知识要点梳理: 知识点一：极坐标1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位
和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点 平面上一点序实数对 就叫做点
的极坐标
的距离
称为极径
，
与
轴的夹角称为极角，有
到极点
的极坐标。
表示非负数；
（1）一般情况下，不特别加以说明时 当 当 使求的点。 （2）点
与点
（
时表示极点； 时，点
，在
的位置这样确定：作射线的反向延长线上取一点
， ，使得
，点
即为所
）所表示的是同一个点，即角与的
终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应， 即
，
,
均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个
点
的极坐
标
和直角坐
标
有如下
- 1 -
关系：
直角坐标化极坐标：
；
极坐标化直角坐标：.
此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
4. 直线的极坐标方程： （1）过极点倾斜角为 （2）过
的直线：
或写成
及
.
垂直于极轴的直线：
为半径的圆：，以
5. 圆的极坐标方程： （1）以极点
（2）若
为圆心，，
.
为直径的圆：
知识点二：柱坐标系与球坐标系：1. 柱坐标系的定义：
空间点与柱坐标之间的变换公式：
2. 球坐标系的定义：
空间点
知识点三：参数方程
与球坐标
之间的变换公式：
1.
概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标数的函数：
都是某个变
，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那
- 2 -
么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
，
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。
知识点四：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程 （1）经过定点
，倾斜角为的直线的参数方程为：
（为参数）；
，有，
在
，即
表示直线上任一点M 到定
) 。
其中参数的几何意义：点
的距离。（当
在
上方时，
下方时，
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
（为参数，为为常数，是直线上一点，则
）；
。
其中的几何意义为：若
2．圆的参数方程
（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
（是参数，）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
- 3 -
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
（1）椭
圆
（）的参数方
程
（为参数）
。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点 交大圆即以
对应的角为为直径的圆于
（过
作
轴，
。
），切不可认为是
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成，
为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
双曲线
5. 抛物线的参数方程
（
, ）的参数方程为（为参数）。
抛物线() 的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
- 4 -
6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：
（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；
（2）摆线的参数方程
（是参数）。
规律方法指导：
1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.
2、把曲线
的普通方程
化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确
保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
经典例题精析
类型一：极坐标方程与直角坐标方程
1．在极坐标系中，点
关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对
称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，
思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。 解析：它们依次是（
）.
或
；
；
示意图如下：
总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系
，
同时应注意点的极坐标的多值性。
举一反三：
- 5 -
【变式】已知点，则点
（1）关于 （2）关于直线 【答案】
对称点的对称点
的坐标是_______， 的坐标为________ 。
(1) 由图知
：
, ，所
以
；
(2)
直线
（
）
即
，所以
或
2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
，对已有方程进行变形、配凑。
思路点拨:依据关系式 解析：
（1）方程变形为 ∴
或
，即
,
或
，
故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。 (2) 变形得
故原方程表示直线 (3) 变形为
, 即
, 即
。
， ，
整理得
- 6 -
，
故原方程表示中心在，焦点在x 轴上的双曲线。
（4）变形为 ∴
, 即
, ,
。
故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线
总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系
式
，把极坐标方程中的
用ｘ、ｙ表示。
举一反三：
【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.
(1)； (2), 其中；
(3) 【答案】： (1)∵
，∴
(4)
即.
,
故原方程表示是圆
(2)∵, ∴，
∴ ∴
或
，∴
或，
故原方程表示圆和直线.
(3)由，得
.
即，整理得
故原方程表示抛物线
(4)由得,
- 7 -
∴，即
故原方程表示圆 【变式2】圆的直角坐标方程
【
答
案
】
将
.
.
化为极坐标方程为_______________.
代
入
方
程
得
3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。
的直线为
.
过点
思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为
垂直于极轴的直线为
极坐标方程。
解析：
；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成
（1）由图知，所求的极坐标方程为；
（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.
（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.
