２０１１年第２期牡丹江师范学院学报（自然科肇版）
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
ＮＯ．２。２０１１
（总第７５期）ＭｕｄａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｔｏｔａｌ
Ｎｏ．７５
程组ｚｌ口ｌ＋ｚ２口２＋…＋ｚ。口。一ｂ，
（２）
其中６一（６。，ｂ。，…，ｂ。）对应的齐次线性方程组
ｚ１口１＋ｚ２Ｃｔ２＋…＋ｚ越。一０，
（３）
有无非零觥ｎ｛薹：寒ｌ
『＿１
ｏ
ｏ
ＩＸｌ＋２４＝０．，
Ｉ＆卞６＆２Ｕ’
方程组（２）有解
甘向量ｂ可由向量组口。，ａｚ’．．・，口。线性表示．骨以口ｌ，口２，…，口。为列向量的矩阵与以口１，口：，…，ａ。，ｂ为列向量的矩阵有相同的秩．即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩．Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ），其中Ａ为系数矩阵，Ｂ为增广矩阵．
对方程组（３）而言，恒有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ），所以方程组（３）恒有解．方程组（２），（３）有解时，又分为两种情况：
（ｉ）当Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）一ｒ＝，２时甘方程组（２），（３）有唯一解铮方程组（３）只有零解
筒向量组ａ１，ａ２，…，ａ。线性无关．（ｉｉ）当Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一ｒ＜ｎ时甘方程组（２），（３）有无穷多组解∞向量组ａｌ，ａ２，…，ａ。线性相关．
判断ａ。，ａ：，…，ａ。线性相关性可用齐次线性方程组的解来判断．还以例１为例，考虑以ａｔ，ａｚ，ａ。，ａ．为系数向量的齐次线性方程组
ｚｌ口１＋ｚ２口２＋ｚ３口３＋ｚ４口４＝０
参考文献
１－１３赵树螺．线性代数［Ｍ］．４版．北京：中国人民大学出版杜．２００８；１２７—１３４．
ｌＸ，一ｘ：一ｘ。一０．
２］
利用初等行变换将系数矩阵Ａ化为阶梯形矩阵，
ｒ１
ｏｏ
２］
Ａ＝ｌ。０。１０。一：Ｊ，０，一：Ｊ－Ｉ：。１１１ｏｊＬｏｏｊ
—１
—１
ｏ
ｏ
Ｒ（Ａ）＝３＜４亦即齐次线性方程组有非零解，故向量组ｎｌ，ａ２，ａ３，ａ４线性相关．
例１既可以用行列式值判断，也可以用矩阵的秩和齐次方程组有无非零解来判断．用行列式值判断必须是向量的个数与向量的维数相等，用齐次方程组有无非零解判断，实际上是对系数矩阵进行行初等变换求出其秩．由此可以看出，向量的线性相关性把前面所学的行列式、矩阵、线性方程组的解都联系到了一块，它与后面的二次型、线性变换以及欧式空间都有着很密切的联系，所以对学生来说，学好向量组的线性相关性对学好线性代数有重要作用．
［２］冯云舫．对线性方程组在《线性代数’中主线作用的探析［Ｊ］．交通部管理干部学院学报，２００９（１）：４３—４５．［３］同济大学数学教研室．线性代数［Ｍ］．北京；高等教育出版杜。１９９９：８７－９１．［４］吴传生，王卫华．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３：９０—９７．
