A ．
2014年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)
第I 卷(选择题 60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 是虚数单位，则复数z =(1+i ) ⋅i 3的共轭复数是 A ．-1-i B ．1-i C ．-1+i
D ．1+i
2
C ．1 D ．
22
⎧y ≥x ，
⎪
6．设变量x ，y 满足约束条件：⎨x +2y ≤2，，则z =x -3y 的最小值
⎪x ≥-2．⎩
A ．-2
B ．-4
C ．-6 D ．-8
7．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是C A ．
2．设a 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是
331
B ． D ． 1054
A . 若a ⊥α且a ⊥b ，则b //α B . 若γ⊥α且γ⊥β，则α//β
8．函数f (x ) =sin x ⋅ln x C . 若a //α且a //β，则α//β D . 若γ//α且γ//β，则α//β
3. 若抛物线y =2px 上一点P (2，y 0) 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为
2
A ．y 2=4x B ．y 2=6x C ．y 2=8x D ．y 2=10x
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 A
．
4
、B 、C 作截面，O 点到该截面的距离是球半径的一半，且9．已知球O , 过其球面上三点A
B ．5
AB =BC =2, ∠B =120︒, 则球的表面积为
8π16π
． C．4π D．
39
10．已知函数f (x ) =|log 1x |，若m
2
C ．6 D ．7
A ．[23，+∞) B ．(2，+∞) C ．[4，+∞)
D ．(4，+∞)
5．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连结AC ，得到三棱锥
11．已知点G 是△ABC 的重心，若∠A =120，⋅=-2，则||的最小值是
C -ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其 侧视图的面积为
正视图
A ．
俯视图
3
B ．
2
2
D ．
3
4
- 1 -
⎧1
⎪x +1(x ≤1)
12．已知函数f (x ) =⎨10，则方程f (x ) =ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取
⎪⎩ln x -1(x >1)
值范围是（e 为自然对数的底数）
19．(本小题满分12分）
2013年12月21日上午10时，依据石家庄市大气污染级预警应急响应，石家庄市正式实施机动车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行了整理，制成下表：
11
A ．(-1，0] B ．(-1，)
D ．(-1，2)
10e
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 14．在△ABC 中，若BC =1，A =
（Ⅱ）若从年龄在[15,25), [25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
π
3
，sin B =2sin C ，则AB 的长度为_________．
x 2y 2
15．设F 1, F 2分别是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点，若双曲线右支
a b
上存在一点P ，使(OP +OF 2) ⋅F 2P =0（O 为坐标原点），且|PF 1|=PF 2|，则该双曲线的离心率为_______
16． 如右图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
17． (本小题满分10分） 已知函数
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，CD ⊥平面PAD ，BC //AD ，PA =PD ，O 、
f (x ) =sin(4x +) +cos(4x -) .
44
ππ
（Ⅰ）求函数
f (x ) 的最大值；
y =f (x ) 的对称轴，求实数m 的值.
（Ⅱ）若直线x =m 是函数
18. (本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=a 4+6，且a 1, a 4, a 13成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =2
a n
E
分别为
AD
、
PC
的中点，
PO =AD =2BC =2CD ．
（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；
- 2 -
+1，求数列{b n }的前n 项和.
（Ⅱ）求二面角A -PC -O 的余弦值． 21．(本小题满分12分)
所以
f (x ) 的最大值是2……………5分
2已知F 1(-1，0) 、F 2(1，0) 为椭圆C 的左、右焦点，且点P (1，) 在椭圆C 上．
3
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 2AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存（Ⅱ）令4x +
π
4
=k π+
π
2
(k ∈Z ) ，……………7分
则x =
k ππ+(k ∈z ) ，……………9分 416
在求其最大值及此时直线方程；若不存在，请说明理由． 22．已知a 为实常数，函数f (x ) =ln x -ax +1． （Ⅰ）讨论函数f (x ) 单调性；
（Ⅱ）若函数f (x ) 有两个不同的零点x 1, x 2(x 1
1
e
2. 2014年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)
高三数学（理科答案）
（ 时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
1-5 DDCBB 6-10 DCAAD 11-12 CC 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分..
