2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部
分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的
指定位置．
3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答
一律无效．
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆
珠笔．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．
1．已知集合A ={x -1
z 1
=1+i ，则y = z 2
学 Ⅰ 试 题 2017.5
3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲ ．
x 2y 2
4．已知直线2x =0为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线，则该双曲线的离
a b
心率的值为 ▲ ．
5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知Ω1是集合(x , y ) x 2+y 2„1所表示的区域，Ω2是集合
{}
{(x , y y „}所表示的区域，向区域Ω内随机的投一个点，则
1
该点落在区域Ω2内的概率为．
7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q =3，S 3+S 4=则a 3=
53，3
8．已知直四棱柱底面是边长为2
的菱形，侧面对角线的长为积为 ▲ ．
9．已知α
是第二象限角，且sin α=
tan(α+β) =-2，则tan β=
10．已知直线l ：mx +y -2m -1=0，圆C ：x 2+y 2-2x -4y =0，当直线l 被圆C 所截得
的弦长最短时，实数m = ▲ ．
11．在△ABC 中，角A , B , C 对边分别是a , b , c
，若满足2b cos A =2c ，则角B 的大小
为 ▲ ．
1
12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB =，AC =t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若
t
4AB AC
+，则△PB C 面积的最小值为． AP =|AB ||AC |⎧4x -x 2, x …0, ⎪
13．已知函数f (x ) =⎨3 若函数g (x ) =f (x ) -3x +b 有三个零点，则实数b 的
, x
取值范围为 ▲ ．
a 221
14．已知a , b 均为正数，且ab -a -2b =0，则-+b 2-的最小值为
4a b
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知向量
m =x , -1) , n =(sinx ,cos 2x ) ．
（1）当x =
π
时，求m ⋅n 的值； 3
1⎡π⎤
，求cos 2x 的值． （2）若x ∈⎢0, ⎥，且m
⋅n =24⎣⎦
16．（本小题满分14分）
如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC =BC ，
∠ACD =90︒．
（1）求证：AB ⊥平面EDC ；
（2）若P 为FG 上任一点，证明EP ∥平面BCD ．
17．（本小题满分14分）
某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：w =4-
3
，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需x +1
要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x ) （单位：百元）．
（1）求利润函数L (x )的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
18．（本小题满分16分）
b ≠0，e ≈2.71828…．已知函数f (x ) =a ln x -bx 3，a ，b 为实数， e 为自然对数的底数，
（1）当a
a
的取值范围． b
19．（本小题满分16分）
x 2y 2
已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F (-1,0) ，左准线方程为x =-2．
a b
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，
交y 轴于点P ，且满足PA =λAF ，
PB =μBF ．求证：λ+μ为定值； ②若A ，B 两点满足OA ⊥OB （O 为 坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=
λa n 2+μa n +4
a n +2
, 其中n ∈N *, λ, μ为非零常数．
（1）若λ=3, μ=8，求证：{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{a n }是公差不等于零的等差数列． ①求实数λ, μ的值；
②数列{a n }的前n 项和S n 构成数列{S n }，从{S n }中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．．．证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）
如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A , B 两点，DC ⊥OB 于点C ， 且D E =2BE ，求证：2OC =3BC ． B ．（选修4—2：矩阵与变换）
⎡1⎤⎡1a ⎤
λ=-1=已知矩阵M =⎢的一个特征值及对应的特征向量e 1⎢-1⎥． ⎥3b ⎣⎦⎣⎦
求矩阵M 的逆矩阵．
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，
⎧x =2cos α，⎪
建立极坐标系. 已知曲线C
1的参数方程为⎨(α∈[0,2π], α为参数) ，曲
y =3+2sin α⎪⎩
π
线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+) =a （a ∈R ）．若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公
3
共点，求实数a 的值．
D. （选修4—5：不等式选讲）
b 2c 2a 2
