二次根式知识点,典型例题,练习题

第六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习 1、二次根式的概念：

1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，√ā表示a的算术平方根，当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）

概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。 题型一：判断二次根式

1

（1）

、x>0）

、

x

、

、

1

x≥0，y•≥0）． x

y

（2）在式

子

x0

1y

x2x

3,

x1y,

中，二次根式有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）

A.

B.

C.

D.

2、二次根式有意义的条件

题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）x4 （2）

11

8a （3）m24 （4）

x3

2

； 3、若

x2

3x

x23x

成立，则x满足_______________。

典型练习题：

1、当x是多少时，

1

在实数范围内有意义？ x1

2

+x在实数范围内有意义？ 3、当__________

2、当x

4

x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数

x

5、已知

，求的值．

y

6

=_______．

1

7

有意义，则m的取值范围是 。

m1 8

9、

2x，则x的取值范围是。

成立的条件是。



10、已知x33x2＝－xx3，则（ ）

（A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0 11、若x＜y＜0，则x22xyy2＋x22xyy2＝（ ） （A）2x （B）2y （C）－2x （D）－2y

11

12、若0＜x＜1，则(x)24－(x)24等（ ）

xx

22

（A） （B）－ （C）－2x （D）2x

xx

a3

(a＜0)得（ ） 13、化简a

（A）a （B）－a （C）－a （D）a

3、最简二次根式的化简

最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？ 题型一：判断下列是不是最简二次根式：

1．x、

1

、9x2、a2b2ab2b3、 3

题型二：不同类型二次根式的化简成最简二次根式

一、被开方数是整数或整数的积 例1 化简：（1）；（2）75.

解：（1）原式=812=22=922=92；

（2）原式=2253=42526=42522=20.

温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简.

二、被开方数是数的和差

31

例2 化简：()2()2.

22

解：原式=

191

==.

4244

温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简.

三、被开方数是含字母的整式

例3 化简：（1）x4y3； （2）a2b2ab2b3.

解：（1）原式=32(x2)2y22y=3x2y2y； （2）原式=b(a22abb2)=(ab)2=(ab)b.

温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为(am)2或

(am)2a的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，

但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号. 四、被开方数是分式或分式的和差

3x3

例4 化简：（1）（2）2

8ab

yx xy

x26bx3x32bx

解：（1）原式===bx；

2228a2b2b2ab4ab(x2y2)xy1x2y222

xy(xy). （2）原式===22

xyxyxy

温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的

算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简. 典型练习题： 1

A

．

（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． y>0） B

y>0） C

y>0） D．以上都不对

2

．（x≥0） 3、

化简二次根式号后的结果是_________．

_________． abc2d2

5、已知a、b、c为正数，d为负数，化简＝______．

22

abcd

4、已知xy0

，化简二次根式4、同类的二次根式

1

、以下二次根式：①

是同类二次根

式的是（ ）．

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

2

是同

类二次根式的有______

2a1

a3b、 3、ab、是同类二次根式．…（ ）

xb3

4、

若最简根式3a

求a、b的值．

n是同类二次根式，求m、n的值． 5

与

5、二次根式的非负性

1

=0，求a

2004

+b2004的值．

2.

，求xy的值．

3.

y24y40，求xy的值。

4.若x1＋y3＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．

5. 已知a,b



b10，求a2005b2006的值。

6、

aa≥0 

的应用 a2

aa

a＜0 

1． a≥0是（ ）．

A． B C D．2．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式（1-a）=1；

乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．若│1995-a│=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值） 4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│

）． A． B． C． D．

5．化简6．把（a-1）

中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． 7、求值问题

1.当求x2-xy+y2的值

2．已知，，则a2b-ab2=_________． 3.已知-1,求a3+2a2-a2

4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x）的值．

3

5-（结果精确到0.01）

6．先化简，再求值．

（

-（

3，其中x=，y=27．

2

7．当

x=的值．（结果用最简二次根

式表示） (注：设分子分母分别为a、b，求出a+b与a-b)

变形题7：

：

8. 已知x23x1

的值。

x3xy2232

9、已知x＝，y＝，求4的值．（先化简xy，再3223

xy2xyxy232

化简分式，求值）

10、当x＝1－2时，求

x

xaxxa

2

2

2

2

＋

2xx2a2xxxa

2

2

2

＋

1xa

2

2

的值．

11、若x，y为实数，且y＝4x＋4x1＋的值．

1

．求2xy2－yxxy

2yx

8、比较大小的问题

1、设a=32，b=2，c=2，则a、b、c的大小关系是。 2、35与2比较大小。

3、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 4、

9. 

和 ）

A. 



 C. 不能确定

9、二次根式的整数部分、小数部分的问题

1、 x，y分别为8－6的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________． 2、已知ab分别是6-的整数部分和小数部分,那么2a-b的值为多少？ 3、9.已知1的整数部分为a，小数部分为b，试求ab1的值。



10、二次根式的化简计算

1、当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为（ ）

（A）(a)2 （B）－(a)2 （C）(ab)2 （D）(ab)2

2、（2）（52）； 3、

54－

24

－；

37



5



64、（a2

nab

－mm

mn＋

n

mmn）÷a2b2； nm

5、（a＋

bababab

）÷（＋－）（a≠b）．

abababbaba

6

·（

m>0，n>0）

7、

-3（a>0）

8、

9

2

2

ab10

11

ab

第六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习 1、二次根式的概念：

1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，√ā表示a的算术平方根，当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）

概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。 题型一：判断二次根式

1

（1）

、x>0）

、

x

、

、

1

x≥0，y•≥0）． x

y

（2）在式

子

x0

1y

x2x

3,

x1y,

中，二次根式有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）

A.