13 200 14 3
15
1 16 n 2
-2n +3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
而直线x =m 是函y =f (x ) 的对称轴，所以m =
k π4+π16
(k ∈Z )………………10分 18. 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ≠0. 因为S ⨯2d
3=a 4+6，所以3a 1+
32
=a 1+3d +6. ① 因为a 1, a 4, a 13成等比数列，所以a 1(a 1+12d ) =(a 1+3d ) 2. ② ……2分 由①，②可得：a 1=3, d =2. ……………………………………4分 所以a n =2n +1. ……………………………………6分 （Ⅱ）由题意b 2n +1n =2+1，设数列{b +1n }的前n 项和为T n ，c n =22n ,
c (n +1) +1
n +1c =222n +1=4(n ∈N *) ，所以数列{c n }为以8为首项，以4为公比的等比数列……9分n 2
所以T 8(1-4n ) 22n +3-n =
1-4+n =8
3
+n . ……………………………………12分 19． 解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1……………2分
所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01……………4分
- 3 -
……………5分
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3 ……………6分
p (
ξ=0
)=C 2
24C 66154515
C 2⋅2=⋅==75
,
5C 1010452251p (ξ=1)=C 4C 2C 21164C 4⋅C [1**********]4
C 2⋅2+C 2⋅2
=⋅+⋅==, 5C 105C [**************])11p (ξ=2=C 14C C 2C 2
4⋅6C [1**********]
C 2⋅2+2⋅2
=10⋅45+10⋅45=225=75, 5C 10C 5C 10p (ξ=3)=C 124C 446124
C 2⋅2=⋅==, ……………10分
5C [1**********]
所以ξ的分布列是：
所以ξ的数学期望E ξ=6
5
…………………12分
20．解法一：（Ⅰ）设BD ⋂OC
=F ，连接EF ,
E 、F 分别是PC 、OC 的中点，则EF
//PO ，……………1分
已知CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD ， 又PA =PD ，O 为AD 的中点，则PO ⊥AD ，
而平面ABCD ⋂平面PAFD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，
所以EF ⊥平面ABCD ，
又AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥EF ； ……………3分
在∆ABD 中，AB
2
+BD 2=AD 2，AB ⊥BD ；
又EF ⋂BD =F ，所以AB ⊥平面BED ，
又DE ⊂平面BED ，所以AB ⊥DE . ……………6分 AE ，
因为PO ⊥平面POC PC ⊂平面在∆APC 所以PC
⊥所以∠AEH 角设PO =AD =2BC =2CD =2， 而AE
2
=AC 2-EC 2，AE =
2
所以二面角A -PC -O 的余弦值为7
. ……………12分 解法二：
因为CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD ，
又PA =PD ，O 是AD 的中点，则PO ⊥AD ，且平面ABCD ⋂平面PAFD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ……………2分
如图，以O 为原点，以 OB , OD , OP
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
A (0,-1,0) B (1,0,0)C (1,1,0)D (0,1,0)E (11
2, 2
,1) P (0,0,2) ……………4分
- 4 -
11
AB =(1,1,0) DE =(, -,1) ，AB ⋅DE =0，所以AC ⊥DE ……………6分
22
（Ⅱ）AC =(1,2,0) ，PC =(1,1, -2) ，
设平面PAC 的法向量为m =(x , y , z ) ，
