克莱姆法则

第三节 克莱姆法则

教学目的及要求：1.克莱姆法则

2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程：

一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授

1.n元线性方程组的概念

从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n元线性方程组的概念。 含有n个未知数x1,x2,,xn的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,

a21x1a22x2a2nxnb2,

an1x1an2x2annxnbn,

(1)

称为n元线性方程组.当其右端的常数项b1,b2,,bn不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当b1,b2,,bn全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即

a11x1a12x2a1nxn0,

a21x1a22x2a2nxn0,

an1x1an2x2annxn0.

(2)

线性方程组(1)的系数aij构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即 a11

a21

D

an1

a12a22an2

a1na2n

.

ann

2.克莱姆法则

定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式D0, 则线性方程组(1)有唯一解,其解为

xj

DjD

(j1,2,,n) (3)

其中Dj(j1,2,,n)是把D中第j列元素a1j,a2j,,anj对应地换成常数项b1,b2,,bn,而其余各列保持不变所得到的行列式.

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.

克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.

定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式D0,则(1)一定 有解,且解是唯一的.

在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:

定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.

对齐次线性方程组(2), 易见x1x2xn0一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.

定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D0,则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式D0.

注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式D0,则齐次线性方程组(2)有非零解.

三、例题选讲

例1用克莱姆法则求解线性方程组：

2x13x25x32

5 x12x2

3x25x34235

解 D1

20035

r1r3

r1r3

1

20

20222520,

35

035

200

235D1520

435

225D2150

045

20054

20(2)2520, 35

r1r2

r12r2

08510

54

05

150

085

4

045

85

5

60,

232D

3125

034

由克莱姆法则,

r12r2

01810

23

54

r1r2

18

01820.

34

034

125

x1

DD1D

1,x223,x331. DDD

2x1x25x3x48,



x13x26x49,

例2 (E01) 用克莱姆法则解方程组 

2xx2x5,342x14x27x36x40.

2151

1306r12r2

解 D

0212r4r21476

c32c2

07513

7513

1306

212

0212

7712

07712

33

01027.

72

772

353

8151285193061906D181, D2108,

52120512047610762181215813961309D327, D427,

0252021514061470

x1

D181D108

3, x224, D27D27D327D271, x441. D27D27

x3

例3（E02） 大学生在饮食方面存在很多问题，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食

没有规律，为了身体的健康就要制订营养改善行动计划，大学生一日食谱配餐：需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱所需的营养如下给出

试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入上述三种食物的量。

解：设x1,x2,x3分别为三种食物的量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：

10x120x220x3105

0x110x23x360

50x40x10x525

231

由克莱姆法则可得

[1**********]20

D0103= -7200， D1=60103= -39600，

[1**********]10

10520

20105

D2=0603= -54000， D3=01060= -36000 [1**********]则：

x1=

DD1D

=5.5，x2= 2=7.5，x3= 3=5 DDD

从而我们每天可以摄入5.5个单位的食物一、7.5个单位的食物二、5个单位的食物三就可以

保证我们的健康饮食了。

(1)x12x24x30

例4 (E03) 问为何值时, 齐次方程组2x1(3)x2x30有非零解?

xx(1)x0

312

解

24

31D2111





21

310

411

(1)3(3)4(1)2(1)(3)

(1)32(1)23(2)(3),

齐次线性方程组有非零解，则D0,所以0, 2或3时齐次线性方程组有非零解.

xyzabc

例5 设方程组 axbycza2b2c2

bcxcayabz3abc

试问a,b,c满足什么条件时, 方程组有惟一解, 并求出惟一解.

1

解 Da

11

bcbccaab

c1c2c2c3

ab

01

bcc

c(ba)a(cb)ab

c1(ab)c2(bc)

11

(ab)(bc)11c(ab)(bc)(ab)(bc)(ca)

ca

caab

1

显然,当a,b,c互不相等时,D0,该方程组有唯一解. 又

abc

D1a2b2c2

3abc

11

bccaab

c1bc2cc3

a

a

2

1b

1

cabccaab

c1a

1

aa

11

bcaD. bccaab

同理可得D2bD,D3cD,于是 x

DD1D

a,y2b,z3c. DDD

四、课堂练习

1.如果下列齐次线性方程组有非零解, k应取何值?

kx1x40

x12x2x40

. 

(k2)xx4x01242x1x23x3kx40

x1x22x33x40

x12x23x3x40

2.判定齐次线性方程组是否仅有零解.

