本科毕业论文
(科研训练、毕业设计)
题 目：光的多普勒效应在天文上的应用
姓 名：侯锐
学 院：物理与机电工程学院
系：物理系
专 业：微电子学
年 级：2010级
学 号：[1**********]535
指导教师（校内）：于杨丽 职称：副教授
指导教师（校外）： 职称：
2014年 5 月 23 日
光的多普勒效应在天文上的应用
摘要 大学物理中我们学过，当观察者与警车相向运动时，警笛声音的频率变高，当观察者与警车相对远离时，警笛声音的频率变低，这种现象叫做多普勒效应。因为光也具有波动性，所以光也同样有多普勒效应，本文主要讨论光的多普勒效应在天文学上的应用，其中重点讨论多普勒斐索效应和红移现象，并利用Flash软件模拟宇宙中的红移现象，使其更易被理解。本文还推导光波多普勒效应频移公式，介绍了哈勃定律，根据频移公式和哈勃定律计算宇宙平均膨胀速度，宇宙的大小等。
关键词 普勒效应 频移公式 哈勃定律 宇宙膨胀
1
Applications of optical Doppler Effect on Astronomy
Abstract We have learned the Doppler Effect of sound in college physics, we learned that when the observer and the police move oppositely, siren sound frequency becomes higher, when the observer and the police car move relatively far away, siren sound frequency becomes lower. Because the light has properties of wave, the light would also have the Doppler Effect phenomenon. This paper discusses the application of optical Doppler Effect on astronomy, and focuses on red shift phenomenon. By using Flash software simulates red shift phenomenon of universe, it would be understood easily. The article also deduces formulas of Doppler frequency shift effect, and describes Hubble's law; the size of the universe is calculated based on the frequency shift formula and Hubble's law.
Key words Doppler Effect; frequency shift formula; Hubble’s law; cosmic expansion
目录
摘要 ........................................................................................................................................................................... 1
Abstract ................................................................................................................................................................... 2
引言 ........................................................................................................................................................................... 1
第一章 多普勒效应及在天文上的应用 ........................................................................................................... 2
1.1
1.2
第二章 多普勒效应的起源与发展 ................................................................................................................ 2 多普勒效应在天文方面的应用简介 ................................................................................................ 3 光波多普勒效应和红移 ....................................................................................................................... 5
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
第三章 多普勒-斐索效应 ............................................................................................................................... 5 多普勒-斐索效应的应用 ................................................................................................................... 5 光的多普勒效应频移公式的推导 .................................................................................................... 6 对红移公式的讨论 ............................................................................................................................ 8 求发光天体的径向速度 .................................................................................................................... 9 宇宙的模型 ......................................................................................................................................... 10
