文化视角下的第二次数学危机
聊城职业技术学院机电工程系王存荣聊城大学数学科学学院房元霞
王艳华
［摘要］数学是一种文化，数学危机事实上就是一种在数学层面发生的文化危机．由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次危机。
［关键词］数学文化数学危机第二次数学危机在众多的数学专著中，对于数学史上的三次数学危机的描述，都是基于对数学内部矛盾运动的分二、风波再起：第二次数学危机的产生析。其实，数学危机的产生需要有两个条件：一是数学内部矛盾，一是有社会文化传统的冲突。本文一般地说，数学史中所谓的危机就是指在数学从数学文化的视角，谈第二次数学危机。
的发展中，新的概念、新的方法的出现，与原来有关数学的解释、理解产生了矛盾，新的概念和方法一、数学是一种文化
已经无法用现存的数学体系给予解释和说明，因而产生了危机。在微积分的产生过程中，由于无穷小“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一概念及相关运算无法用已有的数学理论给予解释和种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞理解从而造成的危机称为第二次数学危机。这样对和驱使人类的思维以运用到最完善的程度，亦正是数学危机的界定凸显数学内部矛盾的作用。其实，这种精神，试图决定性的影响人类的物质、道德和数学危机的产生需要有两个条件：一是数学内部矛社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问盾，一是有社会文化传统的冲突。二者缺一不可。
题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确定已１．社会背景和文化传统。
经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”因此，公元前１４６年，希腊完全被罗马征服。公元一数学特别是现代数学就应被看成一个相对独立的文世纪，基督教在古罗马帝国的属地巴勒斯坦兴起。化系统。然而“数学是一棵富有生命力的树，它随公元３１３年，君士坦丁（Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｅ）皇帝颁布“米着文明的兴衰而荣枯。”也就是说社会的发展、文兰敕令”，准许基督教徒信仰自由，公元３２５年明令明的进步为数学的发展提供了重要的动力和调节因规定基督教为罗马帝国国教。此后，单纯希腊式的素，所以数学又应被看成是整个人类文明的一个子教育内容和组织形式，被教会作为“异端”加以禁系统。
止，凡不符合教会口味的世俗学校都在禁止查封之
之”、“为此”等。三是结束语。应用文的结束语追求模式的线性思维是必需的，但不等于完全抹煞一般带有期请、总概的意味，如：“为盼”、“当作者的个人创造性。相反，在写作的高级阶段，作否，请批示”、“此呈”、“特立此据”、“特此者也要有个性化的非线性思维。
函达”、“请依法处理”、“恭请光临”等。随着应用写作的工具电脑化，应用文文本将更趋于线性的模式化，因而掌握应用写作模式，从某参考文献：
［１］司马晓雯．行政公文问题感悟与语感．《写作》杂种程度上讲，就是学会了应用文写作的规矩，能达志，１９９９，（１０）．
到规范、快速的目的。但是，我们也要看到线性思［２］裴显生，王殿松．应用写作．高等教育出版社，１９９９．２７－２８．
维常常显得过于拘泥、死板、僵化，而墨守成规、［３］赵玉荣．现代应用文写作．经济日报出版社，２００５．２４．落于俗套。“比着葫芦画瓢”只是“入体”求“形［４］裴显生，王殿松．应用写作．高等教育出版社，１９９９．５７－５８．
似”的初级阶段，正如刘勰在《文心雕龙・体性》中说：“宜摹仿以定习”。在应用文写作中，虽然
学习探究
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列。与此同时，教会便自办学校。世俗学校渐趋消亡，教会学校取而代之。古罗马帝国的兴起正是古希腊文化和古希腊数学衰落的开始。基督教作为一种宗教，除去信仰之外，还有一个解释、表述以及论证自身的文化需求。在这个过程中，它必须吸收现有的高于自身的文化。因此，在基督教的有关著述中，古希腊的哲学就成为他们可用的工具。基督教最伟大的神学家之一奥古斯丁就是一位柏拉图主义者，他运用新旧约全书中与柏拉图对话相吻合的部分来发挥自己的宗教观点。这就是说，奥古斯丁从柏拉图那里找到了对基督教有利的形而上学的教义。