匀变速直线运动
一、基础归纳 1．匀变速直线运动 (1)定义：
⎧⎪匀加速直线运动：a 与v 方向相同. (2)分类：⎨ 匀减速直线运动：a 与v 方向相反. ⎪ ⎩
基本规律 (3) ①速度公式：v t
②位移公式：s ＝v 0t at 2.
2
2
③速度位移关系式：v 2t －v 0＝2as.
2、物体做加速还是减速运动，不是由加速度的大小决定，而是取决于加速度和速度的方向关系．方向相同，物体做加速运动，方向相反则做减速运动． 匀变速直线运动中几个常用的结论
(1)匀变速直线运动的实验依据：Δs ＝aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等．可以推
广到S m －S n ＝(m －n ) a t 2. 判断匀变速直线运动的实验依据．
v 0＋v t s
(2)平均速度：v t/2＝2t
速度．
22
0＋v t s
(3)中间位置的速度：某段位移中点的瞬时速度：. 可以证明，无论匀加速 22
t s
还是匀减速，都有v .
22
非匀变速运动不能用（2）中V =
V 0+V t
，先以V 0=0加速后减速减速到Vt=0，只能用后2
者计算平均速度
证明可用匀变速运动的时间位移图像证明
3．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系
(1)前1T 、前2T 、前3T „内的位移之比为1∶4∶9∶„. (2)第1T 、第2T 、第3T „内的位移之比为1∶3∶5∶„.
前1s 、前2s 、前3s „所用的时间之比为13∶„. (3)
(4)第1s 、第2s 、第3s „所用的时间之比为1∶－1) ∶(32) ∶„
对末速度为零的匀减速直线运动，可逆向等效处理为初速度为零的匀加速直线运动
典例解析
1．甲、乙两辆汽车速度相等，在同时制动后，均做匀减速直线运动，甲经过3 s停止，共前进了36 m，乙经过1.5 s停止，乙车前进的距离为( ) A ．9 m B ．18 m C ．36 m D ．27 m
解析：两车均做匀减速直线运动，制动前两车的初速度相等，最终末速度为零，根据v
v 0＋v t s 甲s 乙s ＝v ＝＝s 乙＝18 m ，所以乙车前进的
2．一物体由静止沿光滑的斜面匀加速下滑距离为s 时，速度为v ，当它的速度是时，它沿斜面下滑的距离是( C )
s 3s 3 A. B. s C. 2844
解析：物体下滑过程加速度相同，设为a ，
2
由公式v 2t －v 0＝2as 知， 2v 2v ＝2as ，(＝2as ′， 2 s 解得：s ′，选项C 正确． 4
2
3．做匀加速直线运动的物体，初速度是5 m/s，加速度是2 m/s，求3 s内的位移大小． 解析：由位移公式知 1212s ＝v t ＝5×3 m×2×3 m＝24 m. 0
22
对匀变速运动公式的理解及应用
1．约束关系：自主梳理的①～③的三个基本公式中共有s 、t 、a 、v0、vt 五个物理量，只要其中三个物理量确定之后，另外两个就唯一确定了．
2．正方向的规定：五个物理量中，除时间t 外，s 、v0、vt 、a 均为矢量．一般以v 0的方向为正方向，以t ＝0时刻的位移为零，这时s 、vt 和a 的正负就都有了确定的物理意义．
v 0＋v t s
3．用平均速度公式更简捷：运用匀变速直线运动的平均速度公式v t/2＝解题，
2t
往往会使求解过程变得非常简捷．
4．匀变速直线运动
物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变，对这种情况可以将全程看做匀减速直线运动，应用基本公式求解． 5．公式与规律是对应的
使用公式应注意与运动规律的一一对应关系．例如：物体做匀变速直线运动，则位移公 12式必为s ＝v t . 0 2
6．匀变速直线运动解题的基本思路．
审题→画出过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴) →选用公式列出方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．
【例1】卡车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方立即开始刹车，使卡车匀减速前进．当车减速到2 m/s时，交通灯恰好转为绿灯，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程一半的时间卡车就加速到原来的速度．从刹车开始到恢复原速的过程用了12 s，求：
1) 卡车在减速与加速过程中的加速度；
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度大小． 思路点拨：将卡车的运动分成减速和加速两段，根据速度、时间的大小关系，选取公式求解． 规范解答：(1)设卡车从A 点开始减速，则vA ＝10 m/s，用时t1到达B 点；从B 点又开始
加速，用时t2到达C 点．取vA 的方向为正方向，则vB ＝2 m/s，vC ＝10 m/s. 1且t 221，t 1＋t 2＝12 s，(2分
) 解得t1＝8 s，t2＝4 s，(2分) 由速度公式vt ＝v0＋at 得， 在AB 段vB ＝vA ＋a1t1，(1分) 在BC 段vC ＝vB ＋a2t2，(1分)
联立上述各式解得a1＝－1 m/s2，a2＝2 m/s2.(2分) (2)2 s末卡车的瞬时速度大小为
v1＝vA ＋a1t ′＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s(2分) 10 s末卡车的瞬时速度大小为
v2＝vB ＋a2t ″＝2 m/s＋2×(10－8)m/s＝6 m/s.(2分) 答案：(1)－1 m/s2 2 m/s2 (2)8 m/s 6 m/s
在针对速度、加速度这些矢量的运算过程中，正、负号的使用要引起注意，对物体运动过程要进行准确的分析．同时对匀减速运动应用速度公式时注意加速度a 的两种不同代入方法．
匀变速直线运动的几种常见解题方法 运动学问题的求解一般有多种方法，可从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力.
