一 阶 和 二 阶 全 微 分 形 式 在 求偏 导 数 和 微 分 方 程变 换 中 的 应 用
西北工业大学
在 《 等 数 学 》 课 程 的 学 习过 程 中 高 基本 知识 困难 并 不大
,
,
王
红
:
同 学 们都 有 这 样 的 体会
,
通常 学 习 和掌 握课本 上的
,
但 要 灵 活 运 用 所 学 的 知 识 去 分 析 问 题 和 解 决 问 题 就 感 到 困难 剖析
,
甚至 不
,
知 如何 着手 下面
,
。
因此
,
对某 一 系 列 问 题 进 行 归类
,
对 某种 方 法
,
、
技 巧 着意 练 习
。
无疑对
于 强 化 所 学 的知 识
培养 思 维能 力
,
提 高 数学 学 习 的兴 趣
。
是 十分 有 益 的
介 绍 一 系 列 一 阶 和 二 阶 全 微分 形 式 在 求 偏 导 数 和 微分 方 程 变 换 中的 灵 活 应 用
x
,
从
中我 们可 以 明 显 体 会 到 其 所 蕴 涵 的数学 规 律 的 韵 味
若以
如果
x
,
和
y
为 自变 量的 函 数
,
z
一 f( x
d
z
“
,
,
y
)
可微
x
,
则 其 一 阶 全 微分 式 为
y x
:
:
=
v
毛d
+ 礼d
l ( )
~
x
y
作 为中 间变量
,
又 是 自变 量
的可 微函 数
y
u (
y
,
) v
,
y
一
y
u (
,
) v
,
则 复合 函
数
z
一 f
x u ( (
) v
,
y
u (
,
v
)
是可 微的
d
z
,
其 一 阶全 微 分 式 为
“
~
毛d
+ 毛d
。
一 z d
x
+ 礼d
因此
,
一 阶 微 分 形 式 (1 )
x
,
具 有 形 式 不 变性
,
当
x
y
为 自变 量 时
二 阶全 微分 式 为
俨z 十
z
:
“d
, 护 + 2毛 d x d y + 礼 d 少
,
2 ( )
而当
,
y
作 为 中间 变 量 时
r
z
,
,
二 阶 全 微分 式 为
二
:
一 毛 d扩 +
z Z
o dx
dy +
。
礼 d 少 十 毛 少 x + 礼少 y
,
3 ( )
x
由此 可 见
一。
,
二 阶微 分 形 式 一 般 不 具 有 不 变性
和
1
y
, 一
,
只有 在中间变 量
x
和
y
的二 阶微 分 少
。 。
~ 0
,
r
y
即
x
问题
是 自变 量 的 线 性 函 数 时 二 阶 微 分 式 才 具 有 形 式 不 变性 。 “ 求三 元 函 数 f 一 合 一 了 十 2少 + 3扩 的 所 有 二 阶 偏 导 数
6
解
这 个三 元 函 数共 有
」 一 去
个二 阶偏导 数
,
一个个 求 出来很麻 烦
。
。
我 们用二 阶微分 式可 将
i 一 ! m
,
f (尸 ) 一 f (P ) PO I P } 拱
, 沿
O
i lm
’ I 今 0
f (尸 ) 一 f (尸 )
。
尸
,
贝 偏导 数 ”
霎
与 函数
一
,
f (工
,
。
二
方 向的 方 向 导 数 就 不 等 同 同样
y o 方 向的 方 向 导 数 也 不 等 同 之 万 王 0 ) 例 设 ~ f ( y ) 一 丫 万不万 在 ( 0 点 沿 任何 方 向 x 」 玉 f (念 乃y ) 一 f (0 o ) 一 h
, ,
,
爵
x {
,
与函数
一 f(
二
,
,
, 沿
l ~
川 的 方向导数
,
一
,
p
叻 m
丫八 f (0
。
乙2
+
,
.