3.1
3.2
3.3
第四章 哈勃定律 .......................................................................................................................................... 10 宇宙膨胀论 ...................................................................................................................................... 10 宇宙的寿命和大小 .......................................................................................................................... 12 Flash动画模拟 .................................................................................................................................... 13
4.1
4.2 模拟多普勒效应 .............................................................................................................................. 13 模拟宇宙膨胀 .................................................................................................................................. 13
结论 ......................................................................................................................................................................... 15
致谢语 ..................................................................................................................................................................... 16
[参考文献] ............................................................................................................................................................. 17
引言
目前，光的多普勒效应在天文上有许多重的要应用，是研究宇宙运动的基础理论。利用宇宙中某种元素方发出的光谱线的变化可以确定宇宙中的天体是向着、还是背离地球而运动，这是光的多普勒效应最基础的应用。由于光波频率的变化会使人感觉到颜色的变化，如果恒星远离我们而去，则光的谱线就向红光方向移动，称为红移；如果恒星朝向我们运动，光的谱线就向紫光方向移动，称为蓝移。对比天体所发出的光的光谱和在实验室中得到的光谱，则可以发现天体所发出的光的谱线的位移，从而得到星体（或星体中莫一部分）是朝向还是远离我们运动。目前，经过相对理论的修正，这一理论被广泛的应用，成为研究天文学中天体运动的重要理论工具。
第一章 多普勒效应及在天文上的应用
1.1 多普勒效应的起源与发展
1842年奥地利一位名叫多普勒的数学家、物理学家。有一天，他路过铁路交叉处，一列火车从他身旁驰过，他发现火车从远处开来时汽笛声变响，音调变高，而火车从近处开远时汽笛声变弱，音调变低。他对这个现象进行了研究，发现这是由于振源与观察者之间存在着相对运动，使观察者听到的声音频率不同于振源频率，这就是频移现象。因为，声源相对于观测者在运动时，观测者所听到的声音会发生变化。当声源离观测者而去时，声波的波长增加，音调变得低沉，当声源接近观测者时，声波的波长减小，音调就变高。音调的变化同声源与观测者间的相对速度和声速的比值有关。这一比值越大，改变就越显著，后人把它称为“多普勒效应”。对于光波，光源与观测者之间距离的改变同样会使得光波的频率发生改变，产生频移现象。
多普勒效应提出时，光的波动理论已经被普遍接受，但光谱技术的发展还处于初期阶段。因而，多普勒提出他的效应是有相当大的风险的。他没有足够的实验数据作基础，没有充分的事实作依据，更没有经过适当的手段来验证，加上多普勒本人从来就没有进入过天文台，提出星体运动的颜色变化，理所当然会遭到一些批评和反对。但多普勒具有非凡的胆识和超人的智慧，凭借波动理论的基础，靠着严密的数学推导，得出了这一原理，虽然作为这一原理两条基本假定是不正确的，因而其表述听起来过于夸张甚至近于荒唐（例如提到向我们靠近的星体的颜色会从白变绿变蓝变紫），但他毕竟是第一次向人们提出了这种效应的存在，并且正确得出了计算学频移的公式，因而他的这一贡献是很了不起的，为宇宙的探索打开了一个全新的篇章。经过相对论理论的修正，多普勒效应成为一个重要的天文学工具。
1.2 多普勒效应在天文方面的应用简介
（1）应用多普勒效应测量天体运动：天文学家把观测的来自发光天体的光谱和地球上相同元素的光谱进行比较，得到的的多普勒位移，因视向速度是相对于观测者的，所以还应加上地球自转、地球绕太阳质心公转影响的更正，最后归算为相对于太阳系质心的视向速度。大约已测3 万颗恒星的视向速度，约60%在20 km/ s之间，近4%大于60 km/ s，最大的超过500km/ s。有了恒星运动的资料，就可以推算它们以前和以后在太空的运行情况。例如，北斗七星各自运行不同，在10 万年前和10 万年后的位形跟现在大不一样（见图1）。
图1北斗七星位置
（2）应用多普勒效应研究“日震”及太阳黑子等活动：根据太阳上某些元素的光谱（比如氢光谱）的分析，我们可以得到太阳表面活动的信息。1960 年，莱顿作了光球的高精度多普勒位移观测，发现太阳表面不断的上下起伏运动，其震荡周期约300秒，振幅约1公里/秒，故称为“5分钟震荡”。20世纪70年代中期，希尔又发现周期20 分钟到1 小时的较慢震荡，塞沃尼等发现周期160分钟震荡（或称为“太阳脉动”）。后来又应用多普勒效应观测到了许多震荡模式，它们的周期约3 分钟-12分钟。对太阳震荡的进一步观测研究可能得到太阳内部信息，由太阳与日球观测台（SOHO）的多普勒摄像仪可以测定黑子周围及其下面的声速， 因而得到气体的温度和运动，作出黑子内部及其下面的物理环境三维图（见图2）。黑子是强磁场区，约束太阳的离子气体，阻断下面的对流向上加热表面，因此，黑子内的气体有机会冷却而黑暗。