【例2】 一个做匀加速直线运动的质点，在最初的连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求质点的初速度和加速度．
思路点拨：匀变速直线运动公式较多，解题时可先画出质点运动的过程草图，根据各段的已知条件，选择合理的公式计算．
解析：法一：用基本公式求解
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移时间公式，
111
s 1＝v A t 2，s 2＝v A (2t)2－(vA t ＋at 2) ，
222
将s 1＝24 m、s 2＝64 m、t ＝4 s代入上式解得a ＝2.5 m/s2，v A ＝1 m/s
法二：用中间时刻速度公式求解
连续的两段时间t 内的平均速度分别为
s s
v 1＝6 m/s，v 2＝16 m/s，
t t
v A ＋v B v B ＋v C
即v 1＝＝6 m/s，v 2＝＝16 m/s， 22
由于B 点是AC 段的中间时刻，则 v A ＋v C v 1＋v 26＋16
v B ＝＝ m/s＝11 m/s， 222可得v A ＝1 m/s，v C ＝21 m/s，
v C －v A 21－1 则a ＝ m/s2＝2.5 m/s2. 2t 2×4
法三：用Δs＝aT 2求解
Δs64－24 2
由Δs＝aT 得a m/s2＝2.5 m/s2. t 4
1
再由s 1＝v A t at 2解得v A ＝1 m/s.
2
例题3一个物体从静止开始做匀加速直线运动，5 s末的速度为1 m/s，则10 s末的速度为多大？
解析：法一：公式法
由匀变速直线运动速度公式，有v 1＝at 1，
v 1
故物体运动的加速度为a ＝m/s2＝0.2 m/s2.
t 15
从而，物体在10 s末的速度为
v 2＝at 2＝0.2×10 m/s＝2 m/s.
法二：比例法
v t 对于初速度为0的匀加速直线运动，有v ∝t ＝，
v 2t 2
从而，物体在10 s末的速度为
t 10
v 2＝11 m/s＝
2 m/s.
t 15
法三：图象法
画出物体运动的速度图象如图所示．由图象可知，物体在10 s末的速度为2 m/s.
匀变速直线运动的两类特殊问题 1．不可逆的匀减速直线运动
例如：汽车刹车、轮船靠岸、飞机降落、滑块在粗糙的水平面上自由的滑动等等． 特点：做匀减速直线运动到速度为零时，即停止运动． 思路：求解此类问题时应用假设法先确定物体实际运动的时间，注意题目所给的时间与实际时间的关系．对末速度为零的匀减速运动也可按逆过程为初速度为零的匀加速运动处理． 2．可逆的匀减速直线运动
例如：一个小球沿光滑斜面以一定初速度向上运动、竖直上抛运动等等．
特点：做匀减速运动到速度为零后，会以原加速度反向做匀加速直线运动，整个过程加速度的大小、方向不变．
思路：由于整个过程加速度始终不变，所以该运动也是匀变速直线运动，因此求解时可对全过程列方程，也可分成正向匀减速直线运动和反向匀加速直线运动两个阶段求解，但必须注意在不同阶段v 、s 、a 等矢量的正负号．
【例4】 一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少？
思路点拨：刹车运动是匀减速直线运动，可根据速度公式判断减速时间t0，若t0>5 s，则直接应用位移公式计算．若t0
解析：法一：设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t 0，选v 0的方向为正方向．
则v 0＝72 km/h＝20 m/s，a ＝－5 m/s2，
v －v 00－20 v t ＝v 0＋at 0，得：t 0t 由＝s ＝4 s. a －5
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经停止，后1 s是静止的．
s ＝v t 12知刹车后5 s内通过的距离为： 由0
2
＝v t 12＝[20×4＋1×(－5) ×42] m＝40 m. s 000
22
法二：由法一中可知t 0＝4 s时，汽车停止运动，
22
由公式v t －v 0＝2as 知 －v 2－(20)20
s 2a ＝2×(－5)m ＝40 m.
对于“刹车类”问题“时间”往往是一个“陷阱”，首先要根据题目中的条件，判断物体停止运动的实际时间是否与题目中给定时间吻合
公式应用
(中档题) 如图所示，A 、B 两物体相距s ＝7 m，物体A 以vA ＝4 m/s的速度向右匀速运动．而物体B 此时的速度vB ＝10 m/s，向右做匀减速运动，加速度a ＝－2 m/s2.那么物体A 追上物体B 所用的时间为( )
A ．7 s B ．8 s C ．9 s D ．10 s 解析：物体B 从开始到停下来所用的时间t ＝＝5 s，在此时间内B 前进的距离sB ＝t ＝25 m，A 前进的距离sA ＝vAt ＝20 m．故此时刻A 、B 相距(5＋7) m＝12 m，所以再经过3 s A才能追上B ，故物体A 追上物体B 所用的时间为8 s. 答案：B.