已知a , b , c 为正实数，求证：++…a +b +c ．
a b c
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、
红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分（n ∈N *）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．
（1）求在一局游戏中得3分的概率；
（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望E (X ) ．
23．（本小题满分10分）
0n 1k n
已知f n (x ) =C n x -C n (x -1) n + +(-1) k C n (x -k ) n + +(-1) n C n (x -n ) n ，
其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N , k „n ． （1）试求f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 的值；
（2）试猜测f n (x ) 关于n 的表达式，并证明你的结论．
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学参考答案
一、填空题． 1．{x -1
2．1 6．
3．19.7 7．3 11．
4
2017.5
3 4
8
． 12．
1 7
10．-1
π 63
2
1
13．(-∞, -6) (-,0] 14．7
4
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）当x =
1π
时，
m =-1) ，
n =) ， ……………………………4分
43
所以m ⋅n =
（2）m
⋅n =
= 若m
⋅n =
311
-=．…………………………………………………………6分 442
x sin x -cos 2x
11π1
2x -cos 2x -=sin(2x -) -， ………………………8分 2262
π11π1
-，即sin(2x -) =-
，则sin(2x -) -
=，
62262
πππ
因为x ∈[0,]，所以-剟
2x -
466ππ
，所以cos(2x -) = ……………10分
63
ππππ1
sin(2x -) ⨯ ……………12分
则cos 2x =cos[(2x -) +]=cos(2x -) 6666213． ……………………………14分 216．（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，∠ACD =90︒，即CD ⊥AC ， 平面ABC 平面ACD =AC ，CD ⊂平面ACD ，
=
所以CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………………………3分 又AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ， ………………………………………………4分 因为AC =BC ，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ， …………………………………6分
又CE CD =C ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ，
所以AB ⊥平面EDC ． …………………………………………………………………7分
（2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，
所以EF ∥平面BCD ， ………………………………………………………………10分 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF EG =E ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ，
所以平面EFG ∥平面BCD ， ………………………………………………………12分
又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分
3⎫48⎛
-3x （0剟x 5）17．解：（1）L (x ) =16 4-．………………4分 ⎪-x -2x =64-
x +1x +1⎝⎭48⎛48⎫
-3x =67- +3(x +1)⎪
（2）法一：L (x ) =64-
x +1⎝x +1⎭
„67-43．……………………………………8分 当且仅当
48
=3(x +1)时，即x =3时取等号．……………………………10分 x +1
故L (x )max =43．………………………………………………………………12分
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分
48
法二：L '(x )=-3，由L '(x )=0得，x =3．……………………………7分 2
(x +1)
故当x ∈(0,3)时，L '(x )>0，L (x )在(0,3)上单调递增；
当x ∈(3,10)时，L '(x )
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：（1）当b =-1时，函数f (x ) =a ln x +x 3，
a a +3x 32
则f '(x ) =+3x =， ………………………………………………………2分
x x
a a a a
所以g (a ) =f =a =ln(-) -， ……………………………4分
3333
令t (x ) =-x ln x +x ，
则t '(x ) =-ln x ，令t '(x ) =0，得x =1， 且当x =1时，t (x ) 有最大值1， 所以g (a ) 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可) ，此时a =-3．………6分
（2）由题意得，方程a ln x -bx 3=0在区间(1，e]上有两个不同实数解，
a x 3
所以=在区间(1，e]上有两个不同的实数解，
b ln x
x 3a
即函数y 1=图像与函数m (x ) =图像有两个不同的交点，…………………9分
b ln x 2
x (3lnx -1)
因为m '(x ) =，令m '(x ) =
0，得x
2
(lnx )
所以当x ∈时，m (x ) ∈(3e,+∞) ，……………………………………………14分
当x ∈e]时，m (x ) ∈(3e,e3]，
a a
所以a , b 满足的关系式为 3e
