北航数值分析复习试题

数值分析

1-1

=

10=

11=12，则Lagranage 二次插值多项式为（ ）

L 2(x ) =10

一、单项选择题（共20分, 每小题2分）

A.

(x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+11+12

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121) (144-100)

B ．L 2(x ) =11C ．L 2(x ) =12D ．L 2(x ) =10

(x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+10+12

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)(144-100)

(x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+11+10

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)(144-100) (x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+12+11

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)(144-100)

1-2

=

10=

11=12，用Lagranage

为（ ）精确到小数点后4位。 A. 9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.7227

1-3、已知X =(1 2 3 4)T ，则向量X 的X

∞

（ ）

, x 2, x 的值分别是：

B. -9，221,7 C. 4,5,6

D. 9,4,7

⎛-2-1⎫

A = ⎪

211-4、设 ⎝⎭，则A F , A ∞, A 2, x 1的值分别为（ ）

A. C.

B. -9

，

4,5,6

D. 9,4,7

1-5、设节点x k =x 0+kh (k =0,1,2,...,n), x =x 0+th (t >0), 则Newton 向前插值公式为（ ）

n

∆k f 0k -1∆k f n k -1

N n (x 0+th ) =f 0+∑(t -j ) N n (x n +th ) =f n +∑(t -j ) ∏∏A. B. k =1k ! k =1k ! j =0j =0

n

n

∇k f 0k -1∇k f n k -1

N n (x 0+th ) =f 0+∑(t -j ) N n (x n +th ) =f n +∑(t -j ) ∏∏n

C. k =1k ! j =0 D. k =1k ! j =0

⎧⎪

2x 1+4x 2+2x 3+6x 4=9

1-6、方程组⎪⎨4x 1+9x 2+6x 3+15x 4=23

⎪2x 1+6x 进行直接三角分解法得到的L 矩阵为（ ）

2+9x 3+18x 4=22⎪⎩6x 1+15x 2+18x 3+40x 4=47

426A. 21 123

21 B.

16

3321

1

21020

C.

223

36

D. 2411

6751 51

⎧⎪6x 1+2x 2+x 3-x 4=6

1-7、对方程组的系数矩阵⎨2x x 1++x 4x +24+x x 3-=x -=15进行Crout 分解法得到的U 矩阵为（ ⎪⎩-1x 1-2x 3

+33

x 4

4=-51136-13111

36-

311111261A.

1-156

B. 1-91317

11111136-666-

1113510211 C.

1-9236

D. 11

371-

112

1-8、1、已知f (x ) =x 6+x 4-x 2

+1，x k =2+kh , h =2 (k =0,1,2,...) ，则

f [2,6,10,14,18,22,26,30]=（ ）

）

A ．5！ B ．4！ C ．0 D ．1

1-9、1、已知f (x ) =x 6+x 4，x k =2+kh , h =2 (k =0,1,2,...) ，则f [2,4,6,8, 10, 12, 14]（ ）

A ．5！ B ．4！ C ．0 D ．1

1-10、复合Cotes 求积公式, 复合梯形求积公式和复合Simpson 求积公式的收敛阶分别为（ ） A ．5，1，3 B ．4，2 ，6 C ．6，2，4 D ．以上都不对

1-11、对线性方程组⎧⎪x 1+2x 2-2x 3=1，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解，则（ ）

=

⎨x 1+x 2+x 3=1

⎪⎩2x 1+2x 2+x 3=1

A.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 B. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均发散

C. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均收敛 D. Jocabi迭代法发散和G-S 迭代法收敛

1-12、对线性方程组⎧，则 ⎪9x 1-x 2-x 3=1，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解（ ）

⎨-x 1+8x 2 =2

⎪⎩-x 1+9x 3=3

B.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 A. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均发散

C. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均收敛 D. Jocabi迭代法发散和G-S 迭代法收敛

1-13、设线性方程组为⎧，⎪9x 1-x 2-x 3=1，则Jocabi 迭代格式和G-S 迭代格式分别为（ ）

⎨-x 1+8x 2 =2

⎪⎩-x 1+9x 3=3

则

⎧(k +1) 1(k ) 1(k ) 7

⎪x 1=9x 2+9x 3+9⎪⎪(k +1) 1(k ) 7⎨x 2=x 1+

88 (Ⅰ) ⎪ (Ⅱ) 1(k ) 8(k +1)