为了发展基督教，教会建立了许多学校，虽然在这些学校里数学的内容很少，但就其范围而言基本上是当年古希腊的四大学科：算术、音乐、几何、天文。古希腊数学是一种思维的形式，是一种认识、表现和解释世界万物的理性方式．对于古希腊数学在这个层面上的理解和运用，基督教神学花费了不少的时间，最终才在基督教神学最杰出的人物托马斯・阿奎那手中得到了完成。阿奎那取代原来的奥古斯丁教义中的柏拉图主义而把基督教与亚里士多德的理论结合起来，他运用逻辑的方法把亚里士多德的哲学与基督教的理性精神融为一个新的基督教的哲学体系。阿奎那的著作《神学大全》为基督教神学给出了一个全面的全新解释，逻辑推演的三段论式和欧几里得《几何原本》式的结构体系使僵死、沉闷的基督教世界有了新的生命活力。理性在这里开始成为表述上帝行为的工具，神的学说要用数学的理性来论证。这一切使上帝走出了神秘的围幔，走向一个由数学理性建起的台前。这样，在文艺复兴之前，人们终于看见了上帝与数学的对话：上帝按数学的方式设计了世界，从而，对理性的追求、对数学的研究也就是在接近上帝。
欧洲文艺复兴时期从十四世纪开始，到十五、六世纪乃至十七世纪初期已达到高潮，随着古希腊文化在文艺复兴中的复活，古希腊数学也开始引起人们广泛的兴趣和注意。在文艺复兴时期的数学应当说有着双重的作用：一方面它作为数学规律的内在特征，随着人们对它的兴趣而发展自己的方法和理论；另一方面数学又通过自身来强化对世界的理解和解释形式。通过基督教神学于亚里士多德说的结合，人们相信上帝在构造世界时已经把数学规律放在其中了，人们的任务就是发现自然现象背后的数学规律，而每一条隐藏于现象之后的自然规律的发现又都可以被看成上帝存在及其智慧的明证。可以说，这种数学理性精神构成了文艺复兴时期全部
科学的特殊背景。
２．人类文明的瑰宝——微积分的诞生。１７世纪，随着社会生产力的发展，西方在天文、力学、光学等方面都获得一些新发现。比如，德国天文学家开普勒发现行星沿着椭圆轨道运行；意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动；……这些都成为有力的推动力，激发起人们对曲线研究的热情。而对于数学本身而言，代数这一学科已日趋成熟，使代数越来越成为解决问题的有效工具。１６３７年解析几何的创立直接促使了微积分的诞生。
１７世纪的微积分是围绕下列四种类型的问题的解决而逐步建立起来的：
（１）运动物体在任意时刻的速度和加速度，导致了“瞬时变化率”的研究；
（２）确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向（轨迹的切线方向），以及研究光线通过透视镜的通道而提出求曲线的切线问题；
（３）求炮弹的最大射程的发射角、行星离开太阳的最远和最近距离（即远日点和近日点），导致了函数极值的研究；
（４）寻求行星运动轨道的曲线的长度，行星矢径扫过的面积（曲线围成的面积）、曲线围成的体积、物体的重心与引力计算，导致的一般积分方法。
在历史的发展中，积分的概念比微分的概念产生的早。积分的概念最初是在求某些面积、体积和弧长的求和过程中产生的。以后，求解曲线的切线、函数的极大值、极小值问题等，产生了微积分方法。最后人们认识到积分和微分彼此作为逆运算而关联。
在微积分学的历史发展过程中，古希腊关于“无穷小”的论述及其所发展起来的穷竭法，可以看做积分的萌芽，而文艺复兴、产业革命时期在力学、天文学、物理学、光学等许多领域提出的具体问题则实际促成了微积分的形成；与此同时，数学自身的发展也为牛顿和莱布尼兹最后登上微积分的顶峰做好了准备：在积分学方面，卡瓦列利、费尔玛和沃利斯等人为求取曲边形面积、曲面体体积等问题提供了与近代积分方法相似的内容；在微分学方面，费尔玛、巴罗等人已经从求曲线的切线、求函数的最大值中，提供了有关变化率计算的数学方法。牛顿和莱布尼茨都是微积分思想的集大成者。莱布尼茨和牛顿同时创立了微积分，且与牛顿形成了英吉利海峡两岸双星辉映的灿烂的数学文化。恩
格斯指出“在一切理论成就中，未必再有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”。微积分的诞生是人类迈向茫茫宇宙的一大步。从此，人类有了与自然对话的主动权。３．天地间通用的数学——微积分的发展。
微积分诞生之后，数学迎来一次空前的繁荣时期、１８世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。他们把微积分应用于学命题是：“存在即是被感知”。他认为自然规律是上帝的意旨，是上帝把观念印入人心时所依据的最一般规则。因此，自然科学家的任务在于了解上帝所造的那些标记。１７３４年，贝克莱发表了一本针对微积分基础的书——《分析学家》。一方面，贝克莱批评微积分中一系列重要概念如无穷小增量、瞬时速度等是“隐晦的神秘物”，是“模糊的混乱”，“无理的荒缪”。另一方面，贝克莱指出微积分方法中的缺陷，其矛头主要指向牛顿的流数学习探究