3k 2-6-6
k 2
设A (x
1, y 1), B (x 2, y 2) ，x 1x 2=，x 1+x 2=……………6分 22
2+3k 2+3k
|x 1-x 2|=
=
x =2，得
又BD ⋅PO =0，BD ⋅OC =0，
r ，因为∆ABF 2的周长为4a =（定值），S ABF 2=
1
⨯4a ⨯r =， 2
∆ABF 2的面积最大时，内切圆面积最大，又
POC
所以平面的法向量BD =(-1,1,0) ，……………10分
所以二面角A -PC -O 的余弦值为. ……………12分
7
A
S #ABF 2
1
=|F 1F 2||y 1-y 2|=|y 1-y 2|=|k ||x 1-x 2|=，……………8分 2t
-222
令t =2
+3k ≥2，则k =，所以3
S ABF 2
==
42
=，S 圆=π r =
93
又当k 不存在时，|y 1-y 2|=
x 2y 2
21. 解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆C 的方程为2+2=1(a >b >0) ，
a b
因为|PF 1|+|PF 2|=
故当k 不存在时圆面积最大， S 圆=
4
π，此时直线方程为x =-1. „„„„„„„12分 9
（也可以设直线l ：x =my -1，避免对k 的讨论，参照以上解法，按相应步骤给分） 22. 解：（I ）f (x ) 的定义域为(0,+∞) ．其导数f '(x ) =
(1+1) 2+(
232232
+(1-1) 2+(=2=2a ，所以a 2=3，33
1
-a ．„„„1分 x
x 2y 2
+=1„„„„„„„4分 b =2，所以，椭圆C 的方程为32
2
①当a ≤0时，f '(x ) >0，函数在(0,+∞) 上是增函数；„„„„2分 ②当a >0时，在区间(0,) 上，f '(x ) >0；在区间(, +∞) 上，f '(x )
112b 2a 2-12（也可用待定系数法2+） ===1，或用
a a 3a 9(a 2-1)
1
a 1a
所以f (x ) 在(0,是增函数，在(, +∞) 是减函数. „„„„„4分
（II ）①由（I ）知，当a ≤0时，函数f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数，不可能有两个零点 当a >0时，f (x ) 在(0,是增函数，在(, +∞) 是减函数，此时f (为函数f (x ) 的最大值，
1a 1a
⎧x 2y 2
=1⎪+
（2）当直线l 斜率存在时，设直线l ：y =k (x +1) ，由⎨3得2
⎪y =k (x +1) ⎩
1a 1a 1a
(2+3k 2) x 2+6k 2x +3k 2-6=0，
- 5 -
当f () ≤0时，f (x ) 最多有一个零点，所以f () =ln
1a 1a 1
>0，解得0
1a a 11e 2
此时，
e e e e a a
x 12-1
由0
x 1+1
所以
e 2e 2e 2
f (2) =2-2ln a -+1=3-2ln a -(0
a a a
e 22e 2e 2-2a
>0，所以F (a ) 在(0，1) 上单令F (a ) =3-2ln a -，则F '(x ) =-+2=2
a a a a
调递增，
221+ln x 12x 2x
1，ln x 1+ln(-x 1) >0.
a a x 1x 1+1x 1+1
又ax 1=1+ln x 1 ，所以ax 1-1+ln(-x 1) >0，ax 1+ln(-x 1) >1. 所以f (-x 1) =ln(-x 1) -a (-x 1) +1=ln(-x 1) +ax 1-1>0 . 即f (-x 1) >f (x 2) . 由0
2a 2a
2a 2a 2a 2a
2a
e 2
所以F (a )
a
2
12122
. 所以-x 1>2 . „„„„„„„12分 a a a a a
1
a
1a
②证法二：
由（II ）①可知函数f (x ) 在(0,) 是增函数，在(, +∞) 是减函数. f (x ) =ln x -ax +1.
所以a 的取值范围是(0，1) „„„„„„„8分 ②证法一：
a =
1+ln x ln x 1+ln x 11+ln x 2
(x >0) . g '(x ) =-2. . 设g (x ) ==
x x x 1x 2
a a 1
+1=-0. 故
1212
第二部分:分析:因为0. 只要证明:f (-x 1) >0就可以得出结论
a a a a
所以f () =-1-下面给出证明：构造函数：
1
e
当00 ；当x >1 时，g '(x )
所以g (x ) 在(0,1) 上是增函数，在(1,+∞) 上是减函数. g (x ) 最大值为g (1)=1 .
