目 录
摘要 .................................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT ................................................ 错误！未定义书签。
1 绪论 ................................................................... 1
1.1 混沌保密通信理论发展的进展状况 .................................... 2
1.2 混沌保密通信研究的意义 ............................................ 2
1.3 混沌保密通信的基本思想 ............................................ 3
1.4 本文主要的研究内容 ................................................ 4
2 混沌相关理论 ........................................................... 5
2.1 前言 ............................................................. 6
2.2 混沌的概念与定义 ................................................. 6
2.3 混沌的特性 ....................................................... 7
2.4 混沌通信方式 ..................................................... 9
2.5 混沌保密通信实用化存在的关键问题 ................................ 10
3 混沌系统的同步 ........................................................ 11
3.1 混沌系统同步理论 ................................................. 11
3.1.1 同步的定义 ................................................. 11
3.1.2 混沌系统同步控制原理 ....................................... 12
3.2 混沌同步的实现方法 ............................................... 13
3.2.1 驱动-响应同步法 ............................................ 13
3.2.2 主动-被动同步法 ............................................ 15
3.2.3 自适应同步法 ............................................... 16
3.2.4 变量反馈微扰同步法 ......................................... 17
3.3 混沌同步系统的自保持特性 ......................................... 19
4 混沌保密通信系统的实现 ................................................ 21
4.1 通信系统的原理 ................................................... 21
4.2 混沌电路及其特性 ................................................. 22
4.2.1 混沌电路的构造 ............................................. 22
4.2.2 Chua混沌电路及其特性 ....................................... 22
4.2.3 Chua电路的改进 ............................................. 24
4.2.4 用Multisim 软件实现Chua 电路的仿真 ......................... 24
4.3 混沌同步保密通信系统 ............................................. 27
4.3.1 一般保密通信系统的基本结构 ................................ 288
4.3.2 基于混沌系统收发端保持同步的通信技术 ....................... 29
4.4 利用驱动-响应法实现蔡氏电路同步的混沌掩盖通信原理 ................ 32
4.5 驱动-响应式键波混沌同步系统 ...................................... 34
4.6 利用驱动-响应混沌同步系统进行保密通信的电路仿真 .................. 34
5 总结与展望 ............................................................ 38
