高考物理压轴题集锦
1．如图所示，PR 是一块长为L =4 m 的绝缘平板固定在水平地面上，整个空间有一个平行于PR 的匀强电场E ，在板的右半部分有一个垂直于纸面向外的匀强磁场B ，一个质量为m =0．1 kg ，带电量为q =0．5 C的物体，从板的P 端由静止开始在电场力和摩擦力的作用下向右做匀加速运动，进入磁场后恰能做匀速运动。当物体碰到板R 端的挡板后被弹回，若在碰撞瞬间撤去电场，物体返回时在磁场中仍做匀速运动，离开磁场后做匀减速运动停在C 点，PC =L/4，物体与平板间的动摩擦因数为μ=0．4，取g=10m/s2 ，求：
（1）判断物体带电性质，正电荷还是负电荷？ （2）物体与挡板碰撞前后的速度v 1和v 2 （3）磁感应强度B 的大小 （4）电场强度E 的大小和方向
2．如图所示, 空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场, 左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，其宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B 、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子（质量m, 电量q, 不计重力）从电场左边缘a 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a 点，然后重复上述运动过程。（图中虚线为电场与磁场、相反方向磁场间的分界面，并不表示有什么障碍物）。
（1）中间磁场区域的宽度d 为多大；
（2）带电粒子在两个磁场区域中的运动时间之比；
（3）带电粒子从a 点开始运动到第一次回到a 点时所用的时间t.
3．如图所示的坐标系，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向。在x 轴上方空间的第一、第二象限
内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y 轴正方向的匀强电场和垂直xy 平面（纸面）向里的匀强磁场。在第四象限，存在沿y 轴负方向，场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m 、电量为q 的带电质点，从y 轴上y=h处的p 1点以一定的水平初速度沿x 轴负方向进入第二象限。然后经过x 轴上x=-2h处的p 2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动。之后经过y 轴上y=-2h处的p 3点进入第四象限。已知重力加速度为g 。求：
（1）粒子到达p 2点时速度的大小和方向；
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。
4．如图所示，在真空区域内，有宽度为L 的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直纸面向里，MN 、PQ 是磁场的边界。质量为m ，带电量为－q 的粒子，先后两次沿着与MN 夹角为θ（0
（1）为使粒子经电压U 2加速射入磁场后沿直线运动，直至射出PQ 边界，可在磁场区域加一匀强电场，求该电场的场强大小和方向。
（2）加速电压
L U 1
的值。 U 2
5．地球周围存在磁场，由太空射来的带电粒子在此磁场的运动称为磁 漂移，以下是描述的一种假设的磁漂移运动，一带正电的粒子(质量为 m ，带电量为q ) 在x =0，y =0处沿y 方向以某一速度v 0运动，空间存在 垂直于图中向外的匀强磁场，在y >0的区域中，磁感应强度为B 1，在y B 2，如图所示，若把粒子出发点x =0处作为第0次过x 轴。求：
(1)粒子第一次过x 轴时的坐标和所经历的时间。 (2)粒子第n 次过x 轴时的坐标和所经历的时间。
(3)第0次过z 轴至第n 次过x 轴的整个过程中，在x 轴方向的平均速度v 与v 0之比。 (4)若B 2：B 1=2，当n 很大时，v ：v 0趋于何值?