由于g (x 1) =g (x 2) ，且0
11+ln x 11+ln x 2
=
e x 1x 2
x 2-1x 2-1
(x >0) ， 下面证明：当0
x +1x +1
(x 2-1) 2
则h '(x ) =>0 . h (x ) 在(0,1] 上是增函数，所以当0
x (x +1)
x 2-1
h (x )
x +1
2221
g (x ) =f (-x ) -f (x ) =ln(-x ) -a (-x ) -(lnx -ax ).(0
a a a a
12a (x -) 2
11a
111
所以函数g (x ) 在区间(0, ]上为减函数. 0g () =0, 又f (x 1) =0
a a a
222
于是f (-x 1) =ln(-x 1) -a (-x 1) +1-f (x 1) =g (x 1) >0. 又f (x 2) =0由(1)可知
a a a 22
x 2>-x 1. 即x 1+x 2>>2 „„„„„„„12分
a a
- 6 -
A ．
2014年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)
第I 卷(选择题 60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 是虚数单位，则复数z =(1+i ) ⋅i 3的共轭复数是 A ．-1-i B ．1-i C ．-1+i
D ．1+i
2
C ．1 D ．
22
⎧y ≥x ，
⎪
6．设变量x ，y 满足约束条件：⎨x +2y ≤2，，则z =x -3y 的最小值
⎪x ≥-2．⎩
A ．-2
B ．-4
C ．-6 D ．-8
7．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是C A ．
2．设a 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是
331
B ． D ． 1054
A . 若a ⊥α且a ⊥b ，则b //α B . 若γ⊥α且γ⊥β，则α//β
8．函数f (x ) =sin x ⋅ln x C . 若a //α且a //β，则α//β D . 若γ//α且γ//β，则α//β
3. 若抛物线y =2px 上一点P (2，y 0) 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为
2
A ．y 2=4x B ．y 2=6x C ．y 2=8x D ．y 2=10x
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 A
．
4
、B 、C 作截面，O 点到该截面的距离是球半径的一半，且9．已知球O , 过其球面上三点A
B ．5
AB =BC =2, ∠B =120︒, 则球的表面积为
8π16π
． C．4π D．
39
10．已知函数f (x ) =|log 1x |，若m
2
C ．6 D ．7
A ．[23，+∞) B ．(2，+∞) C ．[4，+∞)
D ．(4，+∞)
5．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连结AC ，得到三棱锥
11．已知点G 是△ABC 的重心，若∠A =120，⋅=-2，则||的最小值是
C -ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其 侧视图的面积为
正视图
A ．
俯视图
3
B ．
2
2
D ．
3
4
- 1 -
⎧1
⎪x +1(x ≤1)
12．已知函数f (x ) =⎨10，则方程f (x ) =ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取
⎪⎩ln x -1(x >1)
值范围是（e 为自然对数的底数）
19．(本小题满分12分）
2013年12月21日上午10时，依据石家庄市大气污染级预警应急响应，石家庄市正式实施机动车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行了整理，制成下表：
11
A ．(-1，0] B ．(-1，)
D ．(-1，2)
10e
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 14．在△ABC 中，若BC =1，A =
（Ⅱ）若从年龄在[15,25), [25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
π
3
，sin B =2sin C ，则AB 的长度为_________．
x 2y 2
15．设F 1, F 2分别是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点，若双曲线右支
a b
上存在一点P ，使(OP +OF 2) ⋅F 2P =0（O 为坐标原点），且|PF 1|=PF 2|，则该双曲线的离心率为_______
16． 如右图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
17． (本小题满分10分） 已知函数
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，CD ⊥平面PAD ，BC //AD ，PA =PD ，O 、
f (x ) =sin(4x +) +cos(4x -) .
44
ππ
（Ⅰ）求函数
f (x ) 的最大值；
y =f (x ) 的对称轴，求实数m 的值.
（Ⅱ）若直线x =m 是函数
18. (本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=a 4+6，且a 1, a 4, a 13成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =2
a n
E
分别为
AD
、
PC
的中点，
PO =AD =2BC =2CD ．
（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；
- 2 -
+1，求数列{b n }的前n 项和.
（Ⅱ）求二面角A -PC -O 的余弦值． 21．(本小题满分12分)
所以
f (x ) 的最大值是2……………5分
2已知F 1(-1，0) 、F 2(1，0) 为椭圆C 的左、右焦点，且点P (1，) 在椭圆C 上．
3
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 2AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存（Ⅱ）令4x +
π
4
=k π+
π
2
(k ∈Z ) ，……………7分
则x =
k ππ+(k ∈z ) ，……………9分 416
在求其最大值及此时直线方程；若不存在，请说明理由． 22．已知a 为实常数，函数f (x ) =ln x -ax +1． （Ⅰ）讨论函数f (x ) 单调性；
（Ⅱ）若函数f (x ) 有两个不同的零点x 1, x 2(x 1
1
e
2. 2014年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)
高三数学（理科答案）
（ 时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
1-5 DDCBB 6-10 DCAAD 11-12 CC 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分..