总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程. 也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解. 举一反三：
【变式1
】已知直线的极坐标方程为
- 8 -
，则极点到该直线的距离是
______。
【答案】：。
，
（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：
则原点（极点）到该直线的距离是
；
（方法二）直线易知，
是将直线绕极点顺时针旋转而得到，
极点到直线的距离为 【变式2】解下列各题
。
（1）在极坐标系中，以切线方程为____；
（2）极坐标系中，两圆
为圆心，半径为1的圆的方程为____，平行于极轴的
和的圆心距为______ ；
（3）极坐标系中圆 【答案】 （1）（方法一）
的圆心为________。
设在圆上，则，，，，
由余弦定理得
即，为圆的极坐标方程。
其平行于极轴的切线方程为 （方法二）
和。
- 9 -
圆心的直角坐标为，
则符合条件的圆方程为，
∴圆的极坐标方程：
整理得，即.
又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：
或
，
即和
（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心
距为.
（方法二）圆 圆
即即
的圆心为的圆心为
， ，
∴两圆圆心距为.
（3）（方法一）令得，∴圆心为。
（方法二）圆
即
的圆心为，即
.
- 10 -
类型二：参数方程与普通方程互化
4．把参数方程化为普通方程
(1) 参数）；
(，为参数) ； （2） (，为
（3）
(, 为参数) ； （4） (为参数).
思路点拨:
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参； （2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的
后再代入另一表达式即可消参；
而已，因而消参方法依旧，但需要注意
办法；或把用表示，反解出
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成、
的范围。
解析： （1）
∵
；
又∵
,
, ∴(
,
, , 把
,
)
代入得
.
，
把
代入
得
∴ 所求方程为： （2）∵
又∵，
∴
, . ∴ 所求方程为(, ).
（3）（法一）：,
- 11 -
又
∴ 所求方程为
(
，
,
).
,
（法二）：由 ∴
得, 代入（余略）.
,
（4）由 得, ∴, 由得,
当时，；当时，，从而.
法一: 即
（
），故所求方程为
（
，
）
法二:
由
得
，代入
得
，即
∴再将代入得，化简得.
总结升华：
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。 2. 消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围. 在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。
- 12 -
（1） 【答案】：
(t为参数) ； （2）（t 为参数）.
（1）由 ∵
, ∴
得，代入
,
（
，
）
化简得
.
.
故所求方程为
（2）两个式子相除得，代入得，即.
∵
，故所求方程为().
【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。
A 、双曲线一支，且过点 B 、抛物线的一部分，且过点
C 、双曲线一支，且过点 【答案】： （1）
D 、抛物线的一部分，且过点
其中
，
，∴ 半径为5。
- 13 -
（2
），
且
，因而选B 。
【变式3】（1）直线
: A 、
B 、
(t为参数) 的倾斜角为（ ）。 C 、
D 、
（2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。
A 、 【答案】：
B 、 C 、 D 、
（1）C 。
，相除得，∴倾斜角为，选
（2），相除得，
∵
，∴ 倾角为，选C 。
5．已知曲线的参数方程
) ，为参数(
（、为常数）。
（1）当为常数() 时，说明曲线的类型；
（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
- 14 -
解析：（1）方程可变形为 取两式的平方和，得 曲线是以
为圆心，
（为参数，为常数）
为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,
两式相除，可得 曲线是过点
且斜率
，即
的直线。
,
总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。 举一反三：
【变式】已知圆锥曲线方程为 （1）若为参数， （2）若
。
为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：（1）方程可化为
消去, 得：
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，
消去，得，
- 15 -
∴曲线为椭圆，其中
类型三：其他应用
，，，从而。
6．椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标
就可以用来表示面积，再求出最大值。 解析：设椭圆上第一象限的点
，则
当且仅当时，取最大值，此时点.
总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。 举一反三：
【变式1】求椭圆的坐标。 【答案】：设
上的点到直线:的最小距离及相应的点
到的距离为，则
，
（当且仅当即时取等号）。
∴点 【变式2
】圆
_______个.
到直线的最小距离为，此时点上到直线
的距离为
，即。
的点共有
【答案】：已知圆方程为，
- 16 -
设其参数方程为
则圆上的点
为
（） 到直线
的距离
，即
∴或
又 【变式3】实数、值范围.