致 谢 ................................................................... 39
参考文献 ................................................................ 40
1 绪论
1.1 混沌保密通信理论发展的进展状况
混沌保密通信是通信研究中的一个新领域，是伴随着混沌动力学系统在数学、物理和电子工程中的研究而产生。混沌保密通信的研究起步于20世纪90年代，混沌同步现象的发现使得混沌在保密通信领域中的应用研究迅速展开。混沌信号具有的很多性质满足了一些通信系统对通信信号的特殊要求，因此混沌在扩频通信、多用户通信和保密通信中具有潜在的应用前景[6]。近年来，随着混沌通信理论研究的不断展开，经典通信理论中的研究方法、评估手段、系统设计等不断被混沌特性理论的研究人员所采用，混沌通信理论的研究在原有的基于混沌动力学的基础上，正在逐步地融入经典通信理论的研究框架，结合信号处理、统计信号分析等手段，不断向实用化、工程化的方向发展。
混沌被认为是继相对论和量子力学后，20世纪物理学的第三次重大革命，与前两次革命相似，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。第一次国际混沌会议主持人之一的物理学家J.Ford 指出：相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论可预测性的幻想[1]。
在电路系统的工程实践和理论研究中，研究人员也注意到了在电路系统中出现的混沌现象。电子工程领域中的混沌理论研究自20世纪80年代初起，在近20年间得到迅速发展，经历了三个重要的突破性进展[2]。
第一个进展是在20世纪80年代初L.O.Chua(蔡少棠) 发现简单的电路系统也可以产生复杂的现象。他设计了一系列用于产生混沌现象的简单电路。这些电路后来称为Chua 电路。Chua 的工作证明了简单的电路系统也可以产生非周期的复杂现象。由于电路系统的可实现性、可分析性和可预见性，使得混沌在电路系统中的研究迅速展开，产生和控制混沌现象的方法不断被提出。Chua 所做的一系列工作为混沌研究在电子工程领域的逐步展开奠定了基础。1987年Chua 主编了IEEE 关于混沌系统的专集，该专集对科学界产生了重大影响，它标志着复杂性科学和混沌已经数学的抽象理论进入到电子工程领域的前沿研究中。
第二个重要进展是20世纪90年代初Peroca 和Carroll 通过实验证明了互相耦合的混沌系统，在一定条件下会出现同步现象，即混沌同步。混沌同步的发现引发了研究人员开始将混沌信号作为一种用来传递信息的载波，并在20世纪90年代激起了混沌通信的研究热潮。由于混沌信号的表面随机性和不可预测性，使其在保密通信领域得到了进一步的研究与应用。混沌信号的频谱上的宽带特性，也使其具有抗频率选择性衰落和窄带干扰的能力。
第三个重要进展是在工程应用研究中，人们逐渐发现混沌系统同时兼有确定性和随机性的特点，因此可以同时通过描述确定性的动力学方法和描述随机性的概率统计学方
法对混沌系统进行刻画。这为从工程角度分析和设计非线性系统提供了一系列定量的模型和工具。一些曾经被认为是随机运动的系统，有可能通过混沌理论找到新的分析方法和手段。而一些被认为是复杂、难以分析的非线性混沌系统，则有望基于其具有某些统计特征，利用概率统计工具进行研究，从而给出一些有益的结果。从观察混沌现象的不同角度来看，混沌在通信中的应用潜力，目前可以大致分为三个领域[6]：
（a ）宽带特性：由于混沌信号具有内在的非周期性，因此其谱分量在频带上连续分布，并且通过设计不同的混沌电路还可以制出具有一定谱特性的混沌信号。在通信中，宽带信号常用来抵抗信道的不良影响，特别是一些窄带的影响，如频率选择性衰落、窄带干扰等。因而混沌信号有可能作为一种易于产生的宽带信号，应用在扩频通信中[7]。
（b ）复杂性：混沌信号具有非常复杂的内部结构，对初始条件和参数的敏感性，使混沌系统能怪很容易产生出完全不同的混沌轨道。这使得估计混沌系统的结构或长期预测混沌信号变得非常困难。混沌信号的这种高度复杂性和难预测的特点，使其可以应用于保密通信中[8]。
（c ）正交性：混沌信号是非周期的，所以不同的混沌系统或相同混沌系统采用不同的初始值或系统参数所产生的混沌信号间都具有迅速消失的互相关函数。这些信号可以看作是不相关的，满足一定意义上的正交性。满足这种正交特性的混沌信号易于产生，并且数目巨大，因此在多用户通信中具有广泛的应用前景。
1.2 混沌保密通信研究的意义
随着计算机和各种通信网络的日益普及，保密通信已经成为计算机通信、网络、应用数学、微电子等有关学科的研究热点。70年代后期，建立在保密学基础上的现代化保密通信技术进入实用阶段，其标志是DES(The Data Encryption Standard)标准的制定和广泛应用[3]。
1987年Fujisaka 和Yamata 对混沌同步的研究和1990年Pecora 和Carroll 对混
5]沌同步的实验研究引起了人们的广泛重视[4，，这一突破性的进展 ,使混沌理论应用于
