第一章数字逻辑基础
教学基本要求：
掌握常用的数制二进制、十进制、十六进制的相互转换；
掌握二进制数的原码、反码及补码的表示方法；
掌握常用的编码及它们与二进制数间的相互转换；
掌握逻辑代数的基本定律与规则；
掌握逻辑函数的表示方法及各种表示方法之间的相互转换；
掌握代数法和卡诺图法化简逻辑函数。
重点：
常用的数制与编码；
逻辑代数基础；
逻辑命题的描述。
电子电路的信号主要有两类：
一类是在时间上和幅值上都连续的信号称为模拟信号，处理模拟信号的电路称为模拟电路。正弦信号是典型的模拟信号，如图1-1所示。
另 一类是时间上和幅值上都离散的信号称为数字信号，处理数字信号的电路称为数字电路。脉冲信号是典型的数字信号，如图1-22所示。
数字电路的特点：
∙
工作信号是不连续的数字信号，所以电路中的半导体器件工作在开关状态，即稳定于饱和区或截止区，放大区只是其过度状态；
∙
数字电路既是开关电路又是逻辑电路，主要研究电路输入和输出间的逻辑关系。分析工具和方法与模拟电路完全不同，具有独立的基础理论；
∙
逻辑代数是分析逻辑电路的数学工具。
学习指导：
在本知识点学习中由最熟悉的十进制数入手，寻找各种计数体制的规律，特别要注意理解权的概念，熟练掌握任意进制数按权展开式。
在数字系统中采用二进制。因为二进制数的基数为2，只有0和1两个数码，其不仅运算简单，电路实现也容易，还可以利用逻辑代数；但表示同一数值的数比十进制需更多的位数，因此数字系统中又常用八进制和十六进制数。十、二、八、十六进制数的后缀分别为D 、B 、Q 、H 。对十进制数常可省略下标或后缀。 十进制数特点：
1. 有一个确定的基数10，且逢10进一；
2. 有10个有序的数字符号有0--9和一个小数点，数码K i 从0～9； 3. 每一个数位均有固定的含意称权10i ，不同数位其权10i 不同； 4. 任意一个十进位制数均可写成按权展开式： (N)10 = (Kn-1 Kn-2„K1 K0 .K -1„K-m ) 10
= Kn-1 10n-1+Kn-210n-2+„+K1101+K0100+K-110-1+„+K-m 10-m 例：
二进制特点:
二进制是以2为基数的计数体制，它仅采用2个数码0和1，并且“逢二进一”，即1+1=10；
i
∙ 不同数位上的权值不同，其相应的权为2； ∙ 任意一个二进位制数均可写成按权展开式。
∙
例： 进制特点:
八进制是以8为基数的计数体制，它仅采用8个数码0--7，并且“逢八进一”，即7+1=10；
i
∙ 不同数位上的权值不同，其相应的权为8； ∙ 任意一个八进位制数均可写成按权展开式。
∙
例：
十六进制特点:
十六进制是以16为基数的计数体制，它采用0--9、A 、B 、C 、D 、E 、F16个数码，并且“逢十六进一”，即F+1=10；
i
∙ 不同数位上的权值不同，其相应的权为16 ； ∙ 任意一个十六进位制数均可写成按权展开式。
∙
例：
表1-1 几种常用数制对照表
思考与总结：
观察常用数制对照表，找出规律
由表1-1可看出：一位八进制数可用三位二进制表示，而一位十六进制数可用四位二进制数表示。
各种进位制数的按权展开式：
(N)R = (Kn-1 Kn-2„K1 K0 .K -1„K-m ) R
= Kn-1 Rn-1+Kn-2R n-2+„+K1R 1+K0R 0+K-1R -1+„+K-m R -m =
R 为相应进制数的基数，用不同基数代入即得相应进制的表达式。
数制间的转换
学习指导：
在本知识点主要学习各种数制表示形式之间的转换方法，最基本的是十进制与二进制之间的转变，八进制和十六进制可以借助二进制来实现相应的转换；转换时要特别注意要分整数部分和小数部分分别进行转换。
同一个数可采用不同的计数体制来表示，各种数制表示的数一定可以相互转换。
数制转换:一个数从一种进位制表示形式转换成等值的另一种进位制表示形式，其实质为权值转换。
相互转换的原则：转换前后两个有理数的整数部分和小数部分必定分别相等。
一、十进制与非十进制数间的转换
对整数和小数转换方法不同，因此必须分别进行转换，然后再将两部分转换结果合并得完整的目标数制形式。
1、十进制至二进制转换
整数部分的转换
除基取余法： 用目标数制的基数（R=2）去除十进制数，第一次相除所得余数为目标数的最低位K0，将所得商再除以该基数，所得的余数为目标数的次低位K1，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目标数的最高位Kn-1。
小数部分的转换
乘基取整法：用该小数乘以目标数制的基数（R=2，第一次相乘结果的整数部分为目标数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数所得的结果的整数则为目标数的次高位K-2，反复执行上述过程，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。
例1：
（81.65）10 = （ ？ ）2 要求精度为小数五位。
1. 整数部分的转换
故有（81）10 =（1010001）2
2. 小数部分的转换
故有 (0.65)10 = (0.10100)2
由此综合两例结果得 (81.65)10 = (1010001.10100)2
同理: 可采用同样的方法将十进制数转成八进制、十六进制数，但由于八进制和十六进制的基数较大，做乘除法不是很方便，因此需要将十进制转成八进制、十六进制数时，通常是将其先转成二进制，然后在将二进制转成八进制、十六进制数。
2、二、八、十六进制至十进制转换
转换方法：将相应进制的数按权展成多项式，按十进制求和。
(N)R = (Kn-1 Kn-2…K1 K0 .K-1…K-m)R
= Kn-1 Rn-1+Kn-2Rn-2+…+K1R1+K0R0+K-1R-1+…+K-mR-m =
R 为相应进制数的基数，用不同基数代入即得相应进制的表达式。 例2:
(1101.1)2 = 1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1 =8+4+1+0.5=13.5 (F8C.B)16 = F×162+8×161+C×160+B×16-1=3980.6875
二、非十进制数间的转换
二进制数与八进制数间的转换
由于八进制的基数R = 8 = 23，必须用三位二进制数来构成一位八进制数码，因此采用分组对应转换法。
转换方法：将二进制数转换成八进制数时，首先从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目标数。反之，则可将八进制数转换成二进制数。 例3：
11010111.0100111 B = ? Q
得 11010111.0100111 B = 327.234 Q
二进制数和十六进制数间的转换
转换方法：与上述相仿，由于十六进制基数R = 16 = 24，故必须用四位二进制数构成一位十六进制数码（见表1-1），同样采用分组对应转换法，所不同的是此时每四位为一组，不足四位同样用“0”补足。
例4：
111011.10101 B = ? H
故有111011.10101 B = 3B.A8 H
学习指导：
本知识点主要学习数字系统中带符号数的三种表示方法--原码、反码及补码。正数的原码、反码及补码表示形式相同，负数的原码、反码及补码表示形式不同，注意按规则进行变换。
基本概念：
真值（原值）：由数符（+/-）和尾数（数值的绝对值）两部分构成。表示的是数的真实值的大小。
