题目 8: 高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个书模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。 假设每个考生可填四个志愿。现在北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁四所大学。考生
一. 建立模型 （一）构造成对比较阵
面临的决策问题是：要比较n 个因素x 1，x 2…，x n ，对目标A 的影响，我们要确定它们在A 中所占的比重，即这n 个因素对目标A 的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。
设有因素x 1，x 2…，x n 每次取两个因素x i xj ，用正数a ij 表示x i 与x j 的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵A=（a ij ），称作成对比较阵A 。
⎡a 11, a 12, , a 1n ⎤⎢a , a ⎥ , a 2122, 2n ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥a , a , , a n 2nm ⎦⎣n 1
显然aij=1/aji,aij>=0,1
然后求出成对比较矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向量
T
Y=(y1,y 2,…,yn ) ， 定义标准化向量
⎡⎤⎢Y Y n ⎥Y 21
Y ' =⎢n , n , , n ⎥。
⎢Y ⎥Y Y ∑i ∑∑i i ⎥⎢i =1i =1⎣i =1⎦
用标准化向量Y′来反应 x ={x 1, x 2, , x n } 这n 个因素对目标A 的相对重要性，
Y′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。 （二）权向量
对于已知的成对比较阵A 来说，有A•Y=λmax ⋅Y 。由矩阵运算法则可知：当n 较大时，精确地计算成对比较A=（a ij ）的最大特征值λmax 和特征向量比较麻烦，而又由于A 中的元素a ij 是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出 λmax 和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似计算
T
λmax 和相应的特征向量。
对成对比较阵A=（a ij ），令
∑a
U k =
j =1n
n i =1j =1
n
kj
(k =1, 2, , n ), （*）
ij
T
∑∑a
称U=（U 1，U 2，…，U n ）为X={x1，x 2，…，x n }的权向量，它反映n 个因素对目标A 的相对重要性。经验证，U 与Y′误差很小，所以一般都用U 代替Y′。
对于公式（*），
对于一致性矩阵，a ij =U k 可以简化为
x i
, 即满足a ij •ajk =aik y i
U k =
x k ∑j =1x j
n
∑x ∑x
j =1i =1n
n
=
x k
i
∑x
i =1
n
,
i
j
则
⎡⎤⎢x x n ⎥x 21
U =⎢n , n , , n ⎥(i =1, 2, , n ) .
⎢x ⎥x x ∑∑∑i i i ⎢⎥i =1i =1⎣i =1⎦
X i 代表第i 项因素的重要性指标。 二. 实际计算
下面将调查此学生，根据他们所提供的情况，建立一致性矩阵，帮助他们填报志愿。 设四种因素学校声誉，生活环境，学习环境，可持续发展，分别为B 1，B 2，B3，B4 在四种因素中设有子因素C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42。学生所要报考的四个志愿分别为K 1，K 2，K3，K4。
同时，设重要性指标为1～10，其中10为最重要的，1为最不重要的。
考查学生（目标A ）
(1)考虑B={B1，B2，
可以得出 U（x ）=（(2)考虑C={C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42 }这三个因
可以得出 U（y ）=(022，0.198，0.24，0.133，0.061，0.064，0.032，0.132，
T
0.034，0.064，0.030) 。
经调查学生所要选报的四个学校：北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁，分别设这四个学校为 K1，K2，K3，K4。
(3)考虑对于因素C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42。比较K1，K2，K3，K4的相对差异。
T
T
WC12（K ）=(0.350，0.30，0.20，0.150) ,
T
WC13（K ）=(0.250，0.333，0.125，0.291) 。 WC14（K ）=（0.280，0.246，0.298，0.175） WC21（K ）=(0.083,0.166,0.417,0.333) WC22（K ）=(0.257,0.111,0.333,0.296) WC23（K ）=(0.20,0.240,0.320,0.240) WC31（K ）=(0.190,0.143,0.286,0.381) WC31（K ）=(0.237,0.305,0.237,0.220) WC41（K ）=(0.276,0.246,0.231,0.246) WC42（K ）=(0.294,0.275,0.235,0.196)
(4)
WB1（K ）T
WB2（K ）=(0.184，0.171，0.355，0.289) ,
T
WB3（K ）=（0.217，0.238，0.257，0.287）,
T
WB4（K ）=（0.284，0.259，0.233，0.224) , 最后再计算学生所选报的四个学校的得分：
WA(K1)=U(X1)•WB1(K1)+
∑U (x ) ⋅W
j
j =4
11
Bj
(K 1) +U (x 2) ⋅∑U (y i ) ⋅W Ci (K i ) =0.2634
i =1
4
WA （K2）=0.2372，WA(K3)=0.2630,WA(K4)=0.2362.
