第20卷 第2期2010年 第2期兵团教育学院学报
J O U R N A LO FB I N G T U A N E D U C A T I O NI N S T I T U T E v o l . 20 No . 2
A p r . 2010
镜像法求解导体球外点电荷电场的代数解
郭志荣, 王 福, 杨增强, 殷保祥, 唐华龙
(石河子大学师范学院/兵团教育学院, 新疆石河子, 832003)
摘 要:用代数法求解了导体球外点电荷在空间产生的静电场。得到了能反映导体球中自由电荷性质的新解。该结果既符合唯一性定理, 又有明确的物理含义。
关键词:镜像法; 点电荷; 电势
中图分类号:O 175. 04 文献标识码:A 文章编号:1009-1548(2009) 02-0042-03
T h e a l g e b r a i c s o l u t i o n o f t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d p r o d u c e d b y p o i n t c h a r g e o u t o f t h e c o n d u c t o r b a l l v i a t h e i m a g e m e t h o d
G U OZ h i -r o n g , W A N GF u , Y A N GZ e n g -q i a n g , Y I NB a o -x i a n g
(T e a c h e r s C o l l e g e , S h i h e z i U n i v e r s i t y /Bi n g t u a nE d u c a t i o nI n s t i t u t e , S h i h e z i , X i n j i a n g 832003, C h i n a )
A b s t r a c t :T h e p o t e n t i a l p r o d u c e db yt h ep o i n t c h a r g eo u t o f t h es p h e r i c a l c o n d u c t o r i s c a l c u l a t e dv i at h ea l g e b r a i c m e t h o d . T h e s o l u t i o n s r e f l e c t i n g t h e p r o p e r t i e s o f f r e e c h a r g e s d i s t r i b u t e d a t t h e s p h e r i c a l c o n d u c t o r a r e o b t a i n e d . T h e r e s u l t n o t o n l y i s i ng o o d a g r e e m e n t w i t ht h e u n i q u e n e s s t h e o r e mi n e l e c t r o s t a t i c s , b u t a l s o h a s e x p l i c i t p h y s i c a l m e a n i n g s .
K e yw o r d s :i m a g e m e t h o d ;p o i n t c h a r g e ;e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l
1. 问题及求解
问题一:真空中有一半径为R (α>R 处有一点电荷Q , 求空间各点的电势。0的接地导体球, 距球心为α0)
该问题是《电动力学》(第三版) (郭硕鸿著, 高等教育出版社) 第54页例题2。该著作作为一部国内经典著作, 几乎被大部分综合性院校物理专业作为教学参考书使用, 为此下文简称为教参。教参中对问题一是用几何的方法求解, 本文采用代数的方法求解该问题, 然后做一对比。与教参类似, 设导体球的电势为零, 用在b 点处的一个镜像电荷Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。下面用代数的方法确定镜像电
1
荷Q 的大小和位置。
′
Q Q
以导体球心为坐标原点, 在导体球面(x 上, 由′=0可得0, y 0, z 0)
r 0r 0Q (x a ) y z 0
-2+0+0