⎪x 3=x +⎪919⎩

⎧(k +1) 1(k ) 1(k ) 7

⎪x 1=9x 2+9x 3+9⎪⎪(k +1) 1(k +1) 7⎨x 2=x 1+

88 ⎪1(k +1) 8(k +1)

⎪x 3=x +1⎪99⎩

A. (Ⅰ) 和(Ⅱ) B. (Ⅱ) 和(Ⅰ) C. (Ⅰ) 和(Ⅰ) D. (Ⅱ) 和(Ⅱ)

1-14、已知x *是f (x ) 的m (m ≥2) 重根，则求重根的修正Newton 公式为（ ）

A . x k +1=x k -m

f (x k ) f (x k )

B . x k +1=x k -m

f '(x k ) f '(x 0)

C . x k +1=x k -

f (x k ) f (x k ) -f x (k -1)

(x k -x k -1) D . x =x -f x k (k +1k

(x k -x k -1) f (x k ) -f (x k -1)

)

1-15、若记y k =f (x k ), z k =f (y k ) ，则对迭代格式x k =f (x k -1) 使用Aitken 加速后得到的新迭代迭代格式为（ ）

(f (x k ) -x k ) 2

A . x k +1=x k -

f (f (x k )) -2f (x k ) +x k (f (x k ) -x k ) 2

B . x k +1=f (x k ) -

f (f (x k )) -2f (x k ) +x k

(z k -y k ) 2(f (f (x k )) -f (x k )) 2

C . x k +1=z k -D . x k +1=f (f (x k )) -

z k -2y k +x k f (f (x k )) -2f (x k ) +x k

1-16、将积分区间[a,b]n等分，分点为x k =a +kh ，k=0,1,2,3,4....n,其中h =形公式为( )

n -1n -1

h h

A. [f (a ) +4∑f (x k ) +f (b ) ] B. [f (a ) +2∑f (x k ) +f (b ) ]

22k =1k =1

b -a

，则复合梯n

n -1n -1

h

C. [f (a ) +2∑f (x k ) +4∑f (x 1) +f (b )]

k +6k =1k =02

n -1n -1

h

D. [f (a ) +2∑f (x k ) +4∑f (x 1) +f (b )]

k +6k =0k =12

二、填空题（共20分, 每空2分）

2-1、根据数值方法的稳定性与算法设计原则在连加运算中要防止 ，在减法运算中要避免 ，在除法运算中要避免，在乘法运算中要避免 。

2-2、有矩阵

1A =

1213

[1**********] 5

那么，cond (A ) 2=2-3、有矩阵

⎛120⎫ ⎪A = -12-1⎪.

011⎪⎝⎭

那么， ρ(A ) == ，A 2=

****

2-4 设准确值x =3.78695，x 1分别有有效数=3.7869, x 2=3.7870, 则x 1, x 2

字。

2-5、Simpson 求积公式的代数精度为。 2-6、已知

f [x 0, x 1, x 2]=10, f [x 1, x 2, x 3]=10, h =0.1, x i =a +ih ,

。

计算

f [x 1, x 2, x 0, x 3]=

三、计算题）

⎧6x 1+2x 2+x 3-x 4=6

19、用Crout 分解法求解方程组⎪2x 1+4x 2+x 3=-1⎨x +x +4x -x =5（10分）

4

⎪-1x -2x +33

x =-54⎩13

⎧x 1+2x 2+x 3-2x 4=－1

20、用Gauss 列主元素消去法求解方程组⎪2x 1+5x 2+3x 3-2x 4=3 （10分）

⎨－2x －2x +3x ＋5x =15

1234

⎪x +3

⎩1x 2+2x 3＋5x 4=9

（要求写出求解过程）

18、 试利用复合梯形求积公式（n=8）和复合Simpson 求积公式（n=4)求积分I = 的值（10分）。

22、教科书P77-83例1&例2&例3

要求写出差分表&Newton插值多项式及余项 23、习题3-24（1）P119-120.

24、习题6-14（1）&（2）P260.

25、用三阶R-K 法计算初值问题

sin x ⎰0x 1

{

y '=y ,x∈[0,0.5]y (0)=1

2

的部分解y 1, y 2, y 3，其中h =0.1

教科书P178

25、用四阶R-K 法计算y (1.3),y (1.5),其中h =0.1

{

y '=x +x y y (1)=1

23

四、算法设计（共10分, 每小题10分）

24、⑴编程实现四阶R-K 方法求一阶常微分方程初值问题

{

y '=f (x , y ) ,x∈[a,b] y (a ) =y 0

的数值解（C 、类C 、MATLAB 等）；

⑵调用⑴设计的程序计算如下初值问题：

⎧⎪y '=1(-y+x2+4x-1) ,x∈[0,0.5] ⎨2y (0)=0⎪⎩

的解y (x ) 在x =ih (h =0.05) 的近似值y i 。

数值分析

1-1

=

10=

11=12，则Lagranage 二次插值多项式为（ ）

L 2(x ) =10

一、单项选择题（共20分, 每小题2分）

A.