Ｉｓ］陈喜娥，尹雪峰．学习线性代散应了解的几个问题口］．山西大学师范学院学报，１９９４（３）；３９—４０．
编辑：文心
离散型问题与连续型问题的相互转换
徐新荣
（哈尔滨商业大学基础科学学院，黑龙江哈尔滨１５００２．８）
擒要：讨论离散型问题与连续型问题的相互转换，用例题进行说明，归纳出解题方法和基本思路．关ｔ词：离散型问题Ｉ连续型问题［中围分类号］０１７１
［文献标志码］Ａ
［文章编号］１００３—６１８０（２０１１）０２—００１２—０３
数列是定义在自然数集合上的函数，称之为离散型变量，与定义在区间上的连续函数既有差异，又有联系，研究连续型变量的问题可以运用微分学和积分学等工具进行处理，所以，常将离散型问题转化为连续型问题进行研究．另一方面，离散型问题形式简单，便于推证，有许多连续型问题所
敢疆日期：２０１０－１０—１２
・
不具备的优越性，因此，许多连续型问题又需要转化为离散型问题进行研究．
离散型问题与连续型问题的转换途径有些是直接进行变数替换，例如将以或土换成ｚ，或通过
７／
Ｉｘ］研究连续型问题；有些是思想方法的相互移
１２・
万方数据
ｏｒｆ
２０１１年第２期
牡丹江师范学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｕｄａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ＮＯ．２．２０１１
（总第７５期）
ＴｏｔａｌＮＯ．７５
植，例如研究离散型问题时，可以找出在形式上与之对应的连续型问题，将解决连续型问题的思想和方法移植到离散型问题上，反之亦然．
例１设等差数列｛ａ。）与等比数列｛ｂ。｝满足：ａｏ＝６０＞０，ａ＾，＝“＞Ｏ，求证：∑ａ。＞∑ｂ。．
分析显然只需证明口。＞ｂ。
（”＝１，２，…，
Ｎ一１）．令ａｏ—ｂｏ＝ａ，ａＮ＝ｂＮ＝ｂ，于是｛ａ。｝的公
差为ｄ＝与尹，｛玩｝的公比为口一√导，从而
ａ。＝口＋ｎｄ，ｂ。＝ａｑ”
（咒一１，２，…，Ｎ）．
直接证明口。＞６。很困难，因此，把离散变量ｎ
换成连续变量ｚ，考虑函数，（ｚ）一口＋出，ｇ（ｚ）一
口旷，则由条件知厂（Ｏ）＝ｇ（ｏ）＝ａ，，（Ｎ）一ｇ（Ｎ）＝６，因此，问题转化为对任意Ｏ＜ｘ＜Ｎ，有，（ｚ）＞ｇ（ｚ）或，（ｚ）－－ｇ（ｘ）＞０．
证明
显然／（ｚ）一ｄ，９７（ｚ）＝口ｑｒｒｌｎｑ，
ｇ，，（ｚ）＝ｎｑ—Ｉｎ２ｑ＞Ｏ，于是９７（ｚ）在［ｏ，Ｎ］上严格
单调增加，由拉格朗日中值定理知，ｊｅ∈［ｏ，Ｎ］，
使ｇ‰）＝心箐趔＝守－ａ＝ｆ（ｎ
所以
ｏ＜ｚ＜ｅ时，９７（ｚ）＜９７（ｅ）＝／（ｚ）｝
Ｋｚ＜Ｎ时，９７（ｚ）＞９７（车）一／（ｚ）．
因此，当０＜ｚ＜ｅ时，
，（ｚ）－－ｇ（ｘ）一Ｉｆ（ｘ）一ｇ（ｚ）］一Ｐｆ（ｏ）一ｇ（ｏ）］一
［／（孕）－－９７（孕）］ｚ＞ｏ（ｏ＜１７ｌ＜ｚ＜车）．
当Ｋｚ＜Ｎ时，
，（ｚ）－－ｇ（ｘ）＝Ｅｌ（ｘ）一ｇ（ｚ）］一［，（Ｎ）一ｇ（Ｎ）］一
［／（啦）一９７（伽）］ｚ＞ｏ
（Ｋ孕＜ｚ＜Ｎ）．
所以，（ｚ）＞ｇ（ｚ）．
从而ｎ。一厂（竹）＞ｇ（行）＝以（竹＝１，２，…，Ｎ一１），而ａｏ＝６０，口Ｎ＝“，故∑ａ。＞∑ｂ。．
例２设厂（ｚ）以Ｔ（Ｔ＞Ｏ）为周期，且，（ｚ）∈
ＲＩｏ，丁］，求证，生巴三－ｆ２厂（ｆ）ｄｔ＝：Ｉ
ｆ－－＋∞ｚ
Ｊ。
０厂（￡）ｄｆ．
分析由于厂（ｚ）以丁为周期，因此对Ｖ口＞
