3xy)3xy9x22y26xy6x22xy3xyy215x2y210xy

(四)解答题：

31.解(xm+n)2·(－xmn)3+x2mn·(－x3)m

－

－

=x2m+2n·(－1)3·x3m

－

－3n

+x2mn·(－1)m·x3m

－

=－x5mn+(－1)mx5mn

－

当m是奇数时，(－1)m=－1，原式=－2x5mn

－

当m是偶数时，(－1)m=1，原式=0

33.解:x32x4

x3x2xx2x12x22x23(x3x2x)(x2x1)(2x22x2)3

x(x2x1)(x2x1)2(x2x1)3x2x10

x(x2x1)(x2x1)2(x2x1)3即x32x43

34.3(x2)4(x3)3x(x4)4(2x4)2(x)3(x2)3解原式3x17x174x172x17

x1

2x172(1)17235.解:(2x2n)34(x3)2n

8x6n4x6n4x6nx3n5

4x6n4(x3n)2452100

36.解.依题意知小圆圈滚动面积为

(5R)2(5R2R)2

25R29R216R2

37.解:x(x26x9)x(x28x15)2x(3x)x36x29xx38x215x6x2x212xx

13

1

12x12()4

3

1

38.3xy(1x)6xy(x)2x3y2

2解:原式(3xy3x2y6x2y3xy)2x3y212x4y318x5y3

x1y2

12xy18xy12(1)218(1)2

4

3

5

3

4

3

5

3

96144240

39.解:(x2)(x26x9)x(x22x15)x36x29x2x212x18x32x215x

6x218x18

1

x

2

1115

6x218x186()218()18

22240.解:(x2y)2(xy)(x2y)2(x3y)(xy)

x24xy4y2x22xyxy2y22x22xy6xy6y2

xy

1

x4y2

21

xy(4)210

2

整式的乘法

一.教法建议 【抛砖引玉】

本单元讲授整式的乘法，应首先复习幂的运算性质（同底幂的乘法，幂的乘方，积的乘方），它是学习整式乘法的基础，教学时，适当复习幂，指数，底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在讲授三个性质中，同底数幂的乘法性质是最基本的，它又是第一个要学习的，因此，应集中力量，并用较多的时间进行学习。通过实例，重点练习，使学生理解，掌握同底幂的乘法性质的推导和运用，其他二个性质便迎刃而解了。在学生掌握了幂的运算性质以后，作为它们的一个直接应用。单项式的乘法是学好本单元的关键，我们知道，运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键是熟练地进行单项式乘法，因此，教学时，应予以足够重视，使学生能运用法则熟练地进行单项式乘法运算。 【指点迷津】

在本单元推导性质的学习中，是一个由特殊到一般的认识过程；把性质运用到具体的解题中去，则是一个由一般到特殊的过程，在学习时，一定要注意知识发生的过程，千万不要死记硬背性质的结论，再用结论模仿例题做题，在知识产生的学习中，应注意由具体到一般归纳推理的方法和依据，从知识发生的过程中理解并切实掌握性质，对性质字母表达式和文字语言表述，应在理解的基础上加以记忆，在运用的基础上加以巩固，产生质的飞跃，以强化数学素质。

在乘法法则的学习中，应注意“转化”的思想方法。例如，多项式与多项式相乘，根据法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法。单项式乘法“转化”为有理数乘法与幂的运算。步步孕育着转化，是本单元学习的“精髓”。总之，要打好幂运算性质的基础，抓好单项式乘法这个关键，熟练掌握“转化”方法，就能顺利学好本单元内容，并能取得较好的效果。 二.学海导航 【思维基础】

扎实基础，熟练掌握，灵活运用，便可更上一层楼，下面一些基础知识，一定要掌握。 1.aa(aaa)(aaa)(m,n表示任意正整数)

m

n



m个a

n个a

(aaa)a

(mn)



(

)个a

am·an=am+n(m、)。

这就是说，同底数。 2.(am)n=amn(m、)。

这就是说，幂的乘方。 3.(ab)n=anbn(n为。 这就是说，积的乘方，。

4.一般地，单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，

。

5.单项式与多项式相乘， 6.多项式与多项式相乘 7.(x+a)(x+b)=x2+( )x+( ) 8.