乙少
2
。
,
_
,
~
_
。
但俪导 效 伙 不
之
决 }
}
}( 0
0 )
一
l
山~
mo
f (众
r
0) 一
乙 “
,
顺便指出
,
方 向导数 的定义 不是 唯一
的
。
}△ 了l 贡 即 一 和 都不 存 在 一 竺 跳 厄丁 如 果 我 们 采 取 不 同 的 方 向导 数 的 定 义 自 然 便
0 )
一
一
,
有 与上 述 不 一 定 相 同 的 结 论
有 兴 趣 的读者
,
请 参 看 菲赫 钦 哥 尔 兹 著
《微 积 分 学 教 程 》 卷 一
,
第
飞 4 7
节
。
它 们 一 下 全 部求 出
。
d
一 ) 厂 一 ‘(“ ‘
一 音‘
・
一
d
・
d
Z
了一
寻‘
对
“ 一
一
d (
) 一
2
一 告‘
,
d
Z ・
由于
,
d
u
~ Zx d
x
+ 4y 勿 + 6 d z
z
,
少 u 一 2少 x +
+
二 ,
4矛 y
+ 6少z
代入 上 式 可 得
:
矛 f 一 (3 z x
+
二
“ 一
备一
,
。一
) 普d x
3。 一
,
(1
备一
。
一
2。一
扔办
二
,
(2 7 2
“ 一
备一
d 号
十 12x
y
d 备x
dy +
18x
二。 一
d 号x
d
二
+
36:
二
.
之。 一
d 号
yd
二
一人 d 护 +
几声少 十 人
。 ,
二
d 扩 十 2人
,
x d
dy +
2人 d x d
z
+ 2 几 d yd
:
比较 对 应 项 系 数 可 得 所 求 结 果
问题
2
已知 f ( x
y
,
) z 是 一 可 微 函数
,
并且 扩 一 v w
一
。
一
,
少一
+ w
’
u
w
,
扩 一u v
,
求证
二
一
蔡 x a
视
x
+
’
,
一
蔡 妙
x
、 、
+
’
之
一
咎 击
z
。
蔡+ 咎 玉 面
。
一
’
一
、
孚 决
刃
-
.
证明
记
F ~
:
通 常 的办 法 是 将 f 对 f
(x
,
y
及
的 偏 导 数用 f 对
这里
,
.
“
v
和 w 的偏 导 数 来 表 示
。 。
,
然后
将 所 得 结 果 代入 方 程 左 边 得 到 右 边 的 形 式
y
,
我 们 采 用 一 阶微分形 式 不 变 性证 明
,
) z
,
、
y
z
为 中 间 变量
y
v
u
、
v
、
w 为 自变 量
则 按一 阶 微分形 式 不
变性 可 得
当
d
“
dF ~
人d x + f d y
+ 人d
z
一 人d
u
+ 人d
:
y
+
几d w
y v
。
,
4 ( )
,
~ 一
“
,
d
y
~
v
,
,
dw ~ w
时
d
z
,
对 扩 一 w 两 边 微分可 得
~
z
。
z
x
d
x
~ wd
十 d w 一 Z w 一2尹 v
所
以 d
x
x
。
同理
办 一y
,
,
) 将 上 述 结 果 代 入 (4
可 得 所证 结 论
。
由上 述 两 问 题 可 见
面几 个 问题 问题 量
,
。
使 用 微分 形 式 可 以 使 计 算过 程 大 大 简 化
1
.
我 们 再 用 此 方 法 来 解决 下
3
设
u
一扩 +
犷
,
v
- —十一
1
w 一I n
z
一
(x +
y
)
,
以 w 为新 函 数
,
“
、
v
为 新 自变
变 换方 程
y
灸
石 一
,
x
砒
苏一
、y
一
工/ x
,
. z
y
解
y
,
u 记 w 一 v(
一x 日 寸
,
,
) v
.
