立体几何
二、基础知识
1．柱、锥、台、球的结构特征
棱柱：一般的，有两个面______，其余各面都是_______，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的几何体；
圆柱：以______的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体； 棱锥：一般的有一个面是_____，其余各面都是有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的几何体；
圆锥：以_________的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体；
棱台：用一个平行于______的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台； 圆台：以_________的高所在的直线为旋转轴，旋转形成的曲面所围成的几何体； 球：以半圆的______所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
2．空间几何体的三视图基本特征：长_____,宽_____,高______.
3．空间几何体的直观图：斜二测画法
①在原图形中建立直角坐标系，②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对
' ' 应的O X ,O Y , 使 X ' OY =____________，它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于__，且长度___；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于___，且长度___________；
’’’’
(S表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，
l 表示侧棱长。)
12面半径，R 表示半径。)
三、小题训练
1、 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是 ．
x ′
2
①正方形 ②圆锥 ③三棱台
3、如图（右面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图
是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是________.
4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，
则这个棱柱的体积为______________
俯视图 正视图
侧视图
5、如图是利用斜二测画法画出的∆ABO 的直观图, 已知O ' B ' =4,且
∆ABO 的面积为16, 过A ' 作A ' C ' ⊥x ' 轴, 则A ' C ' 的长为
俯视图
6．在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC
绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是__________
7．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是38．一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6cm 的正方形，则此三棱柱的体积为______cm．
9．如图，10．的正三角形，俯视图为正____________
第3题 二、基础知识
1．平面概述
（1）平面的特征：①无限延展 ②没有厚度
（2）平面的画法：通常画__________来表示平面；
（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。
2．三公理三推论:（用符号语言表示）
公理1：______________________________________________________
公理2：______________________________________________________
公理3：______________________________________________________
推论一：______________________________________________________
推论二：______________________________________________________
推论三：______________________________________________________
3．空间直线:
（1）空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——_____________________________。相交直线和平行直线也称为____直线。
（2）公理4：____________________________________
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。符号语言：A ∉α, B ∈α, a ⊂α, B ∉a ⇒AB 与a 是异面直线。
4．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点），符号：_______；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点），符号：________；
（3）直线和平面平行（没有公共点），符号：__________。
5. 线面平行的判定定理：___________________________________________________， 符号语言：_________________________________________．
线面平行的性质定理：________________________________________________________， 符号语言：________________________________________．
6．线面垂直定义：__________________________________________________________ 符号语言：_________________________________________
直线与平面垂直的判定定理：_______________________________________________， 符号语言：_________________________________________．
直线和平面垂直的性质定理：_______________________________________________， 符号语言：_________________________________________．
三、小题训练
1．已知α, β是平面，m , n 是直线，则下列命题中不正确的是
A ．若m ∥n , m ⊥α，则n ⊥α B. 若m ∥α, α⋂β=n ，则m ∥n
C ．若m ⊥α, m ⊥β，则α∥β D. 若m ⊥α, m ⊂β，则α⊥β
2. 设α表示平面，a , b 表示直线，给定下列四个命题：
①a //α, a ⊥b ⇒b ⊥α；②a //b , a ⊥α⇒b ⊥α;
③a ⊥α, a ⊥b ⇒b //α; ④a ⊥α, b ⊥α⇒a //b . 其中正确命题的个数有2个
3. 下列四个命题中，真命题的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若M ∈α，M ∈β，α⋂β=l ，则M ∈l ；
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
4．已知m , n 是不重合的直线，α, β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α, n //α，则m //n ；②若m //n ，m ⊥α，则n ⊥α；③若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；④若
（写出所有真命题的序号） m ⊥α, m ⊥β，则α//β．其中真命题有．
5．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
6．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个结论：
① AC ⊥PB ； ② AC ∥平面PDE ；③ AB ⊥平面PDE 。则所有正确结论的序号是。
7．设x , y , z 是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x //y ”为真命题的是 （把你认为正确的结论的代号都填上）；①x 为直线，y 、z 为平面，②x 、y 、z 为平面，③x 、y 为直线，z 为平面，④x 、y 为平面，z 为直线，⑤x 、y 、z 为直线。
8. 已知两条直线m , n ，两个平面α, β，给出下面四个命题其中正确命题的序号是___：
①m //n , m ⊥α⇒n ⊥α ②α//β, m ⊂α, n ⊂β⇒m //n
③m //n , m //α⇒n //α ④α//β, m //n , m ⊥α⇒n ⊥β
9．下列四个命题，正确命题序号为____________（请把所有正确命题的序号都填上）．： ⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ(00
⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线 都平行；
⑷ 对两条异面的直线a , b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等
10．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF ⊥AC , EF ⊥A 1D
则EF 和BD 1的关系是
二、基础知识
1．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）
（1）两个平面平行的判定定理：________________________________________________
符号语言：_________________________________________________
（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线___于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_________。
2．面面垂直
两个平面垂直的定义：_____________________________________________________。
两平面垂直的判定定理：_______________________________________________________。 两平面垂直的性质定理：_______________________________________________________.。
三、小题训练
1、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形的序号是__________
2、如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，∆ABC 内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：①BC ⊥PC ；②OM //平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的个数为_____
3、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；
③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直， 则a ⊥b . 其中正确命题是__________
4、已知直线m 、l , 平面α、β，且m ⊥α, l ⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；
③若m ⊥l , 则α∥β；④若m ∥l , 则α⊥β.