化简并整理可得
2222222
1(x y z -2b a -b 0+0+0) ＊收稿日期:2010-02-26
1
[1]
(x b ) +y z 0-0+0
′
(1)
(2)
作者介绍:郭志荣(1975-) , 男, 硕士, 石河子大学师范学院/兵团教育物理系讲师, 主要从事物理教学研究工作。
而导体球面上x y z R 0+0+0=0, 比较可得22
b a a -b
2=0, =R 022
11联解上面两方程可得
R R 0′0b , QQ ,
a a
由于a >R ≠0自然满足。0, 所以1球外任一点的电势就是镜像电荷和原电荷分别产生的电势的叠加
Q R 0/aR Q 1Q Q 01φ. 4r 40r 0R +a -2R a c o s θR +b -2R b c o ′
′
2
22
2
2222
(3)
(4)
(5)
式中r 为由Q 到P 的距离, 为r 由Q 到P 点的距离, R 为由球心O 到P 点的距离, θ为O P 与O Q 的夹角。问题二:表述如同问题一, 但是导体球不带电, 且不接地。
由于a 处电荷Q 的作用, 电中性的导体球上的电荷要重新分布, 导致原来处于电荷平衡的导体球的正负电荷分离。我们假想重新分布后的正、负电荷都可以分别用镜像电荷代替。空间中的电场就是由原电荷和两个镜像电荷(一正一负) 分别产生的电势的叠加。
根据问题的对称性, 正、负镜像电荷应处在球心和Q 电荷连线所在的直线上, 设其位置分别为Q (b , 0, 0) 、Q(c , 0, 0) (Q 、Q、b和c 待定) 。由导体球整体的电中性可知, Q =-Q 。导体球为等势体, 其表面为一
′″
2222Q Q Q
φy z R 等势面, 设电势为φ待定) 。则在导体球面上有=0, 并考虑球面方程x 0+0+0=0, 可得0(
r r r 000
=φ0. R +a -2a x R b -2b x R c -20+0+
借助于数学软件M a p l e , 我们对上式做了平方处理消去根号, 再按x 的各次幂项整理后得到
″
′
″
″
′
′
4π0
1211
′
′
(6)
2[a b c (4πε2[a b c (4πε2[a b c (4πε0φ0) ]x +0φ0) ]F 11x +0φ0) ]F 10x +2[a b c (4πε…=00φ0) ]F 9x +
′
2
2
9
[**************]0
(7)
其中F , b , c , R , Q 的多项式, 由于太长, 这里简写。因为x 的最高项前出现了因子9, F 10, F 11是关于a 0, φ0, Q a b c (4πε0φ0) , 根据下面的求解方法, 这样做并不影响问题的解决。同样为了简写, 方程后面的项都略写。
对于方程(7) , 令x 的各次幂的系数为零, 可求解出b , c , Q ′和φ的系数为零可得, b c =0。由题意0。由x 可知, b 、c不能同时为零, 否则得到Q=0的结果。
情况1:取b ≠0, c =0时, 方程(7) 简化为
4′22248′222276
(4a b ) (Q -R 4πε(Q -R 4πεF …=0, 0(0φ0) ) x +0(0φ0) ) F 7x +6x +其中F , b , R , Q 的多项式, 由于太长, 这里同样做了简写。6, F 7是关于a 0, φ0, Q
由x 的系数为零可得φ。根据对镜像电荷大小和位置的假设, 应该是在c (c =0) 点的镜像04πε0R 0
8
′′
12
(8)
电荷Q =-Q 对电势的贡献, 故φ。导体球表面的电势应为04πε0R 0
″
′
′
-Q
φ04πε0R 0
于是方程(8) 简化为
2(a b ) (R a Q -b Q ) x +2a b Q R a Q -b Q ) F F …=0, 0Q ) (0(5x +4x +
其中F , b , R , Q 的多项式。同样, 方程后面的项都没有写出。由x 的系数为零可得4, F 5是关于a 0, Q
b =Q
′2
′
6
10
2
′4
′2
2
2
6
8
′2
2
′2
2
5
4
′
(9)
(10)
(11)
则方程简化为
2′222′22432
(2a R (Q -Q ) [(R ) -(a Q ) ][x -F F F +F 0, 00Q 3x +2x +1x 0]=4
8
(12)
其中F , R , Q 的多项式。可见, 满足方程(12) 的系数为零的解有2, F 5是关于a 0, Q
R 0Q ′
Q =±Q , 或Q ′.