很显然，得分排在最前的志愿为北京甲，也就是说这个志愿最适合他报考。 三． 型的改进与推广
（1）通过上面的分析与计算，我们已经将填报高考志愿这一问题，由不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为这位学生选择了一所最有希望考上的学校。但这只是在理想状况下的结果，有很多问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。例如在填报志愿时所报考的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相差较大的第二志愿会有更大希望被录取。我们前面所做出的模型，只是将学生所选择的四个学校定量地排了个名次，所以学生在填报志愿时不能将得分最多的学校全填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实际情况和侧重点。
（2）在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之间的重要性之比
（即a ij ），而是分别问了他们心目中的每个因素的重要性指标，然后再用
x i
做出矩阵。x j
这样做是因为直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量化的数字之比表示出他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重要性比较容易）。
如果我们直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即a ij ），而将其所构成的成对比较阵就可能会出现一致性问题。
下面简要说一下关于一致性问题的解决方法。
对于成对比较阵A 来说，其中的关系应满足 a ij ⋅a jk =a ik , 1≤i , j , k ≤n , 这样的成对比较阵A 为一致矩阵。
而由于人的思维活动的原因，人们用a ij 构成的成对比较阵A 往往不是一致矩阵，即
a ij ⋅a jk ≠a ik ,所以在分析 X={x1,x 2,…,xn }对目标A 的影响时，必须对A 进行一致性检
验。
因为n 阶成对比较阵A 是一致矩阵，当且仅当A 的最大特征值 λmax =n ，所以若A 不具有一致性，则λmax 〉n 。于是我们引入一致性指标
CI =
λmax (A ) -n
n -1
。
将CI 作为衡量成对比较阵A 不致程度的标准，当λmax (A ) 稍大于n 时，称A 具有满意的一致性。
此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。令这里RI 为平均随机一致性指标（查表可得），CR 称为随机一致性比率，可以用CR 代替CI 作为一致性检验的临界值。当CR ﹤0.1时，就认为A 有满意的一致性，否则就必须重新调整成对比较阵A ，直到达到满意的一致性为止。 四．总结
本文通过层次分析法，将填报高考志愿这一问题由不定性的模糊判断转化成定量的分析，并最终通过建立数学模型，为这位学生各选择了最理想的学校，对他将来填报高考志愿有一定的参考价值。
参考文献：
《数学模型》 姜起源 谢金星 叶俊 编 高等教育出版社
：
题目 8: 高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个书模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。 假设每个考生可填四个志愿。现在北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁四所大学。考生
一. 建立模型 （一）构造成对比较阵
面临的决策问题是：要比较n 个因素x 1，x 2…，x n ，对目标A 的影响，我们要确定它们在A 中所占的比重，即这n 个因素对目标A 的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。
设有因素x 1，x 2…，x n 每次取两个因素x i xj ，用正数a ij 表示x i 与x j 的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵A=（a ij ），称作成对比较阵A 。
⎡a 11, a 12, , a 1n ⎤⎢a , a ⎥ , a 2122, 2n ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥a , a , , a n 2nm ⎦⎣n 1
显然aij=1/aji,aij>=0,1
然后求出成对比较矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向量
T
Y=(y1,y 2,…,yn ) ， 定义标准化向量
⎡⎤⎢Y Y n ⎥Y 21
Y ' =⎢n , n , , n ⎥。
⎢Y ⎥Y Y ∑i ∑∑i i ⎥⎢i =1i =1⎣i =1⎦
用标准化向量Y′来反应 x ={x 1, x 2, , x n } 这n 个因素对目标A 的相对重要性，
Y′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。 （二）权向量
对于已知的成对比较阵A 来说，有A•Y=λmax ⋅Y 。由矩阵运算法则可知：当n 较大时，精确地计算成对比较A=（a ij ）的最大特征值λmax 和特征向量比较麻烦，而又由于A 中的元素a ij 是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出 λmax 和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似计算
T
λmax 和相应的特征向量。
对成对比较阵A=（a ij ），令
∑a
U k =
j =1n
n i =1j =1
n
kj
(k =1, 2, , n ), （*）
ij
T
∑∑a
称U=（U 1，U 2，…，U n ）为X={x1，x 2，…，x n }的权向量，它反映n 个因素对目标A 的相对重要性。经验证，U 与Y′误差很小，所以一般都用U 代替Y′。
对于公式（*），
对于一致性矩阵，a ij =U k 可以简化为
x i
, 即满足a ij •ajk =aik y i
U k =
x k ∑j =1x j
n
∑x ∑x
j =1i =1n
n
=
x k
i
∑x
i =1
n
,
i
j
则
⎡⎤⎢x x n ⎥x 21
U =⎢n , n , , n ⎥(i =1, 2, , n ) .