b b 19．解：（1）由题设知e =
(1,，a 2=2c 2=b 2+c 2，即a 2=2b 2，……………………1分 代入椭圆C 得到
∴C :
2
11+=1，则b 2=1，a 2=2，…………………2分 222b 2b
x 2
+y 2=1． ……………………………………………………………………3分
（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k (x +1) ，则P (0,k ) ．
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，直线l 代入椭圆得x 2+2k 2(x +1) 2=2，整理得，
-4k 22k 2-2
． ……………5分 (1+2k ) x +4k x +2k -2=0，∴x 1+x 2=, x 1x 2=
1+2k 21+2k 2
-x 1-x 2
, μ= 由PA =λAF ，PB =μBF 知，λ=， ……………………………7分 1+x 11+x 2
2
2
2
2
-4k 24k 2-4
+22x 1+x 2+2x 1x 2-4=-=-=-4（定值） ∴λ+μ=-．………9分 -4k 22k 2-21+x 1+x 2+x 1x 2-11++
1+2k 21+2k 2，……………10分 1
当直线OA , OB 的斜率均存在且不为零时，设OA :y =kx , OB :y =-x ，
k
②当直线OA , OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S =
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，将y =kx 代入椭圆C 得到x 2+2k 2x 2=2，
2k 22k 2222
∴x =2，同理x 2=， …………………12分 , y =2,
y =2
2k +12k +122+k 2
2
1
2
21
OA ⋅OB
△AOB 的面积S ==
2
2
………………………………
13分
令t =k +1∈[1, +∞)，S
⎡21
令u =∈(0,1)，则S =． ……………15分 =
⎢3t ⎣⎭⎡2 综上所述，S ∈⎢． ………………………………………………………16分
3⎣⎦
3a n 2+8a n +4(3a n +2)(a n +2)
==3a n +2， 20．解：（1）当λ=3, μ=8时，a n +1=
a n +2a n +2 ∴a n +1+1=3(a n +1) ．……………………………………………………………………2分 又a n +1≠0，不然a 1+1=0，这与a 1+1=2矛盾，…………………………………3分 ∴{a n +1}为2为首项，3为公比的等比数列，
∴a n +1=2⋅3n -1，∴a n =2⋅3n -1-1． …………………………………………………4分
（2）①设a n =a 1+(n -1) d =dn -d +1， 由a n +1=
λa n 2+μa n +4
a n +2
得a n +1(a n +2) =λa n 2+μa n +4，
∴(dn -d +3)(dn +1) =λ(dn -d +1) 2+μ(dn -d +1) +4， …………………………5分 ∴d 2⋅n 2+(4d -d 2) n -d +3=λd 2n 2+(2(1-d ) λ+μ) dn +λ(1-d ) 2+(1-d ) μ+4 对任意n ∈N *恒成立． ………………………………………………………………7分
⎧d 2=λd 2，⎧λ=1，⎪⎪
∴⎨4d -d 2=(2(1-d ) λ+μ) d ，即⎨u =d +2，∴λ=1, u =4, d =2．…………9分
⎪d =2，⎪2
-d +3=λ(1-d ) +(1-d ) μ+4，⎩⎩ 综上，λ=1，μ=4, a n =2n -1． ……………………………………………………10分
n (1+2n -1)
②由①知S n ==n 2．
2
设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．
1 若三个奇数一个偶数，设S 1, S 2x +1, S 2y +1, S 2z 是满足条件的四项，
则1+(2x +1) 2+(2y +1) 2+4z 2=2017，
∴2(x 2+x +y 2+y +z 2) =1007，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分
2 若一个奇数三个偶数，设S 1, S 2x , S 2y , S 2z 是满足条件的四项，
则12+4x 2+4y 2+4z 2=2017，∴x 2+y 2+z 2=504． ……………………………12分 由504为偶数知，x , y , z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若x , y , z 中一个偶数两个奇数，不妨设x =2x 1，y =2y 1+1, z =2z 1+1,
则2(x 12+y 12+y 1+z 12+z 1) =251，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若x , y , z 均为偶数，不妨设x =2x 1, y =2y 1, z =2z 1，
则x 12+y 12+z 12=126，继续奇偶分析知x 1, y 1, z 1中两奇数一个偶数，
不妨设x 1=2x 2，y 1=2y 2+1，z 1=2z 2+1，则x 22+y 22+y 2+z 22+z 2=31． …14分 因为y 2(y 2+1), z 2(z 2+1) 均为偶数，所以x 2为奇数，不妨设0剟y 2
z 2，
当x 2=1时，y 22+y 2+z 22+z 2=30，y 22+y 2„14，检验得y 2=0，z 2=5，x 2=1， 当x 2=3时，y 22+y 2+z 22+z 2=22，y 22+y 2„10，检验得y 2=1，z 2=4，x 2=3， 当x 2=5时，y 22+y 2+z 22+z 2=6，y 22+y 2„2，检验得y 2=0，z 2=2，x 2=5， 即S 1, S 4, S 8, S 44或者S 1, S 12, S 24, S 36或者S 1, S 4, S 20, S 40满足条件，
综上所述，{S 1, S 4, S 8, S 44}，{S 1, S 12, S 24, S 36}，{S 1, S 4, S 20, S 40}为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分
（第Ⅱ卷 理科附加卷）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. A ．（选修4－1 几何证明选讲）.