a 将前者代入方程(11) 得到b =a , 不符合题意。将后者代入方程(11) 得到
R 0
b a
2
′
(13)
(14)
根据电荷间的相互作用, 在b 点处的镜像电荷性质应跟a 处的相反。故(13) 式中后者应取负号。由此
得到满足题设的一组解:
R R 00Q ′c =0, b , Q, φ, 0a a 4πε0a
可见, 球表面的电势等于a 点的电荷Q 在导体球心位置处产生的电势。
于是空间中的电势为
R Q R Q 0/aQ 0φ′
4R r 0r
R 00/a1Q R . R 40a R +a -2R a c o s θR +b -2R b c o 情况2:取b =0, c ≠0时, 与前面类似的求解过程, 我们得到满足题设的解组为
R R 00Q Q
c , b =0, , φ. (17) 0a a 4πε0a
上面得到的两种情况在数学上是等效的, 但从物理本质上两者有本质的区别。第一种情况表明在导体中能够自由移动的电荷是与a 处的电荷性质相反的带电粒子, 相同电性的电荷因为不能自由移动, 均匀分布在球内, 相当于同样大小的电荷集中在球心处。第二种情况则是导体中能够自由移动的电荷是与a 处的电荷性质相同的带电粒子, 相反电性的带电粒子均匀分布, 等价于集中在球心的同量电荷。
问题三:表述如同问题二, 但是导体球不是电中性, 而是带电量为Q 教参第545页例题3) 。0(
同样的处理过程, 我们能得到两组有直观物理意义的解。R R 0′0Q 1Q 0b , c =0, Q , φ0,
a a 40R 0R R 00Q ′Q 0b =0, c ,
Q , φ, 0a a 40R 0
可见, 空间的静电场等效于在(a 、0、0) 处的原电荷Q 、在(0、0、0) 处的镜像电荷R R 00Q
、0、处的镜像电荷产生的电势的叠加。
a a
2. 结论
静电问题的唯一性定理告诉我们, 在有导体有在的区域V 内给定自由电荷分布p (x ) , 在给定每个导体上电势φ或导体上的总电荷Q , V 内有唯一确定的电场。本文用代数法求解导体球外点电荷产生的电场, i i
结果也得到了唯一的解。但是, 本文得到的能够反映导体内可自由移动的电荷性质的解, 却是新的并且有实际意义的结果, 是教参几何法所不及。
参考文献
[1] 郭硕鸿, 电动力学[M ]. (第三版) , 北京:高等教育出版社, 2008:37-56.
2
2
2
2
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(15)
(16)
(18) (19)
Q 0以及在R 0
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A p r . 2010
镜像法求解导体球外点电荷电场的代数解
郭志荣, 王 福, 杨增强, 殷保祥, 唐华龙
(石河子大学师范学院/兵团教育学院, 新疆石河子, 832003)
摘 要:用代数法求解了导体球外点电荷在空间产生的静电场。得到了能反映导体球中自由电荷性质的新解。该结果既符合唯一性定理, 又有明确的物理含义。
关键词:镜像法; 点电荷; 电势
中图分类号:O 175. 04 文献标识码:A 文章编号:1009-1548(2009) 02-0042-03
T h e a l g e b r a i c s o l u t i o n o f t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d p r o d u c e d b y p o i n t c h a r g e o u t o f t h e c o n d u c t o r b a l l v i a t h e i m a g e m e t h o d
G U OZ h i -r o n g , W A N GF u , Y A N GZ e n g -q i a n g , Y I NB a o -x i a n g
(T e a c h e r s C o l l e g e , S h i h e z i U n i v e r s i t y /Bi n g t u a nE d u c a t i o nI n s t i t u t e , S h i h e z i , X i n j i a n g 832003, C h i n a )
A b s t r a c t :T h e p o t e n t i a l p r o d u c e db yt h ep o i n t c h a r g eo u t o f t h es p h e r i c a l c o n d u c t o r i s c a l c u l a t e dv i at h ea l g e b r a i c m e t h o d . T h e s o l u t i o n s r e f l e c t i n g t h e p r o p e r t i e s o f f r e e c h a r g e s d i s t r i b u t e d a t t h e s p h e r i c a l c o n d u c t o r a r e o b t a i n e d . T h e r e s u l t n o t o n l y i s i ng o o d a g r e e m e n t w i t ht h e u n i q u e n e s s t h e o r e mi n e l e c t r o s t a t i c s , b u t a l s o h a s e x p l i c i t p h y s i c a l m e a n i n g s .
