第六讲 旋转与轨迹
本讲3单元的内容分别是：图形旋转，线动成面，面动成体。
图形旋转是解决几何题目的有效方法之一，在解决几何题目时，旋转的方法满足以下三个条件：(1)通过旋转将不规则图形转化为规则图形，(2)边相等，(3)角互补或互余。在看到满足这些条件的几何图形时，要能想到“旋转”，这是一种思路，也是一种境界。
轨迹：点动成线，线动成面，面动成体。
601、【第一单元1】如图所示的四边形的面积等于多少？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】此题不用旋转也能做，如图一，但是，要学好看到等边、直角，
思考如何旋转。
如图二(△OAB 绕O 逆时针旋转90度) 、图三(△OAC 绕O 顺时针旋转90
度) 。图三，12×12＝144。
A
图二图一图三
【答案】144。
602、【第一单元2】如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，以AC 为一边向△ABC 外作正方形，中心为O ，求阴影面积。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】不旋转也能做，
12
×5×3+
14
×(3+5) ＝16。
22
但是，要学好旋转，△OAB 绕O 逆时针旋转90度，如图。 直角△OBB ′为所求（BCB ′在一条直线上，证明很简单）。 一个等腰直角三角形，斜边长度已知，面积是可求的。 5+3＝8，
12
×8×4＝16。
【答案】16。
603、【第一单元3】如图，已知AB ＝AE ＝4cm ，BC ＝DC ，∠BAE ＝∠BCD ＝90°，AC ＝10cm ，则S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE ＝___cm 。
2
【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】△ABC 绕C 逆时针旋转90度，△ABC 绕A 顺时针旋转90度，都转到AC 的下方，在AC 的下方形成正方形，如图。也可以都转到AC 的上方形成正方形。
面积：10×10÷2＝50。 【答案】50。
第1页/共7页
604、【第一单元4】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内做直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ，已知AE 、BE 的长分别是3cm 、5cm ，求△OBE 的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】提供两种解法。 解法一、悬空＝整体－空白，旋转
S ∆OBE =
1
S ∆DBE =[S ∆ABD -(S ∆ABE +S ∆ADE ) ] 22
1
E'
122
S ∆ABD ＝⨯(3+5) ＝17；
2
△ABE 好求，但△ADE 不好求，将△ADE 绕A 点顺时针旋转90度，求(S ∆ABE +S ∆ADE ) 变成了求直角梯形AEBE ′的面积，(3+5)×3÷2＝12。
S ∆OBE =
12
×(17－12) ＝2.5。
解法二、弦图
看到了正方形、直角三角形，想到弦图，做出其他三个直角三角形。 △DBE 底BE ＝5，高等于弦图中心正方形的边长,5-3＝2。
S ∆OBE =
1
11
S ∆DBE ＝×(×5×2) ＝2.5。 222
2
【答案】2.5cm 。
605、【学案1】下图△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，△ADE 是正三角形，点D 在BC 边上，BD:DC＝2:3。当△ABC 的面积是50cm 时，△ADE 的面积是多少？ 【难度级别】★★★★☆
第2页/共7页
2
【解题思路】看到等腰，看到120°，想到旋转。
将△ABC 、△ADE 绕A 点旋转2次（120°、240°），连接D 、E 、D ′、E ′、D ″、E ″构成正六边形。
S ∆B CC ' ＝50×3＝150。
B
B
B
B
S ∆ADE =
1
S 正六边形，但是，正六边形有些点悬空，面积不好求，可以求△DD ′D ″的面积，6
1111
S =S =⨯(2S ) S S ∆DD ' D " ＝，这样，∆ADE ＝S ∆DD ' D " 。 ∆DD ' D " 正六边形正六边形
6623
S ∆DD ' D " ＝(1-
2⨯3771
⨯3) ⨯S ∆B CC ' ＝⨯S ∆B CC ' ＝⨯150＝42；S ∆ADE ＝×42＝14。 5⨯525325
此处用到了鸟头模型，2×3：5×5。
本题中的正六边形是需要证明的：∠CAD ′＝∠BAD ，
∠EAD ′＝∠EAC+∠CAD ′＝∠EAC+∠BAD ＝∠BAC －∠DAE
＝120°－60°＝60°，所以，△EAD ′是正三角形。 【答案】14cm 。
606、【补充1】如图，在长方形中，已知2个三角形的面积是2和3，求？处的面积。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】如图做辅助线。
第一步：求出来3（蝴蝶两翼）；
第二步：求出来4.5（面积比为2：3）；
第三步：长方形一半：3+4.5＝7.5，？＝7.5－2＝5.5。 【答案】5.5。
607、【第二单元3】直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，∠ABC ＝60°，此时BC ＝5厘米。以点B 为中心，将△ABC 顺时针旋转120°，点A 、C 到达E 、D 位置。求AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积（π取3）。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】线动成面。将△EBD 逆时针旋转回来，阴影为2个扇形差。
2
120