解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE =x ，则OD =R ，DE =2BE =2x ． …………2分
OE ，即R 2=OC 在Rt △ODE 中，∵DC ⊥OB ，∴OD 2=OC (R +x ) ， ① OE ，即4x 2=x 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则DE 2=BE (R +x ) ，② ………6分
∴x =
2R 2R 3R
，代入①，R 2=OC ， ……………………………8分 (R +) ，OC =335
3R 2R
， =
55
∴BC =OB -OC =R -
∴2OC =3BC ． ……………………………………………………………………10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）
⎡1a ⎤⎡1⎤⎡1-a ⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎧1-a =-1，
⋅==-1⋅解：由题知，⎢⎥⎢-1⎥⎢3-b ⎥⎢-1⎥=⎢1⎥⇒⎨3-b =1，……………………4分 3b ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩
⎡12⎤
∴a =2, b =2，M =⎢⎥. …………………………………………………………6分 32⎣⎦
12
det(M ) ==1⨯2-2⨯3=-4， …………………………………………………8分
32
∴M -1
⎡1⎢-2=⎢⎢3⎢⎣41⎤
2⎥
⎥． ………………………………………………………………10分 1⎥-4⎥⎦
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
解：(x 2+(y -3) 2=4cos 2α+4sin 2α=4，
∴曲线C 的普通方程为(x +1) 2+(y -3) 2=4． ……………………………………4分
π1ρsin(θ+) =a ⇒ρsin θ+cos θ=a ，
3
2
∴曲线D
+y -2a =0， ……………………………………6分 曲线C 圆心到直线D
的距离为d =2， ………………………8分
∴a -3=2，∴a =1或a =5．………………………………10分（少一解，扣一分） D ．（选修4—5：不等式选讲）
解法一：基本不等式
b 2c 2a 2
∵a +…2b ，b +…2c ，c +…2a ，
a c b 222b c a
…2a +2b +2c ， ………………………………………6分 ∴a ++b ++c +
a b c
b 2c 2a 2
∴++…a +b +c ， ………………………………………………………10分
a b c
b 2c 2a 2
解法二：柯西不等式(a +b +c )(++) …(b +c +a ) 2，
a b c
222b c a
∴++…a +b +c ， …………………………………………………………10分
a b c
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，
111
C 2C 2C 12
=．… …………………………………………………………2分 则P (A ) =3
C 55
答：在一局游戏中得3分的概率为（2）X 的所有可能取值为1, 2,3, 4．
2
．………………………………………………3分 5
1221C 2C 2+C 2C 13
=在一局游戏中得2分的概率为，…………………………………5分 3
C 51021
C 2C 21
P (X =1) ==； 3
C 55
436
； P (X =2) =⨯=
5102543228
； P (X =3) =⨯(1-) ⨯=
[1**********]2
． P (X =4) =⨯(1-) ⨯=
5105125
所以
………………………………………………………………………………………………8分 162842337
∴E (X ) =1⨯+2⨯+3⨯．…………………………………10分 +4⨯=
[1**********]5
23．解：(1)f 1(x ) =C 10x -C 11(x -1) =x -x +1=1；………………………………………1分
02122
f 2(x ) =C C x 1) +2C (-x 2) 2x -2(-
=x 2-2(x 2-2x +1) +(x 2-4x +4) =2； ………………………………………2分
03123
f 3(x ) =C 3x -C 3(x -1) 3+C 3(x -2) 3-C 3(x -3) 3
=x 3-3(x -1) 3+3(x -2) 3-(x -3) 3=6． ………………………………………3分
（2）猜测：f n (x ) =n ! ． …………………………………………………………………4分
n ! n ! (n -1)! n ! k k -1
=k ==n = 而kC n ，nC n ， -1
k !(n -k )! (k -1)!(n -k )! (k -1)!(n -k )! (k -1)!(n -k )!
k k -1
所以kC n =nC n -1． …………………………………………………………………5分 用数学归纳法证明结论成立．
①当n =1时，f 1(x ) =1，所以结论成立．
1
②假设当n =k 时，结论成立，即f k (x ) =C k 0x k -C k (x -1) k + +(-1) k C k k (x -k ) k =k ! ． 1k +1+1k +1
当n =k +1时，f k +1(x ) =C k 0+1x k +1-C k + +(-1) k +1C k k ++1(x -1) 1(x -k -1) 1k k k k k +1k +1=C k 0+1x k +1-C k C k +1(x -k -1) k +1+1(x -1) (x -1) + +(-1) C k +1(x -k ) (x -k ) +(-1)
=x [C x -C (x -1) + +(-1) C (x -k ) ]
1k 2k k +1+1k +1+[C k kC k k +1(x -k ) k ]+(-1) k +1C k k ++1(x -1) -2C k +1(x -2) +(-1) 1(x -k -1) 1=x [C k 0x k -(C k +C k 0)(x -1) k + +(-1) k (C k k +C k k -1)(x -k ) k ]
0k
k +11k +1
k k
k k +1
k
1+1k
+(k +1)[(x -1) k -C k (x -2) k +(-1) k +1C k k -1(x -k ) k ]+(-1) k +1C k k +1(x -k -1) (x -k -1) 1=x [C k 0x k -C k (x -1) k + +(-1) k C k k (x -k ) k ]-x [C k 0(x -1) k + +(-1) k -1C k k -1(x -k ) k ]1+(k +1)[(x -1) k -C k (x -2) k +(-1) k +1C k k -1(x -k ) k ]