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1. 问题及求解
问题一:真空中有一半径为R (α>R 处有一点电荷Q , 求空间各点的电势。0的接地导体球, 距球心为α0)
该问题是《电动力学》(第三版) (郭硕鸿著, 高等教育出版社) 第54页例题2。该著作作为一部国内经典著作, 几乎被大部分综合性院校物理专业作为教学参考书使用, 为此下文简称为教参。教参中对问题一是用几何的方法求解, 本文采用代数的方法求解该问题, 然后做一对比。与教参类似, 设导体球的电势为零, 用在b 点处的一个镜像电荷Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。下面用代数的方法确定镜像电
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荷Q 的大小和位置。
′
Q Q
以导体球心为坐标原点, 在导体球面(x 上, 由′=0可得0, y 0, z 0)
r 0r 0Q (x a ) y z 0
-2+0+0
化简并整理可得
2222222
1(x y z -2b a -b 0+0+0) ＊收稿日期:2010-02-26
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(x b ) +y z 0-0+0
′
(1)
(2)
作者介绍:郭志荣(1975-) , 男, 硕士, 石河子大学师范学院/兵团教育物理系讲师, 主要从事物理教学研究工作。
而导体球面上x y z R 0+0+0=0, 比较可得22
b a a -b
2=0, =R 022
11联解上面两方程可得
R R 0′0b , QQ ,
a a
由于a >R ≠0自然满足。0, 所以1球外任一点的电势就是镜像电荷和原电荷分别产生的电势的叠加
Q R 0/aR Q 1Q Q 01φ. 4r 40r 0R +a -2R a c o s θR +b -2R b c o ′
′
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2222
(3)
(4)
(5)
式中r 为由Q 到P 的距离, 为r 由Q 到P 点的距离, R 为由球心O 到P 点的距离, θ为O P 与O Q 的夹角。问题二:表述如同问题一, 但是导体球不带电, 且不接地。
由于a 处电荷Q 的作用, 电中性的导体球上的电荷要重新分布, 导致原来处于电荷平衡的导体球的正负电荷分离。我们假想重新分布后的正、负电荷都可以分别用镜像电荷代替。空间中的电场就是由原电荷和两个镜像电荷(一正一负) 分别产生的电势的叠加。
根据问题的对称性, 正、负镜像电荷应处在球心和Q 电荷连线所在的直线上, 设其位置分别为Q (b , 0, 0) 、Q(c , 0, 0) (Q 、Q、b和c 待定) 。由导体球整体的电中性可知, Q =-Q 。导体球为等势体, 其表面为一
′″
2222Q Q Q
φy z R 等势面, 设电势为φ待定) 。则在导体球面上有=0, 并考虑球面方程x 0+0+0=0, 可得0(
r r r 000
=φ0. R +a -2a x R b -2b x R c -20+0+
借助于数学软件M a p l e , 我们对上式做了平方处理消去根号, 再按x 的各次幂项整理后得到
″
′
″
″
′
′
4π0
1211
′
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(6)
2[a b c (4πε2[a b c (4πε2[a b c (4πε0φ0) ]x +0φ0) ]F 11x +0φ0) ]F 10x +2[a b c (4πε…=00φ0) ]F 9x +
′
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[**************]0
(7)
其中F , b , c , R , Q 的多项式, 由于太长, 这里简写。因为x 的最高项前出现了因子9, F 10, F 11是关于a 0, φ0, Q a b c (4πε0φ0) , 根据下面的求解方法, 这样做并不影响问题的解决。同样为了简写, 方程后面的项都略写。