其 中u
v
为 中 间变 量
y
,
而
为 自变 量
x
,
。
由上 述 方 程
,
当
dx ~
办-
d
z
一 毛d
y
x
+ 礼d
~
:
y
z
二
一
x
z
,
一 (y 一
)z
(5 )
,
另一方 面
x
,
n 对 I
z
一w +
x
+
两 边 微分 可 得
x —a Z ~ d w + d 十勿
1
所以
当
dx 一y
,
心-
时
,
d
z
~
z
( w + d
dx
+ d
,
y)
一
z
(y 一
x
+ w d
“
u
十w d
。
y
)
比较 由于
d
“
一 ZX d
工
+ Z y 、 一 Zx 一 Z x 一 。 y y
d
z
d
?
一多 委
x
+
,
于是
。
一
z f
y ( 一
) +
z
w d
。
(6 )
(5 )
与
(6 )
可得
:
W 一。
。
,
即
瓮
一 。 为 变 换后 的 方 程
。
读 者 不 妨 用 我 们 这 里 所 介 绍 的方 法 来 练 习 处 理 下 面 问 题
。
练习
1
以
u
,
v
为 新的 自变 量 变 换 下 列 方 程
:
、
弋 x
十
y ) 二二 一 又 x
区〔
玉
,
、
一
y ) ; 二
《y
击
一
U
其中
,
u
一,n
4
石 干7
、
1
,
v
一 a ro t g
.
子
.
。
问题 证明
另 一方 面
d
x
,
一
_
,
、 _
址 明 万 住 尸1 十 z 工 视
x
,
_ 挤2
_
艺
,
2 挤 护Z 不 又二十 百1 ~
。沈
_
U
侧y
,
〔
y
为 自 变量
“
v
z
y ’
一 仕
‘
日父 垦
。
~
。
一一
.
.
父快
u
一x
十
z
,
v
一y
十
z
一, 一~ r 格 状小 哭
,
.
_
、
。
为中 间 变量
由上 述方 程 在
dy +
z
d x 一为一 1
o
时可 得
:
矛z ~
Zz
。
x d
,
+
z 2 声x
二
”d
少 一
.
d
~
x
z
一d u
z
Z
+ 22
. ,
d
,
u
y d
y
+
z
,
v d
z
,
Z
+
z
d
d
Zu
+
~
z
,
d
Zv
(7 )
,
在
一 勿~ 1 时
,
,
d
“
~ d
+ d
一1+ d
z
d
:
一 1 十d
所以
“
v d
,
进一 步
矛“ + 尹z ~
。
,
d 与一 d 场 ~ 0
7 将这 些 结果 代入 ( ) 可 得
护2
二 ; :
.
_
魂‘
.
十
Z
挤z
二 一二二
仁月 ‘叹 ‘ 声
。
. 十 了J下 ~ U 们咤
-
护z
读 者 可 以 用 类似 的 方 法 练 习下 面 间 题
练习
2
用 新 自变量
。
一x g t
.
誉
‘
_
一
,
。
~
.
x
来 变 换方 程
挤z
x
护z
‘
; , 1
口 了 以
一
Z x s n y 不 二二 二 l
‘ 瓦走
q 夕
十
二n y l s ’
,
挤z
￡
下1 了
今
~
. U
,
当 无 论 怎 样 选择
处理
。
dx
,
勿 都 不 能 使 用 一 阶或 二 阶 全 微分 形 式 时 我 们可 以用 下 述 方法 进行
v
问题
5
已知
u
一x
,
~
x
+
y
,
w 一 x 十y +
z
及
挤z 于是 一 2
d 艺,
+
(l + 里 )
u 求w(
,
) v 满 足 的方 程
.
解
祝
二
,
y
为 自变 量
,
U d 任 d
,
v
为中 间 变 量
*
一 ;
.
.
由于
二
勿一
一
1
一 z
z
, ,
, 一 2 毛 十 礼,
由 二 0 办,
.