初速度为零的匀变速直线运动特殊推论
做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为：
V =at ， s =
V 12
at ， V 2=2as ， s =t
22
优化训练全解全析
我夯基 我达标
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 加速度增大，速度一定增大
B. 速度变化量Δv 越大，加速度就越大 C. 物体有加速度，速度就增大
D. 物体速度很大，加速度可能为零
解析：如果加速度的方向和速度的方向相反，则加速度增大，速度减小；加速度为速度的变化率，速度变化量大，可能所用时间比较长，加速度不一定大；物体的速度和加速度没有必然的联系，加速度大，速度可能很小，加速度小，速度可能很大。所以正确选项为D 。 答案：D
2. 下列关于匀变速直线运动的说法，正确的是（ ） A. 匀变速直线运动是运动快慢相同的运动 B. 匀变速直线运动是速度变化量相同的运动 C. 匀变速直线运动的图像是一条倾斜的直线 D. 匀变速直线运动的v-t 图像是一条倾斜的直线 解析：匀变速直线运动是在相等的时间内速度变化量相同的运动，若时间不相同，则速度的变化量不同。因此B 选项是错的。v-t 图像中，匀变速直线运动的图像是一条倾斜的直线，在其他图像中不是直线，因此C 选项是错误的。正确的选项应该是D 。 答案：D
3. 有两个做匀变速直线运动的质点，下列说法中正确的是（ ） A. 经过相同的时间，速度大的质点加速度必定大[来源:.] B. 若初速度相同，速度变化大的质点加速度必定大 C. 若加速度相同，初速度大的质点的末速度一定大 D. 相同时间里，加速度大的质点速度变化必定大
解析：根据v=v0+at，若t 相同，v 大，但v 0的大小未知，则不能判断a 的大小,
v -v 0
选项A 错误。由a=可知，v-v 0大，但t 的大小未知，不能判断a 的大小，
t
选项B 错误。若a 相同，v 0大的质点，其运动时间未知，因此不能判断v 的大小，选项C 错误。若t 相同，v-v 0大，则a 运动大，选项D 正确。 答案：D
4. 关于匀变速直线运动的位移，下列说法中正确的是„（ ） A. 加速度大的物体通过的位移一定大 B. 初速度大的物体通过的位移一定大
C. 加速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大 D. 平均速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大
12
at ，从表达式可以看出s 与v 0,a,t 2
都有关由它们共同决定，所以只由a 或v 0或a 、t 是不能确定位移大小的。而变
解析：匀变速直线运动的位移为：s=v0t+
速直线运动的位移还可写为：s=vt ，所以平均速度大，运动时间长，物体通过的位移一定大，正确选项为D 。 答案：D
5. 如图2-3-6中，哪些图像表示物体做匀变速直线运动（ ）[来源
:.. K]
图2-3-6
解析：匀变速直线运动的速度时间图像为一条倾斜的直线；由于加速度是恒定的，所以加速度时间图像为与时间轴平行的直线；由数学知识可知位移时间图像为一条曲线。所以正确选项为A 、B 、C 。 答案：ABC
6. 赛车在直道上由静止加速启动，将进入弯道前的加速过程近似看做匀变速，加
2
速度为10 m/s，历时3 s，速度可达（ ）
A.36 km/h B.30 km/h C.108 km/h D.以上说法都不正确
解析：由v t =at=10×3 m/s=30 m/s＝108 km/h。 答案：C
7. 公交车进站时的刹车过程可近似看做匀减速直线运动，进站时的速度为5 m/s，
2
加速度大小为1 m/s。则下列判断正确的是（ ） A. 进站所需时间为5 s
B.6 s时的位移为12 m[来源:Z*xx*k.Com] C. 进站过程的平均速度为2.5 m/s
5+4
D. 前2 s的位移是s=v t =×2 m=9 m
2解析：由a=
v t -v 0v -v 00-5
=得t=t s=5 s；车经过5 s就已经停下来，所以6 a -1t
v 252
=s 的位移为前5 s的位移，根据v t -v 0=2as，所以s=m=12.5 m；由于匀2a 2⨯1
变速直线运动的平均速度为v =
v 0+v t 5+0
=m/s=2.5 m/s；前2 s的位移为22
1212
at =5×2 m-×1×2 m=8 m。 22
答案：AC
8. 如图2-3-7所示，Ⅰ、Ⅱ两条直线分别为描述P 、Q 两个物体的s-t 图像。下列说法正确的是（ ）
s=v0t-
图2-3-7
A. 两物体均做匀速直线运动
B.M 点表示两物体在时间t 内有相同的位移[来源.m] C.t 时间内P 的位移较小
D.0—t ，P 比Q 的速度大，t 以后P 比Q 的速度小
解析：匀加速直线运动位移时间图像为一条倾斜的直线，所以两物体都做匀变速直线运动；交点表示两物体在同一位置；图像的斜率表示速度，从图中可以看出Ⅱ的斜率大，即Ⅱ的速度大，所以正确选项为A 。[来源:.] 答案：A[来源:.]