机器数：机器中数的表示形式，数的符号（+/-）也数码化的数，即用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。 机器数有字长限制，符号位通常是数的最高位。而尾数部分可采用不同的表示方法--原码、反码、补码。 若有两个带符号数，X 1 = +1101101（真值），X 2 = -1101101（真值），它们的字长为一字节（即8位二进制数），则在机器中表示如下：
∙
原码[X]原
原码表示法又称符号－数值表示法，“0”表示正号；用“1”表示负号，而尾数部分与真值相同。如
X 1 = +4 = +0000100 B [X1]原 = 0 0000100 符号位 尾数 X 2 = -4 = -0000100 B [X2]原 = 1 0000100 符号位 尾数
∙
反码[X]反
原码的缺点：进行运算时必须根据两数的符号及数值大小来决定运算结果的符号，这就增加了机器的复杂性和运算时间。简化加减运算引入了反码和补码两种表示方法。
正数的反码与原码相同，[X]反 = [X]原。 负数的反码：符号位不变，尾数部分按位取反。 例如：正数：X 1 = +4 [X1]反 = [X]原 = 00000100 负数：X 2 = -4 [X2]反 = 11111011
∙
补码[X]补
正数的补码与原码相同，[X]补= [X]原 = [X]反
负数的补码：符号位不变，其尾数为真值数值部分按位取反，且在最低位加1，[X]补= [X]反+1。
如 X1 = +4 [X1]补= [X1]反 = [X1]原 = 00000100
X2 = -4 [X2]补= [X2]反+ 1 = 11111011 + 1 = 11111100
注意：
原码、反码、补码具有一定的表示数值范围。
如n = 8，原码表示范围01111111～11111111，它表示的数值范围为+127～-127。反码表示范围01111111～10000000，即表示的数值范围为+127～-127。
补码表示范围01111111～10000000，即表示的数值范围为+127～-128。 学习指导：
数字系统中只能识别二进制代码，因此对于十进制数、字母、符号必须用相应的二进制代码表示。有不同的编码规则，用相应的二进制代码表示十进制数、字母、符号。掌握常用的二-十进制编码--8421BCD 码、余3码。常用的二进制代码--自然二进制码和格雷码。
∙
基本概念：
为了表示文字符号信息而采用的一定位数的二进制码称为代码； 建立这种代码与十进制数、字母、符号的一一对应关系称为编码； 二进制码每位的值称为权或位权；
用四位二进制代码对十进制数的各个数码进行编码称为二-十进制BCD 编码(Binery Coded Decimal Codes）简称BCD 码。
∙
自然二进制码
自然二进制码是按自然数顺序排列的二进制码，表1-2给出了四位自然二进制码，各位的权值依次为23、22、21、20，其表示的十进制数从0～15。
∙
格雷码
任意两组相邻码之间只有一位不同的无权码。注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码。 表1-2 自然二进制码和格雷码
∙
8421BCD 码
用四位自然二进制码的16个组合中的前10种，表示十进制数0～9，由高到低各位权分别为23、22、21、20即8、4、2、1，故而得名8421码。是一种有权码。
∙
余3码
用四位二进制码中的十组代码为0011～1100来表示十进制中0-9十个数。同一个十进制数所对应的余3码等于所对应的8421码加上3（0011）。是一种无权码。表1-3给出常用的两种BCD 码与所表示的十进制数的对应关系。 表1-3 余3码
∙
逻辑代数
逻辑代数又称开关代数或布尔代数，它是按一定逻辑规律进行运算的代数，是分析和设计逻辑电路的基本工具和理论基础。
逻辑代数与普通代数的相同之处都是用字母来表示变量和函数。 逻辑代数与普通代数的区别：变量和函数的取值不同。
∙
逻辑变量和逻辑函数
逻辑变量——逻辑代数中的变量
它有两种取值，即逻辑0、逻辑1，“0”和“1”称为逻辑常量。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态，如表示事件的真、假；信息的有、无；开关的通、断；电平的高、低；管子的导通、截止... 。 逻辑函数——用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A 、B 、C 、... 连接起来，所得的表达式F = f（A 、B 、C 、... ）称为逻辑函数，如F （A 、B ）= A+B、A （A 、B 、C ）= A+
等。
通常A 、B 、C 、... 称输入变量，F 称输出变量，因此当前者取值确定后，输出函数值也唯一地被确定了。
逻辑变量和逻辑函数的取值，即逻辑0、逻辑1，“0”和“1”称为逻辑常量。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。
∙
基本逻辑运算
图1-2 表1-4
表1-5与逻辑真值表
逻辑代数有与、或、非三种最基本的运算，它们可以由相应的逻辑电路实现。 1. 与逻辑（逻辑乘）
只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生，这种因果关系称为与逻辑。
在图1-2所示的电路中，只有当开关A 与B 都闭合时灯F 才亮，否则灯就不亮。其关系表如表1-4。假设以“1”表示开关闭合后灯亮，以“0”表示开关断开或灯灭，则可得表1-5，这种用逻辑变量的可能出现的取值组合判断相应结果的表格称为真值表。
逻辑变量间的与逻辑运算又称逻辑乘，可用逻辑表达式表示
式中“×”、“.”为与逻辑运算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示与运算。
与运算可用与门实现，图1-3（a ）和（b ）分别表示与门的逻辑符号（方框中的“&”为与门定性符）和二极管与门电路。分析图1-3（b ）可知：只要输入A 、B 中有一个或一个以上为低电平0V ，则输出F 就为低电平0V ；只有两个输入全部为高电平3V ，则输出F 才为高电平3V （假设二极管为理想开关）。且当低电平0V 用逻辑0表示，高电平3V 用逻辑1表示时，该电路具有与逻辑功能。 若与门有N 个输入端时，则F = A 0·A1·A2...A n 。 2. 或逻辑（逻辑加）
只要当决定某一事件的条件中有一个或一个以上具备，这一事件就能发生，这种因果关系称为或逻辑。
表1-6 或逻辑真值表
逻辑变量间的或运算又称逻辑加，可用逻辑表达式表示 F = A + B
式中“+”为或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示或运算。 若或门有N 个输入端时，则F = A 0 + A 1 + A 2 + ...+ A n 。 3. 非逻辑（逻辑非）
当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生，这种因果关系称为非逻辑。
表1-7 非逻辑真值表
图1-5 非门的逻辑符号
逻辑变量间的非运算又称逻辑非或逻辑反，其逻辑表达式写作
式中“-”是非运算符，若A 称为原变量，则
非”。
为其反变量，读作“A
复合逻辑运算
1. 与非、或非、与或非运算
图1- 6 为实现与非、或非、与或非运算复合门的逻辑符号，它们实现的运算为：
图1-6 图（a ）是由与门和非门组成的与非门，输出图（b ）是由或门和非门组成的或非门，输出
；
。
；
图（c ）是由与、或、非三种门组成的与或非 门，输出2. 异或和同或运算 （1）异或运算
异或运算的定义：当参与运算的两变量A 、B 相同时，输出F 为0；当参与运算的两变量A 、B 不同时，则其输出F 为1。 表1-8 异或运算真值表
式中“⊕”为异或运算符，也可称其模2加。
1.
