梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程
——蒋小敏2012-05-07
在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。
本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。先定义一下本文的一些符号表达： 矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 A 标量：小写斜体字母u
单位矢量：小写上加倒勾e x e x
一、矢量
（1）矢量的定义
若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，
ˆA x +y ˆA y +z ˆA z A =
x
（2）矢量的模
22A =A x +A y +A z 2
（3）矢量的乘积
标量积，Dot production点乘，这是一个标量
A ⋅B =B cos a AB
A ⋅B =A x B x +A y B y +A z B z A ⋅A =A +A +A =A
2x
2y
2z
2
矢量积，Cross production叉乘，这是一个矢量
ˆA B sin a AB A ⨯B =n
其中n ˆ 为A , B所在平面的右手法向。
ˆx ˆy ˆz
A ⨯B =A x A y A z B x B y B z
二、通量
（1）通量的定义
若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则
为矢量A 沿有向曲面S 的通量。
（2）通量的物理含义
表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。
若ψ>0穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；
若ψ
若ψ=0，闭合面无源。
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
三、散度
（1）散度的定义
当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度，以div A 表示，即
ψ=
A ⋅d S div A =lim =∇∙A
S
ΔV →0
ΔV
（2）物理意义
矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 矢量场的散度是一个标量；
矢量场的散度是空间坐标的函数。 （3）散度的多种表达形式
直角坐标系中的散度表示
div A =
∂A x ∂A y ∂A z
++
∂x ∂y ∂z
哈密顿算符∇表示
div A =∇∙A
其中∇，
∇=
∂∂∂ˆ+ˆ+z ˆ x y ∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算符∇2，
∂2∂2∂2∇=2+2+2
∂x ∂y ∂z
四、旋度
（1）旋度的定义
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
A ⋅dl
l lim ∆S →0 ∆S
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l 的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。为此，引入旋度(curl或rotation) 。
ˆy ˆˆx z
[A ⋅dl ]max ∂∂∂l
ˆ lim Curl A = n = ∇⨯A =∆S →0
∂x ∂y ∂z ∆ S
A x A y A z
（2）物理意义
⎰
⎰
矢量A 的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A 在给定点处的最大环量 面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢 量的方向 。
它描述A 在该点处的旋涡源强度。
若某区域中各点curl A=0, 称A 为无旋场或保守场。
一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系。 五、梯度
（1）方向导数
∂φ∂φ∂x ∂φ∂y ∂φ∂z ∂φ∂φ∂φ=++=cos α+cos β+cos γ∂l ∂x ∂l ∂y ∂l ∂z ∂l ∂x ∂y ∂z
梯度，
ˆgrad φ=∇φ=x
梯度和方向导数的关系，
∂φ∂φ∂φ
ˆˆ+y +z ∂x ∂y ∂z
∂φ
=∇φ⋅l ˆ=|∇φ|cos(∇φ, l ˆ) ∂l
（2）物理意义
标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数
标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方 向，其幅度表示标量场的最大增加率 六、传热学PDE 方程
(1)含内热源的各向同性的导热微分方程
∂t ρc =∇∙(-λ∇t ) +q V ∂τ
(2)流体的连续性方程
D ρ
+div (ρV ) =0 D τ
此式由质量守恒得到。其中
D ∂∂∂∂=+u +v +w D τ∂τ∂x ∂y ∂z
DV 2
ρ=F -∇p +η∇V D τ
（3）纳维斯托克斯方程——三维、常物性、不可压缩流体
此式由动量守恒得到。
梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程
——蒋小敏2012-05-07
在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。
本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。先定义一下本文的一些符号表达： 矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 A 标量：小写斜体字母u
单位矢量：小写上加倒勾e x e x
一、矢量
（1）矢量的定义
若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，
ˆA x +y ˆA y +z ˆA z A =
x
（2）矢量的模
22A =A x +A y +A z 2
（3）矢量的乘积
标量积，Dot production点乘，这是一个标量
A ⋅B =B cos a AB
A ⋅B =A x B x +A y B y +A z B z A ⋅A =A +A +A =A
2x
2y
2z
2
矢量积，Cross production叉乘，这是一个矢量
ˆA B sin a AB A ⨯B =n
其中n ˆ 为A , B所在平面的右手法向。
ˆx ˆy ˆz
A ⨯B =A x A y A z B x B y B z
二、通量
（1）通量的定义
若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则
为矢量A 沿有向曲面S 的通量。
（2）通量的物理含义
表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。
若ψ>0穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；
若ψ
若ψ=0，闭合面无源。
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
三、散度
（1）散度的定义
当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度，以div A 表示，即
ψ=
A ⋅d S div A =lim =∇∙A
S
ΔV →0
ΔV
（2）物理意义
矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 矢量场的散度是一个标量；
矢量场的散度是空间坐标的函数。 （3）散度的多种表达形式
直角坐标系中的散度表示
div A =
∂A x ∂A y ∂A z
++
∂x ∂y ∂z
哈密顿算符∇表示
div A =∇∙A
其中∇，
∇=
∂∂∂ˆ+ˆ+z ˆ x y ∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算符∇2，
∂2∂2∂2∇=2+2+2
∂x ∂y ∂z
四、旋度
（1）旋度的定义
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
A ⋅dl
l lim ∆S →0 ∆S
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l 的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。为此，引入旋度(curl或rotation) 。
ˆy ˆˆx z
[A ⋅dl ]max ∂∂∂l
ˆ lim Curl A = n = ∇⨯A =∆S →0
∂x ∂y ∂z ∆ S
A x A y A z
（2）物理意义
⎰
⎰
矢量A 的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A 在给定点处的最大环量 面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢 量的方向 。
它描述A 在该点处的旋涡源强度。
若某区域中各点curl A=0, 称A 为无旋场或保守场。
一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系。 五、梯度
（1）方向导数
∂φ∂φ∂x ∂φ∂y ∂φ∂z ∂φ∂φ∂φ=++=cos α+cos β+cos γ∂l ∂x ∂l ∂y ∂l ∂z ∂l ∂x ∂y ∂z
梯度，
ˆgrad φ=∇φ=x
梯度和方向导数的关系，
∂φ∂φ∂φ
ˆˆ+y +z ∂x ∂y ∂z
∂φ
=∇φ⋅l ˆ=|∇φ|cos(∇φ, l ˆ) ∂l
（2）物理意义
标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数
标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方 向，其幅度表示标量场的最大增加率 六、传热学PDE 方程
(1)含内热源的各向同性的导热微分方程
∂t ρc =∇∙(-λ∇t ) +q V ∂τ
(2)流体的连续性方程
D ρ
+div (ρV ) =0 D τ
此式由质量守恒得到。其中
D ∂∂∂∂=+u +v +w D τ∂τ∂x ∂y ∂z
DV 2
ρ=F -∇p +η∇V D τ
（3）纳维斯托克斯方程——三维、常物性、不可压缩流体
此式由动量守恒得到。