9. 图2-3-8为某物体做直线运动的速度—时间图像，请根据该图像判断下列说法正确的是（ ）
图2-3-8
A.. 3 s初的速度为零 B.物体的加速度为-4 m/s2
C. 物体做的是单向直线运动 D.物体运动的前5 s内的位移为26 m
解析：要注意时间和时刻的区别，由图可知第3 s的速度应该为4 m/s；直线的斜率表示加速度，物体的加速度为-4 m/s2；物体在前3 s的速度方向为正，3 s后的速度为负，说明物体的运动方向改变了；前5. 面三角形的面积减去下面三
11
角形的面积，即s=×3×12 m-×2×8 m=10 m。
22
答案：AB
10. 加速直线运动的火车，在40 s内速度从10 m/s增加到20 m/s，则火车的加速度为____________________。汽车紧急刹车时，2 s 内速度由10 m/s减小到0，则汽车的加速度为_______________。
v v 0
解析：求加速度时，既要求大小，也要说明方向。根据a=得：在40 s 内，
t
20-100-102222
m/s=0.25 m/s, 方向与初速度方向相同；刹车时a 2=m/s=-5 m/s, 402
负号表示方向与初速度的方向相反。在该题中，由于没有规定正方向，而初速度为正，因此表示规定初速度的方向为正方向。 答案：0.25 m/s2 -5 m/s2 11. 某运动的物体在6 s 内的v-t 图像如图2-3-9所示。在0—2 s 内，物体的位移是__________，加速度是______________；在2—5 s内，物体的位移是______________，加速度是______________；在5—6 s内，物体的位移是______________，加速度是______________。
a 1=
图2-3-9
解析：由图像与时间轴围成的面积可知前2 s的位移s=度为：a=
1
×2×6 m=6 m，加速2
v t -v 06-0
=m/s2=3 m/s2；2—5 s 内的位移为：s=6×（5-2） m=18 m ，2t
10-6
×1×6 m=3 m ，加速度为：a=m/s2=-6 21
加速度为零；5—6 s 内的位移为：s=
m/s2。
答案：6 m 3 m/s2 18 m 0 3 m -6 m/s2
12. 质点在直线上做匀变速直线运动，如图2-3-10所示，若在到达A 点时的速度为5 m/s，经过3 s到达B 点时的速度是14 m/s，再经过4 s到达C 点，则它到达C 点时的速度是____________m/s。
图2-3-10
解析：先根据a=a=
v -v 0
求出加速度，再求出C 点速度 t
v B -v A 14-5
m/s2=3 m/s2 =
t 13
v c =vb +at=14 m/s+3×4 m/s=26 m/s。 答案：26 m/s
13. 一列沿平直轨道匀加速行驶的长为L 的列车，通过长也为L 的桥，车头通过桥头和桥尾的速度分别为v 1和v 2, 则车尾通过桥尾时的速度为_________________。
解析：设车尾通过桥尾时的速度v ，加速度为a ，则有 v 22-v 12=2aL v 2-v 22=2aL
由以上两式可得：v=2v 2-v 12。 答案：2v 2-v 12
14. （经典回放）物体做匀加速直线运动，初速度v 0=4.0 m/s，加速度a=0.2 m/s2。求：
（1）前3 s内的位移及平均速度。 （2）第3 s内通过的位移及平均速度。 解析：物体的运动简图如下图所示
（1）初速度v 0=4.0 m/s,加速度a=0.2 m/s2 前3 s内的位移为：
11
s=v0t+at 2=4.0×2 m+×0.2×32 m=12 m+0.9 m=12.9 m。[来.&K]
22
s 12. 9
前3 s内的平均速度为v ==m/s=4.3 m/s。
t 3
（2）前2 s内的位移为
11
s 1=v0t 1+at 12=4.0×2 m+×0.2×22 m=8 m+0.4 m=8.4 m
22
所以第3 s内的位移为s 2＝s-s 1=12.9 m-8.4 m=4.5 m。 第3 s内的平均速度为v 2=
s 24. 5
=4.5 m/s。 =
t 21
2
2
答案：（1）12.9 m 4.3 m/s (2)4.5 m 4.5 m/s[来源.m]
我综合 我发展
15. 如图2-3-11是某质点的v-t 图像，则（ ）
图2-3-11
A. 前2 s物体做匀加速运动，后3 s物体做匀减速运动 B.2—5 s内物体静止
C. 前2 s和后3 s内速度的增量均为5 m/s
5
D. 前2 s的加速度是2.5 m/s2, 后3 s的加速度是-m/s2
35-0
解析：前2 s物体做匀变速运动，加速度a=m/s2=2.5 m/s2，2—5 s内物体
2
50-5
做匀速运动，加速度a=0,后3 s 物体做匀减速运动，加速度a=m/s2=-m/s2，
33
所谓速度的增量即为速度的变化量Δv=vt -v 0，前2 s 和后3 s 速度的增量分别为
5 m/s和-5 m/s。
答案：AD 16. 某物体做匀加速直线运动，v 0＝4 m/s，a ＝2 m/s2。求：
（1）9 s末的速度；
（2）前9 s的平均速度；
（3）前9 s的位移。[来源:www.shulihua.net Z#X#X#K]
解析：(1)由速度公式v t =v0+at=4+2×9 m/s2=22 m/s2；（2）由平均速度公式可知
前9 s 的平均速度为：v =v 0+v t 4+22=m/s=13 m/s；（3）前9 s 的位移为：s=vt =1322
×9 m=117 m。
答案：（1）22 m/s （2）13 m/s （3）117 m
217. 质点从静止开始做直线运动，第1 s内以加速度1 m/s运动，第2 s内以加
速度为-1 m/s2运动，如此反复。照这样下去，在100 s末此质点的总位移为多大？[来...K]
11解析：由运动学规律可知第1 s内的位移为：s 1=at 2=×1×1 m=0.5 m；第1 22
11s 末的速度为：v 1=at=1×1 m/s=1 m/s；第2 s 内的位移为：s 2=v1t-at 2=1×1 m-22
2×1×1 m=0.5 m；第2 s末的速度为：v 2=v1-at=1 m/s-1×1 m/s=0；所以第3 s
内质点的运动规律和第1 s的运动规律完全相同，第4 s的运动规律和第2 s的完全相同，第5 s内物体的运动规律和第1 s的运动规律完全相同，第6 s的运动规律和第2 s 的完全相同，如此循环，则可知每秒质点的位移均为0.5 m 。所以，质点在100 s内的总位移为：s=0.5×100=50 m。
答案：50 m
第 11 页 共 11 页
匀变速直线运动
一、基础归纳 1．匀变速直线运动 (1)定义：
⎧⎪匀加速直线运动：a 与v 方向相同. (2)分类：⎨ 匀减速直线运动：a 与v 方向相反. ⎪ ⎩
基本规律 (3) ①速度公式：v t
②位移公式：s ＝v 0t at 2.
