Matlab在大学物理电磁学中的应用

　2005年6月

第4卷　第2期渝西学院学报(自然科学版) Journal of Wes tern Chongqing Universit y (Nature Sciences Edition ) J un . , 2005　Vol . 4　No . 2

Matlab 在大学物理电磁学中的应用

刘群英

(重庆工学院　数理学院, 重庆　九龙坡　400050)

[摘　要]Matlab 是可视化的面向科学计算的优秀科技应用软件. 将Matlab 引入电磁学教学,

利用其可视化功能对电磁学实验现象进行计算机模拟, 可提高学生的学习效率与学习积极

性, 教学效果明显.

[关键词]Matlab ; 光学; 模拟; 教学

[中图分类号]TP391. 7　[文献标识码]A 　[文章编号]1671-7538(2005) 02-0019-04

1　引言

在工科物理教学中, 物理实验极其重要, 一般院校都将其列为一门单独的课程, 它担负着学生的基本实验技能训练的任务. 通过一系列的实验、学习, 学生可在一定程度上掌握前人对一些物理量的典型测量方法和实验技术, 并在以后的实验工作中有所借鉴, 能够在这些基础上有所创新.

物理实验需要有相应的配套设备及实验环境. 一方面, 一些实验设备比较复杂并且昂贵, 限制了实验的普及应用; 另一方面, 有些实验环境是很难满足的, 甚至根本不能满足; 另外, 有些实验是不能直接观察的, 或者只能观察到实验对象的局部, 如电场、磁场、力场中的分布问题等.

鉴于上面的原因, 物理仿真实验已引起了大家的关注, 出现了一些软件, 但很多是基于Flash 、Photoshop 、3D Studio MAX 之类的图形图像软件制作. 这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画, 还可以制作出实际实验所无法达到的效果. 但这类软件本身是制作动画卡通的, 对物理实验规律和过程很少涉及, 很难做到真正的交互使用, 开发也很困难. 因此, 在工科物理实验教学中应用很少.

Matlab 是美国MathWorks 公司开发的一套高性能的数值计算和可视化软件. 它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言, 其应用范围涵盖了当今几乎所有的工业应用与科学研究领域, 集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体. 其丰富的库函数和各种专用工具箱, 将使用者从繁琐的底层编程中解放出来. 此外, Matlab 更强大的功能还表现在其有大量的工具箱(Toolbox ) , 如:控制系统、数值模拟、信号处理及偏微分方程等工具箱. 因此, Matlab 已成为美国和其它发达国家大学教育和科学研究中必不可少的工具.

Matlab 具有丰富的计算功能和科学计算数据的可视化能力, 特别是应用偏微分方程工具箱在大学物理电磁学等各类物理场的数值仿真中具有无比的优势. 下文是在电磁学方面, 利用Matlab 软件编程进行大学物理教学的典型案例.

2　Matlab 在静电场中的应用

2. 1　基本原理

由微分方程理论可知:在一个稳恒电场中, 场方程与边界条件一旦确定, 则它们的解是唯一的. 这里的场方程即为麦克斯韦(Max well ) 方程组, 边界条件由所给定的物体系统形状确定, 即: [收稿日期]2005-02-22

[作者简介]刘群英(1966-) , 女, 重庆市人, 讲师.

·D =ρ

×H =J

×E =0(1) ·B =

(1) 式中D 为电位移, ρ为电荷密度, H 为磁场强度, J 为电流密度, E 为电场强度, B 为磁感应强度.

对于恒定的电场:

E =- .

(2) 式中电位 满足泊松(Poisson ) 方程: =-2(2) (3)

2(3) 式中ε为电介质的电容率. 对于不存在电荷的空间部分有ρ=0, 上式退化为拉普拉斯(Laplace ) 方程: =0. (4)

利用上述方程, 再加上边界条件, 利用Matlab 中的偏微分工具箱, 即可求解带电体周围空间的电场分布.

2. 2　两点电荷的电场

问题描述:两等值异号点电荷±1单位, 两者间距为1, 求其电势分布

.

图1　两点电荷电势分布(等势线和电力线)

整个求解域取中心为原点, 半径为2的圆, 两空间电荷点位置为(-0. 5, 0) 和(0. 5, 0) , 作为一种近似, 画一个尽量小的圆, 本例中取半径为0. 05.

大圆的边界条件是Dirichlet 边界条件, 取h =1, r =0, 这种做法是模拟远处的电势为零.

由于大圆与小圆之间的区域没有电荷, 满足Laplace 方程, 因此在选择方程时选取Elliptic (椭圆) 方程, 其方程类型为:

- ·(c V )+au =f .

取系数为c =1, a =0, f =0.