6．如图所示，xOy 平面内的圆O ′与y 轴相切于坐标原点O 。在该圆形区域内，有与y 轴平行的匀强电场和垂直于圆面的匀强磁场。一个带电粒子（不计重力）从原点O 沿x 轴进入场区，恰好做匀速直线运动，穿过圆形区域的时间为T 0。若撤去磁场，只保留电场，其他条件不变，该带电粒子穿过圆形区域的时间为求该带电粒子穿过圆形区域的时间。
7．如图所示，一质量为m 、带电量为q 的粒子以速度
从A 点
T 0
；若撤去电场，只保留磁场，其他条件不变，2
沿等边三角形ABC 的AB 方向射入磁感应强度为B 。方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC 方向，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）
8．如图所示，直角三角形可沿
中
, 边长
。假设在顶点A 处有一放射源、带电量为e
的电子。在三角形
点射
所夹范围的各个方向放射出质量为m 、速度为的适当区域内有匀强磁场。当电子从顶点A 沿
方向射入磁场时，电子恰好从
出。要使放射出的电子穿过磁场后，都只能沿平行于场
方向向右运动，试求（1）此匀强磁
的大小和方向；（2）匀强磁场区域分布的最小面积S 。（粒子重力忽略不计）
9．两块板长L=1.4m，间距d=0.3m水平放置的平行板。板间加有垂直纸面向里，B=1.25T的匀
径向外的电场，一质量为m 、带电量为
+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，初
速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S ，则两电极之间的电压U 应
是多少？（不计重力，整个装置在直空中）
11．在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B 。一
质量为m ，带有电量q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD 方向经P 点（AP ＝d ）射入磁场（不计重力影响）。
⑴如果粒子恰好从A 点射出磁场，求入射粒子的速度。
⑵如果粒子经纸面内Q 点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q 点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。
12．环状匀强磁场围成中空区域，环状磁场具有束缚带电粒子的作用，技术上称之为“磁瓶”，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径为R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚的带电粒子的荷质比为q /m=4 10c/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度，求： （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿出磁场的最大速度为多少？
（2）为使所有粒子均不能穿出磁场，带电粒子的最大速度为多少？
7
[解答]
1．（1）由于物体返回后在磁场中无电场，且仍做匀速运动，故知摩擦力为0，所以物体带正电荷．且：mg =qBv 2…………………………………………………………①
（2）离开电场后，按动能定理，有：-μmg
由①式得：v 2=22 m/s
L 1
=0-mv 2………………………………②
24
（3）代入前式①求得：B =
2
T 2
（4）由于电荷由P 运动到C 点做匀加速运动，可知电场强度方向水平向右，且：（Eq -μmg）
L 1
=mv 12-0……………………………………………③ 22
进入电磁场后做匀速运动，故有：Eq =μ（qBv 1+mg ）……………………………④ 由以上③④两式得：⎨
⎧v 1=42 m/s⎩E =2.4 N/C
2. 解：（1）带正电的粒子在电场中加速，由动能定理得 qEL =
12mv v =2v 2
在磁场中偏转，由牛顿第二定律得 qvB =m
r
r =
mv =
qB 可见在两磁场区域粒子运动的半径相同。如右图，三段圆弧
的圆心组成的三角形O 1O 2O 3是等边三角形，其边长为2r
d =r sin 60=
(2)带电粒子在中间磁场区域的两段圆弧所对应的圆心角为：θ1=60⨯2=
120，
由于速度v 相同，角速度相同，故而两个磁场区域中的运动时间之比为：
t 1θ1120 2
===
t 2θ23005
（3
）电场中，t 1=
2v 2mv ==a qE 55πm T 2πm
右侧磁场中, t 3=T = =
63qB 63qB
中间磁场中， t 2=2⨯
则t =t 1+t 2+t 3=7πm
3qB
3. 解：（1）质点从P 1到P 2，由平抛运动规律
12
gt 22h
v0= vy =gt
t
h=
求出v=v 0+v y =2gh 方向与x 轴负方向成45°角