请你把如左图的长方形面积，用

算式表示出来： ( )( )

【学法摘要】 例1.计算： (1)m·m2·m3 (2)(－a)2·a3·(－a2) (3)(3x+2y)2·(3x+2y)3

(4)(a－3b)2·(a+3b)m1·(a－3b)2m+3

－

(5)22·23·24·2

思考：1.你知道同底数幂的乘法性质吗？2.在幂的运算法则中，底数可以是数字，字母，也可以是单项式或多项式吗？3.指数可以是自然数，也可以是代表自然数的字母吗？ 思路分析：本例是同底数幂的乘法运算，根据其性质，便可顺利求得结果。 解：(1)原式=m1+2+3=m6

(2)原式=a2·a3(－a2)=－a2+3+2=－a7 (3)原式=(3x+2y)2+3=(3x+2y)5 (4)原式=(a－3b)2+m

－1+2m+3

=(a－3b)3m4

－

(5)原式=22+3+4+1=210=1024 例2.计算 (1)x·xm－xm+1

(2)52·56－5·55+52·(－54)

(3)(a+b－c)2n·(c－a－b)2n1+(a+b－c)2n+1·(c－a－b)2n2

－

－

思考：1.你知道运算顺序吗？(2).幂的运算法则可以逆问应用吗？3.2n+1和2(n+1)都是偶数吗？

思路分析：本例为混合运算，应先根据同底数幂的运算性质进行乘法运算，再进行加减运算，对运算公式要考虑正向及逆向应用。 解：(1)原式=x1+m－xm+1=0 (2)原式＝52+6－51+5－52+4 =58－56－56

=－52·56－56－56 =(52－1－1)56 =23·56

(3)原式=(a+b－c)2n·[－(a+b－c)]2n1+(a+b－c)2n+1·[－(a+b－c)]2n2

－

－

= －(a+b－c)2n+2n1+(a+b－c)(2n+1)+(2n

－

－2)

=－(a+b－c)4n1+(a+b－c)4n1

－

－

=0 例3.计算 (1)(a3)5

(2)(－x3)2·(－x2)3 (3)(m2n1)2·(mn+1)3

－

(4)[(3x+2y)2]3·[(3x－2y)3]2

1323 (5)((ab)

3

(6)(－2a4)4+2a10·(－2a2)3+2a4·5(a4)3

思考：1.你知道幂的乘方性质吗？2.你会叙述积的乘方性质吗？3.幂的乘方和同底数的乘法有什么不同？4.负数的奇次幂为负，偶次幂为正，你知道吗？

思路分析：本例是幂的乘方和积的乘方运算。应用它们的性质可打通思路，对混合运算要注意运算顺序，对符号的变化也不可忽视。 解：(1)(a3)5=a3×5=a15

(2)(－x3)2·(－x2)3=(－1)2·(x3)2·(－1)3( x2)3=－x6·x6=－x12 (3)(m2n1)2·(mn+1)3=m2(2n

－

－1)

(n+1)

·m3·=m4n2·m3n+3=m7n+1

－

(4)[(3x+2y)2]3[(3x+2y)3]2=(3x+2y)2×3·(3x+2y)3×2=(3x+2y)6·(3x+2y)6=(3x+2y)12 (5)(ab)=()ab

1

3

323

13

33323

=

196

ab 27

(6)(－2a4)4+2a10·(－2a2)3+2a4·5(a4)3=(－2)4·(a4)4＋2a10·(－2)3(a2)3+2a4·5(a4)3 =16a16+2a10(－8)a6+2a4·5a12=16a16－16a16+10a16=10a16 例4.计算

32(1)a2bc30.25ab3c2(2ab)38 (2)(3a2b3)24(a3b2)5

(3)(xyz)(2xyz)2xyz(yz)(x)(y)

232

2

3

3

2

3

3



3

32



思考：1.单项式的乘法法则是什么？2.乘法的交换律，结合律你知道吗？3.幂的运算性质，积的乘方性质还熟悉吗？

思路分析：本例是单项式的乘法，按照单项式的乘法法则进行运算，单项式的相乘以幂的运算性质为基础的，凡有幂的乘方或积的乘方时，可先计算，最后转化为数的乘法及同底数幂的乘法。若单项式系数中既有系数，又有小数，通常化为分数。