其中正确命题的个数是_________
5、若α、β是两个不重合的平面，以下条件中可以判断α∥β的是:_______：
①α、β都垂直于平面γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；
③l 、m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；
④l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.
6. 已知α, β是平面，m ，n 是直线，下列命题中正确命题的个数是__________：
①若m ⊥α, m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α, n ⊂α, m //β，n //β, 则α//β；
③如果m ⊂α, n ⊄α, m 、n 是异面直线，那么n 与α相交；
④若α⋂β=m , n //m ，且n ⊄α, n ⊄β，则n //α且n //β.
7. 已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α, β，有下列命题
①若m //n , n ⊂α, 则m //α； ②若l ⊥α, m ⊥β且l //m , 则α//β；
③若m ⊂α, n ⊂α, m //β, n //β, 则α//β； ④若α⊥β, α β=m , n ⊂β, n ⊥m , 则n ⊥α； 其中正确的命题个数是_______
8. 关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题，其中真命题的序号是_________：
①若m //α, n //β且α//β，则m //n ； ②若m ⊥α, n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α, n //β且α//β，则m ⊥n ； ④若m //α, n ⊥β且α⊥β，则m //n ．
α, β是不重合的平面，9、已知m , n 是不重合的直线，下列命题中真命题的个数是 ________
①若m ⊂α, n ∥α，则m ∥n ②若m ∥α, m ∥β，则α∥β
③若α β=n , m ∥n ，则m ∥α且m ∥β ④若m ⊥α, m ⊥β, 则α∥β。
10、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①n ∥α, α⊥β，则n ⊥β；②若m ⊥n ，n ⊥α，m ⊥β，则α⊥β；③若n ⊥α，α⊥β，
立体几何
二、基础知识
1．柱、锥、台、球的结构特征
棱柱：一般的，有两个面______，其余各面都是_______，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的几何体；
圆柱：以______的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体； 棱锥：一般的有一个面是_____，其余各面都是有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的几何体；
圆锥：以_________的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体；
棱台：用一个平行于______的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台； 圆台：以_________的高所在的直线为旋转轴，旋转形成的曲面所围成的几何体； 球：以半圆的______所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
2．空间几何体的三视图基本特征：长_____,宽_____,高______.
3．空间几何体的直观图：斜二测画法
①在原图形中建立直角坐标系，②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对
' ' 应的O X ,O Y , 使 X ' OY =____________，它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于__，且长度___；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于___，且长度___________；
’’’’
(S表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，
l 表示侧棱长。)
12面半径，R 表示半径。)
三、小题训练
1、 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是 ．
x ′
2
①正方形 ②圆锥 ③三棱台
3、如图（右面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图
是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是________.