０，有Ｉ，（ｚ）ｄｚ＝Ｉ厂（ｚ）ｄｘ，并且对任意，ｌ∈
ｚ＋，有ｌ，（ｚ）ｄｘ＝以Ｉ厂（ｚ）ｄｘ，如果ｚ只取
开Ｔ这样的实数，由上式有，旦巴ｚＸ＿Ｌ
Ｊ。，（￡）ｄｔ
２
ｌｉｍ｛ｆ汀，∽ｄ户队蛐ｄ．
如何将该结果推广到一般的实数ｚ上，注意
万方数据
到ｚ取任何实数时，总存在竹∈Ｚ＋，满足以Ｔ≤
ｚ＜（ｎ＋１）Ｔ，实际上这个竹就是［睾］，于是可以
将连续变量ｚ转换为离散变量雄进行讨论．
证明
对Ｖｘ＞Ｏ，将ｚ写成ｚ一行，Ｔ＋＾，
其中刀：＝［睾］，ｏ≤＾＜Ｔ，于是
三ｆ，ｃｔ，ｄｔ一｛，＿ｒ，ｃｔ，出＋三，＝＝＿。厂ｃｔ，ｄｔ
一≥胁幻ｄｔ＋÷ｃ心地．
由于ｌｆ（￡）Ｉ出≤Ｔｆ（￡）ｌ
ｄ￡，
Ｊｆ。，（￡）ｄｔＩ≤ｒ
０
－０
ｖ
０
所以有
。坚强｛Ｊｆ，（￡）ｄｔ一０・
因此ｌｉｍ土ｆ。．厂（￡）ｄ：ｌｉｍ生Ｔｄｔ因此，婪巴专Ｊ。厂（￡）＝；一巴詈。。，（￡）
厂（￡）ｄｔ一一。蛾蕞毫ｒ凡，ｄｔ＝ｊｉ
洲ｔ．
从以上两个例子可以看出，用连续变量处理离散型问题和用离散变量处理连续型问题在分析证明中所起的作用，它从一个方面展示了离散型问题与连续型问题的相互转换，这种转换还体现在思想方法上的相互渗透和互相移植，尤其是在无穷级数和无穷积分的收敛问题上，许多命题形式、证明思路都很相似．例如：（１）微分ｄｙ与差分
△口。之间；（２）阿贝尔变换∑口＾ＡＢ卜ｌ＝口。Ｂ。一
∑ＢＩＡａ。与分部积分公式Ｉｕｄｖ＝ｕｙ
ｌ：一Ｉ
ｖｄｕ
之间；（３）命题“若｛ａ。）单调，且∑ａ。收敛，则
ｌｉｍｎａ。一ｏ”与命题“若厂（ｚ）单调，且Ｉ
，（ｚ）ｄｘ
收敛，则ｌｉｍｘｆ（ｘ）＝０”之间．
例３
设｛ａ。）单调下降趋于零，且有
ｂ。＝ａ。一２口件ｌ＂４－ａｎ＋２≥０
（竹＝１，２，…），
求证级数∑咒玩收敛．
分析题目中的｛阮）实际上是｛ｎ。）的二阶差
分，即ｂｎ＝△２ａ。，因此要证∑，ｌ△２‰收敛．此命题对应的积分形式是：设，（ｚ）单调下降趋于零（当ｚ一
十∞时），且／，（ｚ）≥ｏ，求证：Ｉｚ／，（ｚ）ｄｘ收敛．
该命题用积分方法很容易证得，事实上，由
／，（ｚ）≥ｏ及，（ｚ）单调下降知／（ｚ）≤０且单调
上升，又因为，（ｚ）一０（ｚ一＂４－ｏｏ），可见
・
１３
・
２０１１年第２期（总第７５期）
ｒ＋ｏ
牡丹江师范学院学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ
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Ｔｏｔａｌ
Ｎ０．７５
ＭｕｄａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｉ／ｏ）ｄｘ一一以口），于是有∥Ｑ）一ｏｏ—＋∞）．
所以
收敛于一口。，于是根据阿贝尔变换公式有
＾
ｎ一１
∑地２ａｔ＝以（△口种１－－ｚＳａｌ）一∑（ＡａＨｌ－－＇４ａ１）
ｔ—Ｉ
ｔ一１ｎ一１
＿ｒ：￡．，∥（￡）ｄ￡＝＝ｔ厂７（￡）ｌ：——Ｊ＿：厂７（ｔ）ｄ￡
一∥７（ｚ）一ａｆ７（口）一［，（ｚ）一厂（口）］
一，（ｎ）一ａｆ’（口）（ｚ一＋ｏｏ），
＝，幽ｌ＋１一，出ｌ一∑缸＋ｌ＋（，ｌ一１）血１
ｔ二１
＝（以＋１），Ｓａ。＋ｌ一△‰＋１一（如＋１－－ａ２）一△口ｌ
４口１Ａ（砚＋∞）．
即∑ｎＡ２ａ。收敛．
Ｈ＝１
即Ｉｘｆ＂（ｚ）ｄｘ收敛．
将上面的方法移植到级数中去，就得到例３