~
于是
,
原 方程 化 为
:
d
, z
}
心一 、
,
一
~ d
+
x
z d 圣
+
}由 一 。
,
一
z
,
0
’ 而 尹 “ + 了v 一 。 w 一 少 z
, ,
于 ) 8
在 是
dx 一1
,
办~
d
一1
时
.
,
d
“
一d
x
二 二
1
,
d
y
勿 一0
二d
“
,
dw ~ d
少z 一 l
;
。
一
d
,
= 少w ~ w 一U
沪
“d
矿 + Zw
d
二
+ w
.
d护 十 w d
.
。’
+ w 万护
“
,
在
d
x
~ 0
,
如一 1 时
,
“
~ 0
d
y
一1
d
,
,
d w ~ 1 十d
一 。
.
z
,
而 矛“+ r
”
y
一o
,
少w 一 r
z
,
于是
:
2
* 1
y d
一 ,
一 d w 一 w
,
8 将上 述 结 果 代 入 ( ) 可 得
:
挤 w
_
v
、
挤w
二, 二 改广
.
二, 一 二 咬 理 丸 .
~
。
气1
一 一) U
读 者可 以 用 类 似 的 方 法 练 习 下 面 问 题
练习
3
以
u
,
v
为 新的 自变 量 变 换 下 列 方 程
、
鑫
以
,
一
,
2
类
侧y
一 。
,
其中
。
一
二,
,
二
一 三
y
.
最后
,
我 们来 看 一 看 在 隐 函 数 的 情 形 下
6
,
如 何使用 微分 形式处 理 问题
二
。
问题
证明
F
x ( +
粤
少
y
+
x
粤)
孟
一 。所确 定的 函数
.
一之
x (
,
,
)
满足
:
一
泛 + 砒
矢
’
y
“
击
于 ~ 妙
z
z
二
一
x
z
,
证明 由于
~
x
,
通 常 的 办 法 是 用 隐 函 数求 导 法 先 算 出
。
和
x
一
,
. y
代入 方 程 左 边 推 导 出 右 边 成 立 下
,
。
,
。
我 们采 用 另 一 种方 法
,
在
d x 一x
,
,
办一y 时
求证 方 程
, d
,
,
d
之
一z d x
x
+ z y
办~
z
二
十y之
因此
d
z
,
上 述 问题 归 结 为 在 d x
z
勿 一 y 条 件下
对于方程
F 〔
l
F 一 。所 确 定 的 函 数
( z
x
,
刃 满足
+
F 〔
l
-
一 沈)
F 一0
Z
两 边 微 分可 得
+ F (一
,
多〕
二
+
Fl 〔 (一
责
Z d , 十 F 〕,
士
l
Z + F
告一
Z + F 五
d 〕
0
于是
,
在
x d
一x
F 〔
l
心一y 时
工 十凡
y
人
与 一
1
.