4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，
则这个棱柱的体积为______________
俯视图 正视图
侧视图
5、如图是利用斜二测画法画出的∆ABO 的直观图, 已知O ' B ' =4,且
∆ABO 的面积为16, 过A ' 作A ' C ' ⊥x ' 轴, 则A ' C ' 的长为
俯视图
6．在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC
绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是__________
7．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是38．一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6cm 的正方形，则此三棱柱的体积为______cm．
9．如图，10．的正三角形，俯视图为正____________
第3题 二、基础知识
1．平面概述
（1）平面的特征：①无限延展 ②没有厚度
（2）平面的画法：通常画__________来表示平面；
（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。
2．三公理三推论:（用符号语言表示）
公理1：______________________________________________________
公理2：______________________________________________________
公理3：______________________________________________________
推论一：______________________________________________________
推论二：______________________________________________________
推论三：______________________________________________________
3．空间直线:
（1）空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——_____________________________。相交直线和平行直线也称为____直线。
（2）公理4：____________________________________
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。符号语言：A ∉α, B ∈α, a ⊂α, B ∉a ⇒AB 与a 是异面直线。
4．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点），符号：_______；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点），符号：________；
（3）直线和平面平行（没有公共点），符号：__________。
5. 线面平行的判定定理：___________________________________________________， 符号语言：_________________________________________．
线面平行的性质定理：________________________________________________________， 符号语言：________________________________________．
6．线面垂直定义：__________________________________________________________ 符号语言：_________________________________________
直线与平面垂直的判定定理：_______________________________________________， 符号语言：_________________________________________．
直线和平面垂直的性质定理：_______________________________________________， 符号语言：_________________________________________．
三、小题训练
1．已知α, β是平面，m , n 是直线，则下列命题中不正确的是
A ．若m ∥n , m ⊥α，则n ⊥α B. 若m ∥α, α⋂β=n ，则m ∥n
C ．若m ⊥α, m ⊥β，则α∥β D. 若m ⊥α, m ⊂β，则α⊥β
2. 设α表示平面，a , b 表示直线，给定下列四个命题：
①a //α, a ⊥b ⇒b ⊥α；②a //b , a ⊥α⇒b ⊥α;
③a ⊥α, a ⊥b ⇒b //α; ④a ⊥α, b ⊥α⇒a //b . 其中正确命题的个数有2个
3. 下列四个命题中，真命题的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若M ∈α，M ∈β，α⋂β=l ，则M ∈l ；
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
4．已知m , n 是不重合的直线，α, β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α, n //α，则m //n ；②若m //n ，m ⊥α，则n ⊥α；③若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；④若
（写出所有真命题的序号） m ⊥α, m ⊥β，则α//β．其中真命题有．
5．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
6．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个结论：
① AC ⊥PB ； ② AC ∥平面PDE ；③ AB ⊥平面PDE 。则所有正确结论的序号是。
7．设x , y , z 是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x //y ”为真命题的是 （把你认为正确的结论的代号都填上）；①x 为直线，y 、z 为平面，②x 、y 、z 为平面，③x 、y 为直线，z 为平面，④x 、y 为平面，z 为直线，⑤x 、y 、z 为直线。
8. 已知两条直线m , n ，两个平面α, β，给出下面四个命题其中正确命题的序号是___：
①m //n , m ⊥α⇒n ⊥α ②α//β, m ⊂α, n ⊂β⇒m //n
③m //n , m //α⇒n //α ④α//β, m //n , m ⊥α⇒n ⊥β
9．下列四个命题，正确命题序号为____________（请把所有正确命题的序号都填上）．： ⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ(00
⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线 都平行；
⑷ 对两条异面的直线a , b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等
10．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF ⊥AC , EF ⊥A 1D
则EF 和BD 1的关系是
二、基础知识
1．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）
（1）两个平面平行的判定定理：________________________________________________
符号语言：_________________________________________________
（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线___于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_________。
2．面面垂直
两个平面垂直的定义：_____________________________________________________。
两平面垂直的判定定理：_______________________________________________________。 两平面垂直的性质定理：_______________________________________________________.。
三、小题训练
1、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形的序号是__________
2、如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，∆ABC 内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：①BC ⊥PC ；②OM //平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的个数为_____
3、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；
③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直， 则a ⊥b . 其中正确命题是__________
4、已知直线m 、l , 平面α、β，且m ⊥α, l ⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；
③若m ⊥l , 则α∥β；④若m ∥l , 则α⊥β.
其中正确命题的个数是_________
5、若α、β是两个不重合的平面，以下条件中可以判断α∥β的是:_______：
①α、β都垂直于平面γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；
③l 、m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；
④l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.
6. 已知α, β是平面，m ，n 是直线，下列命题中正确命题的个数是__________：
①若m ⊥α, m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α, n ⊂α, m //β，n //β, 则α//β；
③如果m ⊂α, n ⊄α, m 、n 是异面直线，那么n 与α相交；
④若α⋂β=m , n //m ，且n ⊄α, n ⊄β，则n //α且n //β.
7. 已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α, β，有下列命题
①若m //n , n ⊂α, 则m //α； ②若l ⊥α, m ⊥β且l //m , 则α//β；
③若m ⊂α, n ⊂α, m //β, n //β, 则α//β； ④若α⊥β, α β=m , n ⊂β, n ⊥m , 则n ⊥α； 其中正确的命题个数是_______
8. 关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题，其中真命题的序号是_________：
①若m //α, n //β且α//β，则m //n ； ②若m ⊥α, n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α, n //β且α//β，则m ⊥n ； ④若m //α, n ⊥β且α⊥β，则m //n ．
α, β是不重合的平面，9、已知m , n 是不重合的直线，下列命题中真命题的个数是 ________
①若m ⊂α, n ∥α，则m ∥n ②若m ∥α, m ∥β，则α∥β
③若α β=n , m ∥n ，则m ∥α且m ∥β ④若m ⊥α, m ⊥β, 则α∥β。
10、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①n ∥α, α⊥β，则n ⊥β；②若m ⊥n ，n ⊥α，m ⊥β，则α⊥β；③若n ⊥α，α⊥β，