2
2
③速度位移关系式：v 2t －v 0＝2as.
2、物体做加速还是减速运动，不是由加速度的大小决定，而是取决于加速度和速度的方向关系．方向相同，物体做加速运动，方向相反则做减速运动． 匀变速直线运动中几个常用的结论
(1)匀变速直线运动的实验依据：Δs ＝aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等．可以推
广到S m －S n ＝(m －n ) a t 2. 判断匀变速直线运动的实验依据．
v 0＋v t s
(2)平均速度：v t/2＝2t
速度．
22
0＋v t s
(3)中间位置的速度：某段位移中点的瞬时速度：. 可以证明，无论匀加速 22
t s
还是匀减速，都有v .
22
非匀变速运动不能用（2）中V =
V 0+V t
，先以V 0=0加速后减速减速到Vt=0，只能用后2
者计算平均速度
证明可用匀变速运动的时间位移图像证明
3．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系
(1)前1T 、前2T 、前3T „内的位移之比为1∶4∶9∶„. (2)第1T 、第2T 、第3T „内的位移之比为1∶3∶5∶„.
前1s 、前2s 、前3s „所用的时间之比为13∶„. (3)
(4)第1s 、第2s 、第3s „所用的时间之比为1∶－1) ∶(32) ∶„
对末速度为零的匀减速直线运动，可逆向等效处理为初速度为零的匀加速直线运动
典例解析
1．甲、乙两辆汽车速度相等，在同时制动后，均做匀减速直线运动，甲经过3 s停止，共前进了36 m，乙经过1.5 s停止，乙车前进的距离为( ) A ．9 m B ．18 m C ．36 m D ．27 m
解析：两车均做匀减速直线运动，制动前两车的初速度相等，最终末速度为零，根据v
v 0＋v t s 甲s 乙s ＝v ＝＝s 乙＝18 m ，所以乙车前进的
2．一物体由静止沿光滑的斜面匀加速下滑距离为s 时，速度为v ，当它的速度是时，它沿斜面下滑的距离是( C )
s 3s 3 A. B. s C. 2844
解析：物体下滑过程加速度相同，设为a ，
2
由公式v 2t －v 0＝2as 知， 2v 2v ＝2as ，(＝2as ′， 2 s 解得：s ′，选项C 正确． 4
2
3．做匀加速直线运动的物体，初速度是5 m/s，加速度是2 m/s，求3 s内的位移大小． 解析：由位移公式知 1212s ＝v t ＝5×3 m×2×3 m＝24 m. 0
22
对匀变速运动公式的理解及应用
1．约束关系：自主梳理的①～③的三个基本公式中共有s 、t 、a 、v0、vt 五个物理量，只要其中三个物理量确定之后，另外两个就唯一确定了．
2．正方向的规定：五个物理量中，除时间t 外，s 、v0、vt 、a 均为矢量．一般以v 0的方向为正方向，以t ＝0时刻的位移为零，这时s 、vt 和a 的正负就都有了确定的物理意义．
v 0＋v t s
3．用平均速度公式更简捷：运用匀变速直线运动的平均速度公式v t/2＝解题，
2t
往往会使求解过程变得非常简捷．
4．匀变速直线运动
物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变，对这种情况可以将全程看做匀减速直线运动，应用基本公式求解． 5．公式与规律是对应的
使用公式应注意与运动规律的一一对应关系．例如：物体做匀变速直线运动，则位移公 12式必为s ＝v t . 0 2
6．匀变速直线运动解题的基本思路．
审题→画出过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴) →选用公式列出方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．
【例1】卡车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方立即开始刹车，使卡车匀减速前进．当车减速到2 m/s时，交通灯恰好转为绿灯，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程一半的时间卡车就加速到原来的速度．从刹车开始到恢复原速的过程用了12 s，求：
1) 卡车在减速与加速过程中的加速度；
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度大小． 思路点拨：将卡车的运动分成减速和加速两段，根据速度、时间的大小关系，选取公式求解． 规范解答：(1)设卡车从A 点开始减速，则vA ＝10 m/s，用时t1到达B 点；从B 点又开始
加速，用时t2到达C 点．取vA 的方向为正方向，则vB ＝2 m/s，vC ＝10 m/s. 1且t 221，t 1＋t 2＝12 s，(2分
) 解得t1＝8 s，t2＝4 s，(2分) 由速度公式vt ＝v0＋at 得， 在AB 段vB ＝vA ＋a1t1，(1分) 在BC 段vC ＝vB ＋a2t2，(1分)
联立上述各式解得a1＝－1 m/s2，a2＝2 m/s2.(2分) (2)2 s末卡车的瞬时速度大小为
v1＝vA ＋a1t ′＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s(2分) 10 s末卡车的瞬时速度大小为
v2＝vB ＋a2t ″＝2 m/s＋2×(10－8)m/s＝6 m/s.(2分) 答案：(1)－1 m/s2 2 m/s2 (2)8 m/s 6 m/s
在针对速度、加速度这些矢量的运算过程中，正、负号的使用要引起注意，对物体运动过程要进行准确的分析．同时对匀减速运动应用速度公式时注意加速度a 的两种不同代入方法．
匀变速直线运动的几种常见解题方法 运动学问题的求解一般有多种方法，可从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力.
