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星海学校2014春季—沙湾路校区
3L 个性化一对一 名师精讲
学科：数学 年级：九年级 姓名：刘悦佳 时间：01月21日
第 四 讲
【教学标题】
直角三角形的边角关系
【教学目标】
1. 掌握三角函数的基本知识；
2. 培养应用三角函数解决实际问题的能力。
【重难点】
实际问题的解决
【教材梳理】 知识点1、正切的定义
在直角三角形ABC 中（∠C=90°），锐角A 的对边BC 与邻边AC 的比，叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。 【例1】如图，△ABC 是等腰直角三角形，求
tanC.
【例2】如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
知识点2、坡度的定义及表示
C
【例3】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD •的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1：2变成i ′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底HD 的长为多少？
知识点3、正弦、余弦的定义
你有什么发现？请加以证明。
知识点4、三角函数的定义
你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
3
1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC，cos ∠ADC=，求CD 的长。
5
1
2、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=，求tanA 的值。
3
知识点5、30°，45°，60°角的三角函数值
sin 60︒-sin 30︒（1）；
tan 60︒
（2）tan 260︒-4tan 60︒+4-22sin 45︒。
1、求下列各式的值。
（1）2sin 30︒+3tan 30︒+tan 45︒； （2）cos 245︒+tan 60︒⋅cos 30︒。
(3) 6tan 2 30°－sin 60°＋2tan45°
tan 45o 2o o o -2o o 0
(4)-sin 60-2sin 60+1+(-cos 60) +(sin45-tan 30) o
2-tan 60
2、已知a 为锐角，且tana=5，求
sin a -3cos a
的值。
2cos a +sin a
3、△ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？
4、2cos 45︒的值等于________。 5、计算sin 60︒-2cos 45︒+8。
6
、计算：-2-2(π-3.14) 045︒
1 1
7、 ( 3 ) －2－2sin45º＋ (π －3. 14) 0＋ 28＋(－1) 3．
知识点6、锐角三角函数计算的实际应用
了一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？
知识点7、方向角的定义
【例8】某轮船自西向东航行，在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B ，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？
知识点8、解直角三角形
之间的距离BC=4m。 （1）求滑梯AB 的长；（结果精确到0.1m ）
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC ）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？
【例10】升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m ）
【例11】如图，从山顶A 处看到地面C 点的俯角为60°，看到地面D 点的俯角为45°，测得CD=1503米，求山高AB 。（精确到0.1米，3≈1.732）
【课后作业】
1．等腰三角形的底角为30
°，底边长为 ）
A ．4
B
．
C ．2
D
．2．如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（ ）
A
．B
．
C
．
D ．
8
(1) (2) (3) 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ）
A ．a =c sin B B ．a =b cos B C ．c =a tan B D ．a =b tan A
2
（2sin A =0，则△ABC 是（ ）4．△ABC 中，∠A ，∠B
均为锐角，且有|tan B -3|+
A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形
C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形
2sin α-cos α
5．已知tan α=1，那么的值等于（ ）
2sin α+cos α
111A ． B ． C ．1 D ．
326
6．如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC
上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）
A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米
3
7．如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=，AB =4， 则
5
AD 的长为（ ）
162016
A ．3 B ． C ． D ．
335
8．如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB
的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）
A ．1
B
C
．
2
D
(4) (5) (6) 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．在△ABC 中，∠C =90
°，sin A =
，则cos B 的值为 10
=
11．如图5，∠DBC =30°，AB =DB ，利用此图求tan75°= 12．如图6，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α= ． 13．若某人沿坡度i =3∶4的斜坡前进10m ，则他比原来的位置升高了m ． 三、解答题（本大题共52分） 14. (1)
3tan45︒－cos60︒
·tan 30°； (2)(tan30°) 2007·(22sin45°) 2006
2sin60︒
15．为了测量一棵大树的高度AB ，在离树25米的C 处，用高1.4米的测角仪CD 测得树的
顶端B 的仰角α＝21°，求树AB 的高．(用21°角的三角函数值表示即可 )
16. 如图，在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°，铁塔底部B 的仰角为45°。已知塔高AB ＝20m ，观察点E 到地面的距离EF ＝35cm ，求小山BD 的高.
