4.3 角能力培优练习(含答案)

4.3 角

专题一角的个数与表示

1. 下列说法中正确的个数是（）

①由两条射线组成的图形叫做角，②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，③角的两边是两条射线，④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

2. 下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有画2条射线，图中共有个

角；画

3条射线，图中共有个角，求画n 条射线所得的角的个数．

专题二钟面上的角度问题

3. 4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）

A ．55° B ．65° C ．70° D ．以上结论都不对

5. 周末莉莉跟妈妈去乡下的外婆家，8点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重合的，下午2点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？几点钟回到家？共用了多少时间？

专题三角的折叠与拼接

6. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（） A ．75° B ．105° C ．120° D ．125°

7．一副三角板按如图所示方式重叠，若图中∠DCE=35025′则∠

ACB=_________.

8. 如图，先找到长方形纸的宽DC 的中点E ，将∠C 过E 点折起任意一个角，折痕是EF ，再将∠D 过E 点折起，使DE 和C′E重合，折痕是GE ，你得到的∠GEF 是直角吗？为什么？

专题四角的和、差、倍、分 9. 已知α、β是两个钝角, 计算

(α+β)的值, 甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不 6

同的答案分别为24°、48°、76°、86°, 其中只有一个答案是正确的, 则正确的答案是（）．

A ．86°B ．76° C ．48°D ．24°

10. 计算：

11. 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 和OC ，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC 的度数.

12. 已知∠AOB=

∠BOC ，∠COD=∠AOD=3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数

. 2

13. 已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC. （1）如图①，若∠AOC=30°，求∠DOE 的度数;

（2）在如图①中，若∠AOC=a ，直接写出∠DOE 的度数（用含a 的代数式表示）; （3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.

①探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

②在∠AOC 的内部有一条射线OF, 满足：∠AOC －4∠AOF=2∠BOE+∠AOF, 试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由

专题五余角、补角、方位角

14．（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于（）

A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°

16. 已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．

17. 如图所示：点O 是直线AB 上的一点，OE 平分∠AOC ，OD 平分∠BOC 。求：(1) ∠DOE 的度数；

（2）图中互余的角有多少对？请把它们写出来. （一定要仔细哦! ）

知识要点：

1. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

2.1度=60分，1分=60秒.1周角=2平角=4直角=360°.

3. 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 4. 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.

5. 同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等. 温馨提示：

1. 与角有关的注意事项：

（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长. （2）角的大小与边的长短粗细无关．（3）放大镜不能改变角的度数.

（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周

角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”． 2. 与角的和、差、倍、分有关的注意事项.

（1）度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满60进一；（2）度分秒减法：度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60′，借1′就相当于60″；

（3）度分秒乘法：计算结束后，满60进一；60″就相当于1′, 60′就相当于1°. （4）度分秒除法：余1°就相当于60′，余1′就相当于60″． 3. 余角与补角中的注意事项：

（1）互为余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．

（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角. （4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）×°”．方法技巧：

1. 在已知角内画n 条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=

(n +1)(n +2)

2. 时钟上每格30°，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具．

3. 用一副三角板可以画0°~180°中15°的倍数的角，即15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、 120°、135°、150°、165°、180°．共12个角. 4. 如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角． 5. 在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.

参考答案

6. D 解：一副三角板的度数分别为：30°、60°、45°、45°、90°，因此可以拼出75°、105°和120°，不能拼出125°的角．

7. 144°35′解析：因为∠ACD=∠BCE=90°, 故∠ACE=∠ACD －∠DCE=90°－ 35025′=54035′. 所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°+54035′=144°35′. 8. 解析：∠GEF 是直角. 理由如下：

由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，所以∠1+∠2=900，所以∠GEF 是直角．

9. C 解析: 因为α、β是两个钝角，所以90°＜α＜180°, 90°＜α＜180°．所以180°＜α＋β＜360°，所以30°＜10.

．所以C 选项符合要求．

(α+β)＜60°

（4）176°52′÷3=58°+172′÷3=58°+57′+60〞÷3=58°57′20〞

11. 解析：若OC 在∠AOB 的内部，如图1，则∠AOC=∠AOB －∠BOC=60°－20°=40°; 若OC 在∠AOB 的外部，如图2，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°. 所以∠AOC 的度数为40°或80°

图1 图2

12. 解析：设∠AOB=x°，所以∠COD=∠AOD=3∠AOB=3x°. 因为∠AOB=

∠BOC ，所以∠BOC=2x°. 因为∠BOC+∠COD+∠AOD+∠AOB=360°， 2

所以3x+3x+2x+x=360. 解得x=40.所以∠AOB=40°，∠COD=120°. 13. 解析：（1）因为∠AOC=30°，所以∠BOC=180°－30°=150°. 因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=∠EOB=150°÷2=75°.

因为∠COD 是直角，所以∠DOE=∠COD －∠EOC=90°－75°=15°. （2）

α. 2

∠AOC . 2

（3）①∠DOE =

设∠DOE=x,则∠COE=90°－x ，∠AOC=180－2∠COE=180－2(90－x)=2x. 所以∠DOE =

∠AOC. 2

②4∠DOE －5∠AOF=180°，设∠DOE=x,∠AOF=y.则∠AOC=2x，∠BOE=90－x. 因为∠AOC －4∠AOF=2∠BOE+∠AOF, 所以2x －4y=2(90－x)+y，所以4x －5y=180. 所以4∠DOE －5∠AOF=180°.

14. C 解析：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：∠β－∠γ=90°．故选C ．

15. 解：（1）∠AOC=∠AOB=90°－50°+15°=55°，OC 的方向是北偏东15°+55°=70°；（2）OD 是OB 的反向延长线，OD 的方向是南偏东40°；

（3）OE 是∠BOD 的平分线，∠BOE=90°；OE 的方向是南偏西50°；（4）∠COE=90°+50°+20°=160°．

16. 解：设这个角的度数是x ，则（180°－x ）－3（90°－x ）=10°，解得x=50°．答：这个角的度数为50°.

17．解析:（1）∠DOE =90°.

+B O C =18 因为O 是直线AB 上的一点，所以 ∠A O C ∠ ,

∠AOE =∠EOC=∠AOC

︒

因为 OE 平分∠AOC , 所以

因为 OD 平分∠BOC ，所以 ∠BOD =∠DOC= 所以∠EOC+∠DOC=

∠BOC , 2

111

∠AOC+∠BOC=∠AOB=90︒ ，即∠EOD=90︒. 222

（2）图中互余的角有4对.

∠BOD 与∠EOC, ∠BOD 与∠AOE, ∠COD 与∠EOC, ∠COD 与∠AOE