（2）质点从P 2到P 3，重力与电场力平衡，洛仑兹力提供向心力 Eq=mg
2
2
v 2
Bqv=m
R
(2R)=(2h)+(2h) 解得E=
2
2
2
m g m 2g B= q q h
（1） 质点进入第四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速直线运动。当竖直
方向的速度减小到0，此时质点速度最小，即v 在水平方向的分量
vmin =v cos 45°=2gh 方向沿x 轴正方向
4．（1）如图答1所示，经电压U 2加速后以速度v 2射入磁场，粒子刚好垂直PQ 射出磁场，可确定粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ 边界线的O 点，半径R 2与磁场宽L 的关系式为
R 2=
L BqL mv 2
（2分），又R 2= （2分），解得v 2= （2分） cos θm cos θBq
加匀强电场后，粒子在磁场中沿直线运动射出PQ 边界的条件为Eq ＝Bq v 2（2分），
电场力的方向与磁场力的方向相反。 （2分）
B 2qL 由此可得出E =，E 的方向垂直磁场方向斜向右下（2分），与磁场边界夹角
m cos θ
为α=
π
2
-θ（2分），如图答2所示。
（2）经电压U 1加速后粒子射入磁场后刚好不能从PQ 边界射出磁场，表明在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与PQ 边界相切，要确定粒子做匀速圆周运动的圆心O 的位置，如图答3所示，圆半径R 1与L 的关系式为：L =R 1+R 1cos θ, R 1=
又R 1=
L
（2分）
1+cos θ
mv 1BqL
，解得v 1= （2分） Bq m (1+cos θ)
1212U 1v 12cos 2θ
由于U 1q =mv 1，U 2q =mv 2，所以 （2分 =22
22U 2v 2(1+cos θ)
5．. 解：(1)设带电粒子的电量为q ，质量为m ，在B 1和B 2中运动轨道半径分别为r 1和r 2，周期分别为T 1和T 2，
mV 2⎛2π⎫
=m 由qvB =⎪r r ⎝T ⎭
2
(2分)
可得，r 1= r 2=
mv 0
qB 1mv 0
qB 1
T 1=T 2=
2πm
qB 12πm
qB 2
粒子第一次过x 轴时的坐标为
x 1=2r 1=
2πm
qB 1
(2分)
粒子第一次过x 轴时的经历的时间为
1πm t 1=T 1= 2qB 1
(2分)
(2)设用x 表示至第n 次过x 轴的整个过程中，粒子沿x 轴方向的位移大小，当n 为奇数时则有 x =
n +1n -12r 1-2r 2(n =2, 4, 6 ) 22
(2分)
当n 为偶数时，则有 x =n (2r 1-2r 2)(n =2，4，6…) 当n 为奇数时，则有 11
t=n(T 1+T 2)(n =2，4，6…)
22
(2分)
用t 表示从开始到此时的时间，
(2分)
(3)由v =
x
得， v
当n 为奇数时，则有
v v 0
B 12
∙
(n +1)B 2+(n -1)π
B 1
(n +1)B 2-(n -1)
(2分)
当n 为偶数时，则有
B 2
-1
v 2B 1=∙ v 0πB 2
+1B 1
(2分)
(4)若B 2：B 1=2，则当n 很大时(n +1)≈(n -1), 有 2
v ：v 0趋于π
3
(2分)
6．解：设粒子进入圆形区域时的速度为v ，电场强度为E ，磁感应强度为B 。
当电场、磁场同时存在时，由题意有：
qE -qvB =0
…………①
（2分）
2R =v ⋅T 0
…………② （2分）
当只撤去磁场时，粒子在电场中做类平抛运动，轨迹如图所示，有：
x 方向，匀速直线运动：
R =v ⋅
T 0
2
…………③ （2分）
y 方向，匀加速直线运动：
1qE T 02
R =⋅⋅()
2m 2
转过的角度为θ，则有：
…………④ （3分）
当只撤去电场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示，设半径为r ，圆心为P ，
v 2
qvB =m
r T =tan
…………⑤ （2分）
2πm
qB
…………⑥ （2分）
θ
2
=
R
r
…………⑦ …………⑧
（3分） （2分）
t θ
= T 2πT
联解得：t =0arctan 2
2
（2分）
7．设粒子在磁场中作半径为R
的圆周运动，由洛伦兹里提供向心力
，可得
为一定值。如图4虚线圆所示，作出粒子沿AB 进入、BC
射出磁场的运动轨迹。过P 、Q 两定点的不同圆周中，面积最小的是以线段PQ 为直径的圆（如图4中实线圆所示），即所求的最小
圆形磁场区域。由几何关系知
，实线圆的半径
，则待求最小圆形磁场区域的面
积
=。
，
，电子从A 点沿
方向射
8．（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为入磁场，经偏转恰好能从
点射出。如图7所示，设圆弧
是电子的运动轨迹，其圆心为
，由几何关系知三角形A B 为正三角形。电子在磁场中运动的轨道半径R=，由电子作