通信领域成为可能, 开始了混沌同步在保密通信中应用的新阶段。这是一种动态方法，由于其处理速度和密钥长度无关，因此这种方法的计算效率很高。用这种方法加密的信息是将信息信号调制到近乎完全随机的混沌信号中，只有在接收机被调制到与发射机指定电路参数相同或很小一个范围内时，两者相互同步，信息才能被还原出来，与其现有的加密方法相比，混沌保密通信具有很高的保密度。尤其是它可用于实时信号处理，同时也适用于静态加密的场合。尽管目前这项新技术的研究尚处于实验室阶段，由于它的实时性强、保密性高、运算速度快等明显优势，已显示出其在保密通信领域中的强大生命力和应用前景，是一个具有极高研究价值的方向，成为当前该通信领域的前沿研究热点之一。
1.3 混沌保密通信的基本思想
采用混沌同步电路产生遮掩有用信息的加密信号。在接收端再产生同步混沌信号以恢复有用信息。与传统的通信系统一样，基于混沌的保密通信系统能否有效地、可靠地工作，很大程度上依赖于有无良好的同步系统。要实现保密通信，必须解决三个方面的问题：制造出鲁棒性强的同步信号；信号的调制和解调；信号的可靠传输。
绘制同步混沌保密通信系统的基本模型如下图1-1所示：
图1-1 同步混沌保密通信系统的基本模型
在发送端，驱动混沌电路产生两个混沌信号U 和V ，V 用于加密明文信息M ，得到密文C ，混沌同步控制信号U 可视作一个密钥，它和密文C 一起被传送出去；在接收端，同步混沌电路利用接收到的驱动信号U ，产生出混沌信号V ' ，再用V ' 信号去解密解收到的密文C ，从而恢复消息M 。
这种同步混沌保密通信系统有两个优点：第一，由于C 与U 都是混沌的，所以具有非常好的保密性，不需要特殊的保密信道；第二，U 不是唯一的密钥，即使对方截获U ，也无法从信号U 逆推同步混沌电路的网络结构和元件参数，无法构造出同步混沌信号V ，当然也无法解密，所以混沌通信的保密性非常强。
1.4 本文主要的研究内容
本文研究混沌的特性及其在保密通信中的应用，研究混沌同步的实现方法，研究混沌同步在保密通信中的应用，并且研究这种技术应用的基本实现方法，检验实际应用中该方法的可行性。主要涉及混沌的定义及其特性、混沌在加密算法中的应用技术，混沌同步的实现方法等内容，并利用Multisim 进行保密通信的仿真分析。通过课题研究，掌握混沌在保密通信系统中的相关应用。
第一章介绍混沌保密通信理论发展的简要历史，以及混沌保密通信的研究意义，体现了混沌保密通信的基本思想，以及其各种领域的应用。
第二章介绍混沌的相关理论知识，首先介绍了混沌的概念及定义，再深入了解混沌
的特性，其次，分析并介绍了混沌通信方式以及混沌保密通信实用话存在的关键问题。
第三章介绍混沌同步理论，混沌同步的主要实现方法，并提出混沌同步系统的自保持性，还进行了混沌同步系统自保持特性在通信中的实际应用研究。
第四章介绍了混沌保密通信系统的实现，首先简单介绍通信系统的基本原理，再介绍Chua 混沌电路及其特性，Chua 电路的改进，再进一步研究混沌同步在通信系中的运用，最后再介绍了利用驱动-响应法实现蔡氏电路同步的混沌掩盖通信原理，并用Multisim 对Chua 电路进行仿真并加以分析。
第五章总结与展望，介绍了本文主要研究工作，同时介绍了本文工作的局限性及对相关研究的展望。
2 混沌相关理论
2.1 前言
混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式, 是确定性的、类似随机的过程。混沌是不含外加随机因素的完全确定系统的内在随机行为，是介于规则与随机之间的一种非线性动力学行为。混沌动力学的建立使描述客观世界的两大理论体系—确定论和随机论—找到了由此及彼的桥梁。混沌现象的发现使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周期或是准周期的运动，而且还存在着一种更为普遍意义的形式。混沌概念的提出，使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的、有结构的行为，而不再是偶然性行为。
对于混沌的研究可以追溯到19世纪末庞加莱关于天体力学中三体问题的研究。20世纪60年代，E.Lorenz 在气象学研究中，将大气中的二维流体对流模型简化为三元的常微分方程组
=σ(y -x ) ⎧x ⎪ =rx -xz -y ⎨y ⎪z ⎩ =xy -bz
（2-1）
该方程组形式非常简单，但在进行数值计算研究中，研究人员发现即使是这样一个简化的系统仍然对初始条件非常敏感。在这些混沌现象的发现和研究过程中，人们逐渐意识到：
（a ）确定性的混沌系统会呈现出随机现象。这时的研究人员不得不重新考察以往的实验和结论，分析其中的随机性是否由确定性的混沌系统产生的。
（b ）混沌系统可以是非常简单的只有几个自由度的低维系统，这些简单的系统已经足以产生复杂的混沌现象。这一发现使一些原本认为只有复杂系统才能产生的现象有望通过简单系统加以描述和分析。
对初始条件的敏感性，以及在实际测量中只能得到有限精度的初始条件，使混沌呈现出随机性的现象，因而不可能对实际的混沌系统进行长期的预测。而另一方面，由于这种表面的随机现象本质上是确定性的和混沌的，其内部是有规律的变化的，因此对一些看似随机的混沌系统仍然可以进行短期的估计和预测。从这点来看，混沌连接了确定性和随机性。在确定性的动力学理论中，系统可以通过确定的动力学方程来描述；而在随机过程理论中，随机系统则可以通过统计学的方法进行刻画。作为确定系统的混沌系统，可以利用动力学来描述；但混沌系统对初值的敏感性导致的随机现象和长期的不可预测性，也使其可以利用统计学进行描述。在混沌系统的研究中，通常混合使用这两种分析方法，当对系统的局部、短期现象进行描述时，往往采用动力学方法进行分析和描