【答案】： （1）由已知
，∴满足
，从而满足要求的点一共有三个. ，求（1）
，（2）
的取
，
设圆的参数方程为 ∴
∵
，∴
（
（为参数）
2
）
∵
- 17 -
，∴
.
学习成果测评
基础达标：
1．极坐标方程所表示的曲线是（ ）。
A 、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆
2．已知直线的极坐标方程为
3．曲线的极坐标方程为
2
2
2
2
，则极点到该直线的距离是______。
，化为直角坐标方程是（ ）。
2
2
2
2
A 、x +(y+2)=4 B 、x +(y-2)=4 C 、(x-2)+y=4 D 、(x+2)+y=4
4．圆的圆心极坐标和半径是（ ）。
A 、 B
、 C
、 D
、
5. 直线
和直线
=1的位置关系是（ ）
A 、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、无法确定
能力提升：
6. 已知点P 的极坐标为（1，），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ） A 、
B、
C、
D、
7. 直线的参数方程是截距是 .
，则过点（4，-1）且与平行的直线在y 轴上的
- 18 -
8. 直线的参数方程为
，则直线的斜截式方程是
9. 曲线x -y=0的参数方程是（ ）.
2
A
、 B
、 C
、 D
、
综合探究：
10．设椭圆的最大值.
+=1内接四边形ABCD ，其中A(4,0), C(0, 5)，求四边形ABCD 面积
11. 点P 位于第一象限且在椭圆
求四边形OAPB 的面积的最大值，并求出此时P 点的坐标.
上，O 为原点，A(a,0),B(0,b)，
参考答案：基础达标：
1．答案：D ．
解析：表示圆，变到只是极角的旋转，所以曲线形状仍为圆。
2．答案：。
解析：（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程即可求出；
（方法二）若能抓住易知，
是将绕极点顺时针旋转，
- 19 -
极点到距离为 3．答案：B ． 4．答案：C ． 3．答案：B ．
。
解析：将极坐标下的方程转化为直角坐标系下的方程，再来求这两条直线的关系。
能力提升：
6. 答案：C
解析：如图，在所求的直线上任取(
), 则OP=OAcos∠POA,即1=
),
7. 答案：-4 8. 答案： 9. 答案：D
综合探究：
，直线
AC
方程为
10．设椭圆上一
点
5x+4y-20=0.
设P 到AC 的距离为d.
则d==.
∴
- 20 -
=, =,
∴ SABCD =|AC|(+)
=.
11. 设
,
当时，S OAPB 有最大值. 此时，P 点的坐标为. 高考题萃
高考真题： 1．曲线的参数方程是（是参数，），它的普通方程是（ ）.
A. B.
C.
D.
2．下列以
为参数的参数方程所表示的曲线中，与
（ ）. 所表示的曲线完全一致的是
A.
B. C. D.
3．曲线（为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）
A.
B. C. 1 D. - 21 -
4. 点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（ ）
A. 0 B. 1 C.
5．把参数方程 （ D. 2 是参数）化为普通方程，结果是 .
6. 直线y=2x－ 与曲线（为参数）的交点坐标是_____.
7．在平面直角坐标系数方程为
为______.
参考答案：
1．答案：B
解析：由选B 。
2．答案：D
解析：依据、
3．答案：选D.
∴
设 （参数中，直线的参数方程为（参数t∈R），圆C 的参），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线的距离得，代入得，即, 故的范围，可以确定选D 。 ， 解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和
为. ，∴，∴。
4. 答案：选B.
， 解析：将曲线方程化为一般式：
∴ 点
- 22 - 为该抛物线的焦点.
由抛物线的定义得：
曲线上的点到P 点距离等于曲线上的点到准线的距离，
故曲线上的点到P 点的距离最小的点为抛物线的顶点.
5．答案：
解析：由 6. 答案： 得，平方相加得.