323132

abc)(8a3b3)2

8432313266

abc(abc)64ab

84

解：(1)原式=abc( = －6a9b10c5

(2)原式=(－3)2·(a2)2·(b3)2·4(－1)5(a3)5(b2)5=9a4b6·4·(－1)a15b10=－36a19b16 (3)原式=x2·(y2)2(z3)2－23·(x2)3(y3)3z3+2x2yz3·(－1)3y3z3－(－x3)2·[(－y)3]2·y3z3 =x2y4z6－8x6y9z3－2x2y4z6－x6y6·y3z3 =x2y4z6－8x6y9z3－2x2y4z6－x6y9z3 =－x2y4z6－9x6y9z3 例5.计算

(1)4ab·(3a2+2ab－1) (2)(

1

y)(8y36x4) 2

(3)2x(x2－xy－y2)－3xy(4x－2y)+2y(7x2－4xy+y2)

思考：1.单项式与多项式的乘法计算方法如何？请叙述。2.单项式乘以多项式，积仍是一个多项式吗？其项数与所乘多项式的项数相等吗？3.积的各项符号应如何确定。 思路分析：本例是单项式乘以多项式，必须按照其法则进行。对于混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，后加减，运算结果要检查，如果有同类项要合并，结果要最简。

解：(1)原式=4ab·3a2+4ab·2ab+4ab·(－1)=12a3b+8a2b2－4ab (2)原式=(

111

y)8y3(y)(6x)(y)44y43xy2y 222

(3)原式=2x3－2x2y－2xy2－12x2y+6xy2+14x2y－8xy2+2y3=2x3－4xy2+2y3 例6.计算

(1)(3x4－3x2+1)(x4 +x2－2)

(2)(3x+1)(x+1)－(2x－1)(x－1)－3x(x－2)－2x(－3x)

思考：1.请叙述多项式乘以多项式的法则。2.怎样可避免出现多项式乘法展开后合，并同类项前，出现“重”或“漏”？检查的方法是什么？3.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时，如何确定积中各项的符号？

思路分析：多项式乘以多项式的运算法则，是打开本例的证结，要按照运算法则一步一步来运算，并要做到不“重”和不“漏”，别出现符号错误，计算结果要最简，便可为解决此类问题扫清障碍。

解：(1)原式=3x8+3x6－6x4－3x6－3x4＋6x2+x4+x2－2=3x8－8x4+7x2－2 (2)原式=3x2+3x+x+1－(2x2－2x－x+1)－(3x2－6x)+6x2 =3x2+3x+x+1－2x2+2x+x－1－3x2+6x+6x2 =4x2+13x 例７.计算 (1)(x+7)(x－8) (2)(－3x+2)(－3x+6)

思考：;2.利用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab可直接写出上两式的计算结果吗？3.多项式乘以多项式的法则还能应用吗？

思路分析：本例符合“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”的形式，可利用其公式直接写出结果，不过对(2)式必须视“－3x”为“x”，方可利用。

解：(1)(x+7)(x－8)=x2+(7－8)x+7·(－8)=x2－x－56

(2)(－3x+2)(－3x+6)=(－3x)2+(2+6)·(－3x)+2·6=9x2－24x＋12 例8.计算

(x+2)(x－2)(x2+4)

思考：1.三个多项式相乘应如何进行运算？多项式乘以多项式的运算法则还适用吗？2.本例是否可利用“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”这一公式？

思路分析：三个多项式相乘，可先把二个多项式相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘即可，对本例又符合“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”的形式，因此，本例有两种思路可走通。 解：(x+2)(x－2)(x2+4) =[(x2+(2－2)x+2·(－2)](x2+4) =(x2－4)(x2+4)

=(x2)2+(－4+4)x2+(－4)·4 =x4－16

又解：(x+2)(x－2)(x4+4) =(x2－2x+2x－4)(x4+4) =(x2－4)(x2+4) =x4+4x2－4x2－16 =x4－16 【思维体操】 例1.计算 1.(1)(3) (2)2

1999

1

5

1999

(

51999) 16

1

()2000 2

(3)(2.5)2000161000

思考：1.本例在进行运算中，可直接运用幂的运算性质吗？2.你仔细观察这些式题，它们的数字有何特征？它对我们有什么启示？3.幂的乘法，幂的乘方等性质逆向应用吗？ 思路分析：观察这三道试题可发现是年号题，意义深刻，数字较大，直接运用幂的运算性质是不可能的，且计算量大，但我们可以发现(1)中的底数之积3