同或运算
同或运算又称异或非运算:
正逻辑与负逻辑
对于一个电路而言，其输入、输出的电位关系是确定的，但赋予它什么逻辑值却是人为的，通常有两种赋值方法：
1. 2.
正逻辑：高电平V H 用逻辑1表示，低电平V L 用逻辑0表示。 负逻辑：高电平V H 用逻辑0表示，低电平V L 用逻辑1表示。
表1-9（a) 电平关系表
表1-9（b) 正逻辑
表1-9（c) 负逻辑
对表1-9（a) 给出电路的电平关系表，如用正逻辑体制来描述得到的真值表如表1-9（b) ，从真值表可看出电路实现的是与逻辑功能，是一个与门电路。如用负逻辑体制来描述得到的真值表如表1-9（c) ，从真值表可看出电路实现的是或逻辑功能，是一个或门电路。
由此可看出：同一个电路，采用不同的逻辑体制进行描述得到的逻辑功能是不同的。
由此得出正、负逻辑间关系：正与 = 负或 正与非 = 负或非
正或 = 负与 正或非 = 负与非 注：如不加特殊说明一律采用正逻辑体制来描述电路。
学习指导：
本知识点的学习，掌握用真值表、逻辑表达式、逻辑图和波形图来描述逻辑命题，注意各种表达方式之间的转换。
真值表
将输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格，一个确定的逻辑函数的真值表是唯一的。
逻辑函数式
用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A 、B 、C 、... 连接起来，所得的表达式F = f （A 、B 、C 、... ）称为逻辑函数式，如F （A 、B ）= A+B、F(A、B 、C ）= A+
等。
通常A 、B 、C 、... 称输入变量，F 称输出变量。
取值：逻辑函数和逻辑变量的取值只有两种逻辑0和逻辑1，它们表示两种相互对立的状态，并不表示数值的大小。
逻辑图
用逻辑符号来表示函数式的运算关系称为函数的逻辑图。
波形图
反映输入和输出波形变化的图形称为波形图，又叫时序图。
逻辑命题的描
述
通常给定逻辑命题，最直接的是首先列出函数的真值表，然后写出函数的表达式，最后根据表达式画出逻辑图和波形图。
例：图1-9给定的控制电路，开关A 、B 、C 是输入变量，灯F 是输出变量。当开关C 断开时，灯F 灭；当开关C 闭合、开关A 、B 全断开时，灯F 灭；当开关C 闭合、开关A 、B 有一个闭合时，灯F 亮。如开关闭合、灯亮用逻辑“1”表示，而开关断开、灯灭用逻辑“0”表示，
解：1. 列出该控制电路的真值表
2. 写出逻辑函数式
由真值表可写出逻辑函数式。具体方法如下：
1）挑出使函数值为1的输入变量组合。由真值表看出，使函数值为1的输入变量组合有三种：011、101、111。
2）将每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项，若输入变量取值为1，乘积项中的因子用原变量表示; 反之，则用反变量表示。由此可写出三个乘积项：（101）、（111）
3）然后将这些乘积项作逻辑加，就得到逻辑函数式。 由此可得该控制电路的逻辑表达式为：
（011）、
同一个逻辑函数可以有多种不同的函数式形式，它们之间不是唯一的。
3. 逻辑图
将逻辑表达式中的与项用与门代替，或项用或门代替，即可画出与上述函数形式对应的逻辑图如图1-10。
4. 波形图
学习指导：
本知识点的学习，主要学习逻辑代数中常用的基本定律和规则，学习中注意记忆与普通代数不同的规律。
基本定律
常用公式
基本运算规则
1. 代入规则
任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。 运用代入规则可以扩大基本公式的应用范围。例如中的B ，则得
由此例可知利用代入规则，反演律能推广到n 个变量，即
若用BC 替代等式
2. 反演规则
对于任意一个逻辑函数式F ，做如下处理
1）若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”; 2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；
3）原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么得到的新函数式称为原函数式F 的反函数式
运用反演规则时注意两点：
① 必须保持原函数的运算次序，适当地加入括号。先与后或。
② 不属于单个变量上的非号有两种处理方法：一种是该非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换；另一种是引入代入规则，将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。例如
F(A、B 、C)
其反函数为3. 对偶规则
或
对偶式：对于任意一个逻辑函数F ，做如下处理
1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；
2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所得的新函数式为原函数式F 的对偶式F′，也称对偶函数。
求对偶函数时同样需注意保持原式中的运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的，因此一般情况下不等于 F′。例如
其对偶式
对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若 F1 = F 2 则F 1′= F2′。使公式的数目增加一倍。
逻辑函数可有多种不同类型的表示形式，其对应的逻辑图不同，实现的逻辑器件也不同。
函数表达式的常用形式
一个逻辑函数可以写成几种不同类型的形式，而同一种类型的表达式又可以有几种形式。例如：
F(A、B 、C)
①“与―或”式
②“或―与”式
③“与非―与非”式
④“或非―或非”式
⑤“与―或―非”式
上述①式为“与-或”表达式，也称“积之和”表达式；而②式为“或-与”表达式也称“和之积”表达式，两者为逻辑函数的基本形式，它们便于与其它形式进行转换，且易于在卡诺图上表示，逻辑代数的公式均以基本形式出现。 不同形式的逻辑函数表达式是可以相互转换的。如欲将与-或表达试转换成与非-与非表达式，这时只要利用还原律对式两次取反，再利用反演律变换即可。
学习指导：
本知识点学习逻辑函数的两种标准形式--最小项表达式和最大项表达式，要求掌握最小项表达式。
最小项表达式
最小项：在一个有n 个变量的逻辑函数中，包括全部n 个变量的
1.
乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）称为最小项、全积项或标准乘积项。
n 个变量有2n 个最小项，当n = 3时，应有23= 8个最小项。表1-10列出了三
变量的全部最小项。
最小项可记作m i ，i = 0～（2n -1），各输入变量取值看成二进制数，其对应的十进制数作为最小项编号i 。
2. 最小项性质:
（1）任意一组变量取值，只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。
（2）同一组变量取值，任意两个不同最小项的乘积为0。
（3）全部最小项之和为1，即
3. 最小项表达式：如果函数的积之和（与或）表达式中的每一个乘积项均为最小项，则这种表达式称为最小项表达式，也称标准积之和表达式。例如 F(A、B 、C 、D) 便上式可写成 F(A、B 、C 、D)
例3：求函数F(A、B 、C 、D) 解：
例4： 已知函数的真值表为表1-11，写出该函数的标准积之和表达式。 解：
的标准积之和表达式。
其中各积项均是最小项，为简
表1-11 真值表
最大项表达式
最大项及其性质
1.