【例2】 一个做匀加速直线运动的质点，在最初的连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求质点的初速度和加速度．
思路点拨：匀变速直线运动公式较多，解题时可先画出质点运动的过程草图，根据各段的已知条件，选择合理的公式计算．
解析：法一：用基本公式求解
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移时间公式，
111
s 1＝v A t 2，s 2＝v A (2t)2－(vA t ＋at 2) ，
222
将s 1＝24 m、s 2＝64 m、t ＝4 s代入上式解得a ＝2.5 m/s2，v A ＝1 m/s
法二：用中间时刻速度公式求解
连续的两段时间t 内的平均速度分别为
s s
v 1＝6 m/s，v 2＝16 m/s，
t t
v A ＋v B v B ＋v C
即v 1＝＝6 m/s，v 2＝＝16 m/s， 22
由于B 点是AC 段的中间时刻，则 v A ＋v C v 1＋v 26＋16
v B ＝＝ m/s＝11 m/s， 222可得v A ＝1 m/s，v C ＝21 m/s，
v C －v A 21－1 则a ＝ m/s2＝2.5 m/s2. 2t 2×4
法三：用Δs＝aT 2求解
Δs64－24 2
由Δs＝aT 得a m/s2＝2.5 m/s2. t 4
1
再由s 1＝v A t at 2解得v A ＝1 m/s.
2
例题3一个物体从静止开始做匀加速直线运动，5 s末的速度为1 m/s，则10 s末的速度为多大？
解析：法一：公式法
由匀变速直线运动速度公式，有v 1＝at 1，
v 1
故物体运动的加速度为a ＝m/s2＝0.2 m/s2.
t 15
从而，物体在10 s末的速度为
v 2＝at 2＝0.2×10 m/s＝2 m/s.
法二：比例法
v t 对于初速度为0的匀加速直线运动，有v ∝t ＝，
v 2t 2
从而，物体在10 s末的速度为
t 10
v 2＝11 m/s＝
2 m/s.
t 15
法三：图象法
画出物体运动的速度图象如图所示．由图象可知，物体在10 s末的速度为2 m/s.
匀变速直线运动的两类特殊问题 1．不可逆的匀减速直线运动
例如：汽车刹车、轮船靠岸、飞机降落、滑块在粗糙的水平面上自由的滑动等等． 特点：做匀减速直线运动到速度为零时，即停止运动． 思路：求解此类问题时应用假设法先确定物体实际运动的时间，注意题目所给的时间与实际时间的关系．对末速度为零的匀减速运动也可按逆过程为初速度为零的匀加速运动处理． 2．可逆的匀减速直线运动
例如：一个小球沿光滑斜面以一定初速度向上运动、竖直上抛运动等等．
特点：做匀减速运动到速度为零后，会以原加速度反向做匀加速直线运动，整个过程加速度的大小、方向不变．
思路：由于整个过程加速度始终不变，所以该运动也是匀变速直线运动，因此求解时可对全过程列方程，也可分成正向匀减速直线运动和反向匀加速直线运动两个阶段求解，但必须注意在不同阶段v 、s 、a 等矢量的正负号．
【例4】 一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少？
思路点拨：刹车运动是匀减速直线运动，可根据速度公式判断减速时间t0，若t0>5 s，则直接应用位移公式计算．若t0
解析：法一：设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t 0，选v 0的方向为正方向．
则v 0＝72 km/h＝20 m/s，a ＝－5 m/s2，
v －v 00－20 v t ＝v 0＋at 0，得：t 0t 由＝s ＝4 s. a －5
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经停止，后1 s是静止的．
s ＝v t 12知刹车后5 s内通过的距离为： 由0
2
＝v t 12＝[20×4＋1×(－5) ×42] m＝40 m. s 000
22
法二：由法一中可知t 0＝4 s时，汽车停止运动，
22
由公式v t －v 0＝2as 知 －v 2－(20)20
s 2a ＝2×(－5)m ＝40 m.
对于“刹车类”问题“时间”往往是一个“陷阱”，首先要根据题目中的条件，判断物体停止运动的实际时间是否与题目中给定时间吻合
公式应用
(中档题) 如图所示，A 、B 两物体相距s ＝7 m，物体A 以vA ＝4 m/s的速度向右匀速运动．而物体B 此时的速度vB ＝10 m/s，向右做匀减速运动，加速度a ＝－2 m/s2.那么物体A 追上物体B 所用的时间为( )
A ．7 s B ．8 s C ．9 s D ．10 s 解析：物体B 从开始到停下来所用的时间t ＝＝5 s，在此时间内B 前进的距离sB ＝t ＝25 m，A 前进的距离sA ＝vAt ＝20 m．故此时刻A 、B 相距(5＋7) m＝12 m，所以再经过3 s A才能追上B ，故物体A 追上物体B 所用的时间为8 s. 答案：B.