天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。１８世纪的数学家们知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的，为什么会是这样呢？部分答案是，有许多结果为经验和观测证实，其中最突出的是天文学的预言，如哈雷彗星的再度出现。哈雷曾于１６８４年拜访过牛顿，按照牛顿万有引力定律，哈雷推算出彗星运行轨道不是传统理论中的抛物线，而是椭圆轨道，所以彗星应在一个周期后重新出现。１７５８年，整个欧洲的科学及天文爱好者，都将目光注视着广阔无垠的天空。因为按照已故英国天文学家哈雷（１６５６—１７４２）的预言，这一年将有一颗７６年前出现的彗星重新归来。到了这一年年末，这颗盼望已久的彗星终于姗姗而来！自此人们叫它为哈雷彗星。人们在现实中印证了牛顿万有引力定律这一理论，也使许多科学家把微积分称为：天地间通用的数学。另一个原因是，那时是数学家确信，上帝数学化地设计了世界，而他们正在发现和揭示这种设计。可以说，这种信仰支撑着他们的精神和勇气，而丰硕的科学成果则养育着他们的心智，成为他们的追求的精神食粮。
４．贝克莱悖论与第二次数学危机。
在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的了谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。并且这场源自数学内部的关于理论和方法的争论最终演变成了基督教哲学对微积分无穷小运算的一个批判运动。高扬这种批判大旗的代表人物就是著名的神学家贝克莱（Ｂｅｒｋｅｌｅｙ１６８５—１７５３）。他对微积分强有力的批评，在数学界产生了最令人震撼的撞击。贝克莱，１８世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他的最著名的哲
法。
牛顿在１７０４年发表了“曲线的求积”，其中他确定了的导数（他当时成为流数）。我们把牛顿的方法意译如下：
当
增长为
时，幂成为
，或。
它们的增量分别为和
，这两
个增量与的增量的比分别为１与
。然后让增量消失，则它们的最后比将为１与。
从而
对的变化率为。
贝克莱指责说，这个推理是不公正和不明确
的。因为在这个推理中，先取一个非零的增量并用它进行计算，然而在最终却由使“消失”，即令增量为零得出结果。贝克莱指出这里关于增量的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。这本书的末尾是６７个“疑问”。当贝克莱以辛辣的嘲讽语言攻击微积分理论时，由于微积分理论在实践与数学中取得的成功，已使大部分数学家相信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此，贝克莱所阐述的问题被认为是悖论，并称之为贝克莱悖论。由于这一悖论对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，由此掀起：第二次数学危机。同时，贝克莱认为微积分作为一种数学理论违背了几何学的数学原理，而后者恰恰是基督教哲学展开自己表述世界的一种理性依据，所以微积分存在的问题实质上就是基督教哲学中存在的问题。微积分概念不清，缺乏严密的逻辑基础，事实上就是基督教哲学中数学概念的不清楚以及数学表达世界秩序的非逻辑性。作为马克思主义的创始人，马克思本人也曾直接参与有关微积分问题的争论。作为红衣主教的贝克莱和作为马克思主义学说创始人的马克思都积极的投入到了相关的争论之中，这一现象显然表明，西方文化中数学作为一种理性、作为一种宗教或哲学解释世界的形
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式有着何等的重要性！特殊地，当数学与传统文化出现矛盾时又会产生多么大的震动。
对于西方数学与文化的这种特殊关系，著名的数学家、哲学家罗素指出：“与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达哥拉斯之后，尤其是柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法支配着的。数与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表着希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征。”