+x (-1) k +1C k k (x -k -1) k -(k +1)(-1) k +1(x -k -1) k
1=x [C k 0x k -C k (x -1) k + +(-1) k C k k (x -k ) k ]
-x [C k 0(x -1) k + +(-1) k -1C k k -1(x -k ) k +(-1) k C k k (x -k -1) k ]
（*）
1+(k +1)[(x -1) k -C k (x -2) k +(-1) k -1C k k -1(x -k ) k +(-1) k (x -k -1) k ] 由归纳假设知（*）式等于x ⋅k ! -x ⋅k ! +(k +1) ⋅k ! =(k +1)! ． 所以当n =k +1时，结论也成立．
综合①②，f n (x ) =n ! 成立． ………………………………………………………10分
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部
分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的
指定位置．
3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答
一律无效．
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆
珠笔．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．
1．已知集合A ={x -1
z 1
=1+i ，则y = z 2
学 Ⅰ 试 题 2017.5
3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲ ．
x 2y 2
4．已知直线2x =0为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线，则该双曲线的离
a b
心率的值为 ▲ ．
5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知Ω1是集合(x , y ) x 2+y 2„1所表示的区域，Ω2是集合
{}
{(x , y y „}所表示的区域，向区域Ω内随机的投一个点，则
1
该点落在区域Ω2内的概率为．
7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q =3，S 3+S 4=则a 3=
53，3
8．已知直四棱柱底面是边长为2
的菱形，侧面对角线的长为积为 ▲ ．
9．已知α
是第二象限角，且sin α=
tan(α+β) =-2，则tan β=
10．已知直线l ：mx +y -2m -1=0，圆C ：x 2+y 2-2x -4y =0，当直线l 被圆C 所截得
的弦长最短时，实数m = ▲ ．
11．在△ABC 中，角A , B , C 对边分别是a , b , c
，若满足2b cos A =2c ，则角B 的大小
为 ▲ ．
1
12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB =，AC =t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若
t
4AB AC
+，则△PB C 面积的最小值为． AP =|AB ||AC |⎧4x -x 2, x …0, ⎪
13．已知函数f (x ) =⎨3 若函数g (x ) =f (x ) -3x +b 有三个零点，则实数b 的
, x
取值范围为 ▲ ．
a 221
14．已知a , b 均为正数，且ab -a -2b =0，则-+b 2-的最小值为
4a b
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知向量
m =x , -1) , n =(sinx ,cos 2x ) ．
（1）当x =
π
时，求m ⋅n 的值； 3
1⎡π⎤
，求cos 2x 的值． （2）若x ∈⎢0, ⎥，且m
⋅n =24⎣⎦
16．（本小题满分14分）
如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC =BC ，
∠ACD =90︒．
（1）求证：AB ⊥平面EDC ；
（2）若P 为FG 上任一点，证明EP ∥平面BCD ．
17．（本小题满分14分）
某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：w =4-
3
，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需x +1
要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x ) （单位：百元）．
（1）求利润函数L (x )的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
18．（本小题满分16分）
b ≠0，e ≈2.71828…．已知函数f (x ) =a ln x -bx 3，a ，b 为实数， e 为自然对数的底数，
（1）当a
a
的取值范围． b
19．（本小题满分16分）
x 2y 2
已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F (-1,0) ，左准线方程为x =-2．
a b
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，
交y 轴于点P ，且满足PA =λAF ，
PB =μBF ．求证：λ+μ为定值； ②若A ，B 两点满足OA ⊥OB （O 为 坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=
λa n 2+μa n +4
a n +2
, 其中n ∈N *, λ, μ为非零常数．
（1）若λ=3, μ=8，求证：{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{a n }是公差不等于零的等差数列． ①求实数λ, μ的值；
②数列{a n }的前n 项和S n 构成数列{S n }，从{S n }中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．．．证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）
如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A , B 两点，DC ⊥OB 于点C ， 且D E =2BE ，求证：2OC =3BC ． B ．（选修4—2：矩阵与变换）
⎡1⎤⎡1a ⎤
λ=-1=已知矩阵M =⎢的一个特征值及对应的特征向量e 1⎢-1⎥． ⎥3b ⎣⎦⎣⎦
求矩阵M 的逆矩阵．
