狄利克雷问题
狄利克雷问题(Dirichlet problem)就是在给定边界条件的区域D内求解拉普拉斯方程的问题,即
2u0, u(x)f(x)(xD)
当区域D是一个长为L,宽为l的矩形时,即
Dx,y:0xl, 0yL
此时狄利克雷问题就变成了求解带有若干边界条件的二阶偏微分方程,即
uxxuyy0
u(x,0)f1(x), u(x,L)f2(x), u(0,y)g1(y), u(l,y)g2(y)
根据叠加原理,分别求解当g1g20和f1f20时方程的解,其解的加和即为原方程的解。同时g1g20与f1f20这两种情形是等价的,因此只需要求解其中一个问题,并改变相应的变量就可以得到另一个解。因此我们这里求解g1g20的情形,即
uxxuyy0
u(x,0)f1(x), u(x,L)f2(x), u(0,y)u(l,y)0
根据变量分离法,首先假设函数u(x,y)可以写作
u(x,y)X(x)Y(y)
代入微分方程可得
X(x)Y''(t)X"(x)Y(y)
移项整理得
X''(x)Y''(y)v20 X(x)Y(y)
(可以证明,当上式中的比例常数为非负数时,方程只有0解,与题设不符) 于是有
X"(x)v2X(x)
Y"(y)v2Y(y)
对于方程X"(x)v2X(x)0,其对应的特征根方程有两个共轭的复根vi,因此其通解为
X(x)e0(C1cosvxC2sinvx)
将边界条件u(0,y)u(l,y)0代入微分方程可得
X(0)X(l)0
所以
C10, sinvl0
进而有
vln, v
所以 n l
X(x)C2sinnx l
当C21时,就得到了特征值v2(n/l)2对应的特征函数,即
X(x)sinnx l
对于方程Y"(y)v2Y(y)0,其对应的特征根方程有两个不同的实根v,因此其通解为
Y(y)C3evyC4evy
由于双曲余弦函数
evyevy
coshvy 2
双曲正弦函数
evyevy
sinhvy 2
所以函数Y(y)可以表示为
Y(y)ncoshvynsinhvy 将vn代入上式得 l
Y(y)ncoshnnynsinhy ll
所以u(x,0)f1(x)
un(x,y)sinn
lnnxncoshynsinhy ll
由上式可知,对于每个不同的n,都有一个un(x,y)与之对应。而u(x,0)f1(x),u(x,L)f2(x),由于f1(x),f2(x)都是给定的函数,所以此处得到的还不是方程的解。 构造函数U(x,y)为一切un(x,y)的加和,即
U(x,y)un(x,y)sin
n1n1nlnnxncoshynsinhy ll
由初始条件u(x,0)f1(x),u(x,L)f2(x)可得
nnf1(x)sinxncosh0nsinh0ansinx lln1n1
其中
ann
nf2(x)sinln1nLnLnxncoshnsinhbsinx nlln1l
其中
bnncosh
可以解得 nLnLnsinh ll
nan
bnancoshnL
bcschnLacothnL nnnLllsinhln
所以
U(x,y)sin
n1nlnnLnLnxancoshybncschancothsinhlllly
其中
2lnanf1(x)sinxdx l0l
bn
因为f1f20时的情形为: 2lnf(x)sinxdx 20ll
uxxuyy0
u(x,0)u(x,L)0, u(0,y)g1(y), u(l,y)g2(y)
由于此情形与g1g20时的情形完全等价,所以此情形下的解为
V(x,y)sinnnnlnlnycncoshxdncschcncothsinhx
n1L
其中
所以,方程最终的解为 LLLLc2LnnL0g1(y)sinLydy d2LnnL0g2(y)sinLydy
u(x,y)U(x,y)V(x,y)
狄利克雷问题
狄利克雷问题(Dirichlet problem)就是在给定边界条件的区域D内求解拉普拉斯方程的问题,即
2u0, u(x)f(x)(xD)
当区域D是一个长为L,宽为l的矩形时,即
Dx,y:0xl, 0yL
此时狄利克雷问题就变成了求解带有若干边界条件的二阶偏微分方程,即
uxxuyy0
u(x,0)f1(x), u(x,L)f2(x), u(0,y)g1(y), u(l,y)g2(y)
根据叠加原理,分别求解当g1g20和f1f20时方程的解,其解的加和即为原方程的解。同时g1g20与f1f20这两种情形是等价的,因此只需要求解其中一个问题,并改变相应的变量就可以得到另一个解。因此我们这里求解g1g20的情形,即
uxxuyy0
u(x,0)f1(x), u(x,L)f2(x), u(0,y)u(l,y)0
根据变量分离法,首先假设函数u(x,y)可以写作
u(x,y)X(x)Y(y)
代入微分方程可得
X(x)Y''(t)X"(x)Y(y)
移项整理得
X''(x)Y''(y)v20 X(x)Y(y)
(可以证明,当上式中的比例常数为非负数时,方程只有0解,与题设不符) 于是有
X"(x)v2X(x)
Y"(y)v2Y(y)
对于方程X"(x)v2X(x)0,其对应的特征根方程有两个共轭的复根vi,因此其通解为
X(x)e0(C1cosvxC2sinvx)
将边界条件u(0,y)u(l,y)0代入微分方程可得
X(0)X(l)0
所以
C10, sinvl0
进而有
vln, v
所以 n l
X(x)C2sinnx l
当C21时,就得到了特征值v2(n/l)2对应的特征函数,即
X(x)sinnx l
对于方程Y"(y)v2Y(y)0,其对应的特征根方程有两个不同的实根v,因此其通解为
Y(y)C3evyC4evy
由于双曲余弦函数
evyevy
coshvy 2
双曲正弦函数
evyevy
sinhvy 2
所以函数Y(y)可以表示为
Y(y)ncoshvynsinhvy 将vn代入上式得 l
Y(y)ncoshnnynsinhy ll
所以u(x,0)f1(x)
un(x,y)sinn
lnnxncoshynsinhy ll
由上式可知,对于每个不同的n,都有一个un(x,y)与之对应。而u(x,0)f1(x),u(x,L)f2(x),由于f1(x),f2(x)都是给定的函数,所以此处得到的还不是方程的解。 构造函数U(x,y)为一切un(x,y)的加和,即
U(x,y)un(x,y)sin
n1n1nlnnxncoshynsinhy ll
由初始条件u(x,0)f1(x),u(x,L)f2(x)可得
nnf1(x)sinxncosh0nsinh0ansinx lln1n1
其中
ann
nf2(x)sinln1nLnLnxncoshnsinhbsinx nlln1l
其中
bnncosh
可以解得 nLnLnsinh ll
nan
bnancoshnL
bcschnLacothnL nnnLllsinhln
所以
U(x,y)sin
n1nlnnLnLnxancoshybncschancothsinhlllly
其中
2lnanf1(x)sinxdx l0l
bn
因为f1f20时的情形为: 2lnf(x)sinxdx 20ll
uxxuyy0
u(x,0)u(x,L)0, u(0,y)g1(y), u(l,y)g2(y)
由于此情形与g1g20时的情形完全等价,所以此情形下的解为
V(x,y)sinnnnlnlnycncoshxdncschcncothsinhx
n1L
其中
所以,方程最终的解为 LLLLc2LnnL0g1(y)sinLydy d2LnnL0g2(y)sinLydy
u(x,y)U(x,y)V(x,y)