我们可以说，仅有数学内部概念与方法的矛盾是形成不了危机的。例如，就西方文化而言，笛卡尔创立的解析几何无疑也可以说是一种新概念、新方法，但这些与西方文化并没有什么直接的冲突，更没有构成对基督教神学的直接威胁。因此，解析几何的概念及方法就作为一种新的数学方法被顺利的接受了。
作为一种横向比较，我们可以发现，中国古代数学和印度古代数学在其文化体系中都只具有技术层面的应用功能，而没有文化层面的解释功能。从而，在这两种文化传统中，数学在所出现的问题就永远只是技术层面上的问题，而不会对其文化解释系统产生什么影响（中国文化的解释形式是《周易》和阴阳五行构成的解释系统，在印度则是由宗教构成的解释系统），从而也就不会造成任何危机。例如，中国古代数学在有关无穷小的思考与哲学层面的思考毫不相干而不产生矛盾。如庄子和惠施论及无限小时就曾提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；而数学家刘徽在割圆术中用到无限小时则认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这样无限小就自然而然地出现并接受了，当然也就不会产生数学危机。所以，“第二次数学危机”并非一次纯粹数学意义上的危机，而是一种在数学层面发生的文化危机。
三、胜利凯旋：危机的解决
微积分的广泛应用及其在描述和预测物理现象方面所取得的辉煌成就，使人们（不仅是科学家）普遍接受了微积分。可是，“真正的数学家总是同时在很大程度上也是一个艺术家，一个建筑师或一个诗人。数学家们还在现实世界之外依靠智慧创造了一个理想世界，后者虽然可以从前者领悟到，但
数学家试图把它发展成为一个最完美的世界。”在数学家们的共同努力下，到１９世纪末，分析的严格化问题得到了解决。柯西建立了严格的极限理论，魏尔斯特拉斯引进了
语言，戴德金，康托尔等
又将实数理论严密化。分析有了严密的基础和完整的体系微积分学。无论是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严谨性上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！正如著名数学家庞加莱１９００年在巴黎举行的第二次国际数学家大会上指出的，“我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点。如果他们被蒙蔽了，我们是不是也像他们一样被蒙蔽了？……如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！”由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机宣告彻底解决了。在微积分创建２００余年后，数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
参考文献：
［１］Ｍ・克莱因著．张祖贵译．西方文化中的数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００４，９．
［２］罗素．西方哲学史［Ｍ］，上卷．北京：商务印书馆，１９９８．４３２．
［３］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１４５－１４６．
［４］武锡环，郭宗明．数学与数学教育［Ｍ］．成都：电子科技出版社，２００１．３７．
［５］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１６８．［６］韩雪涛．数学悖论与三次数学危机［Ｍ］．长沙：湖南科技出版社，２００６．１５３－１５４．
［７］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１８８．
［８］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１８９－１９０．
［９］郑毓信．数学教育哲学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．８９．［１０］张顺燕．数学的源与流［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．５２９－５３０．