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3L 个性化一对一 名师精讲
学科：数学 年级：九年级 姓名：刘悦佳 时间：01月21日
第 四 讲
【教学标题】
直角三角形的边角关系
【教学目标】
1. 掌握三角函数的基本知识；
2. 培养应用三角函数解决实际问题的能力。
【重难点】
实际问题的解决
【教材梳理】 知识点1、正切的定义
在直角三角形ABC 中（∠C=90°），锐角A 的对边BC 与邻边AC 的比，叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。 【例1】如图，△ABC 是等腰直角三角形，求
tanC.
【例2】如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
知识点2、坡度的定义及表示
C
【例3】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD •的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1：2变成i ′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底HD 的长为多少？
知识点3、正弦、余弦的定义
你有什么发现？请加以证明。
知识点4、三角函数的定义
你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
3
1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC，cos ∠ADC=，求CD 的长。
5
1
2、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=，求tanA 的值。
3
知识点5、30°，45°，60°角的三角函数值
sin 60︒-sin 30︒（1）；
tan 60︒
（2）tan 260︒-4tan 60︒+4-22sin 45︒。
1、求下列各式的值。
（1）2sin 30︒+3tan 30︒+tan 45︒； （2）cos 245︒+tan 60︒⋅cos 30︒。
(3) 6tan 2 30°－sin 60°＋2tan45°
tan 45o 2o o o -2o o 0
(4)-sin 60-2sin 60+1+(-cos 60) +(sin45-tan 30) o
2-tan 60
2、已知a 为锐角，且tana=5，求
sin a -3cos a
的值。
2cos a +sin a
3、△ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？
4、2cos 45︒的值等于________。 5、计算sin 60︒-2cos 45︒+8。
6
、计算：-2-2(π-3.14) 045︒
1 1
7、 ( 3 ) －2－2sin45º＋ (π －3. 14) 0＋ 28＋(－1) 3．
知识点6、锐角三角函数计算的实际应用
了一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？
知识点7、方向角的定义
【例8】某轮船自西向东航行，在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B ，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？
知识点8、解直角三角形
之间的距离BC=4m。 （1）求滑梯AB 的长；（结果精确到0.1m ）
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC ）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？
【例10】升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m ）
【例11】如图，从山顶A 处看到地面C 点的俯角为60°，看到地面D 点的俯角为45°，测得CD=1503米，求山高AB 。（精确到0.1米，3≈1.732）
【课后作业】
1．等腰三角形的底角为30
°，底边长为 ）
A ．4
B
．
C ．2
D
．2．如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（ ）
A
．B
．
C
．
D ．
8
(1) (2) (3) 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ）
A ．a =c sin B B ．a =b cos B C ．c =a tan B D ．a =b tan A
2
（2sin A =0，则△ABC 是（ ）4．△ABC 中，∠A ，∠B
均为锐角，且有|tan B -3|+
A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形
C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形
2sin α-cos α
5．已知tan α=1，那么的值等于（ ）
2sin α+cos α
111A ． B ． C ．1 D ．
326
6．如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC
上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）
A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米
3
7．如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=，AB =4， 则
5
AD 的长为（ ）
162016
A ．3 B ． C ． D ．
335
8．如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB
的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）
A ．1
B
C
．
2
D
(4) (5) (6) 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．在△ABC 中，∠C =90
°，sin A =
，则cos B 的值为 10
=
11．如图5，∠DBC =30°，AB =DB ，利用此图求tan75°= 12．如图6，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α= ． 13．若某人沿坡度i =3∶4的斜坡前进10m ，则他比原来的位置升高了m ． 三、解答题（本大题共52分） 14. (1)
3tan45︒－cos60︒
·tan 30°； (2)(tan30°) 2007·(22sin45°) 2006
2sin60︒
15．为了测量一棵大树的高度AB ，在离树25米的C 处，用高1.4米的测角仪CD 测得树的
顶端B 的仰角α＝21°，求树AB 的高．(用21°角的三角函数值表示即可 )
16. 如图，在观测点E 测得小山上铁塔顶A 的仰角为60°，铁塔底部B 的仰角为45°。已知塔高AB ＝20m ，观察点E 到地面的距离EF ＝35cm ，求小山BD 的高.