⨯π⨯(10-5) ＝⨯π⨯75＝75。 3603
22
1
A
∠CBA = 60°第3页/共7页
【答案】75平方厘米。
608、【第二单元4】如图，ABCD 是一个长为4、宽为3、对角线长为5的长方形，它绕C 点顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。
【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】DC ：π⨯4＝4π；
1
2
4
BC ：π⨯3＝2.25π；
1
2
4
D
2
2
AD ：(1)旋转到(2)，π⨯(5-4) ＝2.25π；
1
4
2
2
AB ：(3)旋转到(4)，π⨯(5-3) ＝4π。
1
4
发现，对边扫过的面积相等。
【答案】AB ：4π，BC ：2.25π，CD ：4π，DA ：2.25π。 D
609、【学案2】如图△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C 点为圆心，把△ABC 顺时针旋转90度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是_____平方米。 【难度级别】★★★★☆
【解题思路】此题，扫过的面积不太好想象。
顺时针旋转后，A 点沿弧AA ′转到A ′点， B点沿弧BB ′转
到B ′点，D 点沿弧DD ′转到D ′点。因为CD 是C 点到AB 的最
短线段，所以AB 扫过的面积就是图中的弧BAA ′与BDD ′A ′之间的阴影图形。S 阴影＝S 半圆－S 空白。
B
112
S 正方形ADCD ' ＝CD ＝S ∆ADC +S ∆ACD ' ＝S ∆ADC +S ∆BCD ＝S ∆ABC ＝×1×1＝(平方米) 。
22S 扇形DCD ’＝⨯π⨯CD ＝⨯π⨯＝。
4428
1
2
11π
1ππ13π12
S 阴影＝⨯π⨯B C －S 扇形DCD ’－(S ∆BCD +S ∆CA ' D ' ) ＝--＝-＝0.6775。
228282
【答案】0.6775。
610、【学案3】三枚半径为1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚同样大小的硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A 点重合的点是____，硬币自己转动_____，硬币圆心的运动轨迹周长为_____。 【难度级别】★★★★☆
【解题思路】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆。
E
第4页/共7页
12
⨯(2π⨯2) ⨯3＝6π；
E
硬币周长：2π⨯1＝2π；6π÷2π＝3，即为3周。 【答案】A 点，3周，6π厘米。
611、【作业3】如图所示的四边形ABCD 中，
∠A ＝∠C ＝45°，∠ABC ＝105°,AB ＝CD ＝15
厘米, 连接对角线BD ，∠ABD ＝30°。求四边
形ABCD 的面积。
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】先将所有角的度数标记出来。
发现60°和30°，75°和105°。
将△BCD 沿BD 剪下，B 、D 两点翻转再粘上，形成图形如右。 面积就很好求了：
12
×15×15＝112.5(平方厘米) 。
【答案】112.5平方厘米。
612、【作业5】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，如果以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，如果以AB 边为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】设BC ＝a ，AC ＝b ，则
⎧12
πb a =16π⎪⎪3
⎨
⎪1πa 2b =12π⎪⎩3
2
C
⎧ab =48b 4
化简后得⎨2，此方程可解，两式相除得：＝，代入得
a 3⎩a b =36
根据勾股定理，AB ＝5，AB 上的高为：
⎧a =3
。 ⎨⎩b =4
3⨯45
＝2.4。
所求旋转体的体积为：π⨯2. 4⨯5＝9.6π。
1
2
3
【答案】9.6π。
第5页/共7页
613、【补充2】先做一个边长为2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲线三角形（如左图）。再准备两个这样的图形，把一个固定住（右图中的阴影），另一个围绕它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动。请问此图形滚动时经过的面积是多少平
方厘米？（π取3.14）
【难度级别】★★★★★
【解题思路】本题难度较大，圆心变换了6次。 滚动过程以及最终结果，如下图。 B
滚动经过的面积：3×[【答案】25.12。
Liqingzhou
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1
⨯π⨯(4-2) +⨯π⨯2]＝8π＝25.12(cm ) 66
2
2
1
22
2013.11.7
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第六讲 旋转与轨迹
本讲3单元的内容分别是：图形旋转，线动成面，面动成体。
图形旋转是解决几何题目的有效方法之一，在解决几何题目时，旋转的方法满足以下三个条件：(1)通过旋转将不规则图形转化为规则图形，(2)边相等，(3)角互补或互余。在看到满足这些条件的几何图形时，要能想到“旋转”，这是一种思路，也是一种境界。
轨迹：点动成线，线动成面，面动成体。
601、【第一单元1】如图所示的四边形的面积等于多少？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】此题不用旋转也能做，如图一，但是，要学好看到等边、直角，