图2 SOHO飞船的多普勒摄像仪得到的黑子物质环流三维图
（3）应用多普勒效应可以分析一些双星系统：双星系统是指由两颗恒星组成，相对于其他恒星来说，位置看起来非常靠近的天体系统。许多双星的两子星角距很小，甚至用望远镜也分辨不出来，但可以从它们的光谱线周期性多普勒位移来确定双星的轨道要素。当双星轨道面法线与视向交角较大时，相互绕转的子星就有视向速度周期性变化。当两子星都较亮时，当它们绕到A1和B1位置时，运动速度都垂直于视向，光谱线都没有位移而重叠；当它们转到位置A2和B2时，A2有间接的视向速度，所以其谱线出现蓝移（紫移），而B2有远离的视向速度，所以其谱线出现红移现象，可以观测到每颗星的谱线交替蓝移（紫移）和红移（双谱），得到两条视向速度（随时间变化）曲线。若一颗子星很暗，那么就只能观测到单星谱线的周期性位移（单谱），得到一条视向速度曲线（见图3）。
图3
第二章 光波多普勒效应和红移
2.1 多普勒-斐索效应
1848年，法国物理学家斐索独立地对来自恒星的波长偏移做出了解释，他指出，注意光谱线的位置能够取得观测光的多普勒效应的最佳效果。光波频率的变化使人感觉到是颜色的变化。如果恒星远离我们而去，则光的谱线就向红光方向移动，称为红移;如果恒星朝向我们运动，光的谱线就向紫光方向移动，称为蓝移。因此，人们把光的多普勒效应称为多普勒－斐索效应（见图4）。
图4 多普勒斐索效应
当光源靠近时，光谱线会移向紫端（左边）；而当光源远离时，光谱线则移向红端（右边）。
2.2 多普勒-斐索效应的应用
多普勒-斐索效应已经应用在各个不同的方面。首先，它可以用来以一种新的方式证实太阳的自转。在太阳自转的过程中，太阳正在转向我们的边缘所发出的光谱线会向蓝色偏移（蓝移）；而另一边缘所发出的光谱线则显示出红移，因为这一边缘正在远离我们而去。
多普勒－斐索效应可以用于任何距离的天体，只要能使那些天体产生出可供研究的光谱。因此，它最突出的成果是在恒星的研究方面。1868年，英国天文学家W.
哈金斯测量了天狼星
的视向速度，并宣布它正在以47km/s的速度远离我们而去。1890年，美国天文学家J.E.惠勒使用更精确的仪器，取得大量可靠的数据。例如，他指出，大角星正在以6km/s的速度接近我们。1912年，美国天文学家斯里弗在测量仙女座星系的视向速度时发现，这个星系正在以大约200km/s的速度朝我们运行。可是，当他继续观测其他星系时，发现它们中大部分都在远离我们而去。1914年，斯里弗获得15个星系的数据，其中有13个都在以每秒数百公里的速度急速退行。
随着对这些线索的继续研究，情况变得更加明朗了。除了几个最近的星系外，所有的星系都在远离我们而去。而且，随着技术的进步，使人们能够探测到更暗而且可能是更远的星系，观察到的红移也进一步增加了。
2.3 光的多普勒效应频移公式的推导
设光源S 相对观测者O 以速度u 移动，光源S 所发出光波的固有频率为v0，观测者O接收到的光波频率为v 。假设t 时刻光源S 在距离观测者O 为r1处发出一光信号，经传播，在t1时刻被观测者O 所接收；t′时刻光源S 在距离观测者O 为r 2 处再次发出信号，经传播，在t2时刻被观测者O 所接收（见图5）。
图5 光源与观测者的相对运动
按照光速不变原理，光的传播速度与光源相对观测者的运动无关，显然，由上述假设可以得到：
将式( 2)与式(1)相减得到
t1=t+c1 t2=t′+c2rr（1） （2）
∆t=t2−t1=t′- t+
r2−r1c
= ∆t′+
r2−r1c
（3）
需要明确的是，这里的t、t′、 t1、t2 均是观测者O 所在的实验室坐标系的时钟所记录的时间。其中， t1、t2是观测者O 所在处的一只时钟所记录的时间；t、t′则分别是位于r1、r2处的两只时钟记录的时间。光源S 在位置r1和位置r 2连续两次发出光信号的时间间隔是一个周期T，即T = t′- t（这是分别位于r1、r 2处的两只时钟所记录的时间），观测者O 所接收到的光信号周期为T′，即T′=t2−t1（这是位于观测者O 处的一只时钟所记录的时间），由于T 很短，（r2−r1）为一小量， 由图中可知有如下近似关系
将式（4）代入式（3）得到
T′=T+
Tucosθ
C
r2−r1=Tucosθ
（4）
ucosθC
（5）
根据狭义相对论， 在实验室坐标系的时钟所记录的时间不同于固定在光源坐标系的时钟所记录的固有时间， 将发生所谓“时间膨胀”效应。即位于r 2、r1处的两只时钟记录的时间间隔T = t′- t 相对于光源发光的同有周期T0而言是发生了“膨胀”的时间，按照相对论的“时间膨胀”效应，T与T0 的关系为
将式（6）代入式（5）得到：
T′=
1− 1−C
（6）
ucosθC
（7）
由于不同坐标系的观测者所观测光源发出光信号的数目是相同的。因此，由式（7）可得到对应的频率关系为
ν=ν
1+
1−u0
（8）
式（8）正是光波多普勒效应的表达式， 也是红移公式。 因为λ
=ν ，λ=ν ，所以式（8）可以改写成
cc
λ=λ
1+0
ucosθ 1−c
（9）
式（9）也可以看做是光波多普勒效应的表达式。
2.4 对红移公式的讨论
根据上一节的推导，光波多普勒效应表达式为：
下面对该公式进行讨论：
（1） 当θ=0时，cosθ=1， ν=ν
u
u1+ν=ν
c1+
1−u （8）
u1+1−
。
因为 0
1−
1 ，ν=ν
u
1+1−
0 ，此时，光源
S远离观察者O，在光
（2） 当0
π
c1+
1−uν0 ，此时，光源S远离观察者O，
观察者所看到的光的频率逐渐变小，在光谱上显示红移；
（3） 当θ=2时，cosθ=0，ν=ν0 1−cν0 ，此时，光源S远离观察者O，在光谱上显示红移；
（4） 当 2
π
c1+
π
u2
1−u0
>ν0 ，此时，光源S接近观察者
O，观察者所看到的光的频率逐渐变大，在光谱上显示蓝移；
（5） 当θ=π 时，cosθ=-1，ν=ν0
光谱上显示蓝移。
u
1−1+
>ν0 ，此时，光源S接近观察者O，在
2.5 求发光天体的径向速度
令v= ucosθ，可看作天体运动的径向速度，设β=
ν=ν
0 1−β1+β
ucosθc
，则
（10） （11）
λ=λ0 1−β1+β
观察发光星体发出的光谱，同时在实验室中用已知和精确的波长制作一个光源的光谱，比较得出位移量。比如测量恒星天兔座δ的红移量，大部分恒星的光谱中都有一条线，来自Ca元素，称为Ca k线。实验室测得的Ca k线波长λ0=3933.664A，测量得到的恒星天兔座δ的Ca k线波长λ=3934.962A，根据式（11）可得β=3.3×10−4，c=3×108m/s，径向速度v= ucosθ=99km/s。
对于星系，当获得这些星系的一个光谱，当然得到的是成千上万恒星的平均值，但那仍然是我们能够计算出红移量，星系的平均红移量，从而计算他们的平均速度。
第三章 宇宙的模型
3.1 哈勃定律