在表示点电荷的小圆内, 我们认为电荷是均匀分布的, 满足Poisson 方程, 在选择方程时也取Elliptic 方程, 取系数为c =1, a =0, f =0. 2.

其两点电荷电势分布如图1所示, 电力线用箭头表示.

2. 3　静电场中的导体

问题描述:在电场强度为E 的静电场中放置一根无限长的导体, 研究截面上的电势分布.

首先画一个2＊2的矩形R1, 然后在中心原点画半径为0. 3的圆E1. 然后将Set for mula 对话框中的公式改为R1-E1, 表示求解区域为二者之差.

矩形所有的边界条件是Dirichlet 边界条件, 取h =1, r =y . 而在圆的边界取h =1, r =0.

由于求解域没有电荷, 因此在选择方程时选取Elliptic (椭圆) 方程, 系数为c =1, a =0, f =0. 其电势分布如图2所示, 电力线用箭头表示. (5)

图2　静电场中无限长导体的截面上的电势分布

　　3　Matlab 在恒定电场中的应用———电阻法勘测矿藏时大地中的电流

问题描述:将直流电源的两端分别接入大地, 假设接入部分的电势为±1V , 假设大地的电导率б为1, 其描述电势的方程为:- ·(o V )=0. (6)

首先画一个多边形方式, 画一个4＊4的矩形, 包含其上边沿的两条长度为0. 1的短边(模拟接入大地的电极) .

边界条件为:对于矩形的上边, 设置Diric hlet 边界条件, 取h =1, r =0; 对于上边的两条短线处, 边界条件取h =1, r =±1; 对于矩形的其它3条边, 设置Neumann 边界条件, 取g =0, q =0. 在设置方程类型时, 选取应用模式为Conductive Media DC , 这时的方程形式为:

- ·(o V )=q ,

取q =0, б=1.

图3为电阻法勘测矿藏时大地中的等电势线和电流密度矢量场

. (7)

图3　电阻法勘测矿藏时大地中的等电势线和电流密度矢量场

4　Matlab 在电磁场中的应用———两根载流长直导线的磁场

问题描述:两根载流长直导线, 相距为0. 8, 导线直径为0. 2, 求电流引起的磁场. 从式(1) 描述的麦克斯韦(Maxwell ) 方程组出发, 其磁场强度B 和磁感应强度H 的关系为:

B =μH .

其中μ为磁导率.

磁场势A 与B 有如下关系:B = ·A . (9) (8)

故可简化为椭圆方程:- · V =J . 画出大小为2＊2的矩形R1, 两导线用直径为0. 2、相距0. 8的两个圆表示. (10)

矩形的边界条件是Dirichlet 边界条件, 取h =1, r =0. 这种做法是模拟远处的磁场势为零.

在设置方程类型时, 选取应用模式为Mangetostatics , 这时的方程形式为式(10) 所示. 故在选择方程时选取Elliptic (椭圆) 方程, 对于矩形其它部分系数取μ=1、J =0. 在表示导线的圆内, 取μ=1, J =1.

两根载流长直导线的磁场势和磁力线如图4所示, 磁力线用箭头表示.

图4　两根载流长直导线的磁场势和磁力线

5　结论

通过以上讨论可以看出, 利用Matlab 强大的求解偏微分方程和可视化功能模拟各类物理场的实验是成功的. 借助偏微分方程工具箱, 我们可以通过分析静电学、电场、磁场和电磁场的原理而建立偏微分方程, 经过数值计算模拟各类电磁场问题. 该方法不仅为大学物理中电磁场等课程的教学提供了良好便捷的辅助手段, 同时在科研当中为相关电磁场问题的设计分析开辟了另一条途径. 因此我们认为, 将Matlab 的偏微分方程工具箱引入计算机模拟是可行和有必要的, 而且具有良好的应用前景.

[参考文献]

[1]彭芳麟. 数学物理方程的Matlab 解法与可视化[M ]. 北京:清华大学出版社, 2004.

[2]苏金明, 张莲花, 刘波. MATLAB 工具箱应用[M ]. 北京:电子工业出版社, 2002.

[3]王沫然. MATLAB6. 0与科学计算[M ]. 北京:电子工业出版社, 2003.

[4]程守洙, 江之永. 普通物理学第二册(第5版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1998.

[5]Matlab Help . 美国MathWorks 公司, 2004.

Application of Matlab Language in Electric -Magnetism of College Physics

LI U Qun -ying

(College of M ahtem atics &physics , Chon gqing Institute of Technology , Jiulongpo Chong qing 400050, Chin a )

A bstract :Matlab is a visual and science calculation software oriented application1. It points out that computer simulation of electric -magnetic phenomenon based on Matlab had produced significant result in teaching electric -magnetism .