13 200 14 3
15
1 16 n 2
-2n +3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
而直线x =m 是函y =f (x ) 的对称轴，所以m =
k π4+π16
(k ∈Z )………………10分 18. 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ≠0. 因为S ⨯2d
3=a 4+6，所以3a 1+
32
=a 1+3d +6. ① 因为a 1, a 4, a 13成等比数列，所以a 1(a 1+12d ) =(a 1+3d ) 2. ② ……2分 由①，②可得：a 1=3, d =2. ……………………………………4分 所以a n =2n +1. ……………………………………6分 （Ⅱ）由题意b 2n +1n =2+1，设数列{b +1n }的前n 项和为T n ，c n =22n ,
c (n +1) +1
n +1c =222n +1=4(n ∈N *) ，所以数列{c n }为以8为首项，以4为公比的等比数列……9分n 2
所以T 8(1-4n ) 22n +3-n =
1-4+n =8
3
+n . ……………………………………12分 19． 解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1……………2分
所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01……………4分
- 3 -
……………5分
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3 ……………6分
p (
ξ=0
)=C 2
24C 66154515
C 2⋅2=⋅==75
,
5C 1010452251p (ξ=1)=C 4C 2C 21164C 4⋅C [1**********]4
C 2⋅2+C 2⋅2
=⋅+⋅==, 5C 105C [**************])11p (ξ=2=C 14C C 2C 2
4⋅6C [1**********]
C 2⋅2+2⋅2
=10⋅45+10⋅45=225=75, 5C 10C 5C 10p (ξ=3)=C 124C 446124
C 2⋅2=⋅==, ……………10分
5C [1**********]
所以ξ的分布列是：
所以ξ的数学期望E ξ=6
5
…………………12分
20．解法一：（Ⅰ）设BD ⋂OC
=F ，连接EF ,
E 、F 分别是PC 、OC 的中点，则EF
//PO ，……………1分
已知CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD ， 又PA =PD ，O 为AD 的中点，则PO ⊥AD ，
而平面ABCD ⋂平面PAFD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，
所以EF ⊥平面ABCD ，
又AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥EF ； ……………3分
在∆ABD 中，AB
2
+BD 2=AD 2，AB ⊥BD ；
又EF ⋂BD =F ，所以AB ⊥平面BED ，
又DE ⊂平面BED ，所以AB ⊥DE . ……………6分 AE ，
因为PO ⊥平面POC PC ⊂平面在∆APC 所以PC
⊥所以∠AEH 角设PO =AD =2BC =2CD =2， 而AE
2
=AC 2-EC 2，AE =
2
所以二面角A -PC -O 的余弦值为7
. ……………12分 解法二：
因为CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD ，
又PA =PD ，O 是AD 的中点，则PO ⊥AD ，且平面ABCD ⋂平面PAFD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ……………2分
如图，以O 为原点，以 OB , OD , OP
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
A (0,-1,0) B (1,0,0)C (1,1,0)D (0,1,0)E (11
2, 2
,1) P (0,0,2) ……………4分
- 4 -
11
AB =(1,1,0) DE =(, -,1) ，AB ⋅DE =0，所以AC ⊥DE ……………6分
22
（Ⅱ）AC =(1,2,0) ，PC =(1,1, -2) ，
设平面PAC 的法向量为m =(x , y , z ) ，
3k 2-6-6
k 2
设A (x
1, y 1), B (x 2, y 2) ，x 1x 2=，x 1+x 2=……………6分 22
2+3k 2+3k
|x 1-x 2|=
=
x =2，得
又BD ⋅PO =0，BD ⋅OC =0，
r ，因为∆ABF 2的周长为4a =（定值），S ABF 2=
1
⨯4a ⨯r =， 2
∆ABF 2的面积最大时，内切圆面积最大，又
POC
所以平面的法向量BD =(-1,1,0) ，……………10分