1929年，哈勃研究24个距离已知的河外星系，测量这些星系的谱线之后，他发现这些星系存在系统性红移现象，而且红移量
与星系到我们的距离d成正比，即：
Z= k·d
（13）
Z=
λ−λ0
λ0
（12）
式中k为比例常数。这种星系系统性红移现象后来被称为星系哈勃红移。至于星系红移产生的原因，哈勃很自然地认为是光波的多普勒效应产生的。这样，被测星系相对于我们的视向退行速度V 与红移量Z 的关系为：
于是有：
V=H0d
（15）
V = c·Z
（14）
式中H0为哈勃常数，单位为km/（s·Mpc），Mpc表示百万秒差距，1 Mpc=3.26×106光年，现在测量得到的H0=72km/（s·Mpc）。上式就是哈勃关系式，也称哈勃定律。概括为：被测星系相对于我们的视向退行速度与我们到被测星系的距离成正比。
在上一章计算得到恒星天兔座δ的退行径向速度v=99km/s。根据哈勃定律可以计算出恒星天兔座δ距离地球1.375Mpc。
3.2 宇宙膨胀论
1917 年，爱因斯坦建立了广义相对论，开创了现代宇宙学的理论研究。爱因斯坦放弃了无限空间的概念，认为宇宙的体积是有限的，但是没有边界。对于宇宙而言，单个恒星作微小的运动，可以忽略不计，进而可以把宇宙近似地看成静止不动的。1924 年，弗里德曼在广
义相对论的框架下，从理论上论证了宇宙要么膨胀，要么收缩，决不会保持静止状态。这样，只有判定作为宇宙基本成员的星系究竟是运动的还是静止的，才能确定宇宙的运动状态。由于星系离我们实在太遥远，因此，至少在目前的技术条件下不可能测定星系的自行。1929 年，哈勃在仔细研究了一批星系的光谱之后发现，除了与银河系较近的三个星系表现为向银河靠近的蓝移外，其他所有星系光谱都表现出红移，而且红移量大致同星系的距离成正比。
根据公式
ffB
=[
2n
1B1−A
1−
]=
1−1
CrB
[] 1−CrA
2GM
（16）
光波从离星球为无穷远处发出，经过星球，再到达无穷远处，初、末频率相等，因此光波经过星球不会产生红移。光波从星系中的恒星发出，到达地球（设地球离恒星的距离为无穷远）， 尽管由式（16）知，光谱发生红移，但是非常小，很容易被其他因素（如热运动）所淹没。例如，对于太阳，质量M= 1. 99×106 Kg，半径r A= 6. 96×105Km，令rB为无穷大。由式（16）得，太阳的谱线红移
（17）
所有恒星的质量差别不大，均为太阳质量的0. 07 至120 倍，因而红移都相当小。星系是由恒星组成的，故其光谱红移不可能是恒星的引力场产生的，只能由光波多普勒效应产生。星系中数十亿至数千亿颗恒星的运动是随机分布的，各种方向都有，所以纵向速度VS有正有负，光波的谱线有的蓝移，有的红移，而且它们势均力敌，故恒星的纵向运动不能形成星系的光谱红移。这样，红移应解释为整个星系的纵向多普勒效应。根据式（8），只有星系离开我们而去，星系的谱线才能红移。这表明，所有星系远离我们而去。由于我们在宇宙中并不处于特殊的中心位置，因而宇宙中所有星系都在彼此远离，即宇宙处于普遍的膨胀之中。如果星系目前正在彼此远离，那么它们过去必定靠得更近。继续这一推理就意味着过去必定存在一个有限的时刻，那一时刻就是宇宙的开端，也就是通常被称为大爆炸，由此得到宇宙大爆炸模型。该模型认为: 宇宙发端于距今100 多亿年前的大爆炸，随后以指数方式膨胀着， 内部发生真空相变，产生基本粒子，形成星系。星系本身内部分裂成千千万万颗恒星。恒星周围的尘粒通过相互吸引碰撞粘合，最后形成从小行星到大行星的形形色色的天体。
3.3 宇宙的寿命和大小
假设有两个相距为d的天体，在宇宙大爆炸时是一体的，假设大爆炸时一直以速度v相对远离，则
tage是宇宙的寿命。
根据哈勃定律，将式（18）代入式（15）可得：
tage=
1H0
d=v×tage
（18）
≈4.3×1017s≈140亿年
（19）
根据式（19），我们可知宇宙的年龄大概在140亿年左右，也就是说从宇宙大爆炸到现在有140亿年。
那我们看到最远的发光天体距离我们有多远呢？若将式（15）中的V换成光速C，则可得到：
dmax=H≈140亿光年
C
（20）
也就是说我们看到的最远的发光天体所发出的光是来自140亿年前，在dmax距离之外的东西我们绝对看不到。这是因为当V=C时：
β=1 λ→∞ ν→0
此时光子中没有能量了，那就是我们可见宇宙的边缘。
第四章 Flash动画模拟
4.1 模拟多普勒效应
Flash是一种动画创作和应用程序开发于一身的创作软件，他可以包含简单的动画、视频内容、复杂演示文稿和应用程序以及介于它们之间的任何内容。在本论文中利用该软件模拟发光天体在远离地球时产生的红移现象。
动画中发光天体从右向左运动（远离地球），天体在运动的过程中向外发出光，在实验室观测到的某一元素的光谱和标准光谱对比发现，观测到的波长变大，频率变小，发生红移，如图6所示。
图6多普勒效应模拟动画
4.2 模拟宇宙膨胀
通过观测我们发现宇宙中的大部分天体都在远离我们而去，假设整个宇宙是一个带有点状图案的巨大气球，宇宙中的天体、星系就是气球上的点状图案。当气球被慢慢吹起来时，气球上的点状图案相互之间的距离也慢慢增大（如图7、8）假设我们站在其中任意一个点上，我们都看到周围的点在远离我们而去。所以当我们根据多普勒效应观测到发光天体的红移效应时，我们知道天体在远离我们，进而得出宇宙膨胀的理论。
图7 宇宙膨胀模拟第一帧
图8 宇宙膨胀模拟最后一帧
结论
多普勒效应在天文学中的应用有很多，是研究天体运动的基本理论，本篇论文重点讨论了光的多普勒效应引起的红移现象，通过比较发光天体中某些元素的光谱线和实验室中该元素的光谱线，验证星体是朝向或是远离地球运动。本文从多普勒斐索效应到哈勃定律，系统地讨论了从多普勒效应验证宇宙大爆炸理论的过程。本篇论文的完成历时半个学期，在此期间的主要任务是查阅文献、资料，了解多普勒效应的应用后决定论文写作方向，之后再学习Flash软件，用软件模拟多普勒效应与红移。本篇论文的亮点在于用Flash软件模拟红移现象和宇宙膨胀。不足之处在于数学计算部分相对薄弱，只有频移公式的推导，少了其他方面数学模型的理论支持。
致谢语
完成这篇论文要感谢指导老师于杨丽老师在百忙之中给我进行指导。从论文选题开始，到分阶段任务安排，以及论文的检查，在这整个过程中于老师都耐心的和我沟通，给予我帮助和指导。在此本人对于老师表示由衷的感谢。
其次，我还要感谢同组的同学们，在选题初期和查阅资料时，同组的同学资料共享，让大家都彼此节省了很多的精力和时间并收集了大于一个人能收集到的资料。在此本人对同组同学的分享表示感谢。
最后，本人要在此感谢母校厦门大学对我的栽培，用“自强不息，止于至善”这八个字影响我的学习和生活。
厦门大学本科毕业论文 致谢语
[参考文献]
[1]杨晓瑞.多普勒效应在天文上的应用[J]. 中学物理, 2012年1月,Vol.30 No.01:74-76.
[2]姚文勇.试论宇宙红移[J]. 重庆师范学院学报（自然科学版）, 1999年6月,Vol.16 Supple:99-101.
[3]许少知.宇宙膨胀是星系红移之原吗—也谈“宇爆论”的漏洞[J].发明与创新,2004年10月：33-35.
[4]赵敏.光的多普勒效应与引力红移[J].河北理科教学研究，2004年1月，Vol.2：58-59.