(x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+11+12

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121) (144-100)

B ．L 2(x ) =11C ．L 2(x ) =12D ．L 2(x ) =10

(x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+10+12

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)(144-100)

(x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+11+10

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)(144-100) (x -121)(x -144) (x -100)(x -144) (x -100)(x -121)

+12+11

(100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)(144-100)

1-2

=

10=

11=12，用Lagranage

为（ ）精确到小数点后4位。 A. 9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.7227

1-3、已知X =(1 2 3 4)T ，则向量X 的X

∞

（ ）

, x 2, x 的值分别是：

B. -9，221,7 C. 4,5,6

D. 9,4,7

⎛-2-1⎫

A = ⎪

211-4、设 ⎝⎭，则A F , A ∞, A 2, x 1的值分别为（ ）

A. C.

B. -9

，

4,5,6

D. 9,4,7

1-5、设节点x k =x 0+kh (k =0,1,2,...,n), x =x 0+th (t >0), 则Newton 向前插值公式为（ ）

n

∆k f 0k -1∆k f n k -1

N n (x 0+th ) =f 0+∑(t -j ) N n (x n +th ) =f n +∑(t -j ) ∏∏A. B. k =1k ! k =1k ! j =0j =0

n

n

∇k f 0k -1∇k f n k -1

N n (x 0+th ) =f 0+∑(t -j ) N n (x n +th ) =f n +∑(t -j ) ∏∏n

C. k =1k ! j =0 D. k =1k ! j =0

⎧⎪

2x 1+4x 2+2x 3+6x 4=9

1-6、方程组⎪⎨4x 1+9x 2+6x 3+15x 4=23

⎪2x 1+6x 进行直接三角分解法得到的L 矩阵为（ ）

2+9x 3+18x 4=22⎪⎩6x 1+15x 2+18x 3+40x 4=47

426A. 21 123

21 B.

16

3321

1

21020

C.

223

36

D. 2411

6751 51

⎧⎪6x 1+2x 2+x 3-x 4=6

1-7、对方程组的系数矩阵⎨2x x 1++x 4x +24+x x 3-=x -=15进行Crout 分解法得到的U 矩阵为（ ⎪⎩-1x 1-2x 3

+33

x 4

4=-51136-13111

36-

311111261A.

1-156

B. 1-91317

11111136-666-

1113510211 C.

1-9236

D. 11

371-

112

1-8、1、已知f (x ) =x 6+x 4-x 2

+1，x k =2+kh , h =2 (k =0,1,2,...) ，则

f [2,6,10,14,18,22,26,30]=（ ）

）

A ．5！ B ．4！ C ．0 D ．1

1-9、1、已知f (x ) =x 6+x 4，x k =2+kh , h =2 (k =0,1,2,...) ，则f [2,4,6,8, 10, 12, 14]（ ）

A ．5！ B ．4！ C ．0 D ．1

1-10、复合Cotes 求积公式, 复合梯形求积公式和复合Simpson 求积公式的收敛阶分别为（ ） A ．5，1，3 B ．4，2 ，6 C ．6，2，4 D ．以上都不对

1-11、对线性方程组⎧⎪x 1+2x 2-2x 3=1，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解，则（ ）

=

⎨x 1+x 2+x 3=1

⎪⎩2x 1+2x 2+x 3=1

A.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 B. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均发散

C. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均收敛 D. Jocabi迭代法发散和G-S 迭代法收敛

1-12、对线性方程组⎧，则 ⎪9x 1-x 2-x 3=1，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解（ ）

⎨-x 1+8x 2 =2

⎪⎩-x 1+9x 3=3

B.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 A. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均发散

C. Jocabi迭代法和G-S 迭代法均收敛 D. Jocabi迭代法发散和G-S 迭代法收敛

1-13、设线性方程组为⎧，⎪9x 1-x 2-x 3=1，则Jocabi 迭代格式和G-S 迭代格式分别为（ ）

⎨-x 1+8x 2 =2

⎪⎩-x 1+9x 3=3

则

⎧(k +1) 1(k ) 1(k ) 7

⎪x 1=9x 2+9x 3+9⎪⎪(k +1) 1(k ) 7⎨x 2=x 1+

88 (Ⅰ) ⎪ (Ⅱ) 1(k ) 8(k +1)

