2 015中考数学精选例题解析：二元二次方程组
知识考点：
了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。
精典例题：
【例1】解下列方程组：
1、⎨⎧2x -y =1
⎩10x -y -x +1=022；
⎧x +y =72、⎨； xy =6⎩
22⎧⎪x +y =103、⎨2 2⎪⎩x -3xy +2y =0
分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。（3）为Ⅱ型方程组，应将x 2-3xy +2y 2=0分解为x -y =0或x -2y =0与x 2+y 2=10配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
1⎧⎧x 1=0⎧x 1=6⎧x 2=1⎪x 2=-答案：（1）⎨，⎨，⎨ 2； （2）⎨y =-1y =1y =6⎩1⎩1⎩2⎪⎩y 2=-2
⎧⎧⎪x =22⎧x 4=-22⎪x 1=⎪x 2=-⎧ （3）⎨，⎨，⎨3，⎨ ⎪⎩y 4=-2⎩y 3=2⎩y 1= ⎪⎩y 2=-⎪
⎧y 2-4x -2y +1=0【例2】已知方程组⎨有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。 y =kx +2⎩
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：k 2x 2+(2k -4) x +1=0
2⎧⎪k ≠0 ⎨ 22⎪⎩∆=(2k -4) -4k =-16k +16>0
即⎨⎧k ≠0 ⎩k
∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
⎧3x 2+y =29⎧x 1=α1⎧x 2=α2【例3】方程组⎨的两组解是⎨，⎨不解方程组，求y =βy =β12⎩1⎩2⎩x +y =5
α1β2+α2β1的值。
分析：将y =5-x 代入①得x 的一元二次方程，α1、α2是两根，可用根与系数的关系，将β1=5-α1，β2=5-α2代入α1β2+α2β1后，用根与系数的关系即可求值。 答案：53 3
探索与创新：
⎧y 2=4x ⎧x 1=x 1⎧x 2=x 2【问题】已知方程组⎨的两组解是⎨和⎨且x 1x 1≠0，x 1≠y =y 1⎩1⎩y =2x +n ⎩y 2=y 2
x 2，设m =11。 +x 1x 2
（1）求n 的取值范围；
（2）试用含n 的代数式表示出m ；
（3）是否存在这样的n 值，使m 的值等于1？若存在，求出所有这样的n 值，若不存在，请说明理由。
略解：（1）将②代入①化简，由⎨⎧∆>01⇒n ＜且n ≠0 2⎩x 1x 2≠0
（2）利用根与系数的关系得：m =4(1-n ) 1（＜且n ≠0＝ n 2n 2
⎧4(1-n ) =1⎪⎪n 2 （3）⎨⇒n =-2-22 1⎪n
跟踪训练：
一、填空题：
⎧y =x +11、方程组⎨的解是。 2y =x -2x -3⎩
⎧x 2-4y 2=32、方程组⎨的解是。
⎩x +2y =1
⎧x 2+y 2=203、解方程组⎨时可先化为和两个方⎩(x -2y )(x -3y ) =0
程组。
⎧115⎪x +y =6⎪4、方程组⎨的解是
⎪11=1
⎪⎩x y 6
⎧x 1=a 1⎧x 2=a 2⎧x +y =a 的两组解为⎨，⎨，则a 1a 2-b 1b 2＝ ⎩y 1=b 1⎩y 2=b 2⎩xy =b 5、方程组⎨
二、选择题：
1、由方程组⎨⎧x -y =1
⎩(x -1) +(y +1) +4=022消去y 后得到的方程是（ ）
A 、2x 2-2x -3=0 B 、2x 2-2x +5=0
C 、2x 2+2x +1=0 D 、2x 2+2x +9=0
2、方程组⎨⎧x +y =0
⎩2x ++x +y -3=02解的情况是（ ）
A 、有两组相同的实数解 B 、有两组不同的实数解