圆周运动所受的洛伦兹力提供向心力有，可得。电子所受的洛伦兹力
指向圆弧的圆心，由左手定则判定磁场方向垂直纸面向里。 （2）题设要求所有由A 点向
的范围内发射电子均只能平行于AB 向右飞出磁场，由几
何关系知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点，所以沿AC 方向发射的电子在磁场中运动轨迹与AB 中垂线交点的左侧圆弧的上边界，其圆心为
（如图8中设
点为圆弧
中点）即为有界磁场
所夹
。下面确定下边界，先设磁场区域足够大。要保证电子在
范围内由A 点沿任意方向发射电子都只能平行于AB 向右飞出磁场，则要求电子飞出有界磁场的点满足：以圆弧
（以A 为圆心，a 为半径）上的任意一点
。实际上，
为圆心，a
为半径的圆弧上的点
沿垂直于AB
向
与平行于AB 的直线的交点点相当于圆弧
上平移a 得到的，所以满足条件的有界磁场的下边界为：将A 点沿垂直于AB 向上平移距离a 得到的O 点为圆心，以a 为半径的圆弧与小区域为弧
与弧
交点的下方部分
。故所求有界磁场的最
面积减去三角形
面积
所围的部分，其面积为扇形
的二倍，即最小磁场区域的面积为
9 解：粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半经。
＝。
-153
2πm qB
速，沿径向穿出a 而进入磁场区，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，粒子再回到S 点的条件是能沿径向穿过狭缝b ，只要穿过了b ，粒子就会在电场力作用下选减速，再反向回速，经b 重新进入磁场区，然后，粒子将以同样方式经过c 、d ，再经过a 回到S 点。
设粒子射入磁场区的速度为υ，根据能量守恒，有
1
m υ2=qU ○1 2
设粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R ，由洛仑兹力公式和牛顿定律得
m
υ2
R
2 =qBv ○
由上面分析可知，要回到S 点，粒子从a 到b 必经过
3
圆周，所以半径R 必定等于筒的外半径4
3 r 0，即R =r 0 ○
qr 02B 2
由以上各式解得U = ○4
2m
11．⑴由于粒子在P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP 上，AP 是直径。 设入射粒子的速度为v 1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：
v 12
=qBv 1 m d /2
解得：v 1=
///
⑵设O 是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O Q ，设O Q ＝R /。 由几何关系得： ∠OQO =ϕ OO =R +R -d
/
/
qBd
2m
/
由余弦定理得：(OO /) 2=R 2+R /-2RR /cos ϕ 解得：R =
/
2
d (2R -d )
2R (1+cos ϕ) -d v 2
设入射粒子的速度为v ，由m /=qvB
R
解出：v =
qBd (2R -d )
2m R (1+cos ϕ) -d （2）
12．（1）
高考物理压轴题集锦
1．如图所示，PR 是一块长为L =4 m 的绝缘平板固定在水平地面上，整个空间有一个平行于PR 的匀强电场E ，在板的右半部分有一个垂直于纸面向外的匀强磁场B ，一个质量为m =0．1 kg ，带电量为q =0．5 C的物体，从板的P 端由静止开始在电场力和摩擦力的作用下向右做匀加速运动，进入磁场后恰能做匀速运动。当物体碰到板R 端的挡板后被弹回，若在碰撞瞬间撤去电场，物体返回时在磁场中仍做匀速运动，离开磁场后做匀减速运动停在C 点，PC =L/4，物体与平板间的动摩擦因数为μ=0．4，取g=10m/s2 ，求：
（1）判断物体带电性质，正电荷还是负电荷？ （2）物体与挡板碰撞前后的速度v 1和v 2 （3）磁感应强度B 的大小 （4）电场强度E 的大小和方向
2．如图所示, 空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场, 左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，其宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B 、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子（质量m, 电量q, 不计重力）从电场左边缘a 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a 点，然后重复上述运动过程。（图中虚线为电场与磁场、相反方向磁场间的分界面，并不表示有什么障碍物）。
（1）中间磁场区域的宽度d 为多大；
（2）带电粒子在两个磁场区域中的运动时间之比；
（3）带电粒子从a 点开始运动到第一次回到a 点时所用的时间t.