最大项:在一个有n 个变量的逻辑函数中，包括全部n 个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量形式出现一次）称为最大项、全和项或标准和项。对n 个变量而言，可有2n 个最大项。最大项可记作M i ，i = 0 ～（2n -1）。最大项性质：
（1） 任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1。 （2） 同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1
（3）全部最大项之积为0，即
2. 最小项和最大项间关系
（1）相同编号的最小项和最大项存在互补关系，即
（2）由若干个最小项之和表示的表达式F ，其反函数可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。如
3. 最大项表达式：如果函数的或与表达式中的每一个或项均为最大项，则这种表达式称为最大项表达式，也称标准和之积表达式。
学习指导：
本知识点学习用代数法化简逻辑函数的方法，掌握实现最简与或表达式所需的条件。
最简式的标准：
1）首先是式中乘积项最少，这意味着用于实现电路的与门少，且下级或门输入端个数少；
2）乘积项中含的变量少，这意味着所用与门的输入端个数少。 ∙ 代数法化简的常用方法：
∙
1. 并项：利用，将两项并为一项，且消去一个变量。
2. 消项：利用A + AB = A消去多余的项。 3. 消元：利用
消去多余变量。
4. 配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项。
例2：试简化函数
解：
（配项加AB ） （消因律）
（消项AB ）
学习指导：
本知识点学习用图形法化简逻辑函数的方法，掌握实现最简与或表达式所需的条件。 卡诺图(简称K 图)
k图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项，故k 图又称真值图。具有几何相邻性即指相邻最小项所含的变量中只有一个变量互为补。 图1-11（a ）、（b ）、（c ）分别表示二、三、四变量的k 图。 表1-12
图1-11 二、三、四变量的k 图（a) 二变量的k 图 (b)三变量的k 图 (c）四变量的k 图 K 图的特点：
1. k图为方形图。含n 个变量的函数，其k 图内必含有2n 个小方格，分别对应2n 个最小项；
2. k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，以保证几何位置上相邻的小方格其对应的最小项为逻辑相邻项；
3. 有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻。如图1-11（c ）中，m 5和 m7、m 1和m 9属前两种相邻。 用卡诺图化简函数规则
利用K 图的几何相邻性，将相邻的最小项合并，可以消去某些变量从而简化函数。在图1-12中：
（a ）为无相邻格的单个最小项，结果为最小项
（b ）和（c ）为两个相邻格圈在一起，结果为和，消去一个变量；
（d ）～（g ）均为四个相邻格圈在一起，结果为需用两个变量，消去了两个变量„，依此类推分别得图（h ）、（i ）。图（j ）是根据最小项性质，合并结果应为1。
合并相邻格的规律：含n 个变量的函数的k 图中，几何相邻的2i （i = 1、2、3„n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i 个变量，而用含（n - i ）个变量的积项标注该圈。
用卡诺图简化函数步骤：
1）先将函数填入相应的卡诺图中；
2）合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，且每个圈内必须有新的最小项； 3）每个圈均用其对应的积项表示；
4）最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式。 （1）根据函数填写卡诺图
①若已知函数为最小项表达式，则只需将函数中包含的那些最小项对应的格填1，其余格均填0；
②若已知函数的真值表，则只需将其真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0；
③若已知函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。 凡是缺一个变量的积项必定是在以该积项为公因子的两个相邻格填1，缺两个变量的积项，应在四相邻格填1„。函数中的每一个积项都应填入图中，有时某些格被多次填写，但根据逻辑加运算其结果还为1。如四变量函数F(A、B 、C 、D)
的卡诺图如图1-13。图中其中m 14被两次填入1。
（2）填完卡诺图后作圈的步骤
1. 首先将所有孤立的单格和只有一个合并方向的格群圈起来；
2. 余下的格均有多种合并方向，应用试探法合理作圈，必要时有的格允许被多个圈重复圈入, 但应特别注意每个圈中必须有新的 最小项, 即没有被其它圈包围的圈；
3. 图中含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项，且每个圈中至少有一格只被圈过一次；
4. 有时最简的结果不唯一。
例5：用卡诺图化简函数 F(A、B 、C 、D) 解：
第一步, 填函数的卡诺图
由于给出的是函数的最小项表达式, 因而可直接将表达式中存在的最小项所对应的方格内填"1", 不存在的最小项对应的方格内填"0", 得到逻辑函数卡诺图。 第二步，画包围圈
第三步 写最简的与或表达式
图1-14 卡诺图
由本例知：有时不一定先作最大的圈，如图中左下角四个格，因为它是冗余圈，应先作必要的圈，如图中①、②、③、④次序供参考。 例6：将F(A、B 、C 、D) 解：
第一步 填函数的卡诺图
由于给出的是函数的与或表达式, 因而可将与或表达式中每一项分别填入卡诺图。凡是缺一个变量的积项必定是在以该积项为公因子的两个相邻格填1，缺两个变量的积项，应在四相邻格填1„。函数中的每一个积项都应填入图中，有时某些格被多次填写，但根据逻辑加运算其结果还为1。由此得到函数的卡诺图。
化为最简与非-与非表达式
图1-15 卡诺图 第二步 画包围圈
画圈时，应注意是每个包围圈尽可能大，且圈的个数尽可能小，每个方格可以被重复包围，但每个圈中必须有新的方格，即没有被其它圈所包围过。 第三步 写最简的与或表达式：
对F 两次取反，且用反演律变换即得：
当函数的卡诺图中0的个数远少于1的个数时，有时采用合并0格的方法化简比合并1格来得简单。此外，如需将函数化成最简与-或-非式时，采用合并0格方式最为适宜，因为合并后的结果为的与或式，再求反正好是F 的与-或-非式了。读者可自行选题练习。
例7：将F(A、B 、C 、D)
解：
根据函数作卡诺图如图1-16。此题介绍两种简化方法： 第一种方法：仍以“1”作圈得； 化简为最简与或式。
第二种方法：以“0”作圈可得的最简与或表达式
，对取反 则
。
图1-16 卡诺图
含有无关项的函数的化简
所谓的无关项对于变量的某些取值组合，所对应的函数值是不定。通常约束项和任意项在逻辑函数中统称为无关项。
具有无关项的函数化简时，在填函数的卡诺图时只需在无关项对应的格内填任意符号“Φ”、“d”或“×”，根据作圈的需要这些格可 视为“1”也可视为“0”，从而达到简化目的。
例8：已知函数
解：
此式也可以写成
将上式填入卡诺图如图1-17。
若不考虑约束条件则最简与或式为
当考虑约束条件则最简与或式为
图1-17 卡诺图
求其最简与或式
第一章数字逻辑基础