所以二面角A -PC -O 的余弦值为. ……………12分
7
A
S #ABF 2
1
=|F 1F 2||y 1-y 2|=|y 1-y 2|=|k ||x 1-x 2|=，……………8分 2t
-222
令t =2
+3k ≥2，则k =，所以3
S ABF 2
==
42
=，S 圆=π r =
93
又当k 不存在时，|y 1-y 2|=
x 2y 2
21. 解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆C 的方程为2+2=1(a >b >0) ，
a b
因为|PF 1|+|PF 2|=
故当k 不存在时圆面积最大， S 圆=
4
π，此时直线方程为x =-1. „„„„„„„12分 9
（也可以设直线l ：x =my -1，避免对k 的讨论，参照以上解法，按相应步骤给分） 22. 解：（I ）f (x ) 的定义域为(0,+∞) ．其导数f '(x ) =
(1+1) 2+(
232232
+(1-1) 2+(=2=2a ，所以a 2=3，33
1
-a ．„„„1分 x
x 2y 2
+=1„„„„„„„4分 b =2，所以，椭圆C 的方程为32
2
①当a ≤0时，f '(x ) >0，函数在(0,+∞) 上是增函数；„„„„2分 ②当a >0时，在区间(0,) 上，f '(x ) >0；在区间(, +∞) 上，f '(x )
112b 2a 2-12（也可用待定系数法2+） ===1，或用
a a 3a 9(a 2-1)
1
a 1a
所以f (x ) 在(0,是增函数，在(, +∞) 是减函数. „„„„„4分
（II ）①由（I ）知，当a ≤0时，函数f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数，不可能有两个零点 当a >0时，f (x ) 在(0,是增函数，在(, +∞) 是减函数，此时f (为函数f (x ) 的最大值，
1a 1a
⎧x 2y 2
=1⎪+
（2）当直线l 斜率存在时，设直线l ：y =k (x +1) ，由⎨3得2
⎪y =k (x +1) ⎩
1a 1a 1a
(2+3k 2) x 2+6k 2x +3k 2-6=0，
- 5 -
当f () ≤0时，f (x ) 最多有一个零点，所以f () =ln
1a 1a 1
>0，解得0
1a a 11e 2
此时，
e e e e a a
x 12-1
由0
x 1+1
所以
e 2e 2e 2
f (2) =2-2ln a -+1=3-2ln a -(0
a a a
e 22e 2e 2-2a
>0，所以F (a ) 在(0，1) 上单令F (a ) =3-2ln a -，则F '(x ) =-+2=2
a a a a
调递增，
221+ln x 12x 2x
1，ln x 1+ln(-x 1) >0.
a a x 1x 1+1x 1+1
又ax 1=1+ln x 1 ，所以ax 1-1+ln(-x 1) >0，ax 1+ln(-x 1) >1. 所以f (-x 1) =ln(-x 1) -a (-x 1) +1=ln(-x 1) +ax 1-1>0 . 即f (-x 1) >f (x 2) . 由0
2a 2a
2a 2a 2a 2a
2a
e 2
所以F (a )
a
2
12122
. 所以-x 1>2 . „„„„„„„12分 a a a a a
1
a
1a
②证法二：
由（II ）①可知函数f (x ) 在(0,) 是增函数，在(, +∞) 是减函数. f (x ) =ln x -ax +1.
所以a 的取值范围是(0，1) „„„„„„„8分 ②证法一：
a =
1+ln x ln x 1+ln x 11+ln x 2
(x >0) . g '(x ) =-2. . 设g (x ) ==
x x x 1x 2
a a 1
+1=-0. 故
1212
第二部分:分析:因为0. 只要证明:f (-x 1) >0就可以得出结论
a a a a
所以f () =-1-下面给出证明：构造函数：
1
e
当00 ；当x >1 时，g '(x )
所以g (x ) 在(0,1) 上是增函数，在(1,+∞) 上是减函数. g (x ) 最大值为g (1)=1 .
由于g (x 1) =g (x 2) ，且0
11+ln x 11+ln x 2
=
e x 1x 2
x 2-1x 2-1
(x >0) ， 下面证明：当0
x +1x +1
(x 2-1) 2
则h '(x ) =>0 . h (x ) 在(0,1] 上是增函数，所以当0
x (x +1)
x 2-1
h (x )
x +1
2221
g (x ) =f (-x ) -f (x ) =ln(-x ) -a (-x ) -(lnx -ax ).(0
a a a a
12a (x -) 2
11a
111
所以函数g (x ) 在区间(0, ]上为减函数. 0g () =0, 又f (x 1) =0
a a a
222
于是f (-x 1) =ln(-x 1) -a (-x 1) +1-f (x 1) =g (x 1) >0. 又f (x 2) =0由(1)可知
a a a 22
x 2>-x 1. 即x 1+x 2>>2 „„„„„„„12分
a a
- 6 -