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，
⎧x =2cos α，⎪
建立极坐标系. 已知曲线C
1的参数方程为⎨(α∈[0,2π], α为参数) ，曲
y =3+2sin α⎪⎩
π
线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+) =a （a ∈R ）．若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公
3
共点，求实数a 的值．
D. （选修4—5：不等式选讲）
b 2c 2a 2
已知a , b , c 为正实数，求证：++…a +b +c ．
a b c
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、
红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分（n ∈N *）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．
（1）求在一局游戏中得3分的概率；
（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望E (X ) ．
23．（本小题满分10分）
0n 1k n
已知f n (x ) =C n x -C n (x -1) n + +(-1) k C n (x -k ) n + +(-1) n C n (x -n ) n ，
其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N , k „n ． （1）试求f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 的值；
（2）试猜测f n (x ) 关于n 的表达式，并证明你的结论．
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学参考答案
一、填空题． 1．{x -1
2．1 6．
3．19.7 7．3 11．
4
2017.5
3 4
8
． 12．
1 7
10．-1
π 63
2
1
13．(-∞, -6) (-,0] 14．7
4
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）当x =
1π
时，
m =-1) ，
n =) ， ……………………………4分
43
所以m ⋅n =
（2）m
⋅n =
= 若m
⋅n =
311
-=．…………………………………………………………6分 442
x sin x -cos 2x
11π1
2x -cos 2x -=sin(2x -) -， ………………………8分 2262
π11π1
-，即sin(2x -) =-
，则sin(2x -) -
=，
62262
πππ
因为x ∈[0,]，所以-剟
2x -
466ππ
，所以cos(2x -) = ……………10分
63
ππππ1
sin(2x -) ⨯ ……………12分
则cos 2x =cos[(2x -) +]=cos(2x -) 6666213． ……………………………14分 216．（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，∠ACD =90︒，即CD ⊥AC ， 平面ABC 平面ACD =AC ，CD ⊂平面ACD ，
=
所以CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………………………3分 又AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ， ………………………………………………4分 因为AC =BC ，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ， …………………………………6分
又CE CD =C ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ，
所以AB ⊥平面EDC ． …………………………………………………………………7分
（2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，
所以EF ∥平面BCD ， ………………………………………………………………10分 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF EG =E ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ，
所以平面EFG ∥平面BCD ， ………………………………………………………12分
又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分
3⎫48⎛
-3x （0剟x 5）17．解：（1）L (x ) =16 4-．………………4分 ⎪-x -2x =64-
x +1x +1⎝⎭48⎛48⎫
-3x =67- +3(x +1)⎪
（2）法一：L (x ) =64-
x +1⎝x +1⎭
„67-43．……………………………………8分 当且仅当
48
=3(x +1)时，即x =3时取等号．……………………………10分 x +1
故L (x )max =43．………………………………………………………………12分
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分
48
法二：L '(x )=-3，由L '(x )=0得，x =3．……………………………7分 2
(x +1)
故当x ∈(0,3)时，L '(x )>0，L (x )在(0,3)上单调递增；
当x ∈(3,10)时，L '(x )
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：（1）当b =-1时，函数f (x ) =a ln x +x 3，
a a +3x 32
则f '(x ) =+3x =， ………………………………………………………2分
x x
a a a a
所以g (a ) =f =a =ln(-) -， ……………………………4分
3333
令t (x ) =-x ln x +x ，
则t '(x ) =-ln x ，令t '(x ) =0，得x =1， 且当x =1时，t (x ) 有最大值1， 所以g (a ) 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可) ，此时a =-3．………6分
（2）由题意得，方程a ln x -bx 3=0在区间(1，e]上有两个不同实数解，
a x 3
所以=在区间(1，e]上有两个不同的实数解，
b ln x
x 3a
即函数y 1=图像与函数m (x ) =图像有两个不同的交点，…………………9分
b ln x 2
x (3lnx -1)