C 、没有实数解 D 、不能确定
⎧x 2+y 2-1=03、方程组⎨有唯一解，则m 的值是（ ）
⎩y -x -m =0
A 、 B 、- C 、± D 、以上答案都不对
⎧y =x 2
4、方程组⎨有两组不同的实数解，则（ ）
⎩y =x +m
A 、m ≥-1111 B 、m ＞- C 、-＜m ＜ D 、以上答案都不对 4444
三、解下列方程组：
⎧x +y =51、⎨2； 2⎩x -y =15
⎧x +y =72、⎨2 2⎩x +y =25
22⎧⎪x -2xy +y =13、⎨2； 2⎪⎩2x -5xy -3y =0
⎧x +y =74、⎨； xy =12⎩
⎧x 2+y 2=135、⎨
⎩xy =6
⎧x 2+y 2=20四、m 为何值时，方程组⎨有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。
⎩x +y =m
参考答案
一、填空题：
⎧x =2⎧x 2+y 2=20⎧x 2+y 2=20⎧x 1=1⎧x 2=4⎪1、⎨，⎨；2、⎨，⎨； 1；3、⎨y =-⎩y 1=0⎩y 2=5⎩x -2y =0⎩x -3y =0⎪2⎩
⎧x 1=2⎧x 2=34、⎨，⎨；5、0 y =3y =2⎩1⎩2
二、选择题：ABCB
三、解下列方程组：
⎧x 1=3⎧x 2=4⎧x =41、⎨； 2、⎨，⎨； y =4y =3y =1⎩1⎩2⎩
33⎧⎧x =2x =-2⎪⎧x 1=1⎧x 2=-1⎪⎪32⎪423、⎨，⎨，⎨，⎨； y =-2y =211⎩1⎩2⎪y =2⎪y 4=-23⎪⎪22⎩⎩
⎧x 1=3⎧x 2=4，⎨； y =4y =3⎩1⎩2
⎧x 1=2⎧x 2=3⎧x 3=-2⎧x 4=-3，⎨，⎨，⎨。 ⎩y 1=3⎩y 2=2⎩y 3=-3⎩y 4=-24、⎨5、⎨
⎧⎧⎪x =⎪x =-四、m =±2；当m =2时，⎨；当m =-2时，⎨。 ⎪⎪⎩y =⎩y =-
2 015中考数学精选例题解析：二元二次方程组
知识考点：
了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。
精典例题：
【例1】解下列方程组：
1、⎨⎧2x -y =1
⎩10x -y -x +1=022；
⎧x +y =72、⎨； xy =6⎩
22⎧⎪x +y =103、⎨2 2⎪⎩x -3xy +2y =0
分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。（3）为Ⅱ型方程组，应将x 2-3xy +2y 2=0分解为x -y =0或x -2y =0与x 2+y 2=10配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
1⎧⎧x 1=0⎧x 1=6⎧x 2=1⎪x 2=-答案：（1）⎨，⎨，⎨ 2； （2）⎨y =-1y =1y =6⎩1⎩1⎩2⎪⎩y 2=-2
⎧⎧⎪x =22⎧x 4=-22⎪x 1=⎪x 2=-⎧ （3）⎨，⎨，⎨3，⎨ ⎪⎩y 4=-2⎩y 3=2⎩y 1= ⎪⎩y 2=-⎪
⎧y 2-4x -2y +1=0【例2】已知方程组⎨有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。 y =kx +2⎩
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：k 2x 2+(2k -4) x +1=0
2⎧⎪k ≠0 ⎨ 22⎪⎩∆=(2k -4) -4k =-16k +16>0
即⎨⎧k ≠0 ⎩k
∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
⎧3x 2+y =29⎧x 1=α1⎧x 2=α2【例3】方程组⎨的两组解是⎨，⎨不解方程组，求y =βy =β12⎩1⎩2⎩x +y =5
