经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) E
A B
D O F
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150.
A D 求证:△PBC 是正三角形.(初二)
C B
第 1 页 共 20 页
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.
D
求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) D A A 1
1 C
B 2 2
C
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F .
求证:∠DEN =∠F .
第 2 页 共 20 页
B
经典难题(二)
1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O
(1)求证:AH =2OM ;
(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)
2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
第 3 页 共 20 页
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE
于P 、Q .
求证:AP =AQ .(初二)
4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
第 4 页 共 20 页
F
经典难题(三)
1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .
求证:CE =CF .(初二)
2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .
求证:AE =AF .(初二)
第 5 页 共 20 页
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE .
求证:PA =PF .(初二)
4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于
B 、D .求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)
第 6 页 共 20 页
经典难题(四)
1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5.
求:∠APB 的度数.(初二)
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA .求证:∠PAB =∠PCB .(初二)
第 7 页 共 20 页
3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·
4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)
第 8 页 共 20 页
经典难题(五)
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:
≤L <2.
2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.
第 9 页 共 20 页
3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.
4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC
0,
∠EBA =200,求∠BED 的度数.
第 10 页 共 20 页
经典难题(一)
1. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG, 即△GHF ∽△OGE, 可得
EO GO CO
==, 又CO=EO,所以CD=GF得证。
GF GH CD
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP, 得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG =150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形
3. 如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E. 连接C 2F 与A 2E 并延长相交于Q 点, 连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点,连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点, 由A 2E=A B =B C = FB2 ,EB 2=AB=BC=FC 1 ,又∠GFQ+∠Q=900和 21121122
∠GE B 2+∠Q=900, 所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 , 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ,所以A 2B 2=B2C 2 , 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。
4. 如下图连接AC 并取其中点Q ,连接QN 和QM ,所以可得∠QMF=∠F ,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ,从而得出∠DEN =∠F 。
经典难题(二)
1.(1)延长AD 到F 连BF ,做OG ⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD ,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB ,OC, 既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3. 作OF ⊥CD ,OG ⊥BE ,连接OP ,OA ,OF ,AF ,OG ,AG ,OQ 。
AD AC CD 2FD FD
==== 由于, AB AE BE 2BG BG
由此可得△ADF ≌△ABG ,从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ , ∠AOP=∠AOQ ,从而可得AP=AQ。
4. 过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ,CI ,FH 。可得PQ=
AI +BI AB
= ,从而得证。 22
EG +FH
。 2
由△EGA ≌△AIC ,可得EG=AI,由△BFH ≌△CBI ,可得FH=BI。 从而可得PQ=
经典难题(三)
1. 顺时针旋转△ADE ,到△ABG ,连接CG . 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ,G ,D 在一条直线上,可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形。 ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证:CE=CF。
2. 连接BD 作CH ⊥DE ,可得四边形CGDH 是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH,
可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,
又∠FAE=900+450+150=1500,
从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。
3. 作FG ⊥CD ,FE ⊥BE ,可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan ∠BAP=tan∠EPF=
X Z =,可得YZ=XY-X2+XZ, Y Y -X +Z
即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP ≌△PEF , 得到PA =PF ,得证 。
经典难题(四)
1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,则△PBQ 是正三角形。
可得△PQC 是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
2. 作过P 点平行于AD 的直线,并选一点E ,使AE ∥DC ,BE ∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ,可得:
AEBP 共圆(一边所对两角相等)。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ,得证。
3. 在BD 取一点E ,使∠BCE=∠ACD ,既得△BEC ∽△ADC ,可得:
BE AD =,即AD •BC=BE•AC , ①
BC AC
又∠ACB=∠DCE ,可得△ABC ∽△DEC ,既得
AB DE
=,即AB •CD=DE•AC , ② AC DC
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证。
4. 过D 作AQ ⊥AE ,AG ⊥CF ,由S
ADE =
S
ABCD
2
=S
DFC
,可得:
A E P Q AE PQ
=,由AE=FC。 22
可得DQ=DG,可得∠DPA =∠DPC
(角平分线逆定理)。
经典难题(五)
1. (1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP ,PE ,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小L=
;
(2)过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ,F 。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP ,
推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得:最大L
≤L <2 。
2. 顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ,PE ,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。
既得
=
=
= 1)
2 。
=
=
3. 顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:
既得正方形边长
L = a
= a 。
4. 在AB 上找一点F ,使∠BCF=600 ,
连接EF ,DG ,既得△BGC 为等边三角形,
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE ≌△ACF , 得到BE=CF , FG=GE 。
推出 : △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,
既得:∠DFG=400 又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400 推得:DF=DG ,得到:△DFE ≌△DGE , 从而推得:∠FED=∠BED=300 。
① ②
经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) E
A B
D O F
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150.
