集合与集合的表示方法(第2课时)教案

集合与集合的表示方法 (第四课时)

●课 题

§1.1.2 集合(二)

●教学目标

(一)教学知识点

1.了解有限集、无限集概念.

2.掌握表示集合方法.

3.了解空集的概念及其特殊性

.

(二)能力训练要求

通过本节教学，培养学生逻辑思维能力.

(三)德育渗透目标

渗透抽象、概括的思想.

●教学重点

集合的表示方法，空集.

●教学难点

正确表示一些简单集合.

●教学方法

自学辅导法

在学生自学基础上，进行概括、总结.

●教具准备

幻灯片三张

第一张：(记作§1.1.2 A)

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明.

集合与元素关系是什么?如何表示?

Ⅱ.讲授新课

1.集合的表示方法

通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：

（1）列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.

（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

［师］由方程

x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为{－1，1}，不等式x－3＞2的解集可以表示为{x｜x－3＞2}.

下面请同学们思考：

［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3.故用列举法表示为{1，3}

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12.故用列举法表示为{6，9，12}

(3)方程x2－9＝0的解为－3，3.故用列举法表示为{－3，3}

(4)15以内的质数 2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}

(5)满足6∈Z的x有：3－x＝±1，±2，±3，±6，解之x＝2，4，1，5，0，6，3x

－3，9.故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}

［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么?

［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.

［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开并放在大括号内.

除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合.

(6)到定点距离等于定长的点

让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果

{（x，y）|（x－a）2＋（y－b）2＝r2}

(7)方程组3x2y23x2y2的解集为(x,y)| 2x3y272x3y27

(8)由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合

{x｜x2－x－2＞0}

下面给出问题，经学生考虑后回答：

幻灯片：(§1.1.2 B)

［生］(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表示为{（x，y）｜x2＝y}

(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为{x｜x2＝y}.

(3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为 {y｜x2＝y}.

(4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成{x∈R||x|＞6}.

(5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为{（x，y）｜xy＞0}.

［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么?

［生］(经讨论后得出结论)

解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素.

［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质.

［师］再看两例

1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；

2.{x}，{x，y}，{（x，y）}的含义是否相同.

［生］2.{x}

表示单元素集合；

{x，y}表示两个元素集合；

{（x，y）}表示含一点集合.

而对于1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为{1，4，9，25，„，1002}.

2.集合的分类

师指出：

（1）有限集——含有有限个元素的集合.

（2）无限集——含有无限个元素的集合.

那么投影(§1.1.2 A)中的集合和（§1.1.2 B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.

［生］幻灯片（§1.1.2 A）中的五个集合都是有限集.

幻灯片（§1.1.2 B）中的五个集合都是无限集.

3.空集

［师］表示空集，既不含任何元素的集合.

例如：{x｜x2＋2＝0}，{x｜x2＋1＜0}

请学生相互举例、验证，师补充说明：

［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：

画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：

表示任意一个集合A

表示{3，9，27}

表示{4，6，10}

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. ．．．．．．．．．．．．．．．．．

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P6练习1、2

1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示

{x∈N｜x＞10}；

它是一个无限集.

(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：

{2，3，6}；

它是一个有限集.

(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：

{－2，2}；

它是一个有限集.

(4)满足题意的集合可用列举法表示如下：

{2，3，5，7}；

它是一个有限集.

2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：

{x｜x是4与6的公倍数}；

它是一个无限集.

(2)该集合可用描述法表示如下：

{x｜x＝2n，n∈N*}；

它是一个无限集.

(3)该集合可用描述法表示如下：

{x｜x2－2＝0}；

它是一个有限集.

(4)不等式4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：

{x｜x＜11}； 4

它是一个无限集.

问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法.

（二）补充练习

［师］问题解决的关键主要是判断进而确定集合中元素是什么?

上述两例的元素.例1为方程组的解，例2为方程的解.

1.解：因xy2的解集为方程组的解.

xy5

73，y＝－ 22

73则用列举法表示为{（，－）} 22解该方程组x＝

用描述法表示为(x,y)|

xy2 xy5

x3x4 y3y2x5 y1x6 y02.解：因x＋y＝6，x，y∈N的解有： x0 y6x1 y5x2 y4

故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}

Ⅳ.课时小结

1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.

2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究. Ⅴ.课后作业

（一）课本P7习题1.1 2，3.

2.解：(1)因组成中国国旗图案的颜色为红色，黄色.故可用列举法表示该集合{红，黄}，有限集.

(2)因世界上最高的山峰为珠穆朗玛峰.故该集合用列举法表示{珠穆朗玛峰}，它是有限集. (3)由题构成的自然数为一位数、二位数、三位数.即为{1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321}，它是有限集.

(4)满足题意的平面内点有无数个.用描述法表示{P｜P0＝l}（0是定点，l是定长)，它是无限集.

3.解：(1)因题是用列举法表示.其描述法就是{x｜（x－1）（x－5）＝0}

(2)因{x｜x2＋x－1＝0}是用描述法表示.故其列举法为{11,}. 22

(3)因{2，4，6，8}是用列举法表示.则其描述法就是{x｜x是大于1

且小于9的偶数}.

(4)因{x∈N｜3＜x＜7}是用描述法表示.则其列举法为{4，5，6}.

（二）预习内容：1.预习课本P7～P8 子集，子集的概念及空集的性质.

2.预习提纲：

(1)两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？

(2)一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么?

(3)空集有哪些性质?