d
二
F [
I
,
Z + F (一
勘〕
孟
二
二
一
F 〔 (一
共)
y
F 〔 一 十 y
「
1
一 户 2
( 土〕
,
一
x
刃
从 而 问题得 证
。
由隐 函 数存 在性 可 知
:
。
l
一
2
L户
一 十户 y
0 一」 井 X
1
,
,
所以
d
z
2 一Z 一 )
(上 接 1 5 页 )
这时
。
解法
2
一
= 一 1 6a
,
{ )
l
兰华
5 In
丹 ld 甲
一
* 一
一 1 6a
2
o c
s尹
一 1
甲
}普
5 In
Z
(一 l 一 0 ) =
16a
用 直 角 坐 标 计算
‘ 。“
。
一
汀
,
,
,
_
试刃不
习
城了 二 飞 a a x z
万
一
‘。
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「
‘
,
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‘ ・ 6
r
l
抓万二,
“ ‘6 ・
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一 1 6・
{ 诀 玩
牙
,
( 瑟X ,
。
厉
,
, d
一
: {一
虽 然 积 分 域 是 圆 域 的 一 部 分 但 对 此 题 而 言 利 用 直 角 坐 标 比 极 坐 标 计 算 要 简单 得 多 这
,
。
说 明选 取 变 换 时 主 要 应 考 虑 使 积 分 区 域 化简
函 数 易于 求 累 次 积 分
。
从 而 使积 分 限 容 易 安 排
,
同 时也 要 考 虑 使被 积
一 阶 和 二 阶 全 微 分 形 式 在 求偏 导 数 和 微 分 方 程变 换 中 的 应 用
西北工业大学
在 《 等 数 学 》 课 程 的 学 习过 程 中 高 基本 知识 困难 并 不大
,
,
王
红
:
同 学 们都 有 这 样 的 体会
,
通常 学 习 和掌 握课本 上的
,
但 要 灵 活 运 用 所 学 的 知 识 去 分 析 问 题 和 解 决 问 题 就 感 到 困难 剖析
,
甚至 不
,
知 如何 着手 下面
,
。
因此
,
对某 一 系 列 问 题 进 行 归类
,
对 某种 方 法
,
、
技 巧 着意 练 习
。
无疑对
于 强 化 所 学 的知 识
培养 思 维能 力
,
提 高 数学 学 习 的兴 趣
。
是 十分 有 益 的
介 绍 一 系 列 一 阶 和 二 阶 全 微分 形 式 在 求 偏 导 数 和 微分 方 程 变 换 中的 灵 活 应 用
x
,
从
中我 们可 以 明 显 体 会 到 其 所 蕴 涵 的数学 规 律 的 韵 味
若以
如果
x
,
和
y
为 自变 量的 函 数
,
z
一 f( x
d
z
“
,
,
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)
可微
x
,
则 其 一 阶 全 微分 式 为
y x
:
:
=
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x
y
作 为中 间变量
,
又 是 自变 量
的可 微函 数
y
u (
y
,
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,
y
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y
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,
) v
,
则 复合 函
数
z
一 f
x u ( (
) v
,
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,
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)
是可 微的
d
z
,
其 一 阶全 微 分 式 为
“
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+ 毛d
。
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x
+ 礼d
因此
,
一 阶 微 分 形 式 (1 )
x
,
具 有 形 式 不 变性
,
当
x
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为 自变 量 时
二 阶全 微分 式 为
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z
:
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, 护 + 2毛 d x d y + 礼 d 少
,
2 ( )
而当
,
y
作 为 中间 变 量 时
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,
,
二 阶 全 微分 式 为
二
:
一 毛 d扩 +
z Z
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。
礼 d 少 十 毛 少 x + 礼少 y
,
3 ( )
x
由此 可 见
一。
,
二 阶微 分 形 式 一 般 不 具 有 不 变性
和
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y
, 一
,
只有 在中间变 量
x
和
y
的二 阶微 分 少
。 。
~ 0
,
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y
即
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问题
是 自变 量 的 线 性 函 数 时 二 阶 微 分 式 才 具 有 形 式 不 变性 。 “ 求三 元 函 数 f 一 合 一 了 十 2少 + 3扩 的 所 有 二 阶 偏 导 数
6
解
这 个三 元 函 数共 有
」 一 去
个二 阶偏导 数
,
一个个 求 出来很麻 烦
。
。
我 们用二 阶微分 式可 将
i 一 ! m
,
f (尸 ) 一 f (P ) PO I P } 拱
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,
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,
。
二
方 向的 方 向 导 数 就 不 等 同 同样
y o 方 向的 方 向 导 数 也 不 等 同 之 万 王 0 ) 例 设 ~ f ( y ) 一 丫 万不万 在 ( 0 点 沿 任何 方 向 x 」 玉 f (念 乃y ) 一 f (0 o ) 一 h
, ,
,
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,
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,
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, 沿
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,
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,
顺便指出
,
方 向导数 的定义 不是 唯一
的
。
}△ 了l 贡 即 一 和 都不 存 在 一 竺 跳 厄丁 如 果 我 们 采 取 不 同 的 方 向导 数 的 定 义 自 然 便
0 )
一
一
,
有 与上 述 不 一 定 相 同 的 结 论
有 兴 趣 的读者
,
请 参 看 菲赫 钦 哥 尔 兹 著
《微 积 分 学 教 程 》 卷 一
,
第
飞 4 7
节
。
它 们 一 下 全 部求 出
。
d
一 ) 厂 一 ‘(“ ‘
一 音‘
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d
・
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Z
了一
寻‘
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“ 一
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,
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,
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代入 上 式 可 得
:
矛 f 一 (3 z x
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,
。一
) 普d x
3。 一
,
(1
备一
。
一
2。一
扔办
二
,
(2 7 2
“ 一
备一
d 号
十 12x
y
d 备x
dy +
18x
二。 一
d 号x
d
二
+
36:
二
.