文化视角下的第二次数学危机
聊城职业技术学院机电工程系王存荣聊城大学数学科学学院房元霞
王艳华
［摘要］数学是一种文化，数学危机事实上就是一种在数学层面发生的文化危机．由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次危机。
［关键词］数学文化数学危机第二次数学危机在众多的数学专著中，对于数学史上的三次数学危机的描述，都是基于对数学内部矛盾运动的分二、风波再起：第二次数学危机的产生析。其实，数学危机的产生需要有两个条件：一是数学内部矛盾，一是有社会文化传统的冲突。本文一般地说，数学史中所谓的危机就是指在数学从数学文化的视角，谈第二次数学危机。
的发展中，新的概念、新的方法的出现，与原来有关数学的解释、理解产生了矛盾，新的概念和方法一、数学是一种文化
已经无法用现存的数学体系给予解释和说明，因而产生了危机。在微积分的产生过程中，由于无穷小“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一概念及相关运算无法用已有的数学理论给予解释和种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞理解从而造成的危机称为第二次数学危机。这样对和驱使人类的思维以运用到最完善的程度，亦正是数学危机的界定凸显数学内部矛盾的作用。其实，这种精神，试图决定性的影响人类的物质、道德和数学危机的产生需要有两个条件：一是数学内部矛社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问盾，一是有社会文化传统的冲突。二者缺一不可。
题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确定已１．社会背景和文化传统。
经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”因此，公元前１４６年，希腊完全被罗马征服。公元一数学特别是现代数学就应被看成一个相对独立的文世纪，基督教在古罗马帝国的属地巴勒斯坦兴起。化系统。然而“数学是一棵富有生命力的树，它随公元３１３年，君士坦丁（Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｅ）皇帝颁布“米着文明的兴衰而荣枯。”也就是说社会的发展、文兰敕令”，准许基督教徒信仰自由，公元３２５年明令明的进步为数学的发展提供了重要的动力和调节因规定基督教为罗马帝国国教。此后，单纯希腊式的素，所以数学又应被看成是整个人类文明的一个子教育内容和组织形式，被教会作为“异端”加以禁系统。
止，凡不符合教会口味的世俗学校都在禁止查封之
之”、“为此”等。三是结束语。应用文的结束语追求模式的线性思维是必需的，但不等于完全抹煞一般带有期请、总概的意味，如：“为盼”、“当作者的个人创造性。相反，在写作的高级阶段，作否，请批示”、“此呈”、“特立此据”、“特此者也要有个性化的非线性思维。
函达”、“请依法处理”、“恭请光临”等。随着应用写作的工具电脑化，应用文文本将更趋于线性的模式化，因而掌握应用写作模式，从某参考文献：
［１］司马晓雯．行政公文问题感悟与语感．《写作》杂种程度上讲，就是学会了应用文写作的规矩，能达志，１９９９，（１０）．
到规范、快速的目的。但是，我们也要看到线性思［２］裴显生，王殿松．应用写作．高等教育出版社，１９９９．２７－２８．
维常常显得过于拘泥、死板、僵化，而墨守成规、［３］赵玉荣．现代应用文写作．经济日报出版社，２００５．２４．落于俗套。“比着葫芦画瓢”只是“入体”求“形［４］裴显生，王殿松．应用写作．高等教育出版社，１９９９．５７－５８．
似”的初级阶段，正如刘勰在《文心雕龙・体性》中说：“宜摹仿以定习”。在应用文写作中，虽然
学习探究
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列。与此同时，教会便自办学校。世俗学校渐趋消亡，教会学校取而代之。古罗马帝国的兴起正是古希腊文化和古希腊数学衰落的开始。基督教作为一种宗教，除去信仰之外，还有一个解释、表述以及论证自身的文化需求。在这个过程中，它必须吸收现有的高于自身的文化。因此，在基督教的有关著述中，古希腊的哲学就成为他们可用的工具。基督教最伟大的神学家之一奥古斯丁就是一位柏拉图主义者，他运用新旧约全书中与柏拉图对话相吻合的部分来发挥自己的宗教观点。这就是说，奥古斯丁从柏拉图那里找到了对基督教有利的形而上学的教义。