B.

C.

D.

2、二次根式有意义的条件

题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）x4 （2）

11

8a （3）m24 （4）

x3

2

； 3、若

x2

3x

x23x

成立，则x满足_______________。

典型练习题：

1、当x是多少时，

1

在实数范围内有意义？ x1

2

+x在实数范围内有意义？ 3、当__________

2、当x

4

x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数

x

5、已知

，求的值．

y

6

=_______．

1

7

有意义，则m的取值范围是 。

m1 8

9、

2x，则x的取值范围是。

成立的条件是。



10、已知x33x2＝－xx3，则（ ）

（A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0 11、若x＜y＜0，则x22xyy2＋x22xyy2＝（ ） （A）2x （B）2y （C）－2x （D）－2y

11

12、若0＜x＜1，则(x)24－(x)24等（ ）

xx

22

（A） （B）－ （C）－2x （D）2x

xx

a3

(a＜0)得（ ） 13、化简a

（A）a （B）－a （C）－a （D）a

3、最简二次根式的化简

最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？ 题型一：判断下列是不是最简二次根式：

1．x、

1

、9x2、a2b2ab2b3、 3

题型二：不同类型二次根式的化简成最简二次根式

一、被开方数是整数或整数的积 例1 化简：（1）；（2）75.

解：（1）原式=812=22=922=92；

（2）原式=2253=42526=42522=20.

温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简.

二、被开方数是数的和差

31

例2 化简：()2()2.

22

解：原式=

191

==.

4244

温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简.

三、被开方数是含字母的整式

例3 化简：（1）x4y3； （2）a2b2ab2b3.

解：（1）原式=32(x2)2y22y=3x2y2y； （2）原式=b(a22abb2)=(ab)2=(ab)b.

温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为(am)2或

(am)2a的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，

但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号. 四、被开方数是分式或分式的和差

3x3

例4 化简：（1）（2）2

8ab

yx xy

x26bx3x32bx

解：（1）原式===bx；

2228a2b2b2ab4ab(x2y2)xy1x2y222

xy(xy). （2）原式===22

xyxyxy

温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的

算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简. 典型练习题： 1

A

．

（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． y>0） B

y>0） C

y>0） D．以上都不对

2

．（x≥0） 3、

化简二次根式号后的结果是_________．

_________． abc2d2

5、已知a、b、c为正数，d为负数，化简＝______．

22

abcd

4、已知xy0

，化简二次根式4、同类的二次根式

1

、以下二次根式：①

是同类二次根

式的是（ ）．

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

2

是同

类二次根式的有______

2a1

a3b、 3、ab、是同类二次根式．…（ ）

xb3

4、

若最简根式3a

求a、b的值．

n是同类二次根式，求m、n的值． 5

与

5、二次根式的非负性

1

=0，求a

2004

+b2004的值．

2.

，求xy的值．

3.

y24y40，求xy的值。

4.若x1＋y3＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．

5. 已知a,b



b10，求a2005b2006的值。

6、

aa≥0 

的应用 a2

aa

a＜0 

1． a≥0是（ ）．

A． B C D．2．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式（1-a）=1；

乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．若│1995-a│=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值） 4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│

）． A． B． C． D．

5．化简6．把（a-1）

中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． 7、求值问题

1.当求x2-xy+y2的值

2．已知，，则a2b-ab2=_________． 3.已知-1,求a3+2a2-a2

4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x）的值．

3

5-（结果精确到0.01）

6．先化简，再求值．

（

-（

3，其中x=，y=27．

2

7．当

x=的值．（结果用最简二次根

式表示） (注：设分子分母分别为a、b，求出a+b与a-b)

变形题7：

：

8. 已知x23x1

的值。

x3xy2232

9、已知x＝，y＝，求4的值．（先化简xy，再3223

xy2xyxy232

化简分式，求值）

10、当x＝1－2时，求

x

xaxxa

2

2

2

2

＋

2xx2a2xxxa

2

2

2

＋

1xa

2

2

的值．

11、若x，y为实数，且y＝4x＋4x1＋的值．

1

．求2xy2－yxxy

2yx

8、比较大小的问题

1、设a=32，b=2，c=2，则a、b、c的大小关系是。 2、35与2比较大小。

3、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 4、

9. 

和 ）

A. 



 C. 不能确定

9、二次根式的整数部分、小数部分的问题

1、 x，y分别为8－6的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________． 2、已知ab分别是6-的整数部分和小数部分,那么2a-b的值为多少？ 3、9.已知1的整数部分为a，小数部分为b，试求ab1的值。



10、二次根式的化简计算

1、当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为（ ）

（A）(a)2 （B）－(a)2 （C）(ab)2 （D）(ab)2

2、（2）（52）； 3、

54－

24

－；

37



5



64、（a2

nab

－mm

mn＋

n

mmn）÷a2b2； nm

5、（a＋

bababab

）÷（＋－）（a≠b）．

abababbaba

6

·（

m>0，n>0）

7、

-3（a>0）

8、

9

2

2

ab10

11

ab