15

为1，(3)中的516

底数之积(2.5×4)也为1，(2)中的底数互积与(1)、(3)相同，此时可果断采取逆向思维，根据

积的乘方(ab)n=anbn的逆向运算anbn=(ab)n，及同底幂的乘法am·an=am+n的逆向运算am+n=am·an便可找到十分简捷的思路。 解：

例2.已知：x2+x－1=0，求x3－2x+4的值。

思考：1.你如何根据题设条件求x3－2x+4的值？2.x3－2x+4含有x2+x－1的式子吗？3.如何将x2+x－1=0进行变形，向要求的未知过渡？反之，如何将x3－2x－4向已知变形，架起它们之间的桥梁？

思路分析：本例必须从已知向未知转化，或从未知向已知转化，也可二者同时进行，相辅相成，逆向思维，大胆探索，便可找到十分漂亮的解法。 解：∵x2+x－1=0 ∴x2=1－x ∴x3－2x+4

=x(1－x)－2x+4 =x－x2－2x +4 =x－(x2+x－1)－x+3 =x－0－x+3 =3

又解：∵x2+x－1=0

x3－2x+4=x3+x2－x+x2+x－1－2x2－2x+2+3 =x(x2+x－1)+(x2+x－1)－2(x2+x－1)+3 =x·0+0－2·0+3 =3 ∴x3－2x+4=3 再解：∵x2+x－1=0 ∴x3+x2－x=0 ∴x3=x－x2

∴x3－2x+4=x－x2－2x＋4 =－x2－x+1+3 =－(x2+x－1)+3 =－0+3 =3

例3.某学生在计算一个整式乘以3ac时错误地算成了加上3ac，得到的答案是3bc－3ac－2ab，那么正确的计算结果应是多少？

思考：1.如何找出这位学生产生错误的原因？怎样纠正？2.单项式乘以多项式的法则是什么？3.如何进行整式加减？

思路分析：应找出产生错误的症结是以乘误为加，可根据加数与和的关系求出原来正确的多项式，进而再应用单项式乘以多项式的法则进行运算，就可计算出正确结果。 解：依题意可知，原来正确的多项式是：

(3bc－3ac－2ab)－3ac =3bc－3ac－2ab－3ac =3bc－6ac－2ab ∴正确的计算结果为： (3bc－6ac－2ab)·3ac =3bc·3ac－6ac·3ac－2ab·3ac =9abc2－18a2c2－6a2bc

三.智能显示 【心中有数】

对本单元同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等幂的运算性质，能用字母式子和文字语言表述这些性质，加深理解，并能应用它进行运算，单项式的乘法法则是学好本单元的关键，要认真领会，熟练掌握，灵活运用其法则进行运算，单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的法则也应理解并掌握，以便运用它们进行运算。 【智能显示】 计算

13112 1.()()()

222

8.先化简，再求值：

12121121

(xyxyxy)(xy)，其中x,y2

25422

【智能显示】答案 1.原式()

12

312

11()6

264

2.原式=(ab)3(ab)4(ab)2(ab)2

(ab)3422(ab)

4

3

5

11

3.原式()()

34

5

34

()()(1)51

43

[***********]22232

5.原式=ab4abab6acab8bc

222

4.原式=()(aa)(bb)(cc)2abc 2ab3abc4abc

44

52

552

5

6.原式x4x310x2x3x210x5x25x50

x44x215x50

7.原式(4x2)(56)4x56

16x244x30

[1**********]

8.原式xy(xy)xy(xy)xy(xy)

[**************]xyxyxy

4108111322

(xy)(xy)y(xy)2y

4108

1

∵x,y2

21

∴xy(2)1

2

1113

(1)2(2)2(1)2(2) ∴上原式=(1)

4108

111

(1)141(2)

4108121



4542

5

注：本例视(xy)为一整体，然后进行代入求值，大大简化运算过程，可见，整体思维方法应好好学习与掌握。

【创新园地】

1.如图，计算变压器铁芯片的面积。(图中的长度单位：厘米)