之。 一
d 号
yd
二
一人 d 护 +
几声少 十 人
。 ,
二
d 扩 十 2人
,
x d
dy +
2人 d x d
z
+ 2 几 d yd
:
比较 对 应 项 系 数 可 得 所 求 结 果
问题
2
已知 f ( x
y
,
) z 是 一 可 微 函数
,
并且 扩 一 v w
一
。
一
,
少一
+ w
’
u
w
,
扩 一u v
,
求证
二
一
蔡 x a
视
x
+
’
,
一
蔡 妙
x
、 、
+
’
之
一
咎 击
z
。
蔡+ 咎 玉 面
。
一
’
一
、
孚 决
刃
-
.
证明
记
F ~
:
通 常 的办 法 是 将 f 对 f
(x
,
y
及
的 偏 导 数用 f 对
这里
,
.
“
v
和 w 的偏 导 数 来 表 示
。 。
,
然后
将 所 得 结 果 代入 方 程 左 边 得 到 右 边 的 形 式
y
,
我 们 采 用 一 阶微分形 式 不 变 性证 明
,
) z
,
、
y
z
为 中 间 变量
y
v
u
、
v
、
w 为 自变 量
则 按一 阶 微分形 式 不
变性 可 得
当
d
“
dF ~
人d x + f d y
+ 人d
z
一 人d
u
+ 人d
:
y
+
几d w
y v
。
,
4 ( )
,
~ 一
“
,
d
y
~
v
,
,
dw ~ w
时
d
z
,
对 扩 一 w 两 边 微分可 得
~
z
。
z
x
d
x
~ wd
十 d w 一 Z w 一2尹 v
所
以 d
x
x
。
同理
办 一y
,
,
) 将 上 述 结 果 代 入 (4
可 得 所证 结 论
。
由上 述 两 问 题 可 见
面几 个 问题 问题 量
,
。
使 用 微分 形 式 可 以 使 计 算过 程 大 大 简 化
1
.
我 们 再 用 此 方 法 来 解决 下
3
设
u
一扩 +
犷
,
v
- —十一
1
w 一I n
z
一
(x +
y
)
,
以 w 为新 函 数
,
“
、
v
为 新 自变
变 换方 程
y
灸
石 一
,
x
砒
苏一
、y
一
工/ x
,
. z
y
解
y
,
u 记 w 一 v(
一x 日 寸
,
,
) v
.
其 中u
v
为 中 间变 量
y
,
而
为 自变 量
x
,
。
由上 述 方 程
,
当
dx ~
办-
d
z
一 毛d
y
x
+ 礼d
~
:
y
z
二
一
x
z
,
一 (y 一
)z
(5 )
,
另一方 面
x
,
n 对 I
z
一w +
x
+
两 边 微分 可 得
x —a Z ~ d w + d 十勿
1
所以
当
dx 一y
,
心-
时
,
d
z
~
z
( w + d
dx
+ d
,
y)
一
z
(y 一
x
+ w d
“
u
十w d
。
y
)
比较 由于
d
“
一 ZX d
工
+ Z y 、 一 Zx 一 Z x 一 。 y y
d
z
d
?