教学基本要求：
掌握常用的数制二进制、十进制、十六进制的相互转换；
掌握二进制数的原码、反码及补码的表示方法；
掌握常用的编码及它们与二进制数间的相互转换；
掌握逻辑代数的基本定律与规则；
掌握逻辑函数的表示方法及各种表示方法之间的相互转换；
掌握代数法和卡诺图法化简逻辑函数。
重点：
常用的数制与编码；
逻辑代数基础；
逻辑命题的描述。
电子电路的信号主要有两类：
一类是在时间上和幅值上都连续的信号称为模拟信号，处理模拟信号的电路称为模拟电路。正弦信号是典型的模拟信号，如图1-1所示。
另 一类是时间上和幅值上都离散的信号称为数字信号，处理数字信号的电路称为数字电路。脉冲信号是典型的数字信号，如图1-22所示。
数字电路的特点：
∙
工作信号是不连续的数字信号，所以电路中的半导体器件工作在开关状态，即稳定于饱和区或截止区，放大区只是其过度状态；
∙
数字电路既是开关电路又是逻辑电路，主要研究电路输入和输出间的逻辑关系。分析工具和方法与模拟电路完全不同，具有独立的基础理论；
∙
逻辑代数是分析逻辑电路的数学工具。
学习指导：
在本知识点学习中由最熟悉的十进制数入手，寻找各种计数体制的规律，特别要注意理解权的概念，熟练掌握任意进制数按权展开式。
在数字系统中采用二进制。因为二进制数的基数为2，只有0和1两个数码，其不仅运算简单，电路实现也容易，还可以利用逻辑代数；但表示同一数值的数比十进制需更多的位数，因此数字系统中又常用八进制和十六进制数。十、二、八、十六进制数的后缀分别为D 、B 、Q 、H 。对十进制数常可省略下标或后缀。 十进制数特点：
1. 有一个确定的基数10，且逢10进一；
2. 有10个有序的数字符号有0--9和一个小数点，数码K i 从0～9； 3. 每一个数位均有固定的含意称权10i ，不同数位其权10i 不同； 4. 任意一个十进位制数均可写成按权展开式： (N)10 = (Kn-1 Kn-2„K1 K0 .K -1„K-m ) 10
= Kn-1 10n-1+Kn-210n-2+„+K1101+K0100+K-110-1+„+K-m 10-m 例：
二进制特点:
二进制是以2为基数的计数体制，它仅采用2个数码0和1，并且“逢二进一”，即1+1=10；
i
∙ 不同数位上的权值不同，其相应的权为2； ∙ 任意一个二进位制数均可写成按权展开式。
∙
例： 进制特点:
八进制是以8为基数的计数体制，它仅采用8个数码0--7，并且“逢八进一”，即7+1=10；
i
∙ 不同数位上的权值不同，其相应的权为8； ∙ 任意一个八进位制数均可写成按权展开式。
∙
例：
十六进制特点:
十六进制是以16为基数的计数体制，它采用0--9、A 、B 、C 、D 、E 、F16个数码，并且“逢十六进一”，即F+1=10；
i
∙ 不同数位上的权值不同，其相应的权为16 ； ∙ 任意一个十六进位制数均可写成按权展开式。
∙
例：
表1-1 几种常用数制对照表
思考与总结：
观察常用数制对照表，找出规律
由表1-1可看出：一位八进制数可用三位二进制表示，而一位十六进制数可用四位二进制数表示。
各种进位制数的按权展开式：
(N)R = (Kn-1 Kn-2„K1 K0 .K -1„K-m ) R
= Kn-1 Rn-1+Kn-2R n-2+„+K1R 1+K0R 0+K-1R -1+„+K-m R -m =
R 为相应进制数的基数，用不同基数代入即得相应进制的表达式。
数制间的转换
学习指导：
在本知识点主要学习各种数制表示形式之间的转换方法，最基本的是十进制与二进制之间的转变，八进制和十六进制可以借助二进制来实现相应的转换；转换时要特别注意要分整数部分和小数部分分别进行转换。
同一个数可采用不同的计数体制来表示，各种数制表示的数一定可以相互转换。
数制转换:一个数从一种进位制表示形式转换成等值的另一种进位制表示形式，其实质为权值转换。
相互转换的原则：转换前后两个有理数的整数部分和小数部分必定分别相等。
一、十进制与非十进制数间的转换
对整数和小数转换方法不同，因此必须分别进行转换，然后再将两部分转换结果合并得完整的目标数制形式。
1、十进制至二进制转换
整数部分的转换
除基取余法： 用目标数制的基数（R=2）去除十进制数，第一次相除所得余数为目标数的最低位K0，将所得商再除以该基数，所得的余数为目标数的次低位K1，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目标数的最高位Kn-1。
小数部分的转换
乘基取整法：用该小数乘以目标数制的基数（R=2，第一次相乘结果的整数部分为目标数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数所得的结果的整数则为目标数的次高位K-2，反复执行上述过程，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。
例1：
（81.65）10 = （ ？ ）2 要求精度为小数五位。
1. 整数部分的转换
故有（81）10 =（1010001）2
2. 小数部分的转换
故有 (0.65)10 = (0.10100)2
由此综合两例结果得 (81.65)10 = (1010001.10100)2
同理: 可采用同样的方法将十进制数转成八进制、十六进制数，但由于八进制和十六进制的基数较大，做乘除法不是很方便，因此需要将十进制转成八进制、十六进制数时，通常是将其先转成二进制，然后在将二进制转成八进制、十六进制数。
2、二、八、十六进制至十进制转换
转换方法：将相应进制的数按权展成多项式，按十进制求和。
(N)R = (Kn-1 Kn-2…K1 K0 .K-1…K-m)R
= Kn-1 Rn-1+Kn-2Rn-2+…+K1R1+K0R0+K-1R-1+…+K-mR-m =
R 为相应进制数的基数，用不同基数代入即得相应进制的表达式。 例2:
(1101.1)2 = 1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1 =8+4+1+0.5=13.5 (F8C.B)16 = F×162+8×161+C×160+B×16-1=3980.6875
二、非十进制数间的转换
二进制数与八进制数间的转换
由于八进制的基数R = 8 = 23，必须用三位二进制数来构成一位八进制数码，因此采用分组对应转换法。
转换方法：将二进制数转换成八进制数时，首先从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目标数。反之，则可将八进制数转换成二进制数。 例3：
11010111.0100111 B = ? Q
得 11010111.0100111 B = 327.234 Q
二进制数和十六进制数间的转换
转换方法：与上述相仿，由于十六进制基数R = 16 = 24，故必须用四位二进制数构成一位十六进制数码（见表1-1），同样采用分组对应转换法，所不同的是此时每四位为一组，不足四位同样用“0”补足。
例4：
111011.10101 B = ? H
故有111011.10101 B = 3B.A8 H
学习指导：
本知识点主要学习数字系统中带符号数的三种表示方法--原码、反码及补码。正数的原码、反码及补码表示形式相同，负数的原码、反码及补码表示形式不同，注意按规则进行变换。
基本概念：
真值（原值）：由数符（+/-）和尾数（数值的绝对值）两部分构成。表示的是数的真实值的大小。