α1β2+α2β1的值。
分析：将y =5-x 代入①得x 的一元二次方程，α1、α2是两根，可用根与系数的关系，将β1=5-α1，β2=5-α2代入α1β2+α2β1后，用根与系数的关系即可求值。 答案：53 3
探索与创新：
⎧y 2=4x ⎧x 1=x 1⎧x 2=x 2【问题】已知方程组⎨的两组解是⎨和⎨且x 1x 1≠0，x 1≠y =y 1⎩1⎩y =2x +n ⎩y 2=y 2
x 2，设m =11。 +x 1x 2
（1）求n 的取值范围；
（2）试用含n 的代数式表示出m ；
（3）是否存在这样的n 值，使m 的值等于1？若存在，求出所有这样的n 值，若不存在，请说明理由。
略解：（1）将②代入①化简，由⎨⎧∆>01⇒n ＜且n ≠0 2⎩x 1x 2≠0
（2）利用根与系数的关系得：m =4(1-n ) 1（＜且n ≠0＝ n 2n 2
⎧4(1-n ) =1⎪⎪n 2 （3）⎨⇒n =-2-22 1⎪n
跟踪训练：
一、填空题：
⎧y =x +11、方程组⎨的解是。 2y =x -2x -3⎩
⎧x 2-4y 2=32、方程组⎨的解是。
⎩x +2y =1
⎧x 2+y 2=203、解方程组⎨时可先化为和两个方⎩(x -2y )(x -3y ) =0
程组。
⎧115⎪x +y =6⎪4、方程组⎨的解是
⎪11=1
⎪⎩x y 6
⎧x 1=a 1⎧x 2=a 2⎧x +y =a 的两组解为⎨，⎨，则a 1a 2-b 1b 2＝ ⎩y 1=b 1⎩y 2=b 2⎩xy =b 5、方程组⎨
二、选择题：
1、由方程组⎨⎧x -y =1
⎩(x -1) +(y +1) +4=022消去y 后得到的方程是（ ）
A 、2x 2-2x -3=0 B 、2x 2-2x +5=0
C 、2x 2+2x +1=0 D 、2x 2+2x +9=0
2、方程组⎨⎧x +y =0
⎩2x ++x +y -3=02解的情况是（ ）
A 、有两组相同的实数解 B 、有两组不同的实数解
C 、没有实数解 D 、不能确定
⎧x 2+y 2-1=03、方程组⎨有唯一解，则m 的值是（ ）
⎩y -x -m =0
A 、 B 、- C 、± D 、以上答案都不对
⎧y =x 2
4、方程组⎨有两组不同的实数解，则（ ）
⎩y =x +m
A 、m ≥-1111 B 、m ＞- C 、-＜m ＜ D 、以上答案都不对 4444
三、解下列方程组：
⎧x +y =51、⎨2； 2⎩x -y =15
⎧x +y =72、⎨2 2⎩x +y =25
22⎧⎪x -2xy +y =13、⎨2； 2⎪⎩2x -5xy -3y =0
⎧x +y =74、⎨； xy =12⎩
⎧x 2+y 2=135、⎨
⎩xy =6
⎧x 2+y 2=20四、m 为何值时，方程组⎨有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。
⎩x +y =m
参考答案
一、填空题：
⎧x =2⎧x 2+y 2=20⎧x 2+y 2=20⎧x 1=1⎧x 2=4⎪1、⎨，⎨；2、⎨，⎨； 1；3、⎨y =-⎩y 1=0⎩y 2=5⎩x -2y =0⎩x -3y =0⎪2⎩
⎧x 1=2⎧x 2=34、⎨，⎨；5、0 y =3y =2⎩1⎩2
二、选择题：ABCB
三、解下列方程组：
⎧x 1=3⎧x 2=4⎧x =41、⎨； 2、⎨，⎨； y =4y =3y =1⎩1⎩2⎩
33⎧⎧x =2x =-2⎪⎧x 1=1⎧x 2=-1⎪⎪32⎪423、⎨，⎨，⎨，⎨； y =-2y =211⎩1⎩2⎪y =2⎪y 4=-23⎪⎪22⎩⎩
⎧x 1=3⎧x 2=4，⎨； y =4y =3⎩1⎩2
⎧x 1=2⎧x 2=3⎧x 3=-2⎧x 4=-3，⎨，⎨，⎨。 ⎩y 1=3⎩y 2=2⎩y 3=-3⎩y 4=-24、⎨5、⎨
⎧⎧⎪x =⎪x =-四、m =±2；当m =2时，⎨；当m =-2时，⎨。 ⎪⎪⎩y =⎩y =-