A D 求证:△PBC 是正三角形.(初二)
C B
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3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.
D
求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) D A A 1
1 C
B 2 2
C
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F .
求证:∠DEN =∠F .
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B
经典难题(二)
1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O
(1)求证:AH =2OM ;
(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)
2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
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3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE
于P 、Q .
求证:AP =AQ .(初二)
4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
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F
经典难题(三)
1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .
求证:CE =CF .(初二)
2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .
求证:AE =AF .(初二)
第 5 页 共 20 页
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE .
求证:PA =PF .(初二)
4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于
B 、D .求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)
第 6 页 共 20 页
经典难题(四)
1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5.
求:∠APB 的度数.(初二)
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA .求证:∠PAB =∠PCB .(初二)
第 7 页 共 20 页
3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·
4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)
第 8 页 共 20 页
经典难题(五)
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:
≤L <2.
2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.
第 9 页 共 20 页
3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.
4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC
0,
∠EBA =200,求∠BED 的度数.
第 10 页 共 20 页
经典难题(一)
1. 如下图做GH ⊥AB, 连接EO 。由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG, 即△GHF ∽△OGE, 可得
EO GO CO
==, 又CO=EO,所以CD=GF得证。
GF GH CD
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP, 得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG =150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形
3. 如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E. 连接C 2F 与A 2E 并延长相交于Q 点, 连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点,连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点, 由A 2E=A B =B C = FB2 ,EB 2=AB=BC=FC 1 ,又∠GFQ+∠Q=900和 21121122
∠GE B 2+∠Q=900, 所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 , 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ,所以A 2B 2=B2C 2 , 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。
4. 如下图连接AC 并取其中点Q ,连接QN 和QM ,所以可得∠QMF=∠F ,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ,从而得出∠DEN =∠F 。
经典难题(二)
1.(1)延长AD 到F 连BF ,做OG ⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD ,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB ,OC, 既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3. 作OF ⊥CD ,OG ⊥BE ,连接OP ,OA ,OF ,AF ,OG ,AG ,OQ 。
AD AC CD 2FD FD
==== 由于, AB AE BE 2BG BG
由此可得△ADF ≌△ABG ,从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ , ∠AOP=∠AOQ ,从而可得AP=AQ。
4. 过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ,CI ,FH 。可得PQ=
AI +BI AB
= ,从而得证。 22
EG +FH
。 2
由△EGA ≌△AIC ,可得EG=AI,由△BFH ≌△CBI ,可得FH=BI。 从而可得PQ=
经典难题(三)
1. 顺时针旋转△ADE ,到△ABG ,连接CG . 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ,G ,D 在一条直线上,可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形。 ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证:CE=CF。
2. 连接BD 作CH ⊥DE ,可得四边形CGDH 是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH,
可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,
又∠FAE=900+450+150=1500,
从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。
3. 作FG ⊥CD ,FE ⊥BE ,可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan ∠BAP=tan∠EPF=
X Z =,可得YZ=XY-X2+XZ, Y Y -X +Z
即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP ≌△PEF , 得到PA =PF ,得证 。
经典难题(四)
1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,则△PBQ 是正三角形。
可得△PQC 是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
2. 作过P 点平行于AD 的直线,并选一点E ,使AE ∥DC ,BE ∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ,可得:
AEBP 共圆(一边所对两角相等)。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ,得证。
3. 在BD 取一点E ,使∠BCE=∠ACD ,既得△BEC ∽△ADC ,可得:
BE AD =,即AD •BC=BE•AC , ①
BC AC
又∠ACB=∠DCE ,可得△ABC ∽△DEC ,既得
AB DE
=,即AB •CD=DE•AC , ② AC DC
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证。
4. 过D 作AQ ⊥AE ,AG ⊥CF ,由S
ADE =
S
ABCD
2
=S
DFC
,可得:
A E P Q AE PQ
=,由AE=FC。 22
可得DQ=DG,可得∠DPA =∠DPC
(角平分线逆定理)。
经典难题(五)
1. (1)顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP ,PE ,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小L=
;
(2)过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ,F 。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP ,
推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得:最大L
≤L <2 。
2. 顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP ,PE ,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。
既得
=
=
= 1)
2 。
=
=
3. 顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:
既得正方形边长
L = a
= a 。
4. 在AB 上找一点F ,使∠BCF=600 ,
连接EF ,DG ,既得△BGC 为等边三角形,
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE ≌△ACF , 得到BE=CF , FG=GE 。
推出 : △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,
既得:∠DFG=400 又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400 推得:DF=DG ,得到:△DFE ≌△DGE , 从而推得:∠FED=∠BED=300 。
① ②