空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
教学目标：
（1） 通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标：
（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点：
（1）空间向量的有关概念
（2） 空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点：
（1） 空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体
教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。
教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定
（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量
（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面
（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量
（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量
板书：空间向量及其运算
（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）
（老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
请同学们将导学案准备好， （老师）：
一、平面向量的基本概念
1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量； 2.画法：用有向线段AB画出来；
3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；
4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的； 5.单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；
6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；
7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量； 补充：（我们学习的向量是自由向量，也就是说向量不管平移到任何位置，跟原来的向量都是相等向量） （老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义， （学生）在空间中，既有大小又有方向的量 （老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生） （学生）回答
现在请同学们阅读教材的84--85页，找出空间向量的相关定义，用类比的方法记忆并填写课件的表格：
（学案）：试一试 讲解
（老师）：在数学中引入一种量以后，一个很自然的问题就是研究它们的运算，空间向量的运算我们也采用与平面向量类比的方法，那么我们首先来复习回顾一下平面向量的加减运算。（课件） 复习回顾：（找学生回答）
（学生）：1.平面向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为a
b；口
几何意义：如图为a口诀是
2.减法法则：记为a几何意义：如图中a
+b为平行四边形的对角线OB，或三角形ABO中边OB。
-b；
-b为平行四边形的对角线AC，方向指向被减向量。口诀是：
3平面向量、空间向量的运算律： 交换律a
+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
（老师）：很好还有没有补充的？
4、推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
AA+AA+AA+ +AA=AA
122334n-1n1n
（2） 首尾相接的多个力的和向量构成封闭图形时合力为零。
A1A2+A2A3+A3A4+ +AnA1=0
（老师）：很好，同学课下的复习很好。我们先来探讨这样一个问题
对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别？
探讨研究： （老师）：对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别？
（学生讨论、演示、回答）
（学生）平面向量可在同一平面内平移，而空间向量也可在空间中平移。平移后的向量与原向量是同一向量。由此得出：空间任意两个向量都可转化为共面向量。 （老师）：结论一：空间任意两个向量都可转化为共面向量。 还能得到什么结论？换句话说空间任意两个向量的加减运算….? （学生）对于任意的空间中的两个向量，。平面向量的结论都适用
这样我们就能够定义空间向量的加法和减法运算 3、（引导学生归纳总结）用类比（表格）形式对比给出空间向量的相关定义，采用填空形式填写下列有关内容：（课件）
（老师）：空间中两个向量的问题就是平面向量的问题，那么三个向量呢？多个向量呢？ （老师）：三个或者多个向量的加减法怎么办？是否能使用结合律呢？请同学们分组讨论 （老师）：分组讨论探究
（老师）：哪个小组探究完了，请上台来汇报一下。
（学生）我们认为空间中三个或者多个向量的加法仍然可以应用结合律，演示讲解 （老师）： 类比于平面向量的推广，能不能得到空间向量的推广？ （学生）：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向
量；
A1A2+A2A3+A3A4+ +An-1An=A1An
（3） 首尾相接的多个力的和向量构成封闭图形时合力为零。
A1A2+A2A3+A3A4+ +AnA1=0（完成表格）
现在我们知道了空间向量的相关定义，得到了空间向量的加减运算法则和运算律我们来练习一下
（学案 试一试内容） 试一试的最后一题
探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
(1)化简下列向量表达式,并标出 化简结果的向量：
AB
一般的，三个不共面的向量和这三个向量有什么关系？
（学生）:回答始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
（老师）：同学们做的很好，在平面向量中我们有这样的结论：共起点的两个不共线的向量，利用平行四边形法则，其和向量是平行四边形对角线，那么空间向量中也有相似的结论？ 给出表格。、 （老师）：这节课，我们在平面向量的基础上学习了平面向量，接下来给同学们两分钟的时间总结一下这节课的主要内容 （学生）总结：
（老师）：很好通过这节课的学习，我们学会了空间向量的有关概念 加减运算及其运算律以及空间向量的加减运算在空间几何体中的应用。现在请大家准备好我们开始课堂自我评价
课代表发题
下课收上来
5、课堂巩固练习：（采用学生做，学生上黑板做题、讲解）
a,b,c
1、如图，向量 b AD-AA-ACD2、如图，已知平行六面体 ABCD ( 2 ) AB + B ，化简下列各111 1 1
6、探究：（课件）（课本中P92页）结合平行六面体，数形结合，理解空间向量运算的加法
表达式，并在图中标出化简结果的向量：交换律和结合律。（学生做、学生讨论、学生回答）
总结为：一般地，三个不共面的向量的和可以与分别以这三个向量为边的平行六面题的对
角线建立起联系。
1) AB AD CC1
7、思维巩固性练习（快速猜想训练）（课件）训练1、如图,共始点的两个不共线向量的加法
2
满足平行四边形法则.和向量是平行四边形的对角线。请问,共始点的三个不共面的向量满足
++
什么法则？和向量是什么向量？
8
训练２：如图,已知 2 + OB , +那么D是ABOC
=OD 已知O为⊿ABC平面外一点,如果
9
A