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摘要 .................................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT ................................................ 错误！未定义书签。
1 绪论 ................................................................... 1
1.1 混沌保密通信理论发展的进展状况 .................................... 2
1.2 混沌保密通信研究的意义 ............................................ 2
1.3 混沌保密通信的基本思想 ............................................ 3
1.4 本文主要的研究内容 ................................................ 4
2 混沌相关理论 ........................................................... 5
2.1 前言 ............................................................. 6
2.2 混沌的概念与定义 ................................................. 6
2.3 混沌的特性 ....................................................... 7
2.4 混沌通信方式 ..................................................... 9
2.5 混沌保密通信实用化存在的关键问题 ................................ 10
3 混沌系统的同步 ........................................................ 11
3.1 混沌系统同步理论 ................................................. 11
3.1.1 同步的定义 ................................................. 11
3.1.2 混沌系统同步控制原理 ....................................... 12
3.2 混沌同步的实现方法 ............................................... 13
3.2.1 驱动-响应同步法 ............................................ 13
3.2.2 主动-被动同步法 ............................................ 15
3.2.3 自适应同步法 ............................................... 16
3.2.4 变量反馈微扰同步法 ......................................... 17
3.3 混沌同步系统的自保持特性 ......................................... 19
4 混沌保密通信系统的实现 ................................................ 21
4.1 通信系统的原理 ................................................... 21
4.2 混沌电路及其特性 ................................................. 22
4.2.1 混沌电路的构造 ............................................. 22
4.2.2 Chua混沌电路及其特性 ....................................... 22
4.2.3 Chua电路的改进 ............................................. 24
4.2.4 用Multisim 软件实现Chua 电路的仿真 ......................... 24
4.3 混沌同步保密通信系统 ............................................. 27
4.3.1 一般保密通信系统的基本结构 ................................ 288
4.3.2 基于混沌系统收发端保持同步的通信技术 ....................... 29
4.4 利用驱动-响应法实现蔡氏电路同步的混沌掩盖通信原理 ................ 32
4.5 驱动-响应式键波混沌同步系统 ...................................... 34
4.6 利用驱动-响应混沌同步系统进行保密通信的电路仿真 .................. 34