例３是将连续型问题中的一些结论移植到离散型问题中去，同样也可以把离散型问题中的一些结论移植到连续型问题中．
的证明．
证明从△２ａ。≥Ｏ及｛ａ。）单调下降知＂４ａ。≤０且单调上升，又因为ａ。一０（靠一ｏｏ），可见∑，４ａ。
参考文献
［１３同济大学数学系，高等数学Ｉ－Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：１２８—１３３．［２］华东师大．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９１；２１６＿２２３．
［３］刘德祥，刘绍武．数学分析方法选讲［Ｍ］．哈尔滨：黑龙江教育出版社，１９９４：３８—４４
编辑：文心
实验教学用定向凝固装置的研制
丁国华，刘亲壮，刘忠良
（淮北师范大学物理与电子信息学院，安徽淮北２３５０００）
摘
要：设计一款实验教学用定向凝固装置。装置采用电阻加热，最高加热温度可达到１２００℃；采用大的
紫铜底座和循环水的冷却方式，可获得的温度梯度范围为８０～１１０Ｋ／ｃｍ；采用微型交流减速电动
机及与之配套的驱动器构成系统控制，能实现抽拉速度在８～１１０／ｚｍ／ｓ较大范围内连续调节；所
有指令均可由控制柜实现．
关键词：定向凝固装置；实验教学；材料物理
［中图分类．号］０８ｚｚ．４［文献标志码］Ａ［文章Ｍ号－］１００３—６１８０１２０１１１０２—００１４—０３
定向凝固实验能够很好地把晶体结构、扩散（固相扩散、液相扩散、固液扩散）和相图等知识有机地结合在一起。是生产某一方向性能较优材料的基本手段，是研究凝固理论和研制新材料的重要方法．这个实验将一些独立的材料科学基础实验综合在一个实验里。使学生不仅能熟悉本专业的一些测试方法，掌握必要的实验技能，而且能够使其从彼此独立的实验中总结出相关的科学规律，培养学生分析问题、解决问题的科研能力，培养学生的实践能力和自主创新能力［１。３］．本文将描述淮北师范大学物理与电子信息学院设计并组装的实验教学用定向凝固装置．
收稿日期：２０１１—０９—０２
．
１
定向凝固装置的设计与组装
定向凝固是使金属或合金由熔体中定向生长
晶体的一种工艺方法，多用于制备自生复合材料、单晶和柱状晶．与常规凝固方式不同，定向凝固通过控制一维的导热热流，使凝固界面沿逆热流方向推进，完成凝固过程．常规凝固时的固液界面前沿呈负的温度梯度，而定向凝固时的前沿则是正的温度梯度．本文以快速凝固法为设计原型，自制一台定向凝固装置．图１为定向凝固装置的装配示意图．
基金项目：安徽省高校省级科学研究项目（ＫＪ２０ｌＯｌＢｌ８８）Ｉ。含能材辩”安徽省重点实验室开放基金项目（ＫＬＥＭ２００９００３）
・１４・
万方数据
离散型问题与连续型问题的相互转换
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
徐新荣
哈尔滨商业大学基础科学学院,黑龙江,哈尔滨,150028
牡丹江师范学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF MUDANJING TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCES EDITION)2011(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_mdjsfxyxb201102006.aspx