机器数：机器中数的表示形式，数的符号（+/-）也数码化的数，即用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。 机器数有字长限制，符号位通常是数的最高位。而尾数部分可采用不同的表示方法--原码、反码、补码。 若有两个带符号数，X 1 = +1101101（真值），X 2 = -1101101（真值），它们的字长为一字节（即8位二进制数），则在机器中表示如下：
∙
原码[X]原
原码表示法又称符号－数值表示法，“0”表示正号；用“1”表示负号，而尾数部分与真值相同。如
X 1 = +4 = +0000100 B [X1]原 = 0 0000100 符号位 尾数 X 2 = -4 = -0000100 B [X2]原 = 1 0000100 符号位 尾数
∙
反码[X]反
原码的缺点：进行运算时必须根据两数的符号及数值大小来决定运算结果的符号，这就增加了机器的复杂性和运算时间。简化加减运算引入了反码和补码两种表示方法。
正数的反码与原码相同，[X]反 = [X]原。 负数的反码：符号位不变，尾数部分按位取反。 例如：正数：X 1 = +4 [X1]反 = [X]原 = 00000100 负数：X 2 = -4 [X2]反 = 11111011
∙
补码[X]补
正数的补码与原码相同，[X]补= [X]原 = [X]反
负数的补码：符号位不变，其尾数为真值数值部分按位取反，且在最低位加1，[X]补= [X]反+1。
如 X1 = +4 [X1]补= [X1]反 = [X1]原 = 00000100
X2 = -4 [X2]补= [X2]反+ 1 = 11111011 + 1 = 11111100
注意：
原码、反码、补码具有一定的表示数值范围。
如n = 8，原码表示范围01111111～11111111，它表示的数值范围为+127～-127。反码表示范围01111111～10000000，即表示的数值范围为+127～-127。
补码表示范围01111111～10000000，即表示的数值范围为+127～-128。 学习指导：
数字系统中只能识别二进制代码，因此对于十进制数、字母、符号必须用相应的二进制代码表示。有不同的编码规则，用相应的二进制代码表示十进制数、字母、符号。掌握常用的二-十进制编码--8421BCD 码、余3码。常用的二进制代码--自然二进制码和格雷码。
∙
基本概念：
为了表示文字符号信息而采用的一定位数的二进制码称为代码； 建立这种代码与十进制数、字母、符号的一一对应关系称为编码； 二进制码每位的值称为权或位权；
用四位二进制代码对十进制数的各个数码进行编码称为二-十进制BCD 编码(Binery Coded Decimal Codes）简称BCD 码。
∙
自然二进制码
自然二进制码是按自然数顺序排列的二进制码，表1-2给出了四位自然二进制码，各位的权值依次为23、22、21、20，其表示的十进制数从0～15。
∙
格雷码
任意两组相邻码之间只有一位不同的无权码。注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码。 表1-2 自然二进制码和格雷码
∙
8421BCD 码
用四位自然二进制码的16个组合中的前10种，表示十进制数0～9，由高到低各位权分别为23、22、21、20即8、4、2、1，故而得名8421码。是一种有权码。
∙
余3码
用四位二进制码中的十组代码为0011～1100来表示十进制中0-9十个数。同一个十进制数所对应的余3码等于所对应的8421码加上3（0011）。是一种无权码。表1-3给出常用的两种BCD 码与所表示的十进制数的对应关系。 表1-3 余3码
∙
逻辑代数
逻辑代数又称开关代数或布尔代数，它是按一定逻辑规律进行运算的代数，是分析和设计逻辑电路的基本工具和理论基础。
逻辑代数与普通代数的相同之处都是用字母来表示变量和函数。 逻辑代数与普通代数的区别：变量和函数的取值不同。
∙
逻辑变量和逻辑函数
逻辑变量——逻辑代数中的变量
它有两种取值，即逻辑0、逻辑1，“0”和“1”称为逻辑常量。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态，如表示事件的真、假；信息的有、无；开关的通、断；电平的高、低；管子的导通、截止... 。 逻辑函数——用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A 、B 、C 、... 连接起来，所得的表达式F = f（A 、B 、C 、... ）称为逻辑函数，如F （A 、B ）= A+B、A （A 、B 、C ）= A+
等。
通常A 、B 、C 、... 称输入变量，F 称输出变量，因此当前者取值确定后，输出函数值也唯一地被确定了。
逻辑变量和逻辑函数的取值，即逻辑0、逻辑1，“0”和“1”称为逻辑常量。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。
∙
基本逻辑运算
图1-2 表1-4
表1-5与逻辑真值表
逻辑代数有与、或、非三种最基本的运算，它们可以由相应的逻辑电路实现。 1. 与逻辑（逻辑乘）
只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生，这种因果关系称为与逻辑。
在图1-2所示的电路中，只有当开关A 与B 都闭合时灯F 才亮，否则灯就不亮。其关系表如表1-4。假设以“1”表示开关闭合后灯亮，以“0”表示开关断开或灯灭，则可得表1-5，这种用逻辑变量的可能出现的取值组合判断相应结果的表格称为真值表。
逻辑变量间的与逻辑运算又称逻辑乘，可用逻辑表达式表示
式中“×”、“.”为与逻辑运算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示与运算。
与运算可用与门实现，图1-3（a ）和（b ）分别表示与门的逻辑符号（方框中的“&”为与门定性符）和二极管与门电路。分析图1-3（b ）可知：只要输入A 、B 中有一个或一个以上为低电平0V ，则输出F 就为低电平0V ；只有两个输入全部为高电平3V ，则输出F 才为高电平3V （假设二极管为理想开关）。且当低电平0V 用逻辑0表示，高电平3V 用逻辑1表示时，该电路具有与逻辑功能。 若与门有N 个输入端时，则F = A 0·A1·A2...A n 。 2. 或逻辑（逻辑加）
只要当决定某一事件的条件中有一个或一个以上具备，这一事件就能发生，这种因果关系称为或逻辑。
表1-6 或逻辑真值表
逻辑变量间的或运算又称逻辑加，可用逻辑表达式表示 F = A + B
式中“+”为或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示或运算。 若或门有N 个输入端时，则F = A 0 + A 1 + A 2 + ...+ A n 。 3. 非逻辑（逻辑非）
当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生，这种因果关系称为非逻辑。
表1-7 非逻辑真值表
图1-5 非门的逻辑符号
逻辑变量间的非运算又称逻辑非或逻辑反，其逻辑表达式写作
式中“-”是非运算符，若A 称为原变量，则
非”。
为其反变量，读作“A
复合逻辑运算
1. 与非、或非、与或非运算
图1- 6 为实现与非、或非、与或非运算复合门的逻辑符号，它们实现的运算为：
图1-6 图（a ）是由与门和非门组成的与非门，输出图（b ）是由或门和非门组成的或非门，输出
；
。
；
图（c ）是由与、或、非三种门组成的与或非 门，输出2. 异或和同或运算 （1）异或运算
异或运算的定义：当参与运算的两变量A 、B 相同时，输出F 为0；当参与运算的两变量A 、B 不同时，则其输出F 为1。 表1-8 异或运算真值表
式中“⊕”为异或运算符，也可称其模2加。
1.