为了发展基督教，教会建立了许多学校，虽然在这些学校里数学的内容很少，但就其范围而言基本上是当年古希腊的四大学科：算术、音乐、几何、天文。古希腊数学是一种思维的形式，是一种认识、表现和解释世界万物的理性方式．对于古希腊数学在这个层面上的理解和运用，基督教神学花费了不少的时间，最终才在基督教神学最杰出的人物托马斯・阿奎那手中得到了完成。阿奎那取代原来的奥古斯丁教义中的柏拉图主义而把基督教与亚里士多德的理论结合起来，他运用逻辑的方法把亚里士多德的哲学与基督教的理性精神融为一个新的基督教的哲学体系。阿奎那的著作《神学大全》为基督教神学给出了一个全面的全新解释，逻辑推演的三段论式和欧几里得《几何原本》式的结构体系使僵死、沉闷的基督教世界有了新的生命活力。理性在这里开始成为表述上帝行为的工具，神的学说要用数学的理性来论证。这一切使上帝走出了神秘的围幔，走向一个由数学理性建起的台前。这样，在文艺复兴之前，人们终于看见了上帝与数学的对话：上帝按数学的方式设计了世界，从而，对理性的追求、对数学的研究也就是在接近上帝。
欧洲文艺复兴时期从十四世纪开始，到十五、六世纪乃至十七世纪初期已达到高潮，随着古希腊文化在文艺复兴中的复活，古希腊数学也开始引起人们广泛的兴趣和注意。在文艺复兴时期的数学应当说有着双重的作用：一方面它作为数学规律的内在特征，随着人们对它的兴趣而发展自己的方法和理论；另一方面数学又通过自身来强化对世界的理解和解释形式。通过基督教神学于亚里士多德说的结合，人们相信上帝在构造世界时已经把数学规律放在其中了，人们的任务就是发现自然现象背后的数学规律，而每一条隐藏于现象之后的自然规律的发现又都可以被看成上帝存在及其智慧的明证。可以说，这种数学理性精神构成了文艺复兴时期全部
科学的特殊背景。
２．人类文明的瑰宝——微积分的诞生。１７世纪，随着社会生产力的发展，西方在天文、力学、光学等方面都获得一些新发现。比如，德国天文学家开普勒发现行星沿着椭圆轨道运行；意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动；……这些都成为有力的推动力，激发起人们对曲线研究的热情。而对于数学本身而言，代数这一学科已日趋成熟，使代数越来越成为解决问题的有效工具。１６３７年解析几何的创立直接促使了微积分的诞生。
１７世纪的微积分是围绕下列四种类型的问题的解决而逐步建立起来的：
（１）运动物体在任意时刻的速度和加速度，导致了“瞬时变化率”的研究；
（２）确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向（轨迹的切线方向），以及研究光线通过透视镜的通道而提出求曲线的切线问题；
（３）求炮弹的最大射程的发射角、行星离开太阳的最远和最近距离（即远日点和近日点），导致了函数极值的研究；
（４）寻求行星运动轨道的曲线的长度，行星矢径扫过的面积（曲线围成的面积）、曲线围成的体积、物体的重心与引力计算，导致的一般积分方法。
在历史的发展中，积分的概念比微分的概念产生的早。积分的概念最初是在求某些面积、体积和弧长的求和过程中产生的。以后，求解曲线的切线、函数的极大值、极小值问题等，产生了微积分方法。最后人们认识到积分和微分彼此作为逆运算而关联。
在微积分学的历史发展过程中，古希腊关于“无穷小”的论述及其所发展起来的穷竭法，可以看做积分的萌芽，而文艺复兴、产业革命时期在力学、天文学、物理学、光学等许多领域提出的具体问题则实际促成了微积分的形成；与此同时，数学自身的发展也为牛顿和莱布尼兹最后登上微积分的顶峰做好了准备：在积分学方面，卡瓦列利、费尔玛和沃利斯等人为求取曲边形面积、曲面体体积等问题提供了与近代积分方法相似的内容；在微分学方面，费尔玛、巴罗等人已经从求曲线的切线、求函数的最大值中，提供了有关变化率计算的数学方法。牛顿和莱布尼茨都是微积分思想的集大成者。莱布尼茨和牛顿同时创立了微积分，且与牛顿形成了英吉利海峡两岸双星辉映的灿烂的数学文化。恩
格斯指出“在一切理论成就中，未必再有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”。微积分的诞生是人类迈向茫茫宇宙的一大步。从此，人类有了与自然对话的主动权。３．天地间通用的数学——微积分的发展。
微积分诞生之后，数学迎来一次空前的繁荣时期、１８世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。他们把微积分应用于学命题是：“存在即是被感知”。他认为自然规律是上帝的意旨，是上帝把观念印入人心时所依据的最一般规则。因此，自然科学家的任务在于了解上帝所造的那些标记。１７３４年，贝克莱发表了一本针对微积分基础的书——《分析学家》。一方面，贝克莱批评微积分中一系列重要概念如无穷小增量、瞬时速度等是“隐晦的神秘物”，是“模糊的混乱”，“无理的荒缪”。另一方面，贝克莱指出微积分方法中的缺陷，其矛头主要指向牛顿的流数学习探究