●板书设计

集合与集合的表示方法 (第四课时)

●课 题

§1.1.2 集合(二)

●教学目标

(一)教学知识点

1.了解有限集、无限集概念.

2.掌握表示集合方法.

3.了解空集的概念及其特殊性

.

(二)能力训练要求

通过本节教学，培养学生逻辑思维能力.

(三)德育渗透目标

渗透抽象、概括的思想.

●教学重点

集合的表示方法，空集.

●教学难点

正确表示一些简单集合.

●教学方法

自学辅导法

在学生自学基础上，进行概括、总结.

●教具准备

幻灯片三张

第一张：(记作§1.1.2 A)

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明.

集合与元素关系是什么?如何表示?

Ⅱ.讲授新课

1.集合的表示方法

通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：

（1）列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.

（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

［师］由方程

x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为{－1，1}，不等式x－3＞2的解集可以表示为{x｜x－3＞2}.

下面请同学们思考：

［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3.故用列举法表示为{1，3}

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12.故用列举法表示为{6，9，12}

(3)方程x2－9＝0的解为－3，3.故用列举法表示为{－3，3}

(4)15以内的质数 2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}

(5)满足6∈Z的x有：3－x＝±1，±2，±3，±6，解之x＝2，4，1，5，0，6，3x

－3，9.故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}

［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么?

［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.

［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开并放在大括号内.

除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合.

(6)到定点距离等于定长的点

让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果

{（x，y）|（x－a）2＋（y－b）2＝r2}

(7)方程组3x2y23x2y2的解集为(x,y)| 2x3y272x3y27

(8)由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合

{x｜x2－x－2＞0}

下面给出问题，经学生考虑后回答：

幻灯片：(§1.1.2 B)

［生］(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表示为{（x，y）｜x2＝y}

(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为{x｜x2＝y}.

(3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为 {y｜x2＝y}.

(4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成{x∈R||x|＞6}.

(5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为{（x，y）｜xy＞0}.

［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么?

［生］(经讨论后得出结论)

解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素.

［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质.

［师］再看两例

1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；

2.{x}，{x，y}，{（x，y）}的含义是否相同.

［生］2.{x}

表示单元素集合；

{x，y}表示两个元素集合；

{（x，y）}表示含一点集合.

而对于1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为{1，4，9，25，„，1002}.

2.集合的分类

师指出：

（1）有限集——含有有限个元素的集合.

（2）无限集——含有无限个元素的集合.

那么投影(§1.1.2 A)中的集合和（§1.1.2 B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.

［生］幻灯片（§1.1.2 A）中的五个集合都是有限集.

幻灯片（§1.1.2 B）中的五个集合都是无限集.

3.空集

［师］表示空集，既不含任何元素的集合.

例如：{x｜x2＋2＝0}，{x｜x2＋1＜0}

请学生相互举例、验证，师补充说明：

［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：

画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：

表示任意一个集合A

表示{3，9，27}

表示{4，6，10}

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. ．．．．．．．．．．．．．．．．．

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P6练习1、2

1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示

{x∈N｜x＞10}；

它是一个无限集.

(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：

{2，3，6}；

它是一个有限集.

(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：

{－2，2}；

它是一个有限集.

(4)满足题意的集合可用列举法表示如下：

{2，3，5，7}；

它是一个有限集.

2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：

{x｜x是4与6的公倍数}；

它是一个无限集.

(2)该集合可用描述法表示如下：

{x｜x＝2n，n∈N*}；

它是一个无限集.

(3)该集合可用描述法表示如下：

{x｜x2－2＝0}；

它是一个有限集.

(4)不等式4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：

{x｜x＜11}； 4

它是一个无限集.

问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法.

（二）补充练习

［师］问题解决的关键主要是判断进而确定集合中元素是什么?

上述两例的元素.例1为方程组的解，例2为方程的解.

1.解：因xy2的解集为方程组的解.

xy5

73，y＝－ 22

73则用列举法表示为{（，－）} 22解该方程组x＝

用描述法表示为(x,y)|

xy2 xy5

x3x4 y3y2x5 y1x6 y02.解：因x＋y＝6，x，y∈N的解有： x0 y6x1 y5x2 y4

故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}

Ⅳ.课时小结

1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.

2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究. Ⅴ.课后作业

（一）课本P7习题1.1 2，3.

2.解：(1)因组成中国国旗图案的颜色为红色，黄色.故可用列举法表示该集合{红，黄}，有限集.

(2)因世界上最高的山峰为珠穆朗玛峰.故该集合用列举法表示{珠穆朗玛峰}，它是有限集. (3)由题构成的自然数为一位数、二位数、三位数.即为{1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321}，它是有限集.

(4)满足题意的平面内点有无数个.用描述法表示{P｜P0＝l}（0是定点，l是定长)，它是无限集.

3.解：(1)因题是用列举法表示.其描述法就是{x｜（x－1）（x－5）＝0}

(2)因{x｜x2＋x－1＝0}是用描述法表示.故其列举法为{11,}. 22

(3)因{2，4，6，8}是用列举法表示.则其描述法就是{x｜x是大于1

且小于9的偶数}.

(4)因{x∈N｜3＜x＜7}是用描述法表示.则其列举法为{4，5，6}.

（二）预习内容：1.预习课本P7～P8 子集，子集的概念及空集的性质.

2.预习提纲：

(1)两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？

(2)一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么?

(3)空集有哪些性质?

●板书设计