[5]何香涛.哈勃定律和哈勃常数测定的进展[J].大学物理，1994年1月，Vol.13 No.1:3-9.
[6]钟锡华.多普勒频移的普遍公式[J].大学物理，1995年10月，Vol.14 No.10:16-18.
[7]Gillispie C C. Dictionary of Scientific Biography. Vol.4.New York: Charles Scribner’s Sons, 1981.167-168.
[8]Gill T P. The Doppler effect. London : Logos Press , 1965. 133 —142.
[9]C.基特尔等著.伯克利物理学教程，第一卷.陈秉乾等译.北京：科学出版社，1979.
[10]张凡.Flash动画设计（第三版）[M].北京：机械工业出版社，2013年9月.
[11]付朝军.用Flash制作多媒体课件使用技巧[M].北京：清华大学出版社，2012年8月.
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本科毕业论文
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题 目：光的多普勒效应在天文上的应用
姓 名：侯锐
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系：物理系
专 业：微电子学
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指导教师（校内）：于杨丽 职称：副教授
指导教师（校外）： 职称：
2014年 5 月 23 日
光的多普勒效应在天文上的应用
摘要 大学物理中我们学过，当观察者与警车相向运动时，警笛声音的频率变高，当观察者与警车相对远离时，警笛声音的频率变低，这种现象叫做多普勒效应。因为光也具有波动性，所以光也同样有多普勒效应，本文主要讨论光的多普勒效应在天文学上的应用，其中重点讨论多普勒斐索效应和红移现象，并利用Flash软件模拟宇宙中的红移现象，使其更易被理解。本文还推导光波多普勒效应频移公式，介绍了哈勃定律，根据频移公式和哈勃定律计算宇宙平均膨胀速度，宇宙的大小等。
关键词 普勒效应 频移公式 哈勃定律 宇宙膨胀
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Applications of optical Doppler Effect on Astronomy
Abstract We have learned the Doppler Effect of sound in college physics, we learned that when the observer and the police move oppositely, siren sound frequency becomes higher, when the observer and the police car move relatively far away, siren sound frequency becomes lower. Because the light has properties of wave, the light would also have the Doppler Effect phenomenon. This paper discusses the application of optical Doppler Effect on astronomy, and focuses on red shift phenomenon. By using Flash software simulates red shift phenomenon of universe, it would be understood easily. The article also deduces formulas of Doppler frequency shift effect, and describes Hubble's law; the size of the universe is calculated based on the frequency shift formula and Hubble's law.
Key words Doppler Effect; frequency shift formula; Hubble’s law; cosmic expansion
目录
摘要 ........................................................................................................................................................................... 1
Abstract ................................................................................................................................................................... 2
引言 ........................................................................................................................................................................... 1
第一章 多普勒效应及在天文上的应用 ........................................................................................................... 2
1.1
1.2
第二章 多普勒效应的起源与发展 ................................................................................................................ 2 多普勒效应在天文方面的应用简介 ................................................................................................ 3 光波多普勒效应和红移 ....................................................................................................................... 5
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
第三章 多普勒-斐索效应 ............................................................................................................................... 5 多普勒-斐索效应的应用 ................................................................................................................... 5 光的多普勒效应频移公式的推导 .................................................................................................... 6 对红移公式的讨论 ............................................................................................................................ 8 求发光天体的径向速度 .................................................................................................................... 9 宇宙的模型 ......................................................................................................................................... 10
3.1
3.2
3.3