2.若(x2+px+8)(x2－3x+q)的积中，不含x2和x3项，求p、q的值。 3.先化简，再求值

121212y)(3xy2xy),其中x,y2 (3xy－2x+222

2

4.解方程

5x(x－2)－(x－2)(x+4)＝2(x－2)(2x－3)。

【创新园地】答案

1.解法一：变压器铁芯片的面积是：

(2.5a15.a)(a2a2a2aa)22.5a2a

4a8a10a2

32a210a222a2(厘米2)

解法二：变压器铁芯片的面积是：

2.5aa2.5a2a2.5aa15.a8a

2.5a25a22.5a212a2

22a2(厘米2)

解法三：变压器铁芯片的面积是：

1(2.5a15.a)(a2a2a2.5a2a22

2

(4a4a5a)2

11a22

22a2(厘米2)

解法四：变压器铁芯片的面积是：

2(2.5a15.a)a(2.5a15.a)2a22a15.a2.4aa4a2a4a15.a8a28a26a2

22a(平方厘米)

2

2.(x2px8)(x23xq)

x43x3qx2px33px2pqx8x224x8qx4(p3)x3(q3p8)x2(pq24)x8q

∵积中不含x2和x3两项 ∴

p3083p80p3q1

∴

[1**********]2

3.原式9xy6xyxy6xy4xxyxyxyy

22414422

4x11xyy

4

1

当x,y2时

2

2

2

3

上原式=4()11(2)

12

4

12

2

1

24 4

4



111116164

1

1144364

2

2

4.解：5x10xx4x2x84x8x6x12

2

5x210xx24x2x8x6x4x2128

2x4

x2

又解：

5x(x2)(x2)(x4)2(x2)(2x3)5x(x2)(x2)(x4)2(x2)(2x3)0

(x2)5x(x4)2(2x3)0(x2)(5xx44x6)0

2(x2)0x2

四.同步题库 (一).填空题

1.积的乘方等于；用字母表示为 。

2.x2(x3)4

2

.

.

.

.

3.(abc)2(abc)34.0125.32125.若

x5

1999

0.22000,则x

6.正方体油箱的棱长为a×103毫米，则油箱的体积为 (毫米)3

7.光的速度是每秒3×105千米，太阳光射到地面需要8分20秒的时间，则地球与太阳之间

的距离为 。

8.若(2x+3)(5－2x)=ax2+bx+c，则。 9.若(x2+px+8)(x2－3x+1)的展开式中不含有x3的项，则P 。 10.(x－2)(x2 (二)选择题： 11.(－2)3(－2)4. A.27

B.－27

C.212

D.2

－12

12.下列说法中，错误的是 A.单项式乘单项式，积一定是单项式。

B.两个单项式相乘，乘积结果的次数是这两个单项式次数和。 C.两个单项式相乘，乘积结果的次数是这两个单项式次数的积 D.两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现。 13.m为正整数时，2m+1·8n的化简结果为 。 A.162m+1

B.16

m2m

C.24m+1

D.2

3m23m

14.(－2)5·(－2)n＞0，则n为 。 A.奇数

B.偶数

C.5

D. 6

15.若35·3n=3m+1；23·2m=23m，则m、n的值为 。

m5

n4

m4

n3

m3

n2

D. m2

n1

16.若(4×10n)×(20×103)×(5×102)=4×109，那么n的值等于 。 A.2

B.3

C.4

D.5

17.如果(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项，那么a与b一定是。 A.互为相反数

B.互为倒数

C.相等

D.a比b大

18.若M=(x－3)(x－5),N=(x－2)(x－6)，则M与N值的关系为。 A.M=N

B.M＞N

C.M＜N

D.M与N的大小由x的取值而定。

19.一条水渠的横断面为梯形，它和梯形的上底为a，下底为(a+2b),高为(a－b)，则梯形面积的代数式为 。

A.2a2－2b2

B.ab

22

C.2a2－2b2

D.