同或运算
同或运算又称异或非运算:
正逻辑与负逻辑
对于一个电路而言，其输入、输出的电位关系是确定的，但赋予它什么逻辑值却是人为的，通常有两种赋值方法：
1. 2.
正逻辑：高电平V H 用逻辑1表示，低电平V L 用逻辑0表示。 负逻辑：高电平V H 用逻辑0表示，低电平V L 用逻辑1表示。
表1-9（a) 电平关系表
表1-9（b) 正逻辑
表1-9（c) 负逻辑
对表1-9（a) 给出电路的电平关系表，如用正逻辑体制来描述得到的真值表如表1-9（b) ，从真值表可看出电路实现的是与逻辑功能，是一个与门电路。如用负逻辑体制来描述得到的真值表如表1-9（c) ，从真值表可看出电路实现的是或逻辑功能，是一个或门电路。
由此可看出：同一个电路，采用不同的逻辑体制进行描述得到的逻辑功能是不同的。
由此得出正、负逻辑间关系：正与 = 负或 正与非 = 负或非
正或 = 负与 正或非 = 负与非 注：如不加特殊说明一律采用正逻辑体制来描述电路。
学习指导：
本知识点的学习，掌握用真值表、逻辑表达式、逻辑图和波形图来描述逻辑命题，注意各种表达方式之间的转换。
真值表
将输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格，一个确定的逻辑函数的真值表是唯一的。
逻辑函数式
用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A 、B 、C 、... 连接起来，所得的表达式F = f （A 、B 、C 、... ）称为逻辑函数式，如F （A 、B ）= A+B、F(A、B 、C ）= A+
等。
通常A 、B 、C 、... 称输入变量，F 称输出变量。
取值：逻辑函数和逻辑变量的取值只有两种逻辑0和逻辑1，它们表示两种相互对立的状态，并不表示数值的大小。
逻辑图
用逻辑符号来表示函数式的运算关系称为函数的逻辑图。
波形图
反映输入和输出波形变化的图形称为波形图，又叫时序图。
逻辑命题的描
述
通常给定逻辑命题，最直接的是首先列出函数的真值表，然后写出函数的表达式，最后根据表达式画出逻辑图和波形图。
例：图1-9给定的控制电路，开关A 、B 、C 是输入变量，灯F 是输出变量。当开关C 断开时，灯F 灭；当开关C 闭合、开关A 、B 全断开时，灯F 灭；当开关C 闭合、开关A 、B 有一个闭合时，灯F 亮。如开关闭合、灯亮用逻辑“1”表示，而开关断开、灯灭用逻辑“0”表示，
解：1. 列出该控制电路的真值表
2. 写出逻辑函数式
由真值表可写出逻辑函数式。具体方法如下：
1）挑出使函数值为1的输入变量组合。由真值表看出，使函数值为1的输入变量组合有三种：011、101、111。
2）将每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项，若输入变量取值为1，乘积项中的因子用原变量表示; 反之，则用反变量表示。由此可写出三个乘积项：（101）、（111）
3）然后将这些乘积项作逻辑加，就得到逻辑函数式。 由此可得该控制电路的逻辑表达式为：
（011）、
同一个逻辑函数可以有多种不同的函数式形式，它们之间不是唯一的。
3. 逻辑图
将逻辑表达式中的与项用与门代替，或项用或门代替，即可画出与上述函数形式对应的逻辑图如图1-10。
4. 波形图
学习指导：
本知识点的学习，主要学习逻辑代数中常用的基本定律和规则，学习中注意记忆与普通代数不同的规律。
基本定律
常用公式
基本运算规则
1. 代入规则
任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。 运用代入规则可以扩大基本公式的应用范围。例如中的B ，则得
由此例可知利用代入规则，反演律能推广到n 个变量，即
若用BC 替代等式
2. 反演规则
对于任意一个逻辑函数式F ，做如下处理
1）若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”; 2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；
3）原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么得到的新函数式称为原函数式F 的反函数式
运用反演规则时注意两点：
① 必须保持原函数的运算次序，适当地加入括号。先与后或。
② 不属于单个变量上的非号有两种处理方法：一种是该非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换；另一种是引入代入规则，将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。例如
F(A、B 、C)
其反函数为3. 对偶规则
或
对偶式：对于任意一个逻辑函数F ，做如下处理
1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；
2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所得的新函数式为原函数式F 的对偶式F′，也称对偶函数。
求对偶函数时同样需注意保持原式中的运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的，因此一般情况下不等于 F′。例如
其对偶式
对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若 F1 = F 2 则F 1′= F2′。使公式的数目增加一倍。
逻辑函数可有多种不同类型的表示形式，其对应的逻辑图不同，实现的逻辑器件也不同。
函数表达式的常用形式
一个逻辑函数可以写成几种不同类型的形式，而同一种类型的表达式又可以有几种形式。例如：
F(A、B 、C)
①“与―或”式
②“或―与”式
③“与非―与非”式
④“或非―或非”式
⑤“与―或―非”式
上述①式为“与-或”表达式，也称“积之和”表达式；而②式为“或-与”表达式也称“和之积”表达式，两者为逻辑函数的基本形式，它们便于与其它形式进行转换，且易于在卡诺图上表示，逻辑代数的公式均以基本形式出现。 不同形式的逻辑函数表达式是可以相互转换的。如欲将与-或表达试转换成与非-与非表达式，这时只要利用还原律对式两次取反，再利用反演律变换即可。
学习指导：
本知识点学习逻辑函数的两种标准形式--最小项表达式和最大项表达式，要求掌握最小项表达式。
最小项表达式
最小项：在一个有n 个变量的逻辑函数中，包括全部n 个变量的
1.
乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）称为最小项、全积项或标准乘积项。
n 个变量有2n 个最小项，当n = 3时，应有23= 8个最小项。表1-10列出了三
变量的全部最小项。
最小项可记作m i ，i = 0～（2n -1），各输入变量取值看成二进制数，其对应的十进制数作为最小项编号i 。
2. 最小项性质:
（1）任意一组变量取值，只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。
（2）同一组变量取值，任意两个不同最小项的乘积为0。
（3）全部最小项之和为1，即
3. 最小项表达式：如果函数的积之和（与或）表达式中的每一个乘积项均为最小项，则这种表达式称为最小项表达式，也称标准积之和表达式。例如 F(A、B 、C 、D) 便上式可写成 F(A、B 、C 、D)
例3：求函数F(A、B 、C 、D) 解：
例4： 已知函数的真值表为表1-11，写出该函数的标准积之和表达式。 解：
的标准积之和表达式。
其中各积项均是最小项，为简
表1-11 真值表
最大项表达式
最大项及其性质
1.