第四章 哈勃定律 .......................................................................................................................................... 10 宇宙膨胀论 ...................................................................................................................................... 10 宇宙的寿命和大小 .......................................................................................................................... 12 Flash动画模拟 .................................................................................................................................... 13
4.1
4.2 模拟多普勒效应 .............................................................................................................................. 13 模拟宇宙膨胀 .................................................................................................................................. 13
结论 ......................................................................................................................................................................... 15
致谢语 ..................................................................................................................................................................... 16
[参考文献] ............................................................................................................................................................. 17
引言
目前，光的多普勒效应在天文上有许多重的要应用，是研究宇宙运动的基础理论。利用宇宙中某种元素方发出的光谱线的变化可以确定宇宙中的天体是向着、还是背离地球而运动，这是光的多普勒效应最基础的应用。由于光波频率的变化会使人感觉到颜色的变化，如果恒星远离我们而去，则光的谱线就向红光方向移动，称为红移；如果恒星朝向我们运动，光的谱线就向紫光方向移动，称为蓝移。对比天体所发出的光的光谱和在实验室中得到的光谱，则可以发现天体所发出的光的谱线的位移，从而得到星体（或星体中莫一部分）是朝向还是远离我们运动。目前，经过相对理论的修正，这一理论被广泛的应用，成为研究天文学中天体运动的重要理论工具。
第一章 多普勒效应及在天文上的应用
1.1 多普勒效应的起源与发展
1842年奥地利一位名叫多普勒的数学家、物理学家。有一天，他路过铁路交叉处，一列火车从他身旁驰过，他发现火车从远处开来时汽笛声变响，音调变高，而火车从近处开远时汽笛声变弱，音调变低。他对这个现象进行了研究，发现这是由于振源与观察者之间存在着相对运动，使观察者听到的声音频率不同于振源频率，这就是频移现象。因为，声源相对于观测者在运动时，观测者所听到的声音会发生变化。当声源离观测者而去时，声波的波长增加，音调变得低沉，当声源接近观测者时，声波的波长减小，音调就变高。音调的变化同声源与观测者间的相对速度和声速的比值有关。这一比值越大，改变就越显著，后人把它称为“多普勒效应”。对于光波，光源与观测者之间距离的改变同样会使得光波的频率发生改变，产生频移现象。
多普勒效应提出时，光的波动理论已经被普遍接受，但光谱技术的发展还处于初期阶段。因而，多普勒提出他的效应是有相当大的风险的。他没有足够的实验数据作基础，没有充分的事实作依据，更没有经过适当的手段来验证，加上多普勒本人从来就没有进入过天文台，提出星体运动的颜色变化，理所当然会遭到一些批评和反对。但多普勒具有非凡的胆识和超人的智慧，凭借波动理论的基础，靠着严密的数学推导，得出了这一原理，虽然作为这一原理两条基本假定是不正确的，因而其表述听起来过于夸张甚至近于荒唐（例如提到向我们靠近的星体的颜色会从白变绿变蓝变紫），但他毕竟是第一次向人们提出了这种效应的存在，并且正确得出了计算学频移的公式，因而他的这一贡献是很了不起的，为宇宙的探索打开了一个全新的篇章。经过相对论理论的修正，多普勒效应成为一个重要的天文学工具。
1.2 多普勒效应在天文方面的应用简介
（1）应用多普勒效应测量天体运动：天文学家把观测的来自发光天体的光谱和地球上相同元素的光谱进行比较，得到的的多普勒位移，因视向速度是相对于观测者的，所以还应加上地球自转、地球绕太阳质心公转影响的更正，最后归算为相对于太阳系质心的视向速度。大约已测3 万颗恒星的视向速度，约60%在20 km/ s之间，近4%大于60 km/ s，最大的超过500km/ s。有了恒星运动的资料，就可以推算它们以前和以后在太空的运行情况。例如，北斗七星各自运行不同，在10 万年前和10 万年后的位形跟现在大不一样（见图1）。
图1北斗七星位置
（2）应用多普勒效应研究“日震”及太阳黑子等活动：根据太阳上某些元素的光谱（比如氢光谱）的分析，我们可以得到太阳表面活动的信息。1960 年，莱顿作了光球的高精度多普勒位移观测，发现太阳表面不断的上下起伏运动，其震荡周期约300秒，振幅约1公里/秒，故称为“5分钟震荡”。20世纪70年代中期，希尔又发现周期20 分钟到1 小时的较慢震荡，塞沃尼等发现周期160分钟震荡（或称为“太阳脉动”）。后来又应用多普勒效应观测到了许多震荡模式，它们的周期约3 分钟-12分钟。对太阳震荡的进一步观测研究可能得到太阳内部信息，由太阳与日球观测台（SOHO）的多普勒摄像仪可以测定黑子周围及其下面的声速， 因而得到气体的温度和运动，作出黑子内部及其下面的物理环境三维图（见图2）。黑子是强磁场区，约束太阳的离子气体，阻断下面的对流向上加热表面，因此，黑子内的气体有机会冷却而黑暗。
图2 SOHO飞船的多普勒摄像仪得到的黑子物质环流三维图
（3）应用多普勒效应可以分析一些双星系统：双星系统是指由两颗恒星组成，相对于其他恒星来说，位置看起来非常靠近的天体系统。许多双星的两子星角距很小，甚至用望远镜也分辨不出来，但可以从它们的光谱线周期性多普勒位移来确定双星的轨道要素。当双星轨道面法线与视向交角较大时，相互绕转的子星就有视向速度周期性变化。当两子星都较亮时，当它们绕到A1和B1位置时，运动速度都垂直于视向，光谱线都没有位移而重叠；当它们转到位置A2和B2时，A2有间接的视向速度，所以其谱线出现蓝移（紫移），而B2有远离的视向速度，所以其谱线出现红移现象，可以观测到每颗星的谱线交替蓝移（紫移）和红移（双谱），得到两条视向速度（随时间变化）曲线。若一颗子星很暗，那么就只能观测到单星谱线的周期性位移（单谱），得到一条视向速度曲线（见图3）。
图3
第二章 光波多普勒效应和红移
2.1 多普勒-斐索效应
1848年，法国物理学家斐索独立地对来自恒星的波长偏移做出了解释，他指出，注意光谱线的位置能够取得观测光的多普勒效应的最佳效果。光波频率的变化使人感觉到是颜色的变化。如果恒星远离我们而去，则光的谱线就向红光方向移动，称为红移;如果恒星朝向我们运动，光的谱线就向紫光方向移动，称为蓝移。因此，人们把光的多普勒效应称为多普勒－斐索效应（见图4）。
图4 多普勒斐索效应
当光源靠近时，光谱线会移向紫端（左边）；而当光源远离时，光谱线则移向红端（右边）。
2.2 多普勒-斐索效应的应用
多普勒-斐索效应已经应用在各个不同的方面。首先，它可以用来以一种新的方式证实太阳的自转。在太阳自转的过程中，太阳正在转向我们的边缘所发出的光谱线会向蓝色偏移（蓝移）；而另一边缘所发出的光谱线则显示出红移，因为这一边缘正在远离我们而去。
多普勒－斐索效应可以用于任何距离的天体，只要能使那些天体产生出可供研究的光谱。因此，它最突出的成果是在恒星的研究方面。1868年，英国天文学家W.