⎢x ⎥x x ∑∑∑i i i ⎢⎥i =1i =1⎣i =1⎦
X i 代表第i 项因素的重要性指标。 二. 实际计算
下面将调查此学生，根据他们所提供的情况，建立一致性矩阵，帮助他们填报志愿。 设四种因素学校声誉，生活环境，学习环境，可持续发展，分别为B 1，B 2，B3，B4 在四种因素中设有子因素C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42。学生所要报考的四个志愿分别为K 1，K 2，K3，K4。
同时，设重要性指标为1～10，其中10为最重要的，1为最不重要的。
考查学生（目标A ）
(1)考虑B={B1，B2，
可以得出 U（x ）=（(2)考虑C={C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42 }这三个因
可以得出 U（y ）=(022，0.198，0.24，0.133，0.061，0.064，0.032，0.132，
T
0.034，0.064，0.030) 。
经调查学生所要选报的四个学校：北京甲，上海乙，成都丙，重庆丁，分别设这四个学校为 K1，K2，K3，K4。
(3)考虑对于因素C11，C12，C13，C14，C21，C22，C23，C31，C32，C41，C42。比较K1，K2，K3，K4的相对差异。
T
T
WC12（K ）=(0.350，0.30，0.20，0.150) ,
T
WC13（K ）=(0.250，0.333，0.125，0.291) 。 WC14（K ）=（0.280，0.246，0.298，0.175） WC21（K ）=(0.083,0.166,0.417,0.333) WC22（K ）=(0.257,0.111,0.333,0.296) WC23（K ）=(0.20,0.240,0.320,0.240) WC31（K ）=(0.190,0.143,0.286,0.381) WC31（K ）=(0.237,0.305,0.237,0.220) WC41（K ）=(0.276,0.246,0.231,0.246) WC42（K ）=(0.294,0.275,0.235,0.196)
(4)
WB1（K ）T
WB2（K ）=(0.184，0.171，0.355，0.289) ,
T
WB3（K ）=（0.217，0.238，0.257，0.287）,
T
WB4（K ）=（0.284，0.259，0.233，0.224) , 最后再计算学生所选报的四个学校的得分：
WA(K1)=U(X1)•WB1(K1)+
∑U (x ) ⋅W
j
j =4
11
Bj
(K 1) +U (x 2) ⋅∑U (y i ) ⋅W Ci (K i ) =0.2634
i =1
4
WA （K2）=0.2372，WA(K3)=0.2630,WA(K4)=0.2362.
很显然，得分排在最前的志愿为北京甲，也就是说这个志愿最适合他报考。 三． 型的改进与推广
（1）通过上面的分析与计算，我们已经将填报高考志愿这一问题，由不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为这位学生选择了一所最有希望考上的学校。但这只是在理想状况下的结果，有很多问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。例如在填报志愿时所报考的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相差较大的第二志愿会有更大希望被录取。我们前面所做出的模型，只是将学生所选择的四个学校定量地排了个名次，所以学生在填报志愿时不能将得分最多的学校全填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实际情况和侧重点。
（2）在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之间的重要性之比
（即a ij ），而是分别问了他们心目中的每个因素的重要性指标，然后再用
x i
做出矩阵。x j
这样做是因为直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量化的数字之比表示出他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重要性比较容易）。
如果我们直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即a ij ），而将其所构成的成对比较阵就可能会出现一致性问题。
下面简要说一下关于一致性问题的解决方法。
对于成对比较阵A 来说，其中的关系应满足 a ij ⋅a jk =a ik , 1≤i , j , k ≤n , 这样的成对比较阵A 为一致矩阵。
而由于人的思维活动的原因，人们用a ij 构成的成对比较阵A 往往不是一致矩阵，即
a ij ⋅a jk ≠a ik ,所以在分析 X={x1,x 2,…,xn }对目标A 的影响时，必须对A 进行一致性检
验。
因为n 阶成对比较阵A 是一致矩阵，当且仅当A 的最大特征值 λmax =n ，所以若A 不具有一致性，则λmax 〉n 。于是我们引入一致性指标
CI =
λmax (A ) -n
n -1
。
将CI 作为衡量成对比较阵A 不致程度的标准，当λmax (A ) 稍大于n 时，称A 具有满意的一致性。
此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。令这里RI 为平均随机一致性指标（查表可得），CR 称为随机一致性比率，可以用CR 代替CI 作为一致性检验的临界值。当CR ﹤0.1时，就认为A 有满意的一致性，否则就必须重新调整成对比较阵A ，直到达到满意的一致性为止。 四．总结
本文通过层次分析法，将填报高考志愿这一问题由不定性的模糊判断转化成定量的分析，并最终通过建立数学模型，为这位学生各选择了最理想的学校，对他将来填报高考志愿有一定的参考价值。
参考文献：
《数学模型》 姜起源 谢金星 叶俊 编 高等教育出版社
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