因为m '(x ) =，令m '(x ) =
0，得x
2
(lnx )
所以当x ∈时，m (x ) ∈(3e,+∞) ，……………………………………………14分
当x ∈e]时，m (x ) ∈(3e,e3]，
a a
所以a , b 满足的关系式为 3e
b b 19．解：（1）由题设知e =
(1,，a 2=2c 2=b 2+c 2，即a 2=2b 2，……………………1分 代入椭圆C 得到
∴C :
2
11+=1，则b 2=1，a 2=2，…………………2分 222b 2b
x 2
+y 2=1． ……………………………………………………………………3分
（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k (x +1) ，则P (0,k ) ．
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，直线l 代入椭圆得x 2+2k 2(x +1) 2=2，整理得，
-4k 22k 2-2
． ……………5分 (1+2k ) x +4k x +2k -2=0，∴x 1+x 2=, x 1x 2=
1+2k 21+2k 2
-x 1-x 2
, μ= 由PA =λAF ，PB =μBF 知，λ=， ……………………………7分 1+x 11+x 2
2
2
2
2
-4k 24k 2-4
+22x 1+x 2+2x 1x 2-4=-=-=-4（定值） ∴λ+μ=-．………9分 -4k 22k 2-21+x 1+x 2+x 1x 2-11++
1+2k 21+2k 2，……………10分 1
当直线OA , OB 的斜率均存在且不为零时，设OA :y =kx , OB :y =-x ，
k
②当直线OA , OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S =
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，将y =kx 代入椭圆C 得到x 2+2k 2x 2=2，
2k 22k 2222
∴x =2，同理x 2=， …………………12分 , y =2,
y =2
2k +12k +122+k 2
2
1
2
21
OA ⋅OB
△AOB 的面积S ==
2
2
………………………………
13分
令t =k +1∈[1, +∞)，S
⎡21
令u =∈(0,1)，则S =． ……………15分 =
⎢3t ⎣⎭⎡2 综上所述，S ∈⎢． ………………………………………………………16分
3⎣⎦
3a n 2+8a n +4(3a n +2)(a n +2)
==3a n +2， 20．解：（1）当λ=3, μ=8时，a n +1=
a n +2a n +2 ∴a n +1+1=3(a n +1) ．……………………………………………………………………2分 又a n +1≠0，不然a 1+1=0，这与a 1+1=2矛盾，…………………………………3分 ∴{a n +1}为2为首项，3为公比的等比数列，
∴a n +1=2⋅3n -1，∴a n =2⋅3n -1-1． …………………………………………………4分
（2）①设a n =a 1+(n -1) d =dn -d +1， 由a n +1=
λa n 2+μa n +4
a n +2
得a n +1(a n +2) =λa n 2+μa n +4，
∴(dn -d +3)(dn +1) =λ(dn -d +1) 2+μ(dn -d +1) +4， …………………………5分 ∴d 2⋅n 2+(4d -d 2) n -d +3=λd 2n 2+(2(1-d ) λ+μ) dn +λ(1-d ) 2+(1-d ) μ+4 对任意n ∈N *恒成立． ………………………………………………………………7分
⎧d 2=λd 2，⎧λ=1，⎪⎪
∴⎨4d -d 2=(2(1-d ) λ+μ) d ，即⎨u =d +2，∴λ=1, u =4, d =2．…………9分
⎪d =2，⎪2
-d +3=λ(1-d ) +(1-d ) μ+4，⎩⎩ 综上，λ=1，μ=4, a n =2n -1． ……………………………………………………10分
n (1+2n -1)
②由①知S n ==n 2．
2
设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．
1 若三个奇数一个偶数，设S 1, S 2x +1, S 2y +1, S 2z 是满足条件的四项，
则1+(2x +1) 2+(2y +1) 2+4z 2=2017，
∴2(x 2+x +y 2+y +z 2) =1007，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分
2 若一个奇数三个偶数，设S 1, S 2x , S 2y , S 2z 是满足条件的四项，
则12+4x 2+4y 2+4z 2=2017，∴x 2+y 2+z 2=504． ……………………………12分 由504为偶数知，x , y , z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若x , y , z 中一个偶数两个奇数，不妨设x =2x 1，y =2y 1+1, z =2z 1+1,
则2(x 12+y 12+y 1+z 12+z 1) =251，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若x , y , z 均为偶数，不妨设x =2x 1, y =2y 1, z =2z 1，
则x 12+y 12+z 12=126，继续奇偶分析知x 1, y 1, z 1中两奇数一个偶数，
不妨设x 1=2x 2，y 1=2y 2+1，z 1=2z 2+1，则x 22+y 22+y 2+z 22+z 2=31． …14分 因为y 2(y 2+1), z 2(z 2+1) 均为偶数，所以x 2为奇数，不妨设0剟y 2
z 2，
当x 2=1时，y 22+y 2+z 22+z 2=30，y 22+y 2„14，检验得y 2=0，z 2=5，x 2=1， 当x 2=3时，y 22+y 2+z 22+z 2=22，y 22+y 2„10，检验得y 2=1，z 2=4，x 2=3， 当x 2=5时，y 22+y 2+z 22+z 2=6，y 22+y 2„2，检验得y 2=0，z 2=2，x 2=5， 即S 1, S 4, S 8, S 44或者S 1, S 12, S 24, S 36或者S 1, S 4, S 20, S 40满足条件，
综上所述，{S 1, S 4, S 8, S 44}，{S 1, S 12, S 24, S 36}，{S 1, S 4, S 20, S 40}为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分
（第Ⅱ卷 理科附加卷）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. A ．（选修4－1 几何证明选讲）.