初速度为零的匀变速直线运动特殊推论
做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为：
V =at ， s =
V 12
at ， V 2=2as ， s =t
22
优化训练全解全析
我夯基 我达标
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 加速度增大，速度一定增大
B. 速度变化量Δv 越大，加速度就越大 C. 物体有加速度，速度就增大
D. 物体速度很大，加速度可能为零
解析：如果加速度的方向和速度的方向相反，则加速度增大，速度减小；加速度为速度的变化率，速度变化量大，可能所用时间比较长，加速度不一定大；物体的速度和加速度没有必然的联系，加速度大，速度可能很小，加速度小，速度可能很大。所以正确选项为D 。 答案：D
2. 下列关于匀变速直线运动的说法，正确的是（ ） A. 匀变速直线运动是运动快慢相同的运动 B. 匀变速直线运动是速度变化量相同的运动 C. 匀变速直线运动的图像是一条倾斜的直线 D. 匀变速直线运动的v-t 图像是一条倾斜的直线 解析：匀变速直线运动是在相等的时间内速度变化量相同的运动，若时间不相同，则速度的变化量不同。因此B 选项是错的。v-t 图像中，匀变速直线运动的图像是一条倾斜的直线，在其他图像中不是直线，因此C 选项是错误的。正确的选项应该是D 。 答案：D
3. 有两个做匀变速直线运动的质点，下列说法中正确的是（ ） A. 经过相同的时间，速度大的质点加速度必定大[来源:.] B. 若初速度相同，速度变化大的质点加速度必定大 C. 若加速度相同，初速度大的质点的末速度一定大 D. 相同时间里，加速度大的质点速度变化必定大
解析：根据v=v0+at，若t 相同，v 大，但v 0的大小未知，则不能判断a 的大小,
v -v 0
选项A 错误。由a=可知，v-v 0大，但t 的大小未知，不能判断a 的大小，
t
选项B 错误。若a 相同，v 0大的质点，其运动时间未知，因此不能判断v 的大小，选项C 错误。若t 相同，v-v 0大，则a 运动大，选项D 正确。 答案：D
4. 关于匀变速直线运动的位移，下列说法中正确的是„（ ） A. 加速度大的物体通过的位移一定大 B. 初速度大的物体通过的位移一定大
C. 加速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大 D. 平均速度大、运动时间长的物体通过的位移一定大
12
at ，从表达式可以看出s 与v 0,a,t 2
都有关由它们共同决定，所以只由a 或v 0或a 、t 是不能确定位移大小的。而变
解析：匀变速直线运动的位移为：s=v0t+
速直线运动的位移还可写为：s=vt ，所以平均速度大，运动时间长，物体通过的位移一定大，正确选项为D 。 答案：D
5. 如图2-3-6中，哪些图像表示物体做匀变速直线运动（ ）[来源
:.. K]
图2-3-6
解析：匀变速直线运动的速度时间图像为一条倾斜的直线；由于加速度是恒定的，所以加速度时间图像为与时间轴平行的直线；由数学知识可知位移时间图像为一条曲线。所以正确选项为A 、B 、C 。 答案：ABC
6. 赛车在直道上由静止加速启动，将进入弯道前的加速过程近似看做匀变速，加
2
速度为10 m/s，历时3 s，速度可达（ ）
A.36 km/h B.30 km/h C.108 km/h D.以上说法都不正确
解析：由v t =at=10×3 m/s=30 m/s＝108 km/h。 答案：C
7. 公交车进站时的刹车过程可近似看做匀减速直线运动，进站时的速度为5 m/s，
2
加速度大小为1 m/s。则下列判断正确的是（ ） A. 进站所需时间为5 s
B.6 s时的位移为12 m[来源:Z*xx*k.Com] C. 进站过程的平均速度为2.5 m/s
5+4
D. 前2 s的位移是s=v t =×2 m=9 m
2解析：由a=
v t -v 0v -v 00-5
=得t=t s=5 s；车经过5 s就已经停下来，所以6 a -1t
v 252
=s 的位移为前5 s的位移，根据v t -v 0=2as，所以s=m=12.5 m；由于匀2a 2⨯1
变速直线运动的平均速度为v =
v 0+v t 5+0
=m/s=2.5 m/s；前2 s的位移为22
1212
at =5×2 m-×1×2 m=8 m。 22
答案：AC
8. 如图2-3-7所示，Ⅰ、Ⅱ两条直线分别为描述P 、Q 两个物体的s-t 图像。下列说法正确的是（ ）
s=v0t-
图2-3-7
A. 两物体均做匀速直线运动
B.M 点表示两物体在时间t 内有相同的位移[来源.m] C.t 时间内P 的位移较小
D.0—t ，P 比Q 的速度大，t 以后P 比Q 的速度小
解析：匀加速直线运动位移时间图像为一条倾斜的直线，所以两物体都做匀变速直线运动；交点表示两物体在同一位置；图像的斜率表示速度，从图中可以看出Ⅱ的斜率大，即Ⅱ的速度大，所以正确选项为A 。[来源:.] 答案：A[来源:.]