3xxx2x03412

2x13x2x3x40

第三节 克莱姆法则

教学目的及要求：1.克莱姆法则

2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程：

一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授

1.n元线性方程组的概念

从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n元线性方程组的概念。 含有n个未知数x1,x2,,xn的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,

a21x1a22x2a2nxnb2,

an1x1an2x2annxnbn,

(1)

称为n元线性方程组.当其右端的常数项b1,b2,,bn不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当b1,b2,,bn全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即

a11x1a12x2a1nxn0,

a21x1a22x2a2nxn0,

an1x1an2x2annxn0.

(2)

线性方程组(1)的系数aij构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即 a11

a21

D

an1

a12a22an2

a1na2n

.

ann

2.克莱姆法则

定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式D0, 则线性方程组(1)有唯一解,其解为

xj

DjD

(j1,2,,n) (3)

其中Dj(j1,2,,n)是把D中第j列元素a1j,a2j,,anj对应地换成常数项b1,b2,,bn,而其余各列保持不变所得到的行列式.

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.

克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.

定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式D0,则(1)一定 有解,且解是唯一的.

在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:

定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.

对齐次线性方程组(2), 易见x1x2xn0一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.

定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D0,则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式D0.

注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式D0,则齐次线性方程组(2)有非零解.

三、例题选讲

例1用克莱姆法则求解线性方程组：

2x13x25x32

5 x12x2

3x25x34235

解 D1

20035

r1r3

r1r3

1

20

20222520,

35

035

200

235D1520

435

225D2150

045

20054

20(2)2520, 35

r1r2

r12r2

08510

54

05

150

085

4

045

85

5

60,

232D

3125

034

由克莱姆法则,

r12r2

01810

23

54

r1r2

18

01820.

34

034

125

x1

DD1D

1,x223,x331. DDD

2x1x25x3x48,



x13x26x49,

例2 (E01) 用克莱姆法则解方程组 

2xx2x5,342x14x27x36x40.

2151

1306r12r2

解 D

0212r4r21476

c32c2

07513

7513

1306

212

0212

7712

07712

33

01027.

72

772

353

8151285193061906D181, D2108,

52120512047610762181215813961309D327, D427,

0252021514061470

x1

D181D108

3, x224, D27D27D327D271, x441. D27D27

x3

例3（E02） 大学生在饮食方面存在很多问题，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食

没有规律，为了身体的健康就要制订营养改善行动计划，大学生一日食谱配餐：需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱所需的营养如下给出

试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入上述三种食物的量。

解：设x1,x2,x3分别为三种食物的量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：

10x120x220x3105

0x110x23x360

50x40x10x525

231

由克莱姆法则可得

[1**********]20

D0103= -7200， D1=60103= -39600，

[1**********]10

10520

20105

D2=0603= -54000， D3=01060= -36000 [1**********]则：

x1=

DD1D

=5.5，x2= 2=7.5，x3= 3=5 DDD

从而我们每天可以摄入5.5个单位的食物一、7.5个单位的食物二、5个单位的食物三就可以

保证我们的健康饮食了。

(1)x12x24x30

例4 (E03) 问为何值时, 齐次方程组2x1(3)x2x30有非零解?

xx(1)x0

312

解

24

31D2111





21

310

411

(1)3(3)4(1)2(1)(3)

(1)32(1)23(2)(3),

齐次线性方程组有非零解，则D0,所以0, 2或3时齐次线性方程组有非零解.

xyzabc

例5 设方程组 axbycza2b2c2

bcxcayabz3abc

试问a,b,c满足什么条件时, 方程组有惟一解, 并求出惟一解.

1

解 Da

11

bcbccaab

c1c2c2c3

ab

01

bcc

c(ba)a(cb)ab

c1(ab)c2(bc)

11

(ab)(bc)11c(ab)(bc)(ab)(bc)(ca)

ca

caab

1

显然,当a,b,c互不相等时,D0,该方程组有唯一解. 又

abc

D1a2b2c2

3abc

11

bccaab

c1bc2cc3

a

a

2

1b

1

cabccaab

c1a

1

aa

11

bcaD. bccaab

同理可得D2bD,D3cD,于是 x

DD1D

a,y2b,z3c. DDD

四、课堂练习

1.如果下列齐次线性方程组有非零解, k应取何值?

kx1x40

x12x2x40

. 

(k2)xx4x01242x1x23x3kx40

x1x22x33x40

x12x23x3x40

2.判定齐次线性方程组是否仅有零解.

3xxx2x03412

2x13x2x3x40