２０１１年第２期牡丹江师范学院学报（自然科肇版）
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ＮＯ．２。２０１１
（总第７５期）ＭｕｄａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｔｏｔａｌ
Ｎｏ．７５
程组ｚｌ口ｌ＋ｚ２口２＋…＋ｚ。口。一ｂ，
（２）
其中６一（６。，ｂ。，…，ｂ。）对应的齐次线性方程组
ｚ１口１＋ｚ２Ｃｔ２＋…＋ｚ越。一０，
（３）
有无非零觥ｎ｛薹：寒ｌ
『＿１
ｏ
ｏ
ＩＸｌ＋２４＝０．，
Ｉ＆卞６＆２Ｕ’
方程组（２）有解
甘向量ｂ可由向量组口。，ａｚ’．．・，口。线性表示．骨以口ｌ，口２，…，口。为列向量的矩阵与以口１，口：，…，ａ。，ｂ为列向量的矩阵有相同的秩．即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩．Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ），其中Ａ为系数矩阵，Ｂ为增广矩阵．
对方程组（３）而言，恒有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ），所以方程组（３）恒有解．方程组（２），（３）有解时，又分为两种情况：
（ｉ）当Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）一ｒ＝，２时甘方程组（２），（３）有唯一解铮方程组（３）只有零解
筒向量组ａ１，ａ２，…，ａ。线性无关．（ｉｉ）当Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一ｒ＜ｎ时甘方程组（２），（３）有无穷多组解∞向量组ａｌ，ａ２，…，ａ。线性相关．
判断ａ。，ａ：，…，ａ。线性相关性可用齐次线性方程组的解来判断．还以例１为例，考虑以ａｔ，ａｚ，ａ。，ａ．为系数向量的齐次线性方程组
ｚｌ口１＋ｚ２口２＋ｚ３口３＋ｚ４口４＝０
参考文献
１－１３赵树螺．线性代数［Ｍ］．４版．北京：中国人民大学出版杜．２００８；１２７—１３４．
ｌＸ，一ｘ：一ｘ。一０．
２］
利用初等行变换将系数矩阵Ａ化为阶梯形矩阵，
ｒ１
ｏｏ
２］
Ａ＝ｌ。０。１０。一：Ｊ，０，一：Ｊ－Ｉ：。１１１ｏｊＬｏｏｊ
—１
—１
ｏ
ｏ
Ｒ（Ａ）＝３＜４亦即齐次线性方程组有非零解，故向量组ｎｌ，ａ２，ａ３，ａ４线性相关．
例１既可以用行列式值判断，也可以用矩阵的秩和齐次方程组有无非零解来判断．用行列式值判断必须是向量的个数与向量的维数相等，用齐次方程组有无非零解判断，实际上是对系数矩阵进行行初等变换求出其秩．由此可以看出，向量的线性相关性把前面所学的行列式、矩阵、线性方程组的解都联系到了一块，它与后面的二次型、线性变换以及欧式空间都有着很密切的联系，所以对学生来说，学好向量组的线性相关性对学好线性代数有重要作用．
［２］冯云舫．对线性方程组在《线性代数’中主线作用的探析［Ｊ］．交通部管理干部学院学报，２００９（１）：４３—４５．［３］同济大学数学教研室．线性代数［Ｍ］．北京；高等教育出版杜。１９９９：８７－９１．［４］吴传生，王卫华．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３：９０—９７．