9. 图2-3-8为某物体做直线运动的速度—时间图像，请根据该图像判断下列说法正确的是（ ）
图2-3-8
A.. 3 s初的速度为零 B.物体的加速度为-4 m/s2
C. 物体做的是单向直线运动 D.物体运动的前5 s内的位移为26 m
解析：要注意时间和时刻的区别，由图可知第3 s的速度应该为4 m/s；直线的斜率表示加速度，物体的加速度为-4 m/s2；物体在前3 s的速度方向为正，3 s后的速度为负，说明物体的运动方向改变了；前5. 面三角形的面积减去下面三
11
角形的面积，即s=×3×12 m-×2×8 m=10 m。
22
答案：AB
10. 加速直线运动的火车，在40 s内速度从10 m/s增加到20 m/s，则火车的加速度为____________________。汽车紧急刹车时，2 s 内速度由10 m/s减小到0，则汽车的加速度为_______________。
v v 0
解析：求加速度时，既要求大小，也要说明方向。根据a=得：在40 s 内，
t
20-100-102222
m/s=0.25 m/s, 方向与初速度方向相同；刹车时a 2=m/s=-5 m/s, 402
负号表示方向与初速度的方向相反。在该题中，由于没有规定正方向，而初速度为正，因此表示规定初速度的方向为正方向。 答案：0.25 m/s2 -5 m/s2 11. 某运动的物体在6 s 内的v-t 图像如图2-3-9所示。在0—2 s 内，物体的位移是__________，加速度是______________；在2—5 s内，物体的位移是______________，加速度是______________；在5—6 s内，物体的位移是______________，加速度是______________。
a 1=
图2-3-9
解析：由图像与时间轴围成的面积可知前2 s的位移s=度为：a=
1
×2×6 m=6 m，加速2
v t -v 06-0
=m/s2=3 m/s2；2—5 s 内的位移为：s=6×（5-2） m=18 m ，2t
10-6
×1×6 m=3 m ，加速度为：a=m/s2=-6 21
加速度为零；5—6 s 内的位移为：s=
m/s2。
答案：6 m 3 m/s2 18 m 0 3 m -6 m/s2
12. 质点在直线上做匀变速直线运动，如图2-3-10所示，若在到达A 点时的速度为5 m/s，经过3 s到达B 点时的速度是14 m/s，再经过4 s到达C 点，则它到达C 点时的速度是____________m/s。
图2-3-10
解析：先根据a=a=
v -v 0
求出加速度，再求出C 点速度 t
v B -v A 14-5
m/s2=3 m/s2 =
t 13
v c =vb +at=14 m/s+3×4 m/s=26 m/s。 答案：26 m/s
13. 一列沿平直轨道匀加速行驶的长为L 的列车，通过长也为L 的桥，车头通过桥头和桥尾的速度分别为v 1和v 2, 则车尾通过桥尾时的速度为_________________。
解析：设车尾通过桥尾时的速度v ，加速度为a ，则有 v 22-v 12=2aL v 2-v 22=2aL
由以上两式可得：v=2v 2-v 12。 答案：2v 2-v 12
14. （经典回放）物体做匀加速直线运动，初速度v 0=4.0 m/s，加速度a=0.2 m/s2。求：
（1）前3 s内的位移及平均速度。 （2）第3 s内通过的位移及平均速度。 解析：物体的运动简图如下图所示
（1）初速度v 0=4.0 m/s,加速度a=0.2 m/s2 前3 s内的位移为：
11
s=v0t+at 2=4.0×2 m+×0.2×32 m=12 m+0.9 m=12.9 m。[来.&K]
22
s 12. 9
前3 s内的平均速度为v ==m/s=4.3 m/s。
t 3
（2）前2 s内的位移为
11
s 1=v0t 1+at 12=4.0×2 m+×0.2×22 m=8 m+0.4 m=8.4 m
22
所以第3 s内的位移为s 2＝s-s 1=12.9 m-8.4 m=4.5 m。 第3 s内的平均速度为v 2=
s 24. 5
=4.5 m/s。 =
t 21
2
2
答案：（1）12.9 m 4.3 m/s (2)4.5 m 4.5 m/s[来源.m]
我综合 我发展
15. 如图2-3-11是某质点的v-t 图像，则（ ）
图2-3-11
A. 前2 s物体做匀加速运动，后3 s物体做匀减速运动 B.2—5 s内物体静止
C. 前2 s和后3 s内速度的增量均为5 m/s
5
D. 前2 s的加速度是2.5 m/s2, 后3 s的加速度是-m/s2
35-0
解析：前2 s物体做匀变速运动，加速度a=m/s2=2.5 m/s2，2—5 s内物体
2
50-5
做匀速运动，加速度a=0,后3 s 物体做匀减速运动，加速度a=m/s2=-m/s2，
33
所谓速度的增量即为速度的变化量Δv=vt -v 0，前2 s 和后3 s 速度的增量分别为
5 m/s和-5 m/s。
答案：AD 16. 某物体做匀加速直线运动，v 0＝4 m/s，a ＝2 m/s2。求：
（1）9 s末的速度；
（2）前9 s的平均速度；
（3）前9 s的位移。[来源:www.shulihua.net Z#X#X#K]
解析：(1)由速度公式v t =v0+at=4+2×9 m/s2=22 m/s2；（2）由平均速度公式可知
前9 s 的平均速度为：v =v 0+v t 4+22=m/s=13 m/s；（3）前9 s 的位移为：s=vt =1322
×9 m=117 m。
答案：（1）22 m/s （2）13 m/s （3）117 m
217. 质点从静止开始做直线运动，第1 s内以加速度1 m/s运动，第2 s内以加
速度为-1 m/s2运动，如此反复。照这样下去，在100 s末此质点的总位移为多大？[来...K]
11解析：由运动学规律可知第1 s内的位移为：s 1=at 2=×1×1 m=0.5 m；第1 22
11s 末的速度为：v 1=at=1×1 m/s=1 m/s；第2 s 内的位移为：s 2=v1t-at 2=1×1 m-22
2×1×1 m=0.5 m；第2 s末的速度为：v 2=v1-at=1 m/s-1×1 m/s=0；所以第3 s
内质点的运动规律和第1 s的运动规律完全相同，第4 s的运动规律和第2 s的完全相同，第5 s内物体的运动规律和第1 s的运动规律完全相同，第6 s的运动规律和第2 s 的完全相同，如此循环，则可知每秒质点的位移均为0.5 m 。所以，质点在100 s内的总位移为：s=0.5×100=50 m。
答案：50 m
第 11 页 共 11 页