Key words :Matlab ; electric -magnetism ; simulation ; teaching

　2005年6月

第4卷　第2期渝西学院学报(自然科学版) Journal of Wes tern Chongqing Universit y (Nature Sciences Edition ) J un . , 2005　Vol . 4　No . 2

Matlab 在大学物理电磁学中的应用

刘群英

(重庆工学院　数理学院, 重庆　九龙坡　400050)

[摘　要]Matlab 是可视化的面向科学计算的优秀科技应用软件. 将Matlab 引入电磁学教学,

利用其可视化功能对电磁学实验现象进行计算机模拟, 可提高学生的学习效率与学习积极

性, 教学效果明显.

[关键词]Matlab ; 光学; 模拟; 教学

[中图分类号]TP391. 7　[文献标识码]A 　[文章编号]1671-7538(2005) 02-0019-04

1　引言

在工科物理教学中, 物理实验极其重要, 一般院校都将其列为一门单独的课程, 它担负着学生的基本实验技能训练的任务. 通过一系列的实验、学习, 学生可在一定程度上掌握前人对一些物理量的典型测量方法和实验技术, 并在以后的实验工作中有所借鉴, 能够在这些基础上有所创新.

物理实验需要有相应的配套设备及实验环境. 一方面, 一些实验设备比较复杂并且昂贵, 限制了实验的普及应用; 另一方面, 有些实验环境是很难满足的, 甚至根本不能满足; 另外, 有些实验是不能直接观察的, 或者只能观察到实验对象的局部, 如电场、磁场、力场中的分布问题等.

鉴于上面的原因, 物理仿真实验已引起了大家的关注, 出现了一些软件, 但很多是基于Flash 、Photoshop 、3D Studio MAX 之类的图形图像软件制作. 这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画, 还可以制作出实际实验所无法达到的效果. 但这类软件本身是制作动画卡通的, 对物理实验规律和过程很少涉及, 很难做到真正的交互使用, 开发也很困难. 因此, 在工科物理实验教学中应用很少.

Matlab 是美国MathWorks 公司开发的一套高性能的数值计算和可视化软件. 它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言, 其应用范围涵盖了当今几乎所有的工业应用与科学研究领域, 集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体. 其丰富的库函数和各种专用工具箱, 将使用者从繁琐的底层编程中解放出来. 此外, Matlab 更强大的功能还表现在其有大量的工具箱(Toolbox ) , 如:控制系统、数值模拟、信号处理及偏微分方程等工具箱. 因此, Matlab 已成为美国和其它发达国家大学教育和科学研究中必不可少的工具.

Matlab 具有丰富的计算功能和科学计算数据的可视化能力, 特别是应用偏微分方程工具箱在大学物理电磁学等各类物理场的数值仿真中具有无比的优势. 下文是在电磁学方面, 利用Matlab 软件编程进行大学物理教学的典型案例.

2　Matlab 在静电场中的应用

2. 1　基本原理

由微分方程理论可知:在一个稳恒电场中, 场方程与边界条件一旦确定, 则它们的解是唯一的. 这里的场方程即为麦克斯韦(Max well ) 方程组, 边界条件由所给定的物体系统形状确定, 即: [收稿日期]2005-02-22

[作者简介]刘群英(1966-) , 女, 重庆市人, 讲师.

·D =ρ

×H =J

×E =0(1) ·B =

(1) 式中D 为电位移, ρ为电荷密度, H 为磁场强度, J 为电流密度, E 为电场强度, B 为磁感应强度.

对于恒定的电场:

E =- .

(2) 式中电位 满足泊松(Poisson ) 方程: =-2(2) (3)

2(3) 式中ε为电介质的电容率. 对于不存在电荷的空间部分有ρ=0, 上式退化为拉普拉斯(Laplace ) 方程: =0. (4)

利用上述方程, 再加上边界条件, 利用Matlab 中的偏微分工具箱, 即可求解带电体周围空间的电场分布.

2. 2　两点电荷的电场

问题描述:两等值异号点电荷±1单位, 两者间距为1, 求其电势分布

.

图1　两点电荷电势分布(等势线和电力线)

整个求解域取中心为原点, 半径为2的圆, 两空间电荷点位置为(-0. 5, 0) 和(0. 5, 0) , 作为一种近似, 画一个尽量小的圆, 本例中取半径为0. 05.

大圆的边界条件是Dirichlet 边界条件, 取h =1, r =0, 这种做法是模拟远处的电势为零.

由于大圆与小圆之间的区域没有电荷, 满足Laplace 方程, 因此在选择方程时选取Elliptic (椭圆) 方程, 其方程类型为:

- ·(c V )+au =f .

取系数为c =1, a =0, f =0.