一多 委
x
+
,
于是
。
一
z f
y ( 一
) +
z
w d
。
(6 )
(5 )
与
(6 )
可得
:
W 一。
。
,
即
瓮
一 。 为 变 换后 的 方 程
。
读 者 不 妨 用 我 们 这 里 所 介 绍 的方 法 来 练 习 处 理 下 面 问 题
。
练习
1
以
u
,
v
为 新的 自变 量 变 换 下 列 方 程
:
、
弋 x
十
y ) 二二 一 又 x
区〔
玉
,
、
一
y ) ; 二
《y
击
一
U
其中
,
u
一,n
4
石 干7
、
1
,
v
一 a ro t g
.
子
.
。
问题 证明
另 一方 面
d
x
,
一
_
,
、 _
址 明 万 住 尸1 十 z 工 视
x
,
_ 挤2
_
艺
,
2 挤 护Z 不 又二十 百1 ~
。沈
_
U
侧y
,
〔
y
为 自 变量
“
v
z
y ’
一 仕
‘
日父 垦
。
~
。
一一
.
.
父快
u
一x
十
z
,
v
一y
十
z
一, 一~ r 格 状小 哭
,
.
_
、
。
为中 间 变量
由上 述方 程 在
dy +
z
d x 一为一 1
o
时可 得
:
矛z ~
Zz
。
x d
,
+
z 2 声x
二
”d
少 一
.
d
~
x
z
一d u
z
Z
+ 22
. ,
d
,
u
y d
y
+
z
,
v d
z
,
Z
+
z
d
d
Zu
+
~
z
,
d
Zv
(7 )
,
在
一 勿~ 1 时
,
,
d
“
~ d
+ d
一1+ d
z
d
:
一 1 十d
所以
“
v d
,
进一 步
矛“ + 尹z ~
。
,
d 与一 d 场 ~ 0
7 将这 些 结果 代入 ( ) 可 得
护2
二 ; :
.
_
魂‘
.
十
Z
挤z
二 一二二
仁月 ‘叹 ‘ 声
。
. 十 了J下 ~ U 们咤
-
护z
读 者 可 以 用 类似 的 方 法 练 习下 面 间 题
练习
2
用 新 自变量
。
一x g t
.
誉
‘
_
一
,
。
~
.
x
来 变 换方 程
挤z
x
护z
‘
; , 1
口 了 以
一
Z x s n y 不 二二 二 l
‘ 瓦走
q 夕
十
二n y l s ’
,
挤z
￡
下1 了
今
~
. U
,
当 无 论 怎 样 选择
处理
。
dx
,
勿 都 不 能 使 用 一 阶或 二 阶 全 微分 形 式 时 我 们可 以用 下 述 方法 进行
v
问题
5
已知
u
一x
,
~
x
+
y
,
w 一 x 十y +
z
及
挤z 于是 一 2
d 艺,
+
(l + 里 )
u 求w(
,
) v 满 足 的方 程
.
解
祝
二
,
y
为 自变 量
,
U d 任 d
,
v
为中 间 变 量
*
一 ;
.
.
由于
二
勿一
一
1
一 z
z
, ,
, 一 2 毛 十 礼,
由 二 0 办,
.
~
于是
,
原 方程 化 为
:
d
, z
}
心一 、
,
一
~ d
+
x
z d 圣
+
}由 一 。
,
一
z
,
0
’ 而 尹 “ + 了v 一 。 w 一 少 z
, ,
于 ) 8
在 是
dx 一1
,
办~
d
一1
时
.
,
d
“
一d
x
二 二
1
,
d
y
勿 一0
二d
“
,
dw ~ d
少z 一 l
;
。
一
d
,
= 少w ~ w 一U
沪
“d
矿 + Zw
d
二
+ w
.
d护 十 w d
.