1212ab 22

20.一个正方形边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，那么这个正方体的边长是 。 A.5cm (三)计算题

B.6cm

C.8cm

D.9cm

21.x2(x3)4

2

1

22.(2x)2(3xy2)3y2

2

23.21000.5100(1)199924.xn1(yn2)2(xy)2

25.(4xy)(2xy)(

33xy) 2

26.5x3y(3y)2(6xy)2(xy)xy3(4x)2

m

n

2

n

27.(3ab2)2(ab22a2ba3)28.(x2)32x3x3x(4x21)29.5a(abc)2b(abc)4c(abc)30.(3x2y)(y3x)(2xy)(3xy)

(四)解答题

31.计算(xmn)2(xmn)3x2mn(x3)m

32.求值yn(yn9y12)3(3yn14yn)，其中y=－3，n=－2 33.已知x2+x－1=0，求x3－2x+4的值。

34.3(x2)4·(x3)3－x(－x4)4+(－2x4)2·(－x)3·(x2)3，其中x=－1 35.若x3n=5，试求代数式(－2x2n)3+4(x3)2n的值。

36.在半径为5R的圆圈内有一个半径为I的小圆圈，当小圆圈沿大圆圈内壁滚动一周后，小圆圈滚过的面积为多少？

37.x(x26x9)x(x28x15)2x(3x),其中x1

38.3xy(1x)6xy(x)2x3y2,其中x1,y2

2

1

39.(x2)(x26x9)x(x22x15),其中x

2

13

40.(x2y)2(xyxx2y)2(x3y)(xy),其中x4,y2

四.同步题库的答案： (一).填空题

12

1.因式分别乘方；幂相乘，(a·b)m=ambm 2.x28 3.－(a+b－c)5 4.8 5. 6. a3×109 7.1.5×108米 8.a=－4；b=4；c=15 9.P=3 10. x3－8 (二)选择题

1

5

11. B 12. C 13. C 14. A 15. C 16. A 17. A 18. B 19. B 20.A (三)计算题：

21.x2(x3)4

2

2

解原式x2x12

(x14)2x28

22.解:(2x)2(3xy2)3

2

3

6

12y2

12

4x(27xy)y

2

54x5y8

23.解210005.100(1)1999

1

2100()100(1)1999

2

124.解xn1(yn2)2(xy)2xn1y2n4x2y2

xn3y2n6

25.解:(4xmyn)(2x2yn)(

33xy)2

(8xm2y2n)(12xm5y2n1

33xy)2

26.解:5x3y(3y)2(6xy)2(xy)xy3(4x)2

45x3y336x2y2(xy)16x3y345xy36xy16xy7x3y3

27.解(3ab2)2(ab22a2ba3)

9a2b4(ab22a2ba3)9a3b618a4b59a5b4

28.(x2)32x3x3x(4x21)解:原式x62x3(x34x3x)

x62x68x62x4

3

3

3

3

3

3

7x62x4

29.解:5a(abc)2b(abc)4c(abc)5a25ab5ac2ab2b22bc4ac4bc4c25a27ab9ac6bc4c22b230.解:(3x2y)(y3x)(2xy)(3xy)3xy9x22y26xy6x22xy3xyy215x2y210xy

(四)解答题：

31.解(xm+n)2·(－xmn)3+x2mn·(－x3)m

－

－

=x2m+2n·(－1)3·x3m

－

－3n

+x2mn·(－1)m·x3m

－

=－x5mn+(－1)mx5mn

－

当m是奇数时，(－1)m=－1，原式=－2x5mn

－

当m是偶数时，(－1)m=1，原式=0

33.解:x32x4

x3x2xx2x12x22x23(x3x2x)(x2x1)(2x22x2)3

x(x2x1)(x2x1)2(x2x1)3x2x10

x(x2x1)(x2x1)2(x2x1)3即x32x43

34.3(x2)4(x3)3x(x4)4(2x4)2(x)3(x2)3解原式3x17x174x172x17

x1

2x172(1)17235.解:(2x2n)34(x3)2n

8x6n4x6n4x6nx3n5

4x6n4(x3n)2452100

36.解.依题意知小圆圈滚动面积为

(5R)2(5R2R)2

25R29R216R2

37.解:x(x26x9)x(x28x15)2x(3x)x36x29xx38x215x6x2x212xx

13

1

12x12()4

3

1

38.3xy(1x)6xy(x)2x3y2

2解:原式(3xy3x2y6x2y3xy)2x3y212x4y318x5y3

x1y2

12xy18xy12(1)218(1)2

4

3

5

3

4

3

5

3

96144240

39.解:(x2)(x26x9)x(x22x15)x36x29x2x212x18x32x215x

6x218x18

1

x

2

1115

6x218x186()218()18

22240.解:(x2y)2(xy)(x2y)2(x3y)(xy)

x24xy4y2x22xyxy2y22x22xy6xy6y2

xy

1

x4y2

21

xy(4)210

2