解析：，消去参数得. 由
7．答案： 解析：由 由 圆心 ；. ， 解方程得：， ∴交点坐标为. 加减消元得直线的方程为得到直线：， 。 ，圆C 的圆心坐标为的距离为
- 23 -
知识要点梳理: 知识点一：极坐标1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位
和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点 平面上一点序实数对 就叫做点
的极坐标
的距离
称为极径
，
与
轴的夹角称为极角，有
到极点
的极坐标。
表示非负数；
（1）一般情况下，不特别加以说明时 当 当 使求的点。 （2）点
与点
（
时表示极点； 时，点
，在
的位置这样确定：作射线的反向延长线上取一点
， ，使得
，点
即为所
）所表示的是同一个点，即角与的
终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应， 即
，
,
均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个
点
的极坐
标
和直角坐
标
有如下
- 1 -
关系：
直角坐标化极坐标：
；
极坐标化直角坐标：.
此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
4. 直线的极坐标方程： （1）过极点倾斜角为 （2）过
的直线：
或写成
及
.
垂直于极轴的直线：
为半径的圆：，以
5. 圆的极坐标方程： （1）以极点
（2）若
为圆心，，
.
为直径的圆：
知识点二：柱坐标系与球坐标系：1. 柱坐标系的定义：
空间点与柱坐标之间的变换公式：
2. 球坐标系的定义：
空间点
知识点三：参数方程
与球坐标
之间的变换公式：
1.
概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标数的函数：
都是某个变
，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那
- 2 -
么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
，
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。
知识点四：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程 （1）经过定点
，倾斜角为的直线的参数方程为：
（为参数）；
，有，
在
，即
表示直线上任一点M 到定
) 。
其中参数的几何意义：点
的距离。（当
在
上方时，
下方时，
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
（为参数，为为常数，是直线上一点，则
）；
。
其中的几何意义为：若
2．圆的参数方程
（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
（是参数，）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
- 3 -
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
（1）椭
圆
（）的参数方
程
（为参数）
。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点 交大圆即以
对应的角为为直径的圆于
（过
作
轴，
。
），切不可认为是
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成，
为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
双曲线
5. 抛物线的参数方程
（
, ）的参数方程为（为参数）。
抛物线() 的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
- 4 -
6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：
（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；
（2）摆线的参数方程
（是参数）。
规律方法指导：
1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.
2、把曲线
的普通方程
化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确
保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
经典例题精析
类型一：极坐标方程与直角坐标方程
1．在极坐标系中，点
关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对
称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，
思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。 解析：它们依次是（
）.
或
；
；
示意图如下：
总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系
，
同时应注意点的极坐标的多值性。
举一反三：
- 5 -
【变式】已知点，则点
（1）关于 （2）关于直线 【答案】
对称点的对称点
的坐标是_______， 的坐标为________ 。
(1) 由图知
：
, ，所
以
；
(2)
直线
（
）
即
，所以
或
2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
，对已有方程进行变形、配凑。
思路点拨:依据关系式 解析：
（1）方程变形为 ∴
或
，即
,
或
，
故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。 (2) 变形得
故原方程表示直线 (3) 变形为
, 即
, 即
。
， ，
整理得
- 6 -
，
故原方程表示中心在，焦点在x 轴上的双曲线。
（4）变形为 ∴
, 即
, ,
。
故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线
总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系
式
，把极坐标方程中的
用ｘ、ｙ表示。
举一反三：
【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.
(1)； (2), 其中；
(3) 【答案】： (1)∵
，∴
(4)
即.
,
故原方程表示是圆
(2)∵, ∴，
∴ ∴
或
，∴
或，
故原方程表示圆和直线.
(3)由，得
.
即，整理得
故原方程表示抛物线
(4)由得,
- 7 -
∴，即
故原方程表示圆 【变式2】圆的直角坐标方程
【
答
案
】
将
.
.
化为极坐标方程为_______________.
代
入
方
程
得
3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。
的直线为
.
过点
思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为
垂直于极轴的直线为
极坐标方程。
解析：
；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成
（1）由图知，所求的极坐标方程为；
（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.
（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.
