离散型随机变量的期望与方差复习

离散型随机变量的期望与方差

知识网络

两点分布

离散型

分布列二项分布 几何分布

总体分布

随

随机 试验

连续型

密度曲线

期望 方差

正态分布

知识要点：

1．①离散型随机变量的分布列。

②离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）

pi≥0，i＝1，2，„； （2）p1＋p2＋„＝1。

2．常见的一些简单分布有两点分布、二项分布和几何分布等．

①两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有甲乙两种情况，则我们可用随机变量



甲结果发生,1

.0 乙结果发生

来描述这个随机试验的结果．如果甲结果发生的概率为p，则乙结果发生的概率必定为1－p，

②二项分布：二项分布是两点分布的推广．二项分布同时满足以下四个条件： Ⅰ．每次试验都只有两种结果：成功或失败； Ⅱ．共进行n次试验，n为给定的正整数； Ⅲ．各次试验互相独立；

Ⅳ．任何一次试验中成功的概率都是一样的．

如果我们设在每次试验中成功的概率都为p，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布。记作~B (n，p)，其中n、 p为参数，并记Cnpq=b(k；n，p)。q=1-p

则在n次试验中恰好成功k次的概率为：

k

PkCk1pnp

nk

k k n-k

.

所以二项分布的分布列为表1—3：

③几何分布：重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”．所以

Pnp1p

n1

，其分布列

3．①离散型随机变量期望和方差的计算公式

设离散型随机变量的分布列为P（＝xi）＝pi，i＝1，2，„，则：

E＝

x

i1



i i

p，D＝

(x－E) p＝x

2



2

iii

pi－(E)＝E()－(E)

2

2

2

i1i1

②离散型随机变量期望和方差的性质

E (a＋b)＝aE＋b，D (a＋b)＝a2 D。

例1．袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以ξ表示取到的球中的最大号码。

（1） 写出ξ的分布列 （2） 求ξ的数学期望

例2．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确答案。每题选择正确得2分，不选或选错得0分，满分是100分。学生甲选对任意一题的概率是0.8，求该生在这次测试中成绩的期望和标准差。

例3．设甲、乙两射手射击时每发子弹命中的环数分别为ξ、η，且ξ

B(10,0.84)

η的分布列为

则甲、乙两人中的技术较好的是

（A）甲 （B）乙 （C）一样 （D）无法比较

例4．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元。若在一年内万元以上的财产被窃，保险公司赔偿a(a>100)元。为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，求最大的赔偿值a。

例5“街头摸奖”可信吗?

你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗?我们不妨来试试下面的彩球游戏．准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：

6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元

如果你摸出了3红3白则输100元．而对于其他六种情况，你均能赢利相应的钱数，而不用花其他的钱，怎么样?动心了吗?

离散型随机变量的期望与方差

知识网络

两点分布

离散型

分布列二项分布 几何分布

总体分布

随

随机 试验

连续型

密度曲线

期望 方差

正态分布

知识要点：

1．①离散型随机变量的分布列。

②离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）

pi≥0，i＝1，2，„； （2）p1＋p2＋„＝1。

2．常见的一些简单分布有两点分布、二项分布和几何分布等．

①两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有甲乙两种情况，则我们可用随机变量



甲结果发生,1

.0 乙结果发生

来描述这个随机试验的结果．如果甲结果发生的概率为p，则乙结果发生的概率必定为1－p，

②二项分布：二项分布是两点分布的推广．二项分布同时满足以下四个条件： Ⅰ．每次试验都只有两种结果：成功或失败； Ⅱ．共进行n次试验，n为给定的正整数； Ⅲ．各次试验互相独立；

Ⅳ．任何一次试验中成功的概率都是一样的．

如果我们设在每次试验中成功的概率都为p，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布。记作~B (n，p)，其中n、 p为参数，并记Cnpq=b(k；n，p)。q=1-p

则在n次试验中恰好成功k次的概率为：

k

PkCk1pnp

nk

k k n-k

.

所以二项分布的分布列为表1—3：

③几何分布：重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”．所以

Pnp1p

n1

，其分布列

3．①离散型随机变量期望和方差的计算公式

设离散型随机变量的分布列为P（＝xi）＝pi，i＝1，2，„，则：

E＝

x

i1



i i

p，D＝

(x－E) p＝x

2



2

iii

pi－(E)＝E()－(E)

2

2

2

i1i1

②离散型随机变量期望和方差的性质

E (a＋b)＝aE＋b，D (a＋b)＝a2 D。

例1．袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以ξ表示取到的球中的最大号码。

（1） 写出ξ的分布列 （2） 求ξ的数学期望

例2．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确答案。每题选择正确得2分，不选或选错得0分，满分是100分。学生甲选对任意一题的概率是0.8，求该生在这次测试中成绩的期望和标准差。

例3．设甲、乙两射手射击时每发子弹命中的环数分别为ξ、η，且ξ

B(10,0.84)

η的分布列为

则甲、乙两人中的技术较好的是

（A）甲 （B）乙 （C）一样 （D）无法比较

例4．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元。若在一年内万元以上的财产被窃，保险公司赔偿a(a>100)元。为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，求最大的赔偿值a。

例5“街头摸奖”可信吗?

你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗?我们不妨来试试下面的彩球游戏．准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：

6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元

如果你摸出了3红3白则输100元．而对于其他六种情况，你均能赢利相应的钱数，而不用花其他的钱，怎么样?动心了吗?