对于方程(7) , 令x 的各次幂的系数为零, 可求解出b , c , Q ′和φ的系数为零可得, b c =0。由题意0。由x 可知, b 、c不能同时为零, 否则得到Q=0的结果。
情况1:取b ≠0, c =0时, 方程(7) 简化为
4′22248′222276
(4a b ) (Q -R 4πε(Q -R 4πεF …=0, 0(0φ0) ) x +0(0φ0) ) F 7x +6x +其中F , b , R , Q 的多项式, 由于太长, 这里同样做了简写。6, F 7是关于a 0, φ0, Q
由x 的系数为零可得φ。根据对镜像电荷大小和位置的假设, 应该是在c (c =0) 点的镜像04πε0R 0
8
′′
12
(8)
电荷Q =-Q 对电势的贡献, 故φ。导体球表面的电势应为04πε0R 0
″
′
′
-Q
φ04πε0R 0
于是方程(8) 简化为
2(a b ) (R a Q -b Q ) x +2a b Q R a Q -b Q ) F F …=0, 0Q ) (0(5x +4x +
其中F , b , R , Q 的多项式。同样, 方程后面的项都没有写出。由x 的系数为零可得4, F 5是关于a 0, Q
b =Q
′2
′
6
10
2
′4
′2
2
2
6
8
′2
2
′2
2
5
4
′
(9)
(10)
(11)
则方程简化为
2′222′22432
(2a R (Q -Q ) [(R ) -(a Q ) ][x -F F F +F 0, 00Q 3x +2x +1x 0]=4
8
(12)
其中F , R , Q 的多项式。可见, 满足方程(12) 的系数为零的解有2, F 5是关于a 0, Q
R 0Q ′
Q =±Q , 或Q ′.
a 将前者代入方程(11) 得到b =a , 不符合题意。将后者代入方程(11) 得到
R 0
b a
2
′
(13)
(14)
根据电荷间的相互作用, 在b 点处的镜像电荷性质应跟a 处的相反。故(13) 式中后者应取负号。由此
得到满足题设的一组解:
R R 00Q ′c =0, b , Q, φ, 0a a 4πε0a
可见, 球表面的电势等于a 点的电荷Q 在导体球心位置处产生的电势。
于是空间中的电势为
R Q R Q 0/aQ 0φ′
4R r 0r
R 00/a1Q R . R 40a R +a -2R a c o s θR +b -2R b c o 情况2:取b =0, c ≠0时, 与前面类似的求解过程, 我们得到满足题设的解组为
R R 00Q Q
c , b =0, , φ. (17) 0a a 4πε0a
上面得到的两种情况在数学上是等效的, 但从物理本质上两者有本质的区别。第一种情况表明在导体中能够自由移动的电荷是与a 处的电荷性质相反的带电粒子, 相同电性的电荷因为不能自由移动, 均匀分布在球内, 相当于同样大小的电荷集中在球心处。第二种情况则是导体中能够自由移动的电荷是与a 处的电荷性质相同的带电粒子, 相反电性的带电粒子均匀分布, 等价于集中在球心的同量电荷。
问题三:表述如同问题二, 但是导体球不是电中性, 而是带电量为Q 教参第545页例题3) 。0(
同样的处理过程, 我们能得到两组有直观物理意义的解。R R 0′0Q 1Q 0b , c =0, Q , φ0,
a a 40R 0R R 00Q ′Q 0b =0, c ,
Q , φ, 0a a 40R 0
可见, 空间的静电场等效于在(a 、0、0) 处的原电荷Q 、在(0、0、0) 处的镜像电荷R R 00Q
、0、处的镜像电荷产生的电势的叠加。
a a
2. 结论
静电问题的唯一性定理告诉我们, 在有导体有在的区域V 内给定自由电荷分布p (x ) , 在给定每个导体上电势φ或导体上的总电荷Q , V 内有唯一确定的电场。本文用代数法求解导体球外点电荷产生的电场, i i
结果也得到了唯一的解。但是, 本文得到的能够反映导体内可自由移动的电荷性质的解, 却是新的并且有实际意义的结果, 是教参几何法所不及。
参考文献
[1] 郭硕鸿, 电动力学[M ]. (第三版) , 北京:高等教育出版社, 2008:37-56.
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(18) (19)
Q 0以及在R 0