思考如何旋转。
如图二(△OAB 绕O 逆时针旋转90度) 、图三(△OAC 绕O 顺时针旋转90
度) 。图三，12×12＝144。
A
图二图一图三
【答案】144。
602、【第一单元2】如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，以AC 为一边向△ABC 外作正方形，中心为O ，求阴影面积。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】不旋转也能做，
12
×5×3+
14
×(3+5) ＝16。
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但是，要学好旋转，△OAB 绕O 逆时针旋转90度，如图。 直角△OBB ′为所求（BCB ′在一条直线上，证明很简单）。 一个等腰直角三角形，斜边长度已知，面积是可求的。 5+3＝8，
12
×8×4＝16。
【答案】16。
603、【第一单元3】如图，已知AB ＝AE ＝4cm ，BC ＝DC ，∠BAE ＝∠BCD ＝90°，AC ＝10cm ，则S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE ＝___cm 。
2
【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】△ABC 绕C 逆时针旋转90度，△ABC 绕A 顺时针旋转90度，都转到AC 的下方，在AC 的下方形成正方形，如图。也可以都转到AC 的上方形成正方形。
面积：10×10÷2＝50。 【答案】50。
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604、【第一单元4】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内做直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ，已知AE 、BE 的长分别是3cm 、5cm ，求△OBE 的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】提供两种解法。 解法一、悬空＝整体－空白，旋转
S ∆OBE =
1
S ∆DBE =[S ∆ABD -(S ∆ABE +S ∆ADE ) ] 22
1
E'
122
S ∆ABD ＝⨯(3+5) ＝17；
2
△ABE 好求，但△ADE 不好求，将△ADE 绕A 点顺时针旋转90度，求(S ∆ABE +S ∆ADE ) 变成了求直角梯形AEBE ′的面积，(3+5)×3÷2＝12。
S ∆OBE =
12
×(17－12) ＝2.5。
解法二、弦图
看到了正方形、直角三角形，想到弦图，做出其他三个直角三角形。 △DBE 底BE ＝5，高等于弦图中心正方形的边长,5-3＝2。
S ∆OBE =
1
11
S ∆DBE ＝×(×5×2) ＝2.5。 222
2
【答案】2.5cm 。
605、【学案1】下图△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，△ADE 是正三角形，点D 在BC 边上，BD:DC＝2:3。当△ABC 的面积是50cm 时，△ADE 的面积是多少？ 【难度级别】★★★★☆
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2
【解题思路】看到等腰，看到120°，想到旋转。
将△ABC 、△ADE 绕A 点旋转2次（120°、240°），连接D 、E 、D ′、E ′、D ″、E ″构成正六边形。
S ∆B CC ' ＝50×3＝150。
B
B
B
B
S ∆ADE =
1
S 正六边形，但是，正六边形有些点悬空，面积不好求，可以求△DD ′D ″的面积，6
1111
S =S =⨯(2S ) S S ∆DD ' D " ＝，这样，∆ADE ＝S ∆DD ' D " 。 ∆DD ' D " 正六边形正六边形
6623
S ∆DD ' D " ＝(1-
2⨯3771
⨯3) ⨯S ∆B CC ' ＝⨯S ∆B CC ' ＝⨯150＝42；S ∆ADE ＝×42＝14。 5⨯525325
此处用到了鸟头模型，2×3：5×5。
本题中的正六边形是需要证明的：∠CAD ′＝∠BAD ，
∠EAD ′＝∠EAC+∠CAD ′＝∠EAC+∠BAD ＝∠BAC －∠DAE
＝120°－60°＝60°，所以，△EAD ′是正三角形。 【答案】14cm 。
606、【补充1】如图，在长方形中，已知2个三角形的面积是2和3，求？处的面积。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】如图做辅助线。
第一步：求出来3（蝴蝶两翼）；
第二步：求出来4.5（面积比为2：3）；
第三步：长方形一半：3+4.5＝7.5，？＝7.5－2＝5.5。 【答案】5.5。
607、【第二单元3】直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，∠ABC ＝60°，此时BC ＝5厘米。以点B 为中心，将△ABC 顺时针旋转120°，点A 、C 到达E 、D 位置。求AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积（π取3）。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】线动成面。将△EBD 逆时针旋转回来，阴影为2个扇形差。
2
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⨯π⨯(10-5) ＝⨯π⨯75＝75。 3603
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【答案】75平方厘米。