在表示点电荷的小圆内, 我们认为电荷是均匀分布的, 满足Poisson 方程, 在选择方程时也取Elliptic 方程, 取系数为c =1, a =0, f =0. 2.

其两点电荷电势分布如图1所示, 电力线用箭头表示.

2. 3　静电场中的导体

问题描述:在电场强度为E 的静电场中放置一根无限长的导体, 研究截面上的电势分布.

首先画一个2＊2的矩形R1, 然后在中心原点画半径为0. 3的圆E1. 然后将Set for mula 对话框中的公式改为R1-E1, 表示求解区域为二者之差.

矩形所有的边界条件是Dirichlet 边界条件, 取h =1, r =y . 而在圆的边界取h =1, r =0.

由于求解域没有电荷, 因此在选择方程时选取Elliptic (椭圆) 方程, 系数为c =1, a =0, f =0. 其电势分布如图2所示, 电力线用箭头表示. (5)

图2　静电场中无限长导体的截面上的电势分布

　　3　Matlab 在恒定电场中的应用———电阻法勘测矿藏时大地中的电流

问题描述:将直流电源的两端分别接入大地, 假设接入部分的电势为±1V , 假设大地的电导率б为1, 其描述电势的方程为:- ·(o V )=0. (6)

首先画一个多边形方式, 画一个4＊4的矩形, 包含其上边沿的两条长度为0. 1的短边(模拟接入大地的电极) .

边界条件为:对于矩形的上边, 设置Diric hlet 边界条件, 取h =1, r =0; 对于上边的两条短线处, 边界条件取h =1, r =±1; 对于矩形的其它3条边, 设置Neumann 边界条件, 取g =0, q =0. 在设置方程类型时, 选取应用模式为Conductive Media DC , 这时的方程形式为:

- ·(o V )=q ,

取q =0, б=1.

图3为电阻法勘测矿藏时大地中的等电势线和电流密度矢量场

. (7)

图3　电阻法勘测矿藏时大地中的等电势线和电流密度矢量场

4　Matlab 在电磁场中的应用———两根载流长直导线的磁场

问题描述:两根载流长直导线, 相距为0. 8, 导线直径为0. 2, 求电流引起的磁场. 从式(1) 描述的麦克斯韦(Maxwell ) 方程组出发, 其磁场强度B 和磁感应强度H 的关系为:

B =μH .

其中μ为磁导率.

磁场势A 与B 有如下关系:B = ·A . (9) (8)

故可简化为椭圆方程:- · V =J . 画出大小为2＊2的矩形R1, 两导线用直径为0. 2、相距0. 8的两个圆表示. (10)

矩形的边界条件是Dirichlet 边界条件, 取h =1, r =0. 这种做法是模拟远处的磁场势为零.

在设置方程类型时, 选取应用模式为Mangetostatics , 这时的方程形式为式(10) 所示. 故在选择方程时选取Elliptic (椭圆) 方程, 对于矩形其它部分系数取μ=1、J =0. 在表示导线的圆内, 取μ=1, J =1.

两根载流长直导线的磁场势和磁力线如图4所示, 磁力线用箭头表示.

图4　两根载流长直导线的磁场势和磁力线

5　结论

通过以上讨论可以看出, 利用Matlab 强大的求解偏微分方程和可视化功能模拟各类物理场的实验是成功的. 借助偏微分方程工具箱, 我们可以通过分析静电学、电场、磁场和电磁场的原理而建立偏微分方程, 经过数值计算模拟各类电磁场问题. 该方法不仅为大学物理中电磁场等课程的教学提供了良好便捷的辅助手段, 同时在科研当中为相关电磁场问题的设计分析开辟了另一条途径. 因此我们认为, 将Matlab 的偏微分方程工具箱引入计算机模拟是可行和有必要的, 而且具有良好的应用前景.

[参考文献]

[1]彭芳麟. 数学物理方程的Matlab 解法与可视化[M ]. 北京:清华大学出版社, 2004.

[2]苏金明, 张莲花, 刘波. MATLAB 工具箱应用[M ]. 北京:电子工业出版社, 2002.

[3]王沫然. MATLAB6. 0与科学计算[M ]. 北京:电子工业出版社, 2003.

[4]程守洙, 江之永. 普通物理学第二册(第5版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1998.

[5]Matlab Help . 美国MathWorks 公司, 2004.

Application of Matlab Language in Electric -Magnetism of College Physics

LI U Qun -ying

(College of M ahtem atics &physics , Chon gqing Institute of Technology , Jiulongpo Chong qing 400050, Chin a )

A bstract :Matlab is a visual and science calculation software oriented application1. It points out that computer simulation of electric -magnetic phenomenon based on Matlab had produced significant result in teaching electric -magnetism .

Key words :Matlab ; electric -magnetism ; simulation ; teaching