哈金斯测量了天狼星
的视向速度，并宣布它正在以47km/s的速度远离我们而去。1890年，美国天文学家J.E.惠勒使用更精确的仪器，取得大量可靠的数据。例如，他指出，大角星正在以6km/s的速度接近我们。1912年，美国天文学家斯里弗在测量仙女座星系的视向速度时发现，这个星系正在以大约200km/s的速度朝我们运行。可是，当他继续观测其他星系时，发现它们中大部分都在远离我们而去。1914年，斯里弗获得15个星系的数据，其中有13个都在以每秒数百公里的速度急速退行。
随着对这些线索的继续研究，情况变得更加明朗了。除了几个最近的星系外，所有的星系都在远离我们而去。而且，随着技术的进步，使人们能够探测到更暗而且可能是更远的星系，观察到的红移也进一步增加了。
2.3 光的多普勒效应频移公式的推导
设光源S 相对观测者O 以速度u 移动，光源S 所发出光波的固有频率为v0，观测者O接收到的光波频率为v 。假设t 时刻光源S 在距离观测者O 为r1处发出一光信号，经传播，在t1时刻被观测者O 所接收；t′时刻光源S 在距离观测者O 为r 2 处再次发出信号，经传播，在t2时刻被观测者O 所接收（见图5）。
图5 光源与观测者的相对运动
按照光速不变原理，光的传播速度与光源相对观测者的运动无关，显然，由上述假设可以得到：
将式( 2)与式(1)相减得到
t1=t+c1 t2=t′+c2rr（1） （2）
∆t=t2−t1=t′- t+
r2−r1c
= ∆t′+
r2−r1c
（3）
需要明确的是，这里的t、t′、 t1、t2 均是观测者O 所在的实验室坐标系的时钟所记录的时间。其中， t1、t2是观测者O 所在处的一只时钟所记录的时间；t、t′则分别是位于r1、r2处的两只时钟记录的时间。光源S 在位置r1和位置r 2连续两次发出光信号的时间间隔是一个周期T，即T = t′- t（这是分别位于r1、r 2处的两只时钟所记录的时间），观测者O 所接收到的光信号周期为T′，即T′=t2−t1（这是位于观测者O 处的一只时钟所记录的时间），由于T 很短，（r2−r1）为一小量， 由图中可知有如下近似关系
将式（4）代入式（3）得到
T′=T+
Tucosθ
C
r2−r1=Tucosθ
（4）
ucosθC
（5）
根据狭义相对论， 在实验室坐标系的时钟所记录的时间不同于固定在光源坐标系的时钟所记录的固有时间， 将发生所谓“时间膨胀”效应。即位于r 2、r1处的两只时钟记录的时间间隔T = t′- t 相对于光源发光的同有周期T0而言是发生了“膨胀”的时间，按照相对论的“时间膨胀”效应，T与T0 的关系为
将式（6）代入式（5）得到：
T′=
1− 1−C
（6）
ucosθC
（7）
由于不同坐标系的观测者所观测光源发出光信号的数目是相同的。因此，由式（7）可得到对应的频率关系为
ν=ν
1+
1−u0
（8）
式（8）正是光波多普勒效应的表达式， 也是红移公式。 因为λ
=ν ，λ=ν ，所以式（8）可以改写成
cc
λ=λ
1+0
ucosθ 1−c
（9）
式（9）也可以看做是光波多普勒效应的表达式。
2.4 对红移公式的讨论
根据上一节的推导，光波多普勒效应表达式为：
下面对该公式进行讨论：
（1） 当θ=0时，cosθ=1， ν=ν
u
u1+ν=ν
c1+
1−u （8）
u1+1−
。
因为 0
1−
1 ，ν=ν
u
1+1−
0 ，此时，光源
S远离观察者O，在光
（2） 当0
π
c1+
1−uν0 ，此时，光源S远离观察者O，
观察者所看到的光的频率逐渐变小，在光谱上显示红移；
（3） 当θ=2时，cosθ=0，ν=ν0 1−cν0 ，此时，光源S远离观察者O，在光谱上显示红移；
（4） 当 2
π
c1+
π
u2
1−u0
>ν0 ，此时，光源S接近观察者
O，观察者所看到的光的频率逐渐变大，在光谱上显示蓝移；
（5） 当θ=π 时，cosθ=-1，ν=ν0
光谱上显示蓝移。
u
1−1+
>ν0 ，此时，光源S接近观察者O，在
2.5 求发光天体的径向速度
令v= ucosθ，可看作天体运动的径向速度，设β=
ν=ν
0 1−β1+β
ucosθc
，则
（10） （11）
λ=λ0 1−β1+β
观察发光星体发出的光谱，同时在实验室中用已知和精确的波长制作一个光源的光谱，比较得出位移量。比如测量恒星天兔座δ的红移量，大部分恒星的光谱中都有一条线，来自Ca元素，称为Ca k线。实验室测得的Ca k线波长λ0=3933.664A，测量得到的恒星天兔座δ的Ca k线波长λ=3934.962A，根据式（11）可得β=3.3×10−4，c=3×108m/s，径向速度v= ucosθ=99km/s。
对于星系，当获得这些星系的一个光谱，当然得到的是成千上万恒星的平均值，但那仍然是我们能够计算出红移量，星系的平均红移量，从而计算他们的平均速度。
第三章 宇宙的模型
3.1 哈勃定律
1929年，哈勃研究24个距离已知的河外星系，测量这些星系的谱线之后，他发现这些星系存在系统性红移现象，而且红移量
与星系到我们的距离d成正比，即：
Z= k·d
（13）
Z=
λ−λ0
λ0
（12）
式中k为比例常数。这种星系系统性红移现象后来被称为星系哈勃红移。至于星系红移产生的原因，哈勃很自然地认为是光波的多普勒效应产生的。这样，被测星系相对于我们的视向退行速度V 与红移量Z 的关系为：
于是有：
V=H0d
（15）
V = c·Z
（14）
式中H0为哈勃常数，单位为km/（s·Mpc），Mpc表示百万秒差距，1 Mpc=3.26×106光年，现在测量得到的H0=72km/（s·Mpc）。上式就是哈勃关系式，也称哈勃定律。概括为：被测星系相对于我们的视向退行速度与我们到被测星系的距离成正比。
在上一章计算得到恒星天兔座δ的退行径向速度v=99km/s。根据哈勃定律可以计算出恒星天兔座δ距离地球1.375Mpc。