解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE =x ，则OD =R ，DE =2BE =2x ． …………2分
OE ，即R 2=OC 在Rt △ODE 中，∵DC ⊥OB ，∴OD 2=OC (R +x ) ， ① OE ，即4x 2=x 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则DE 2=BE (R +x ) ，② ………6分
∴x =
2R 2R 3R
，代入①，R 2=OC ， ……………………………8分 (R +) ，OC =335
3R 2R
， =
55
∴BC =OB -OC =R -
∴2OC =3BC ． ……………………………………………………………………10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）
⎡1a ⎤⎡1⎤⎡1-a ⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎧1-a =-1，
⋅==-1⋅解：由题知，⎢⎥⎢-1⎥⎢3-b ⎥⎢-1⎥=⎢1⎥⇒⎨3-b =1，……………………4分 3b ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩
⎡12⎤
∴a =2, b =2，M =⎢⎥. …………………………………………………………6分 32⎣⎦
12
det(M ) ==1⨯2-2⨯3=-4， …………………………………………………8分
32
∴M -1
⎡1⎢-2=⎢⎢3⎢⎣41⎤
2⎥
⎥． ………………………………………………………………10分 1⎥-4⎥⎦
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
解：(x 2+(y -3) 2=4cos 2α+4sin 2α=4，
∴曲线C 的普通方程为(x +1) 2+(y -3) 2=4． ……………………………………4分
π1ρsin(θ+) =a ⇒ρsin θ+cos θ=a ，
3
2
∴曲线D
+y -2a =0， ……………………………………6分 曲线C 圆心到直线D
的距离为d =2， ………………………8分
∴a -3=2，∴a =1或a =5．………………………………10分（少一解，扣一分） D ．（选修4—5：不等式选讲）
解法一：基本不等式
b 2c 2a 2
∵a +…2b ，b +…2c ，c +…2a ，
a c b 222b c a
…2a +2b +2c ， ………………………………………6分 ∴a ++b ++c +
a b c
b 2c 2a 2
∴++…a +b +c ， ………………………………………………………10分
a b c
b 2c 2a 2
解法二：柯西不等式(a +b +c )(++) …(b +c +a ) 2，
a b c
222b c a
∴++…a +b +c ， …………………………………………………………10分
a b c
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，
111
C 2C 2C 12
=．… …………………………………………………………2分 则P (A ) =3
C 55
答：在一局游戏中得3分的概率为（2）X 的所有可能取值为1, 2,3, 4．
2
．………………………………………………3分 5
1221C 2C 2+C 2C 13
=在一局游戏中得2分的概率为，…………………………………5分 3
C 51021
C 2C 21
P (X =1) ==； 3
C 55
436
； P (X =2) =⨯=
5102543228
； P (X =3) =⨯(1-) ⨯=
[1**********]2
． P (X =4) =⨯(1-) ⨯=
5105125
所以
………………………………………………………………………………………………8分 162842337
∴E (X ) =1⨯+2⨯+3⨯．…………………………………10分 +4⨯=
[1**********]5
23．解：(1)f 1(x ) =C 10x -C 11(x -1) =x -x +1=1；………………………………………1分
02122
f 2(x ) =C C x 1) +2C (-x 2) 2x -2(-
=x 2-2(x 2-2x +1) +(x 2-4x +4) =2； ………………………………………2分
03123
f 3(x ) =C 3x -C 3(x -1) 3+C 3(x -2) 3-C 3(x -3) 3
=x 3-3(x -1) 3+3(x -2) 3-(x -3) 3=6． ………………………………………3分
（2）猜测：f n (x ) =n ! ． …………………………………………………………………4分
n ! n ! (n -1)! n ! k k -1
=k ==n = 而kC n ，nC n ， -1
k !(n -k )! (k -1)!(n -k )! (k -1)!(n -k )! (k -1)!(n -k )!
k k -1
所以kC n =nC n -1． …………………………………………………………………5分 用数学归纳法证明结论成立．
①当n =1时，f 1(x ) =1，所以结论成立．
1
②假设当n =k 时，结论成立，即f k (x ) =C k 0x k -C k (x -1) k + +(-1) k C k k (x -k ) k =k ! ． 1k +1+1k +1
当n =k +1时，f k +1(x ) =C k 0+1x k +1-C k + +(-1) k +1C k k ++1(x -1) 1(x -k -1) 1k k k k k +1k +1=C k 0+1x k +1-C k C k +1(x -k -1) k +1+1(x -1) (x -1) + +(-1) C k +1(x -k ) (x -k ) +(-1)
=x [C x -C (x -1) + +(-1) C (x -k ) ]
1k 2k k +1+1k +1+[C k kC k k +1(x -k ) k ]+(-1) k +1C k k ++1(x -1) -2C k +1(x -2) +(-1) 1(x -k -1) 1=x [C k 0x k -(C k +C k 0)(x -1) k + +(-1) k (C k k +C k k -1)(x -k ) k ]
0k
k +11k +1
k k
k k +1
k
1+1k
+(k +1)[(x -1) k -C k (x -2) k +(-1) k +1C k k -1(x -k ) k ]+(-1) k +1C k k +1(x -k -1) (x -k -1) 1=x [C k 0x k -C k (x -1) k + +(-1) k C k k (x -k ) k ]-x [C k 0(x -1) k + +(-1) k -1C k k -1(x -k ) k ]1+(k +1)[(x -1) k -C k (x -2) k +(-1) k +1C k k -1(x -k ) k ]
+x (-1) k +1C k k (x -k -1) k -(k +1)(-1) k +1(x -k -1) k
1=x [C k 0x k -C k (x -1) k + +(-1) k C k k (x -k ) k ]
-x [C k 0(x -1) k + +(-1) k -1C k k -1(x -k ) k +(-1) k C k k (x -k -1) k ]
（*）
1+(k +1)[(x -1) k -C k (x -2) k +(-1) k -1C k k -1(x -k ) k +(-1) k (x -k -1) k ] 由归纳假设知（*）式等于x ⋅k ! -x ⋅k ! +(k +1) ⋅k ! =(k +1)! ． 所以当n =k +1时，结论也成立．
综合①②，f n (x ) =n ! 成立． ………………………………………………………10分