608、【第二单元4】如图，ABCD 是一个长为4、宽为3、对角线长为5的长方形，它绕C 点顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。
【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】DC ：π⨯4＝4π；
1
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BC ：π⨯3＝2.25π；
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AD ：(1)旋转到(2)，π⨯(5-4) ＝2.25π；
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AB ：(3)旋转到(4)，π⨯(5-3) ＝4π。
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发现，对边扫过的面积相等。
【答案】AB ：4π，BC ：2.25π，CD ：4π，DA ：2.25π。 D
609、【学案2】如图△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C 点为圆心，把△ABC 顺时针旋转90度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是_____平方米。 【难度级别】★★★★☆
【解题思路】此题，扫过的面积不太好想象。
顺时针旋转后，A 点沿弧AA ′转到A ′点， B点沿弧BB ′转
到B ′点，D 点沿弧DD ′转到D ′点。因为CD 是C 点到AB 的最
短线段，所以AB 扫过的面积就是图中的弧BAA ′与BDD ′A ′之间的阴影图形。S 阴影＝S 半圆－S 空白。
B
112
S 正方形ADCD ' ＝CD ＝S ∆ADC +S ∆ACD ' ＝S ∆ADC +S ∆BCD ＝S ∆ABC ＝×1×1＝(平方米) 。
22S 扇形DCD ’＝⨯π⨯CD ＝⨯π⨯＝。
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11π
1ππ13π12
S 阴影＝⨯π⨯B C －S 扇形DCD ’－(S ∆BCD +S ∆CA ' D ' ) ＝--＝-＝0.6775。
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【答案】0.6775。
610、【学案3】三枚半径为1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚同样大小的硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A 点重合的点是____，硬币自己转动_____，硬币圆心的运动轨迹周长为_____。 【难度级别】★★★★☆
【解题思路】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆。
E
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⨯(2π⨯2) ⨯3＝6π；
E
硬币周长：2π⨯1＝2π；6π÷2π＝3，即为3周。 【答案】A 点，3周，6π厘米。
611、【作业3】如图所示的四边形ABCD 中，
∠A ＝∠C ＝45°，∠ABC ＝105°,AB ＝CD ＝15
厘米, 连接对角线BD ，∠ABD ＝30°。求四边
形ABCD 的面积。
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】先将所有角的度数标记出来。
发现60°和30°，75°和105°。
将△BCD 沿BD 剪下，B 、D 两点翻转再粘上，形成图形如右。 面积就很好求了：
12
×15×15＝112.5(平方厘米) 。
【答案】112.5平方厘米。
612、【作业5】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，如果以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，如果以AB 边为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】设BC ＝a ，AC ＝b ，则
⎧12
πb a =16π⎪⎪3
⎨
⎪1πa 2b =12π⎪⎩3
2
C
⎧ab =48b 4
化简后得⎨2，此方程可解，两式相除得：＝，代入得
a 3⎩a b =36
根据勾股定理，AB ＝5，AB 上的高为：
⎧a =3
。 ⎨⎩b =4
3⨯45
＝2.4。
所求旋转体的体积为：π⨯2. 4⨯5＝9.6π。
1
2
3
【答案】9.6π。
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613、【补充2】先做一个边长为2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲线三角形（如左图）。再准备两个这样的图形，把一个固定住（右图中的阴影），另一个围绕它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动。请问此图形滚动时经过的面积是多少平
方厘米？（π取3.14）
【难度级别】★★★★★
【解题思路】本题难度较大，圆心变换了6次。 滚动过程以及最终结果，如下图。 B
滚动经过的面积：3×[【答案】25.12。
Liqingzhou
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1
⨯π⨯(4-2) +⨯π⨯2]＝8π＝25.12(cm ) 66
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