天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。１８世纪的数学家们知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的，为什么会是这样呢？部分答案是，有许多结果为经验和观测证实，其中最突出的是天文学的预言，如哈雷彗星的再度出现。哈雷曾于１６８４年拜访过牛顿，按照牛顿万有引力定律，哈雷推算出彗星运行轨道不是传统理论中的抛物线，而是椭圆轨道，所以彗星应在一个周期后重新出现。１７５８年，整个欧洲的科学及天文爱好者，都将目光注视着广阔无垠的天空。因为按照已故英国天文学家哈雷（１６５６—１７４２）的预言，这一年将有一颗７６年前出现的彗星重新归来。到了这一年年末，这颗盼望已久的彗星终于姗姗而来！自此人们叫它为哈雷彗星。人们在现实中印证了牛顿万有引力定律这一理论，也使许多科学家把微积分称为：天地间通用的数学。另一个原因是，那时是数学家确信，上帝数学化地设计了世界，而他们正在发现和揭示这种设计。可以说，这种信仰支撑着他们的精神和勇气，而丰硕的科学成果则养育着他们的心智，成为他们的追求的精神食粮。
４．贝克莱悖论与第二次数学危机。
在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的了谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。并且这场源自数学内部的关于理论和方法的争论最终演变成了基督教哲学对微积分无穷小运算的一个批判运动。高扬这种批判大旗的代表人物就是著名的神学家贝克莱（Ｂｅｒｋｅｌｅｙ１６８５—１７５３）。他对微积分强有力的批评，在数学界产生了最令人震撼的撞击。贝克莱，１８世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他的最著名的哲
法。
牛顿在１７０４年发表了“曲线的求积”，其中他确定了的导数（他当时成为流数）。我们把牛顿的方法意译如下：
当
增长为
时，幂成为
，或。
它们的增量分别为和
，这两
个增量与的增量的比分别为１与
。然后让增量消失，则它们的最后比将为１与。
从而
对的变化率为。
贝克莱指责说，这个推理是不公正和不明确
的。因为在这个推理中，先取一个非零的增量并用它进行计算，然而在最终却由使“消失”，即令增量为零得出结果。贝克莱指出这里关于增量的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。这本书的末尾是６７个“疑问”。当贝克莱以辛辣的嘲讽语言攻击微积分理论时，由于微积分理论在实践与数学中取得的成功，已使大部分数学家相信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此，贝克莱所阐述的问题被认为是悖论，并称之为贝克莱悖论。由于这一悖论对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，由此掀起：第二次数学危机。同时，贝克莱认为微积分作为一种数学理论违背了几何学的数学原理，而后者恰恰是基督教哲学展开自己表述世界的一种理性依据，所以微积分存在的问题实质上就是基督教哲学中存在的问题。微积分概念不清，缺乏严密的逻辑基础，事实上就是基督教哲学中数学概念的不清楚以及数学表达世界秩序的非逻辑性。作为马克思主义的创始人，马克思本人也曾直接参与有关微积分问题的争论。作为红衣主教的贝克莱和作为马克思主义学说创始人的马克思都积极的投入到了相关的争论之中，这一现象显然表明，西方文化中数学作为一种理性、作为一种宗教或哲学解释世界的形
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式有着何等的重要性！特殊地，当数学与传统文化出现矛盾时又会产生多么大的震动。
对于西方数学与文化的这种特殊关系，著名的数学家、哲学家罗素指出：“与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达哥拉斯之后，尤其是柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法支配着的。数与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表着希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征。”