Ｉｓ］陈喜娥，尹雪峰．学习线性代散应了解的几个问题口］．山西大学师范学院学报，１９９４（３）；３９—４０．
编辑：文心
离散型问题与连续型问题的相互转换
徐新荣
（哈尔滨商业大学基础科学学院，黑龙江哈尔滨１５００２．８）
擒要：讨论离散型问题与连续型问题的相互转换，用例题进行说明，归纳出解题方法和基本思路．关ｔ词：离散型问题Ｉ连续型问题［中围分类号］０１７１
［文献标志码］Ａ
［文章编号］１００３—６１８０（２０１１）０２—００１２—０３
数列是定义在自然数集合上的函数，称之为离散型变量，与定义在区间上的连续函数既有差异，又有联系，研究连续型变量的问题可以运用微分学和积分学等工具进行处理，所以，常将离散型问题转化为连续型问题进行研究．另一方面，离散型问题形式简单，便于推证，有许多连续型问题所
敢疆日期：２０１０－１０—１２
・
不具备的优越性，因此，许多连续型问题又需要转化为离散型问题进行研究．
离散型问题与连续型问题的转换途径有些是直接进行变数替换，例如将以或土换成ｚ，或通过
７／
Ｉｘ］研究连续型问题；有些是思想方法的相互移
１２・
万方数据
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２０１１年第２期
牡丹江师范学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｕｄａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ＮＯ．２．２０１１
（总第７５期）
ＴｏｔａｌＮＯ．７５
植，例如研究离散型问题时，可以找出在形式上与之对应的连续型问题，将解决连续型问题的思想和方法移植到离散型问题上，反之亦然．
例１设等差数列｛ａ。）与等比数列｛ｂ。｝满足：ａｏ＝６０＞０，ａ＾，＝“＞Ｏ，求证：∑ａ。＞∑ｂ。．
分析显然只需证明口。＞ｂ。
（”＝１，２，…，
Ｎ一１）．令ａｏ—ｂｏ＝ａ，ａＮ＝ｂＮ＝ｂ，于是｛ａ。｝的公
差为ｄ＝与尹，｛玩｝的公比为口一√导，从而
ａ。＝口＋ｎｄ，ｂ。＝ａｑ”
（咒一１，２，…，Ｎ）．
直接证明口。＞６。很困难，因此，把离散变量ｎ
换成连续变量ｚ，考虑函数，（ｚ）一口＋出，ｇ（ｚ）一
口旷，则由条件知厂（Ｏ）＝ｇ（ｏ）＝ａ，，（Ｎ）一ｇ（Ｎ）＝６，因此，问题转化为对任意Ｏ＜ｘ＜Ｎ，有，（ｚ）＞ｇ（ｚ）或，（ｚ）－－ｇ（ｘ）＞０．
证明
显然／（ｚ）一ｄ，９７（ｚ）＝口ｑｒｒｌｎｑ，
ｇ，，（ｚ）＝ｎｑ—Ｉｎ２ｑ＞Ｏ，于是９７（ｚ）在［ｏ，Ｎ］上严格
单调增加，由拉格朗日中值定理知，ｊｅ∈［ｏ，Ｎ］，
使ｇ‰）＝心箐趔＝守－ａ＝ｆ（ｎ
所以
ｏ＜ｚ＜ｅ时，９７（ｚ）＜９７（ｅ）＝／（ｚ）｝
Ｋｚ＜Ｎ时，９７（ｚ）＞９７（车）一／（ｚ）．
因此，当０＜ｚ＜ｅ时，
，（ｚ）－－ｇ（ｘ）一Ｉｆ（ｘ）一ｇ（ｚ）］一Ｐｆ（ｏ）一ｇ（ｏ）］一
［／（孕）－－９７（孕）］ｚ＞ｏ（ｏ＜１７ｌ＜ｚ＜车）．
当Ｋｚ＜Ｎ时，
，（ｚ）－－ｇ（ｘ）＝Ｅｌ（ｘ）一ｇ（ｚ）］一［，（Ｎ）一ｇ（Ｎ）］一
［／（啦）一９７（伽）］ｚ＞ｏ
（Ｋ孕＜ｚ＜Ｎ）．
所以，（ｚ）＞ｇ（ｚ）．
从而ｎ。一厂（竹）＞ｇ（行）＝以（竹＝１，２，…，Ｎ一１），而ａｏ＝６０，口Ｎ＝“，故∑ａ。＞∑ｂ。．
例２设厂（ｚ）以Ｔ（Ｔ＞Ｏ）为周期，且，（ｚ）∈
ＲＩｏ，丁］，求证，生巴三－ｆ２厂（ｆ）ｄｔ＝：Ｉ