3．如图所示的坐标系，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向。在x 轴上方空间的第一、第二象限
内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y 轴正方向的匀强电场和垂直xy 平面（纸面）向里的匀强磁场。在第四象限，存在沿y 轴负方向，场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m 、电量为q 的带电质点，从y 轴上y=h处的p 1点以一定的水平初速度沿x 轴负方向进入第二象限。然后经过x 轴上x=-2h处的p 2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动。之后经过y 轴上y=-2h处的p 3点进入第四象限。已知重力加速度为g 。求：
（1）粒子到达p 2点时速度的大小和方向；
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。
4．如图所示，在真空区域内，有宽度为L 的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直纸面向里，MN 、PQ 是磁场的边界。质量为m ，带电量为－q 的粒子，先后两次沿着与MN 夹角为θ（0
（1）为使粒子经电压U 2加速射入磁场后沿直线运动，直至射出PQ 边界，可在磁场区域加一匀强电场，求该电场的场强大小和方向。
（2）加速电压
L U 1
的值。 U 2
5．地球周围存在磁场，由太空射来的带电粒子在此磁场的运动称为磁 漂移，以下是描述的一种假设的磁漂移运动，一带正电的粒子(质量为 m ，带电量为q ) 在x =0，y =0处沿y 方向以某一速度v 0运动，空间存在 垂直于图中向外的匀强磁场，在y >0的区域中，磁感应强度为B 1，在y B 2，如图所示，若把粒子出发点x =0处作为第0次过x 轴。求：
(1)粒子第一次过x 轴时的坐标和所经历的时间。 (2)粒子第n 次过x 轴时的坐标和所经历的时间。
(3)第0次过z 轴至第n 次过x 轴的整个过程中，在x 轴方向的平均速度v 与v 0之比。 (4)若B 2：B 1=2，当n 很大时，v ：v 0趋于何值?
6．如图所示，xOy 平面内的圆O ′与y 轴相切于坐标原点O 。在该圆形区域内，有与y 轴平行的匀强电场和垂直于圆面的匀强磁场。一个带电粒子（不计重力）从原点O 沿x 轴进入场区，恰好做匀速直线运动，穿过圆形区域的时间为T 0。若撤去磁场，只保留电场，其他条件不变，该带电粒子穿过圆形区域的时间为求该带电粒子穿过圆形区域的时间。
7．如图所示，一质量为m 、带电量为q 的粒子以速度
从A 点
T 0
；若撤去电场，只保留磁场，其他条件不变，2
沿等边三角形ABC 的AB 方向射入磁感应强度为B 。方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC 方向，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）
8．如图所示，直角三角形可沿
中
, 边长
。假设在顶点A 处有一放射源、带电量为e
的电子。在三角形
点射
所夹范围的各个方向放射出质量为m 、速度为的适当区域内有匀强磁场。当电子从顶点A 沿
方向射入磁场时，电子恰好从
出。要使放射出的电子穿过磁场后，都只能沿平行于场
方向向右运动，试求（1）此匀强磁
的大小和方向；（2）匀强磁场区域分布的最小面积S 。（粒子重力忽略不计）
9．两块板长L=1.4m，间距d=0.3m水平放置的平行板。板间加有垂直纸面向里，B=1.25T的匀
径向外的电场，一质量为m 、带电量为
+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，初
速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S ，则两电极之间的电压U 应
是多少？（不计重力，整个装置在直空中）
11．在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B 。一
质量为m ，带有电量q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD 方向经P 点（AP ＝d ）射入磁场（不计重力影响）。
⑴如果粒子恰好从A 点射出磁场，求入射粒子的速度。
⑵如果粒子经纸面内Q 点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q 点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。
12．环状匀强磁场围成中空区域，环状磁场具有束缚带电粒子的作用，技术上称之为“磁瓶”，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径为R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚的带电粒子的荷质比为q /m=4 10c/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度，求： （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿出磁场的最大速度为多少？