我们可以说，仅有数学内部概念与方法的矛盾是形成不了危机的。例如，就西方文化而言，笛卡尔创立的解析几何无疑也可以说是一种新概念、新方法，但这些与西方文化并没有什么直接的冲突，更没有构成对基督教神学的直接威胁。因此，解析几何的概念及方法就作为一种新的数学方法被顺利的接受了。
作为一种横向比较，我们可以发现，中国古代数学和印度古代数学在其文化体系中都只具有技术层面的应用功能，而没有文化层面的解释功能。从而，在这两种文化传统中，数学在所出现的问题就永远只是技术层面上的问题，而不会对其文化解释系统产生什么影响（中国文化的解释形式是《周易》和阴阳五行构成的解释系统，在印度则是由宗教构成的解释系统），从而也就不会造成任何危机。例如，中国古代数学在有关无穷小的思考与哲学层面的思考毫不相干而不产生矛盾。如庄子和惠施论及无限小时就曾提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；而数学家刘徽在割圆术中用到无限小时则认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这样无限小就自然而然地出现并接受了，当然也就不会产生数学危机。所以，“第二次数学危机”并非一次纯粹数学意义上的危机，而是一种在数学层面发生的文化危机。
三、胜利凯旋：危机的解决
微积分的广泛应用及其在描述和预测物理现象方面所取得的辉煌成就，使人们（不仅是科学家）普遍接受了微积分。可是，“真正的数学家总是同时在很大程度上也是一个艺术家，一个建筑师或一个诗人。数学家们还在现实世界之外依靠智慧创造了一个理想世界，后者虽然可以从前者领悟到，但
数学家试图把它发展成为一个最完美的世界。”在数学家们的共同努力下，到１９世纪末，分析的严格化问题得到了解决。柯西建立了严格的极限理论，魏尔斯特拉斯引进了
语言，戴德金，康托尔等
又将实数理论严密化。分析有了严密的基础和完整的体系微积分学。无论是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严谨性上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！正如著名数学家庞加莱１９００年在巴黎举行的第二次国际数学家大会上指出的，“我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点。如果他们被蒙蔽了，我们是不是也像他们一样被蒙蔽了？……如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！”由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机宣告彻底解决了。在微积分创建２００余年后，数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
参考文献：
［１］Ｍ・克莱因著．张祖贵译．西方文化中的数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００４，９．
［２］罗素．西方哲学史［Ｍ］，上卷．北京：商务印书馆，１９９８．４３２．
［３］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１４５－１４６．
［４］武锡环，郭宗明．数学与数学教育［Ｍ］．成都：电子科技出版社，２００１．３７．
［５］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１６８．［６］韩雪涛．数学悖论与三次数学危机［Ｍ］．长沙：湖南科技出版社，２００６．１５３－１５４．
［７］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１８８．
［８］郑毓信．数学文化学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．１８９－１９０．
［９］郑毓信．数学教育哲学［Ｍ］．成都：四川教育出版社，２００１．８９．［１０］张顺燕．数学的源与流［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．５２９－５３０．