ｆ－－＋∞ｚ
Ｊ。
０厂（￡）ｄｆ．
分析由于厂（ｚ）以丁为周期，因此对Ｖ口＞
０，有Ｉ，（ｚ）ｄｚ＝Ｉ厂（ｚ）ｄｘ，并且对任意，ｌ∈
ｚ＋，有ｌ，（ｚ）ｄｘ＝以Ｉ厂（ｚ）ｄｘ，如果ｚ只取
开Ｔ这样的实数，由上式有，旦巴ｚＸ＿Ｌ
Ｊ。，（￡）ｄｔ
２
ｌｉｍ｛ｆ汀，∽ｄ户队蛐ｄ．
如何将该结果推广到一般的实数ｚ上，注意
万方数据
到ｚ取任何实数时，总存在竹∈Ｚ＋，满足以Ｔ≤
ｚ＜（ｎ＋１）Ｔ，实际上这个竹就是［睾］，于是可以
将连续变量ｚ转换为离散变量雄进行讨论．
证明
对Ｖｘ＞Ｏ，将ｚ写成ｚ一行，Ｔ＋＾，
其中刀：＝［睾］，ｏ≤＾＜Ｔ，于是
三ｆ，ｃｔ，ｄｔ一｛，＿ｒ，ｃｔ，出＋三，＝＝＿。厂ｃｔ，ｄｔ
一≥胁幻ｄｔ＋÷ｃ心地．
由于ｌｆ（￡）Ｉ出≤Ｔｆ（￡）ｌ
ｄ￡，
Ｊｆ。，（￡）ｄｔＩ≤ｒ
０
－０
ｖ
０
所以有
。坚强｛Ｊｆ，（￡）ｄｔ一０・
因此ｌｉｍ土ｆ。．厂（￡）ｄ：ｌｉｍ生Ｔｄｔ因此，婪巴专Ｊ。厂（￡）＝；一巴詈。。，（￡）
厂（￡）ｄｔ一一。蛾蕞毫ｒ凡，ｄｔ＝ｊｉ
洲ｔ．
从以上两个例子可以看出，用连续变量处理离散型问题和用离散变量处理连续型问题在分析证明中所起的作用，它从一个方面展示了离散型问题与连续型问题的相互转换，这种转换还体现在思想方法上的相互渗透和互相移植，尤其是在无穷级数和无穷积分的收敛问题上，许多命题形式、证明思路都很相似．例如：（１）微分ｄｙ与差分
△口。之间；（２）阿贝尔变换∑口＾ＡＢ卜ｌ＝口。Ｂ。一
∑ＢＩＡａ。与分部积分公式Ｉｕｄｖ＝ｕｙ
ｌ：一Ｉ
ｖｄｕ
之间；（３）命题“若｛ａ。）单调，且∑ａ。收敛，则
ｌｉｍｎａ。一ｏ”与命题“若厂（ｚ）单调，且Ｉ
，（ｚ）ｄｘ
收敛，则ｌｉｍｘｆ（ｘ）＝０”之间．
例３
设｛ａ。）单调下降趋于零，且有
ｂ。＝ａ。一２口件ｌ＂４－ａｎ＋２≥０
（竹＝１，２，…），
求证级数∑咒玩收敛．
分析题目中的｛阮）实际上是｛ｎ。）的二阶差
分，即ｂｎ＝△２ａ。，因此要证∑，ｌ△２‰收敛．此命题对应的积分形式是：设，（ｚ）单调下降趋于零（当ｚ一
十∞时），且／，（ｚ）≥ｏ，求证：Ｉｚ／，（ｚ）ｄｘ收敛．
该命题用积分方法很容易证得，事实上，由
／，（ｚ）≥ｏ及，（ｚ）单调下降知／（ｚ）≤０且单调
上升，又因为，（ｚ）一０（ｚ一＂４－ｏｏ），可见
・
１３
・
２０１１年第２期（总第７５期）
ｒ＋ｏ
牡丹江师范学院学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
ＮＯ．２。２０１ｌ
Ｔｏｔａｌ
Ｎ０．７５
ＭｕｄａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｉ／ｏ）ｄｘ一一以口），于是有∥Ｑ）一ｏｏ—＋∞）．
所以
收敛于一口。，于是根据阿贝尔变换公式有
＾
ｎ一１
∑地２ａｔ＝以（△口种１－－ｚＳａｌ）一∑（ＡａＨｌ－－＇４ａ１）
ｔ—Ｉ
ｔ一１ｎ一１
＿ｒ：￡．，∥（￡）ｄ￡＝＝ｔ厂７（￡）ｌ：——Ｊ＿：厂７（ｔ）ｄ￡
一∥７（ｚ）一ａｆ７（口）一［，（ｚ）一厂（口）］
一，（ｎ）一ａｆ’（口）（ｚ一＋ｏｏ），
＝，幽ｌ＋１一，出ｌ一∑缸＋ｌ＋（，ｌ一１）血１
ｔ二１
＝（以＋１），Ｓａ。＋ｌ一△‰＋１一（如＋１－－ａ２）一△口ｌ
４口１Ａ（砚＋∞）．
即∑ｎＡ２ａ。收敛．
Ｈ＝１
即Ｉｘｆ＂（ｚ）ｄｘ收敛．
将上面的方法移植到级数中去，就得到例３