5 总结与展望 ............................................................ 38
致 谢 ................................................................... 39
参考文献 ................................................................ 40
1 绪论
1.1 混沌保密通信理论发展的进展状况
混沌保密通信是通信研究中的一个新领域，是伴随着混沌动力学系统在数学、物理和电子工程中的研究而产生。混沌保密通信的研究起步于20世纪90年代，混沌同步现象的发现使得混沌在保密通信领域中的应用研究迅速展开。混沌信号具有的很多性质满足了一些通信系统对通信信号的特殊要求，因此混沌在扩频通信、多用户通信和保密通信中具有潜在的应用前景[6]。近年来，随着混沌通信理论研究的不断展开，经典通信理论中的研究方法、评估手段、系统设计等不断被混沌特性理论的研究人员所采用，混沌通信理论的研究在原有的基于混沌动力学的基础上，正在逐步地融入经典通信理论的研究框架，结合信号处理、统计信号分析等手段，不断向实用化、工程化的方向发展。
混沌被认为是继相对论和量子力学后，20世纪物理学的第三次重大革命，与前两次革命相似，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。第一次国际混沌会议主持人之一的物理学家J.Ford 指出：相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论可预测性的幻想[1]。
在电路系统的工程实践和理论研究中，研究人员也注意到了在电路系统中出现的混沌现象。电子工程领域中的混沌理论研究自20世纪80年代初起，在近20年间得到迅速发展，经历了三个重要的突破性进展[2]。
第一个进展是在20世纪80年代初L.O.Chua(蔡少棠) 发现简单的电路系统也可以产生复杂的现象。他设计了一系列用于产生混沌现象的简单电路。这些电路后来称为Chua 电路。Chua 的工作证明了简单的电路系统也可以产生非周期的复杂现象。由于电路系统的可实现性、可分析性和可预见性，使得混沌在电路系统中的研究迅速展开，产生和控制混沌现象的方法不断被提出。Chua 所做的一系列工作为混沌研究在电子工程领域的逐步展开奠定了基础。1987年Chua 主编了IEEE 关于混沌系统的专集，该专集对科学界产生了重大影响，它标志着复杂性科学和混沌已经数学的抽象理论进入到电子工程领域的前沿研究中。
第二个重要进展是20世纪90年代初Peroca 和Carroll 通过实验证明了互相耦合的混沌系统，在一定条件下会出现同步现象，即混沌同步。混沌同步的发现引发了研究人员开始将混沌信号作为一种用来传递信息的载波，并在20世纪90年代激起了混沌通信的研究热潮。由于混沌信号的表面随机性和不可预测性，使其在保密通信领域得到了进一步的研究与应用。混沌信号的频谱上的宽带特性，也使其具有抗频率选择性衰落和窄带干扰的能力。
第三个重要进展是在工程应用研究中，人们逐渐发现混沌系统同时兼有确定性和随机性的特点，因此可以同时通过描述确定性的动力学方法和描述随机性的概率统计学方
法对混沌系统进行刻画。这为从工程角度分析和设计非线性系统提供了一系列定量的模型和工具。一些曾经被认为是随机运动的系统，有可能通过混沌理论找到新的分析方法和手段。而一些被认为是复杂、难以分析的非线性混沌系统，则有望基于其具有某些统计特征，利用概率统计工具进行研究，从而给出一些有益的结果。从观察混沌现象的不同角度来看，混沌在通信中的应用潜力，目前可以大致分为三个领域[6]：
（a ）宽带特性：由于混沌信号具有内在的非周期性，因此其谱分量在频带上连续分布，并且通过设计不同的混沌电路还可以制出具有一定谱特性的混沌信号。在通信中，宽带信号常用来抵抗信道的不良影响，特别是一些窄带的影响，如频率选择性衰落、窄带干扰等。因而混沌信号有可能作为一种易于产生的宽带信号，应用在扩频通信中[7]。
（b ）复杂性：混沌信号具有非常复杂的内部结构，对初始条件和参数的敏感性，使混沌系统能怪很容易产生出完全不同的混沌轨道。这使得估计混沌系统的结构或长期预测混沌信号变得非常困难。混沌信号的这种高度复杂性和难预测的特点，使其可以应用于保密通信中[8]。
（c ）正交性：混沌信号是非周期的，所以不同的混沌系统或相同混沌系统采用不同的初始值或系统参数所产生的混沌信号间都具有迅速消失的互相关函数。这些信号可以看作是不相关的，满足一定意义上的正交性。满足这种正交特性的混沌信号易于产生，并且数目巨大，因此在多用户通信中具有广泛的应用前景。
1.2 混沌保密通信研究的意义
随着计算机和各种通信网络的日益普及，保密通信已经成为计算机通信、网络、应用数学、微电子等有关学科的研究热点。70年代后期，建立在保密学基础上的现代化保密通信技术进入实用阶段，其标志是DES(The Data Encryption Standard)标准的制定和广泛应用[3]。
1987年Fujisaka 和Yamata 对混沌同步的研究和1990年Pecora 和Carroll 对混
5]沌同步的实验研究引起了人们的广泛重视[4，，这一突破性的进展 ,使混沌理论应用于