最大项:在一个有n 个变量的逻辑函数中，包括全部n 个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量形式出现一次）称为最大项、全和项或标准和项。对n 个变量而言，可有2n 个最大项。最大项可记作M i ，i = 0 ～（2n -1）。最大项性质：
（1） 任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1。 （2） 同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1
（3）全部最大项之积为0，即
2. 最小项和最大项间关系
（1）相同编号的最小项和最大项存在互补关系，即
（2）由若干个最小项之和表示的表达式F ，其反函数可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。如
3. 最大项表达式：如果函数的或与表达式中的每一个或项均为最大项，则这种表达式称为最大项表达式，也称标准和之积表达式。
学习指导：
本知识点学习用代数法化简逻辑函数的方法，掌握实现最简与或表达式所需的条件。
最简式的标准：
1）首先是式中乘积项最少，这意味着用于实现电路的与门少，且下级或门输入端个数少；
2）乘积项中含的变量少，这意味着所用与门的输入端个数少。 ∙ 代数法化简的常用方法：
∙
1. 并项：利用，将两项并为一项，且消去一个变量。
2. 消项：利用A + AB = A消去多余的项。 3. 消元：利用
消去多余变量。
4. 配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项。
例2：试简化函数
解：
（配项加AB ） （消因律）
（消项AB ）
学习指导：
本知识点学习用图形法化简逻辑函数的方法，掌握实现最简与或表达式所需的条件。 卡诺图(简称K 图)
k图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项，故k 图又称真值图。具有几何相邻性即指相邻最小项所含的变量中只有一个变量互为补。 图1-11（a ）、（b ）、（c ）分别表示二、三、四变量的k 图。 表1-12
图1-11 二、三、四变量的k 图（a) 二变量的k 图 (b)三变量的k 图 (c）四变量的k 图 K 图的特点：
1. k图为方形图。含n 个变量的函数，其k 图内必含有2n 个小方格，分别对应2n 个最小项；
2. k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，以保证几何位置上相邻的小方格其对应的最小项为逻辑相邻项；
3. 有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻。如图1-11（c ）中，m 5和 m7、m 1和m 9属前两种相邻。 用卡诺图化简函数规则
利用K 图的几何相邻性，将相邻的最小项合并，可以消去某些变量从而简化函数。在图1-12中：
（a ）为无相邻格的单个最小项，结果为最小项
（b ）和（c ）为两个相邻格圈在一起，结果为和，消去一个变量；
（d ）～（g ）均为四个相邻格圈在一起，结果为需用两个变量，消去了两个变量„，依此类推分别得图（h ）、（i ）。图（j ）是根据最小项性质，合并结果应为1。
合并相邻格的规律：含n 个变量的函数的k 图中，几何相邻的2i （i = 1、2、3„n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i 个变量，而用含（n - i ）个变量的积项标注该圈。
用卡诺图简化函数步骤：
1）先将函数填入相应的卡诺图中；
2）合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，且每个圈内必须有新的最小项； 3）每个圈均用其对应的积项表示；
4）最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式。 （1）根据函数填写卡诺图
①若已知函数为最小项表达式，则只需将函数中包含的那些最小项对应的格填1，其余格均填0；
②若已知函数的真值表，则只需将其真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0；
③若已知函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。 凡是缺一个变量的积项必定是在以该积项为公因子的两个相邻格填1，缺两个变量的积项，应在四相邻格填1„。函数中的每一个积项都应填入图中，有时某些格被多次填写，但根据逻辑加运算其结果还为1。如四变量函数F(A、B 、C 、D)
的卡诺图如图1-13。图中其中m 14被两次填入1。
（2）填完卡诺图后作圈的步骤
1. 首先将所有孤立的单格和只有一个合并方向的格群圈起来；
2. 余下的格均有多种合并方向，应用试探法合理作圈，必要时有的格允许被多个圈重复圈入, 但应特别注意每个圈中必须有新的 最小项, 即没有被其它圈包围的圈；
3. 图中含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项，且每个圈中至少有一格只被圈过一次；
4. 有时最简的结果不唯一。
例5：用卡诺图化简函数 F(A、B 、C 、D) 解：
第一步, 填函数的卡诺图
由于给出的是函数的最小项表达式, 因而可直接将表达式中存在的最小项所对应的方格内填"1", 不存在的最小项对应的方格内填"0", 得到逻辑函数卡诺图。 第二步，画包围圈
第三步 写最简的与或表达式
图1-14 卡诺图
由本例知：有时不一定先作最大的圈，如图中左下角四个格，因为它是冗余圈，应先作必要的圈，如图中①、②、③、④次序供参考。 例6：将F(A、B 、C 、D) 解：
第一步 填函数的卡诺图
由于给出的是函数的与或表达式, 因而可将与或表达式中每一项分别填入卡诺图。凡是缺一个变量的积项必定是在以该积项为公因子的两个相邻格填1，缺两个变量的积项，应在四相邻格填1„。函数中的每一个积项都应填入图中，有时某些格被多次填写，但根据逻辑加运算其结果还为1。由此得到函数的卡诺图。
化为最简与非-与非表达式
图1-15 卡诺图 第二步 画包围圈
画圈时，应注意是每个包围圈尽可能大，且圈的个数尽可能小，每个方格可以被重复包围，但每个圈中必须有新的方格，即没有被其它圈所包围过。 第三步 写最简的与或表达式：
对F 两次取反，且用反演律变换即得：
当函数的卡诺图中0的个数远少于1的个数时，有时采用合并0格的方法化简比合并1格来得简单。此外，如需将函数化成最简与-或-非式时，采用合并0格方式最为适宜，因为合并后的结果为的与或式，再求反正好是F 的与-或-非式了。读者可自行选题练习。
例7：将F(A、B 、C 、D)
解：
根据函数作卡诺图如图1-16。此题介绍两种简化方法： 第一种方法：仍以“1”作圈得； 化简为最简与或式。
第二种方法：以“0”作圈可得的最简与或表达式
，对取反 则
。
图1-16 卡诺图
含有无关项的函数的化简
所谓的无关项对于变量的某些取值组合，所对应的函数值是不定。通常约束项和任意项在逻辑函数中统称为无关项。
具有无关项的函数化简时，在填函数的卡诺图时只需在无关项对应的格内填任意符号“Φ”、“d”或“×”，根据作圈的需要这些格可 视为“1”也可视为“0”，从而达到简化目的。
例8：已知函数
解：
此式也可以写成
将上式填入卡诺图如图1-17。
若不考虑约束条件则最简与或式为
当考虑约束条件则最简与或式为
图1-17 卡诺图
求其最简与或式