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
教学目标：
（1） 通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标：
（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点：
（1）空间向量的有关概念
（2） 空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点：
（1） 空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体
教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。
教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定
（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量
（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面
（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量
（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量
板书：空间向量及其运算
（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）
（老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
请同学们将导学案准备好， （老师）：
一、平面向量的基本概念
1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量； 2.画法：用有向线段AB画出来；
3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；
4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的； 5.单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；
6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；
7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量； 补充：（我们学习的向量是自由向量，也就是说向量不管平移到任何位置，跟原来的向量都是相等向量） （老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义， （学生）在空间中，既有大小又有方向的量 （老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生） （学生）回答
现在请同学们阅读教材的84--85页，找出空间向量的相关定义，用类比的方法记忆并填写课件的表格：
（学案）：试一试 讲解
（老师）：在数学中引入一种量以后，一个很自然的问题就是研究它们的运算，空间向量的运算我们也采用与平面向量类比的方法，那么我们首先来复习回顾一下平面向量的加减运算。（课件） 复习回顾：（找学生回答）
（学生）：1.平面向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为a
b；口
几何意义：如图为a口诀是
2.减法法则：记为a几何意义：如图中a
+b为平行四边形的对角线OB，或三角形ABO中边OB。
-b；
-b为平行四边形的对角线AC，方向指向被减向量。口诀是：
3平面向量、空间向量的运算律： 交换律a
+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
（老师）：很好还有没有补充的？
4、推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
AA+AA+AA+ +AA=AA
122334n-1n1n
（2） 首尾相接的多个力的和向量构成封闭图形时合力为零。
A1A2+A2A3+A3A4+ +AnA1=0
（老师）：很好，同学课下的复习很好。我们先来探讨这样一个问题
对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别？
探讨研究： （老师）：对于两个向量来说空间向量和平面向量有没有区别？
（学生讨论、演示、回答）
（学生）平面向量可在同一平面内平移，而空间向量也可在空间中平移。平移后的向量与原向量是同一向量。由此得出：空间任意两个向量都可转化为共面向量。 （老师）：结论一：空间任意两个向量都可转化为共面向量。 还能得到什么结论？换句话说空间任意两个向量的加减运算….? （学生）对于任意的空间中的两个向量，。平面向量的结论都适用
这样我们就能够定义空间向量的加法和减法运算 3、（引导学生归纳总结）用类比（表格）形式对比给出空间向量的相关定义，采用填空形式填写下列有关内容：（课件）
（老师）：空间中两个向量的问题就是平面向量的问题，那么三个向量呢？多个向量呢？ （老师）：三个或者多个向量的加减法怎么办？是否能使用结合律呢？请同学们分组讨论 （老师）：分组讨论探究
（老师）：哪个小组探究完了，请上台来汇报一下。
（学生）我们认为空间中三个或者多个向量的加法仍然可以应用结合律，演示讲解 （老师）： 类比于平面向量的推广，能不能得到空间向量的推广？ （学生）：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向
量；
A1A2+A2A3+A3A4+ +An-1An=A1An
（3） 首尾相接的多个力的和向量构成封闭图形时合力为零。
A1A2+A2A3+A3A4+ +AnA1=0（完成表格）
现在我们知道了空间向量的相关定义，得到了空间向量的加减运算法则和运算律我们来练习一下
（学案 试一试内容） 试一试的最后一题
探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
(1)化简下列向量表达式,并标出 化简结果的向量：
AB
一般的，三个不共面的向量和这三个向量有什么关系？
（学生）:回答始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
（老师）：同学们做的很好，在平面向量中我们有这样的结论：共起点的两个不共线的向量，利用平行四边形法则，其和向量是平行四边形对角线，那么空间向量中也有相似的结论？ 给出表格。、 （老师）：这节课，我们在平面向量的基础上学习了平面向量，接下来给同学们两分钟的时间总结一下这节课的主要内容 （学生）总结：
（老师）：很好通过这节课的学习，我们学会了空间向量的有关概念 加减运算及其运算律以及空间向量的加减运算在空间几何体中的应用。现在请大家准备好我们开始课堂自我评价
课代表发题
下课收上来
5、课堂巩固练习：（采用学生做，学生上黑板做题、讲解）
a,b,c
1、如图，向量 b AD-AA-ACD2、如图，已知平行六面体 ABCD ( 2 ) AB + B ，化简下列各111 1 1
6、探究：（课件）（课本中P92页）结合平行六面体，数形结合，理解空间向量运算的加法
表达式，并在图中标出化简结果的向量：交换律和结合律。（学生做、学生讨论、学生回答）
总结为：一般地，三个不共面的向量的和可以与分别以这三个向量为边的平行六面题的对
角线建立起联系。
1) AB AD CC1
7、思维巩固性练习（快速猜想训练）（课件）训练1、如图,共始点的两个不共线向量的加法
2
满足平行四边形法则.和向量是平行四边形的对角线。请问,共始点的三个不共面的向量满足
++
什么法则？和向量是什么向量？
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训练２：如图,已知 2 + OB , +那么D是ABOC
=OD 已知O为⊿ABC平面外一点,如果
9
A