（2）为使所有粒子均不能穿出磁场，带电粒子的最大速度为多少？
7
[解答]
1．（1）由于物体返回后在磁场中无电场，且仍做匀速运动，故知摩擦力为0，所以物体带正电荷．且：mg =qBv 2…………………………………………………………①
（2）离开电场后，按动能定理，有：-μmg
由①式得：v 2=22 m/s
L 1
=0-mv 2………………………………②
24
（3）代入前式①求得：B =
2
T 2
（4）由于电荷由P 运动到C 点做匀加速运动，可知电场强度方向水平向右，且：（Eq -μmg）
L 1
=mv 12-0……………………………………………③ 22
进入电磁场后做匀速运动，故有：Eq =μ（qBv 1+mg ）……………………………④ 由以上③④两式得：⎨
⎧v 1=42 m/s⎩E =2.4 N/C
2. 解：（1）带正电的粒子在电场中加速，由动能定理得 qEL =
12mv v =2v 2
在磁场中偏转，由牛顿第二定律得 qvB =m
r
r =
mv =
qB 可见在两磁场区域粒子运动的半径相同。如右图，三段圆弧
的圆心组成的三角形O 1O 2O 3是等边三角形，其边长为2r
d =r sin 60=
(2)带电粒子在中间磁场区域的两段圆弧所对应的圆心角为：θ1=60⨯2=
120，
由于速度v 相同，角速度相同，故而两个磁场区域中的运动时间之比为：
t 1θ1120 2
===
t 2θ23005
（3
）电场中，t 1=
2v 2mv ==a qE 55πm T 2πm
右侧磁场中, t 3=T = =
63qB 63qB
中间磁场中， t 2=2⨯
则t =t 1+t 2+t 3=7πm
3qB
3. 解：（1）质点从P 1到P 2，由平抛运动规律
12
gt 22h
v0= vy =gt
t
h=
求出v=v 0+v y =2gh 方向与x 轴负方向成45°角
（2）质点从P 2到P 3，重力与电场力平衡，洛仑兹力提供向心力 Eq=mg
2
2
v 2
Bqv=m
R
(2R)=(2h)+(2h) 解得E=
2
2
2
m g m 2g B= q q h
（1） 质点进入第四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速直线运动。当竖直
方向的速度减小到0，此时质点速度最小，即v 在水平方向的分量
vmin =v cos 45°=2gh 方向沿x 轴正方向
4．（1）如图答1所示，经电压U 2加速后以速度v 2射入磁场，粒子刚好垂直PQ 射出磁场，可确定粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ 边界线的O 点，半径R 2与磁场宽L 的关系式为
R 2=
L BqL mv 2
（2分），又R 2= （2分），解得v 2= （2分） cos θm cos θBq
加匀强电场后，粒子在磁场中沿直线运动射出PQ 边界的条件为Eq ＝Bq v 2（2分），
电场力的方向与磁场力的方向相反。 （2分）
B 2qL 由此可得出E =，E 的方向垂直磁场方向斜向右下（2分），与磁场边界夹角
m cos θ
为α=
π
2
-θ（2分），如图答2所示。
（2）经电压U 1加速后粒子射入磁场后刚好不能从PQ 边界射出磁场，表明在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与PQ 边界相切，要确定粒子做匀速圆周运动的圆心O 的位置，如图答3所示，圆半径R 1与L 的关系式为：L =R 1+R 1cos θ, R 1=
又R 1=
L
（2分）
1+cos θ
mv 1BqL
，解得v 1= （2分） Bq m (1+cos θ)
1212U 1v 12cos 2θ
由于U 1q =mv 1，U 2q =mv 2，所以 （2分 =22
22U 2v 2(1+cos θ)
5．. 解：(1)设带电粒子的电量为q ，质量为m ，在B 1和B 2中运动轨道半径分别为r 1和r 2，周期分别为T 1和T 2，
mV 2⎛2π⎫
=m 由qvB =⎪r r ⎝T ⎭
2
(2分)
可得，r 1= r 2=
mv 0
qB 1mv 0
qB 1
T 1=T 2=
2πm
qB 12πm
qB 2
粒子第一次过x 轴时的坐标为
x 1=2r 1=
2πm
qB 1
(2分)
粒子第一次过x 轴时的经历的时间为
1πm t 1=T 1= 2qB 1
(2分)
(2)设用x 表示至第n 次过x 轴的整个过程中，粒子沿x 轴方向的位移大小，当n 为奇数时则有 x =
n +1n -12r 1-2r 2(n =2, 4, 6 ) 22
(2分)
当n 为偶数时，则有 x =n (2r 1-2r 2)(n =2，4，6…) 当n 为奇数时，则有 11
t=n(T 1+T 2)(n =2，4，6…)
22
(2分)
用t 表示从开始到此时的时间，
(2分)
(3)由v =
x
得， v
当n 为奇数时，则有
v v 0
B 12
∙
(n +1)B 2+(n -1)π
B 1