总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程. 也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解. 举一反三：
【变式1
】已知直线的极坐标方程为
- 8 -
，则极点到该直线的距离是
______。
【答案】：。
，
（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：
则原点（极点）到该直线的距离是
；
（方法二）直线易知，
是将直线绕极点顺时针旋转而得到，
极点到直线的距离为 【变式2】解下列各题
。
（1）在极坐标系中，以切线方程为____；
（2）极坐标系中，两圆
为圆心，半径为1的圆的方程为____，平行于极轴的
和的圆心距为______ ；
（3）极坐标系中圆 【答案】 （1）（方法一）
的圆心为________。
设在圆上，则，，，，
由余弦定理得
即，为圆的极坐标方程。
其平行于极轴的切线方程为 （方法二）
和。
- 9 -
圆心的直角坐标为，
则符合条件的圆方程为，
∴圆的极坐标方程：
整理得，即.
又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：
或
，
即和
（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心
距为.
（方法二）圆 圆
即即
的圆心为的圆心为
， ，
∴两圆圆心距为.
（3）（方法一）令得，∴圆心为。
（方法二）圆
即
的圆心为，即
.
- 10 -
类型二：参数方程与普通方程互化
4．把参数方程化为普通方程
(1) 参数）；
(，为参数) ； （2） (，为
（3）
(, 为参数) ； （4） (为参数).
思路点拨:
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参； （2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的
后再代入另一表达式即可消参；
而已，因而消参方法依旧，但需要注意
办法；或把用表示，反解出
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成、
的范围。
解析： （1）
∵
；
又∵
,
, ∴(
,
, , 把
,
)
代入得
.
，
把
代入
得
∴ 所求方程为： （2）∵
又∵，
∴
, . ∴ 所求方程为(, ).
（3）（法一）：,
- 11 -
又
∴ 所求方程为
(
，
,
).
,
（法二）：由 ∴
得, 代入（余略）.
,
（4）由 得, ∴, 由得,
当时，；当时，，从而.
法一: 即
（
），故所求方程为
（
，
）
法二:
由
得
，代入
得
，即
∴再将代入得，化简得.
总结升华：
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。 2. 消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围. 在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。
- 12 -
（1） 【答案】：
(t为参数) ； （2）（t 为参数）.
（1）由 ∵
, ∴
得，代入
,
（
，
）
化简得
.
.
故所求方程为
（2）两个式子相除得，代入得，即.
∵
，故所求方程为().
【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。
A 、双曲线一支，且过点 B 、抛物线的一部分，且过点
C 、双曲线一支，且过点 【答案】： （1）
D 、抛物线的一部分，且过点
其中
，
，∴ 半径为5。
- 13 -
（2
），
且
，因而选B 。
【变式3】（1）直线
: A 、
B 、
(t为参数) 的倾斜角为（ ）。 C 、
D 、
（2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。
A 、 【答案】：
B 、 C 、 D 、
（1）C 。
，相除得，∴倾斜角为，选
（2），相除得，
∵
，∴ 倾角为，选C 。
5．已知曲线的参数方程
) ，为参数(
（、为常数）。
（1）当为常数() 时，说明曲线的类型；
（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
- 14 -
解析：（1）方程可变形为 取两式的平方和，得 曲线是以
为圆心，
（为参数，为常数）
为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,
两式相除，可得 曲线是过点
且斜率
，即
的直线。
,
总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。 举一反三：
【变式】已知圆锥曲线方程为 （1）若为参数， （2）若
。
为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：（1）方程可化为
消去, 得：
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，
消去，得，
- 15 -
∴曲线为椭圆，其中
类型三：其他应用
，，，从而。
6．椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标
就可以用来表示面积，再求出最大值。 解析：设椭圆上第一象限的点
，则
当且仅当时，取最大值，此时点.
总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。 举一反三：
【变式1】求椭圆的坐标。 【答案】：设
上的点到直线:的最小距离及相应的点
到的距离为，则
，
（当且仅当即时取等号）。
∴点 【变式2
】圆
_______个.
到直线的最小距离为，此时点上到直线
的距离为
，即。
的点共有
【答案】：已知圆方程为，
- 16 -
设其参数方程为
则圆上的点
为
（） 到直线
的距离
，即
∴或
又 【变式3】实数、值范围.