例３是将连续型问题中的一些结论移植到离散型问题中去，同样也可以把离散型问题中的一些结论移植到连续型问题中．
的证明．
证明从△２ａ。≥Ｏ及｛ａ。）单调下降知＂４ａ。≤０且单调上升，又因为ａ。一０（靠一ｏｏ），可见∑，４ａ。
参考文献
［１３同济大学数学系，高等数学Ｉ－Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：１２８—１３３．［２］华东师大．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９１；２１６＿２２３．
［３］刘德祥，刘绍武．数学分析方法选讲［Ｍ］．哈尔滨：黑龙江教育出版社，１９９４：３８—４４
编辑：文心
实验教学用定向凝固装置的研制
丁国华，刘亲壮，刘忠良
（淮北师范大学物理与电子信息学院，安徽淮北２３５０００）
摘
要：设计一款实验教学用定向凝固装置。装置采用电阻加热，最高加热温度可达到１２００℃；采用大的
紫铜底座和循环水的冷却方式，可获得的温度梯度范围为８０～１１０Ｋ／ｃｍ；采用微型交流减速电动
机及与之配套的驱动器构成系统控制，能实现抽拉速度在８～１１０／ｚｍ／ｓ较大范围内连续调节；所
有指令均可由控制柜实现．
关键词：定向凝固装置；实验教学；材料物理
［中图分类．号］０８ｚｚ．４［文献标志码］Ａ［文章Ｍ号－］１００３—６１８０１２０１１１０２—００１４—０３
定向凝固实验能够很好地把晶体结构、扩散（固相扩散、液相扩散、固液扩散）和相图等知识有机地结合在一起。是生产某一方向性能较优材料的基本手段，是研究凝固理论和研制新材料的重要方法．这个实验将一些独立的材料科学基础实验综合在一个实验里。使学生不仅能熟悉本专业的一些测试方法，掌握必要的实验技能，而且能够使其从彼此独立的实验中总结出相关的科学规律，培养学生分析问题、解决问题的科研能力，培养学生的实践能力和自主创新能力［１。３］．本文将描述淮北师范大学物理与电子信息学院设计并组装的实验教学用定向凝固装置．
收稿日期：２０１１—０９—０２
．
１
定向凝固装置的设计与组装
定向凝固是使金属或合金由熔体中定向生长
晶体的一种工艺方法，多用于制备自生复合材料、单晶和柱状晶．与常规凝固方式不同，定向凝固通过控制一维的导热热流，使凝固界面沿逆热流方向推进，完成凝固过程．常规凝固时的固液界面前沿呈负的温度梯度，而定向凝固时的前沿则是正的温度梯度．本文以快速凝固法为设计原型，自制一台定向凝固装置．图１为定向凝固装置的装配示意图．
基金项目：安徽省高校省级科学研究项目（ＫＪ２０ｌＯｌＢｌ８８）Ｉ。含能材辩”安徽省重点实验室开放基金项目（ＫＬＥＭ２００９００３）
・１４・
万方数据
离散型问题与连续型问题的相互转换
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
徐新荣
哈尔滨商业大学基础科学学院,黑龙江,哈尔滨,150028
牡丹江师范学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF MUDANJING TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCES EDITION)2011(2)
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