(n +1)B 2-(n -1)
(2分)
当n 为偶数时，则有
B 2
-1
v 2B 1=∙ v 0πB 2
+1B 1
(2分)
(4)若B 2：B 1=2，则当n 很大时(n +1)≈(n -1), 有 2
v ：v 0趋于π
3
(2分)
6．解：设粒子进入圆形区域时的速度为v ，电场强度为E ，磁感应强度为B 。
当电场、磁场同时存在时，由题意有：
qE -qvB =0
…………①
（2分）
2R =v ⋅T 0
…………② （2分）
当只撤去磁场时，粒子在电场中做类平抛运动，轨迹如图所示，有：
x 方向，匀速直线运动：
R =v ⋅
T 0
2
…………③ （2分）
y 方向，匀加速直线运动：
1qE T 02
R =⋅⋅()
2m 2
转过的角度为θ，则有：
…………④ （3分）
当只撤去电场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示，设半径为r ，圆心为P ，
v 2
qvB =m
r T =tan
…………⑤ （2分）
2πm
qB
…………⑥ （2分）
θ
2
=
R
r
…………⑦ …………⑧
（3分） （2分）
t θ
= T 2πT
联解得：t =0arctan 2
2
（2分）
7．设粒子在磁场中作半径为R
的圆周运动，由洛伦兹里提供向心力
，可得
为一定值。如图4虚线圆所示，作出粒子沿AB 进入、BC
射出磁场的运动轨迹。过P 、Q 两定点的不同圆周中，面积最小的是以线段PQ 为直径的圆（如图4中实线圆所示），即所求的最小
圆形磁场区域。由几何关系知
，实线圆的半径
，则待求最小圆形磁场区域的面
积
=。
，
，电子从A 点沿
方向射
8．（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为入磁场，经偏转恰好能从
点射出。如图7所示，设圆弧
是电子的运动轨迹，其圆心为
，由几何关系知三角形A B 为正三角形。电子在磁场中运动的轨道半径R=，由电子作
圆周运动所受的洛伦兹力提供向心力有，可得。电子所受的洛伦兹力
指向圆弧的圆心，由左手定则判定磁场方向垂直纸面向里。 （2）题设要求所有由A 点向
的范围内发射电子均只能平行于AB 向右飞出磁场，由几
何关系知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点，所以沿AC 方向发射的电子在磁场中运动轨迹与AB 中垂线交点的左侧圆弧的上边界，其圆心为
（如图8中设
点为圆弧
中点）即为有界磁场
所夹
。下面确定下边界，先设磁场区域足够大。要保证电子在
范围内由A 点沿任意方向发射电子都只能平行于AB 向右飞出磁场，则要求电子飞出有界磁场的点满足：以圆弧
（以A 为圆心，a 为半径）上的任意一点
。实际上，
为圆心，a
为半径的圆弧上的点
沿垂直于AB
向
与平行于AB 的直线的交点点相当于圆弧
上平移a 得到的，所以满足条件的有界磁场的下边界为：将A 点沿垂直于AB 向上平移距离a 得到的O 点为圆心，以a 为半径的圆弧与小区域为弧
与弧
交点的下方部分
。故所求有界磁场的最
面积减去三角形
面积
所围的部分，其面积为扇形
的二倍，即最小磁场区域的面积为
9 解：粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半经。
＝。
-153
2πm qB
速，沿径向穿出a 而进入磁场区，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，粒子再回到S 点的条件是能沿径向穿过狭缝b ，只要穿过了b ，粒子就会在电场力作用下选减速，再反向回速，经b 重新进入磁场区，然后，粒子将以同样方式经过c 、d ，再经过a 回到S 点。
设粒子射入磁场区的速度为υ，根据能量守恒，有
1
m υ2=qU ○1 2
设粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R ，由洛仑兹力公式和牛顿定律得
m
υ2
R
2 =qBv ○
由上面分析可知，要回到S 点，粒子从a 到b 必经过
3
圆周，所以半径R 必定等于筒的外半径4
3 r 0，即R =r 0 ○
qr 02B 2
由以上各式解得U = ○4
2m
11．⑴由于粒子在P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP 上，AP 是直径。 设入射粒子的速度为v 1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：
v 12
=qBv 1 m d /2
解得：v 1=
///
⑵设O 是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O Q ，设O Q ＝R /。 由几何关系得： ∠OQO =ϕ OO =R +R -d
/
/
qBd
2m
/
由余弦定理得：(OO /) 2=R 2+R /-2RR /cos ϕ 解得：R =
/
2
d (2R -d )
2R (1+cos ϕ) -d v 2
设入射粒子的速度为v ，由m /=qvB
R
解出：v =
qBd (2R -d )
2m R (1+cos ϕ) -d （2）
12．（1）