【答案】： （1）由已知
，∴满足
，从而满足要求的点一共有三个. ，求（1）
，（2）
的取
，
设圆的参数方程为 ∴
∵
，∴
（
（为参数）
2
）
∵
- 17 -
，∴
.
学习成果测评
基础达标：
1．极坐标方程所表示的曲线是（ ）。
A 、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆
2．已知直线的极坐标方程为
3．曲线的极坐标方程为
2
2
2
2
，则极点到该直线的距离是______。
，化为直角坐标方程是（ ）。
2
2
2
2
A 、x +(y+2)=4 B 、x +(y-2)=4 C 、(x-2)+y=4 D 、(x+2)+y=4
4．圆的圆心极坐标和半径是（ ）。
A 、 B
、 C
、 D
、
5. 直线
和直线
=1的位置关系是（ ）
A 、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、无法确定
能力提升：
6. 已知点P 的极坐标为（1，），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ） A 、
B、
C、
D、
7. 直线的参数方程是截距是 .
，则过点（4，-1）且与平行的直线在y 轴上的
- 18 -
8. 直线的参数方程为
，则直线的斜截式方程是
9. 曲线x -y=0的参数方程是（ ）.
2
A
、 B
、 C
、 D
、
综合探究：
10．设椭圆的最大值.
+=1内接四边形ABCD ，其中A(4,0), C(0, 5)，求四边形ABCD 面积
11. 点P 位于第一象限且在椭圆
求四边形OAPB 的面积的最大值，并求出此时P 点的坐标.
上，O 为原点，A(a,0),B(0,b)，
参考答案：基础达标：
1．答案：D ．
解析：表示圆，变到只是极角的旋转，所以曲线形状仍为圆。
2．答案：。
解析：（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程即可求出；
（方法二）若能抓住易知，
是将绕极点顺时针旋转，
- 19 -
极点到距离为 3．答案：B ． 4．答案：C ． 3．答案：B ．
。
解析：将极坐标下的方程转化为直角坐标系下的方程，再来求这两条直线的关系。
能力提升：
6. 答案：C
解析：如图，在所求的直线上任取(
), 则OP=OAcos∠POA,即1=
),
7. 答案：-4 8. 答案： 9. 答案：D
综合探究：
，直线
AC
方程为
10．设椭圆上一
点
5x+4y-20=0.
设P 到AC 的距离为d.
则d==.
∴
- 20 -
=, =,
∴ SABCD =|AC|(+)
=.
11. 设
,
当时，S OAPB 有最大值. 此时，P 点的坐标为. 高考题萃
高考真题： 1．曲线的参数方程是（是参数，），它的普通方程是（ ）.
A. B.
C.
D.
2．下列以
为参数的参数方程所表示的曲线中，与
（ ）. 所表示的曲线完全一致的是
A.
B. C. D.
3．曲线（为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）
A.
B. C. 1 D. - 21 -
4. 点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（ ）
A. 0 B. 1 C.
5．把参数方程 （ D. 2 是参数）化为普通方程，结果是 .
6. 直线y=2x－ 与曲线（为参数）的交点坐标是_____.
7．在平面直角坐标系数方程为
为______.
参考答案：
1．答案：B
解析：由选B 。
2．答案：D
解析：依据、
3．答案：选D.
∴
设 （参数中，直线的参数方程为（参数t∈R），圆C 的参），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线的距离得，代入得，即, 故的范围，可以确定选D 。 ， 解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和
为. ，∴，∴。
4. 答案：选B.
， 解析：将曲线方程化为一般式：
∴ 点
- 22 - 为该抛物线的焦点.
由抛物线的定义得：
曲线上的点到P 点距离等于曲线上的点到准线的距离，
故曲线上的点到P 点的距离最小的点为抛物线的顶点.
5．答案：
解析：由 6. 答案： 得，平方相加得.
解析：，消去参数得. 由
7．答案： 解析：由 由 圆心 ；. ， 解方程得：， ∴交点坐标为. 加减消元得直线的方程为得到直线：， 。 ，圆C 的圆心坐标为的距离为
- 23 -