3.2 宇宙膨胀论
1917 年，爱因斯坦建立了广义相对论，开创了现代宇宙学的理论研究。爱因斯坦放弃了无限空间的概念，认为宇宙的体积是有限的，但是没有边界。对于宇宙而言，单个恒星作微小的运动，可以忽略不计，进而可以把宇宙近似地看成静止不动的。1924 年，弗里德曼在广
义相对论的框架下，从理论上论证了宇宙要么膨胀，要么收缩，决不会保持静止状态。这样，只有判定作为宇宙基本成员的星系究竟是运动的还是静止的，才能确定宇宙的运动状态。由于星系离我们实在太遥远，因此，至少在目前的技术条件下不可能测定星系的自行。1929 年，哈勃在仔细研究了一批星系的光谱之后发现，除了与银河系较近的三个星系表现为向银河靠近的蓝移外，其他所有星系光谱都表现出红移，而且红移量大致同星系的距离成正比。
根据公式
ffB
=[
2n
1B1−A
1−
]=
1−1
CrB
[] 1−CrA
2GM
（16）
光波从离星球为无穷远处发出，经过星球，再到达无穷远处，初、末频率相等，因此光波经过星球不会产生红移。光波从星系中的恒星发出，到达地球（设地球离恒星的距离为无穷远）， 尽管由式（16）知，光谱发生红移，但是非常小，很容易被其他因素（如热运动）所淹没。例如，对于太阳，质量M= 1. 99×106 Kg，半径r A= 6. 96×105Km，令rB为无穷大。由式（16）得，太阳的谱线红移
（17）
所有恒星的质量差别不大，均为太阳质量的0. 07 至120 倍，因而红移都相当小。星系是由恒星组成的，故其光谱红移不可能是恒星的引力场产生的，只能由光波多普勒效应产生。星系中数十亿至数千亿颗恒星的运动是随机分布的，各种方向都有，所以纵向速度VS有正有负，光波的谱线有的蓝移，有的红移，而且它们势均力敌，故恒星的纵向运动不能形成星系的光谱红移。这样，红移应解释为整个星系的纵向多普勒效应。根据式（8），只有星系离开我们而去，星系的谱线才能红移。这表明，所有星系远离我们而去。由于我们在宇宙中并不处于特殊的中心位置，因而宇宙中所有星系都在彼此远离，即宇宙处于普遍的膨胀之中。如果星系目前正在彼此远离，那么它们过去必定靠得更近。继续这一推理就意味着过去必定存在一个有限的时刻，那一时刻就是宇宙的开端，也就是通常被称为大爆炸，由此得到宇宙大爆炸模型。该模型认为: 宇宙发端于距今100 多亿年前的大爆炸，随后以指数方式膨胀着， 内部发生真空相变，产生基本粒子，形成星系。星系本身内部分裂成千千万万颗恒星。恒星周围的尘粒通过相互吸引碰撞粘合，最后形成从小行星到大行星的形形色色的天体。
3.3 宇宙的寿命和大小
假设有两个相距为d的天体，在宇宙大爆炸时是一体的，假设大爆炸时一直以速度v相对远离，则
tage是宇宙的寿命。
根据哈勃定律，将式（18）代入式（15）可得：
tage=
1H0
d=v×tage
（18）
≈4.3×1017s≈140亿年
（19）
根据式（19），我们可知宇宙的年龄大概在140亿年左右，也就是说从宇宙大爆炸到现在有140亿年。
那我们看到最远的发光天体距离我们有多远呢？若将式（15）中的V换成光速C，则可得到：
dmax=H≈140亿光年
C
（20）
也就是说我们看到的最远的发光天体所发出的光是来自140亿年前，在dmax距离之外的东西我们绝对看不到。这是因为当V=C时：
β=1 λ→∞ ν→0
此时光子中没有能量了，那就是我们可见宇宙的边缘。
第四章 Flash动画模拟
4.1 模拟多普勒效应
Flash是一种动画创作和应用程序开发于一身的创作软件，他可以包含简单的动画、视频内容、复杂演示文稿和应用程序以及介于它们之间的任何内容。在本论文中利用该软件模拟发光天体在远离地球时产生的红移现象。
动画中发光天体从右向左运动（远离地球），天体在运动的过程中向外发出光，在实验室观测到的某一元素的光谱和标准光谱对比发现，观测到的波长变大，频率变小，发生红移，如图6所示。
图6多普勒效应模拟动画
4.2 模拟宇宙膨胀
通过观测我们发现宇宙中的大部分天体都在远离我们而去，假设整个宇宙是一个带有点状图案的巨大气球，宇宙中的天体、星系就是气球上的点状图案。当气球被慢慢吹起来时，气球上的点状图案相互之间的距离也慢慢增大（如图7、8）假设我们站在其中任意一个点上，我们都看到周围的点在远离我们而去。所以当我们根据多普勒效应观测到发光天体的红移效应时，我们知道天体在远离我们，进而得出宇宙膨胀的理论。
图7 宇宙膨胀模拟第一帧
图8 宇宙膨胀模拟最后一帧
结论
多普勒效应在天文学中的应用有很多，是研究天体运动的基本理论，本篇论文重点讨论了光的多普勒效应引起的红移现象，通过比较发光天体中某些元素的光谱线和实验室中该元素的光谱线，验证星体是朝向或是远离地球运动。本文从多普勒斐索效应到哈勃定律，系统地讨论了从多普勒效应验证宇宙大爆炸理论的过程。本篇论文的完成历时半个学期，在此期间的主要任务是查阅文献、资料，了解多普勒效应的应用后决定论文写作方向，之后再学习Flash软件，用软件模拟多普勒效应与红移。本篇论文的亮点在于用Flash软件模拟红移现象和宇宙膨胀。不足之处在于数学计算部分相对薄弱，只有频移公式的推导，少了其他方面数学模型的理论支持。
致谢语
完成这篇论文要感谢指导老师于杨丽老师在百忙之中给我进行指导。从论文选题开始，到分阶段任务安排，以及论文的检查，在这整个过程中于老师都耐心的和我沟通，给予我帮助和指导。在此本人对于老师表示由衷的感谢。
其次，我还要感谢同组的同学们，在选题初期和查阅资料时，同组的同学资料共享，让大家都彼此节省了很多的精力和时间并收集了大于一个人能收集到的资料。在此本人对同组同学的分享表示感谢。
最后，本人要在此感谢母校厦门大学对我的栽培，用“自强不息，止于至善”这八个字影响我的学习和生活。
厦门大学本科毕业论文 致谢语
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