通信领域成为可能, 开始了混沌同步在保密通信中应用的新阶段。这是一种动态方法，由于其处理速度和密钥长度无关，因此这种方法的计算效率很高。用这种方法加密的信息是将信息信号调制到近乎完全随机的混沌信号中，只有在接收机被调制到与发射机指定电路参数相同或很小一个范围内时，两者相互同步，信息才能被还原出来，与其现有的加密方法相比，混沌保密通信具有很高的保密度。尤其是它可用于实时信号处理，同时也适用于静态加密的场合。尽管目前这项新技术的研究尚处于实验室阶段，由于它的实时性强、保密性高、运算速度快等明显优势，已显示出其在保密通信领域中的强大生命力和应用前景，是一个具有极高研究价值的方向，成为当前该通信领域的前沿研究热点之一。
1.3 混沌保密通信的基本思想
采用混沌同步电路产生遮掩有用信息的加密信号。在接收端再产生同步混沌信号以恢复有用信息。与传统的通信系统一样，基于混沌的保密通信系统能否有效地、可靠地工作，很大程度上依赖于有无良好的同步系统。要实现保密通信，必须解决三个方面的问题：制造出鲁棒性强的同步信号；信号的调制和解调；信号的可靠传输。
绘制同步混沌保密通信系统的基本模型如下图1-1所示：
图1-1 同步混沌保密通信系统的基本模型
在发送端，驱动混沌电路产生两个混沌信号U 和V ，V 用于加密明文信息M ，得到密文C ，混沌同步控制信号U 可视作一个密钥，它和密文C 一起被传送出去；在接收端，同步混沌电路利用接收到的驱动信号U ，产生出混沌信号V ' ，再用V ' 信号去解密解收到的密文C ，从而恢复消息M 。
这种同步混沌保密通信系统有两个优点：第一，由于C 与U 都是混沌的，所以具有非常好的保密性，不需要特殊的保密信道；第二，U 不是唯一的密钥，即使对方截获U ，也无法从信号U 逆推同步混沌电路的网络结构和元件参数，无法构造出同步混沌信号V ，当然也无法解密，所以混沌通信的保密性非常强。
1.4 本文主要的研究内容
本文研究混沌的特性及其在保密通信中的应用，研究混沌同步的实现方法，研究混沌同步在保密通信中的应用，并且研究这种技术应用的基本实现方法，检验实际应用中该方法的可行性。主要涉及混沌的定义及其特性、混沌在加密算法中的应用技术，混沌同步的实现方法等内容，并利用Multisim 进行保密通信的仿真分析。通过课题研究，掌握混沌在保密通信系统中的相关应用。
第一章介绍混沌保密通信理论发展的简要历史，以及混沌保密通信的研究意义，体现了混沌保密通信的基本思想，以及其各种领域的应用。
第二章介绍混沌的相关理论知识，首先介绍了混沌的概念及定义，再深入了解混沌
的特性，其次，分析并介绍了混沌通信方式以及混沌保密通信实用话存在的关键问题。
第三章介绍混沌同步理论，混沌同步的主要实现方法，并提出混沌同步系统的自保持性，还进行了混沌同步系统自保持特性在通信中的实际应用研究。
第四章介绍了混沌保密通信系统的实现，首先简单介绍通信系统的基本原理，再介绍Chua 混沌电路及其特性，Chua 电路的改进，再进一步研究混沌同步在通信系中的运用，最后再介绍了利用驱动-响应法实现蔡氏电路同步的混沌掩盖通信原理，并用Multisim 对Chua 电路进行仿真并加以分析。
第五章总结与展望，介绍了本文主要研究工作，同时介绍了本文工作的局限性及对相关研究的展望。
2 混沌相关理论
2.1 前言
混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式, 是确定性的、类似随机的过程。混沌是不含外加随机因素的完全确定系统的内在随机行为，是介于规则与随机之间的一种非线性动力学行为。混沌动力学的建立使描述客观世界的两大理论体系—确定论和随机论—找到了由此及彼的桥梁。混沌现象的发现使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周期或是准周期的运动，而且还存在着一种更为普遍意义的形式。混沌概念的提出，使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的、有结构的行为，而不再是偶然性行为。
对于混沌的研究可以追溯到19世纪末庞加莱关于天体力学中三体问题的研究。20世纪60年代，E.Lorenz 在气象学研究中，将大气中的二维流体对流模型简化为三元的常微分方程组
=σ(y -x ) ⎧x ⎪ =rx -xz -y ⎨y ⎪z ⎩ =xy -bz
（2-1）
该方程组形式非常简单，但在进行数值计算研究中，研究人员发现即使是这样一个简化的系统仍然对初始条件非常敏感。在这些混沌现象的发现和研究过程中，人们逐渐意识到：
（a ）确定性的混沌系统会呈现出随机现象。这时的研究人员不得不重新考察以往的实验和结论，分析其中的随机性是否由确定性的混沌系统产生的。
（b ）混沌系统可以是非常简单的只有几个自由度的低维系统，这些简单的系统已经足以产生复杂的混沌现象。这一发现使一些原本认为只有复杂系统才能产生的现象有望通过简单系统加以描述和分析。
对初始条件的敏感性，以及在实际测量中只能得到有限精度的初始条件，使混沌呈现出随机性的现象，因而不可能对实际的混沌系统进行长期的预测。而另一方面，由于这种表面的随机现象本质上是确定性的和混沌的，其内部是有规律的变化的，因此对一些看似随机的混沌系统仍然可以进行短期的估计和预测。从这点来看，混沌连接了确定性和随机性。在确定性的动力学理论中，系统可以通过确定的动力学方程来描述；而在随机过程理论中，随机系统则可以通过统计学的方法进行刻画。作为确定系统的混沌系统，可以利用动力学来描述；但混沌系统对初值的敏感性导致的随机现象和长期的不可预测性，也使其可以利用统计学进行描述。在混沌系统的研究中，通常混合使用这两种分析方法，当对系统的局部、短期现象进行描述时，往往采用动力学方法进行分析和描