。’
+ w 万护
“
,
在
d
x
~ 0
,
如一 1 时
,
“
~ 0
d
y
一1
d
,
,
d w ~ 1 十d
一 。
.
z
,
而 矛“+ r
”
y
一o
,
少w 一 r
z
,
于是
:
2
* 1
y d
一 ,
一 d w 一 w
,
8 将上 述 结 果 代 入 ( ) 可 得
:
挤 w
_
v
、
挤w
二, 二 改广
.
二, 一 二 咬 理 丸 .
~
。
气1
一 一) U
读 者可 以 用 类 似 的 方 法 练 习 下 面 问 题
练习
3
以
u
,
v
为 新的 自变 量 变 换 下 列 方 程
、
鑫
以
,
一
,
2
类
侧y
一 。
,
其中
。
一
二,
,
二
一 三
y
.
最后
,
我 们来 看 一 看 在 隐 函 数 的 情 形 下
6
,
如 何使用 微分 形式处 理 问题
二
。
问题
证明
F
x ( +
粤
少
y
+
x
粤)
孟
一 。所确 定的 函数
.
一之
x (
,
,
)
满足
:
一
泛 + 砒
矢
’
y
“
击
于 ~ 妙
z
z
二
一
x
z
,
证明 由于
~
x
,
通 常 的 办 法 是 用 隐 函 数求 导 法 先 算 出
。
和
x
一
,
. y
代入 方 程 左 边 推 导 出 右 边 成 立 下
,
。
,
。
我 们采 用 另 一 种方 法
,
在
d x 一x
,
,
办一y 时
求证 方 程
, d
,
,
d
之
一z d x
x
+ z y
办~
z
二
十y之
因此
d
z
,
上 述 问题 归 结 为 在 d x
z
勿 一 y 条 件下
对于方程
F 〔
l
F 一 。所 确 定 的 函 数
( z
x
,
刃 满足
+
F 〔
l
-
一 沈)
F 一0
Z
两 边 微 分可 得
+ F (一
,
多〕
二
+
Fl 〔 (一
责
Z d , 十 F 〕,
士
l
Z + F
告一
Z + F 五
d 〕
0
于是
,
在
x d
一x
F 〔
l
心一y 时
工 十凡
y
人
与 一
1
.
d
二
F [
I
,
Z + F (一
勘〕
孟
二
二
一
F 〔 (一
共)
y
F 〔 一 十 y
「
1
一 户 2
( 土〕
,
一
x
刃
从 而 问题得 证
。
由隐 函 数存 在性 可 知
:
。
l
一
2
L户
一 十户 y
0 一」 井 X
1
,
,
所以
d
z
2 一Z 一 )
(上 接 1 5 页 )
这时
。
解法
2
一
= 一 1 6a
,
{ )
l
兰华
5 In
丹 ld 甲
一
* 一
一 1 6a
2
o c
s尹
一 1
甲
}普
5 In
Z
(一 l 一 0 ) =
16a
用 直 角 坐 标 计算
‘ 。“
。
一
汀
,
,
,
_
试刃不
习
城了 二 飞 a a x z
万
一
‘。
0 J a
「
‘
,
z a
{
‘ ・ 6
r
l
抓万二,
“ ‘6 ・
x a
一 1 6・
{ 诀 玩
牙
,
( 瑟X ,
。
厉
,
, d
一
: {一
虽 然 积 分 域 是 圆 域 的 一 部 分 但 对 此 题 而 言 利 用 直 角 坐 标 比 极 坐 标 计 算 要 简单 得 多 这
,
。
说 明选 取 变 换 时 主 要 应 考 虑 使 积 分 区 域 化简
函 数 易于 求 累 次 积 分
。
从 而 使积 分 限 容 易 安 排
,
同 时也 要 考 虑 使被 积