⎪x 3=x +⎪919⎩

⎧(k +1) 1(k ) 1(k ) 7

⎪x 1=9x 2+9x 3+9⎪⎪(k +1) 1(k +1) 7⎨x 2=x 1+

88 ⎪1(k +1) 8(k +1)

⎪x 3=x +1⎪99⎩

A. (Ⅰ) 和(Ⅱ) B. (Ⅱ) 和(Ⅰ) C. (Ⅰ) 和(Ⅰ) D. (Ⅱ) 和(Ⅱ)

1-14、已知x *是f (x ) 的m (m ≥2) 重根，则求重根的修正Newton 公式为（ ）

A . x k +1=x k -m

f (x k ) f (x k )

B . x k +1=x k -m

f '(x k ) f '(x 0)

C . x k +1=x k -

f (x k ) f (x k ) -f x (k -1)

(x k -x k -1) D . x =x -f x k (k +1k

(x k -x k -1) f (x k ) -f (x k -1)

)

1-15、若记y k =f (x k ), z k =f (y k ) ，则对迭代格式x k =f (x k -1) 使用Aitken 加速后得到的新迭代迭代格式为（ ）

(f (x k ) -x k ) 2

A . x k +1=x k -

f (f (x k )) -2f (x k ) +x k (f (x k ) -x k ) 2

B . x k +1=f (x k ) -

f (f (x k )) -2f (x k ) +x k

(z k -y k ) 2(f (f (x k )) -f (x k )) 2

C . x k +1=z k -D . x k +1=f (f (x k )) -

z k -2y k +x k f (f (x k )) -2f (x k ) +x k

1-16、将积分区间[a,b]n等分，分点为x k =a +kh ，k=0,1,2,3,4....n,其中h =形公式为( )

n -1n -1

h h

A. [f (a ) +4∑f (x k ) +f (b ) ] B. [f (a ) +2∑f (x k ) +f (b ) ]

22k =1k =1

b -a

，则复合梯n

n -1n -1

h

C. [f (a ) +2∑f (x k ) +4∑f (x 1) +f (b )]

k +6k =1k =02

n -1n -1

h

D. [f (a ) +2∑f (x k ) +4∑f (x 1) +f (b )]

k +6k =0k =12

二、填空题（共20分, 每空2分）

2-1、根据数值方法的稳定性与算法设计原则在连加运算中要防止 ，在减法运算中要避免 ，在除法运算中要避免，在乘法运算中要避免 。

2-2、有矩阵

1A =

1213

[1**********] 5

那么，cond (A ) 2=2-3、有矩阵

⎛120⎫ ⎪A = -12-1⎪.

011⎪⎝⎭

那么， ρ(A ) == ，A 2=

****

2-4 设准确值x =3.78695，x 1分别有有效数=3.7869, x 2=3.7870, 则x 1, x 2

字。

2-5、Simpson 求积公式的代数精度为。 2-6、已知

f [x 0, x 1, x 2]=10, f [x 1, x 2, x 3]=10, h =0.1, x i =a +ih ,

。

计算

f [x 1, x 2, x 0, x 3]=

三、计算题）

⎧6x 1+2x 2+x 3-x 4=6

19、用Crout 分解法求解方程组⎪2x 1+4x 2+x 3=-1⎨x +x +4x -x =5（10分）

4

⎪-1x -2x +33

x =-54⎩13

⎧x 1+2x 2+x 3-2x 4=－1

20、用Gauss 列主元素消去法求解方程组⎪2x 1+5x 2+3x 3-2x 4=3 （10分）

⎨－2x －2x +3x ＋5x =15

1234

⎪x +3

⎩1x 2+2x 3＋5x 4=9

（要求写出求解过程）

18、 试利用复合梯形求积公式（n=8）和复合Simpson 求积公式（n=4)求积分I = 的值（10分）。

22、教科书P77-83例1&例2&例3

要求写出差分表&Newton插值多项式及余项 23、习题3-24（1）P119-120.

24、习题6-14（1）&（2）P260.

25、用三阶R-K 法计算初值问题

sin x ⎰0x 1

{

y '=y ,x∈[0,0.5]y (0)=1

2

的部分解y 1, y 2, y 3，其中h =0.1

教科书P178

25、用四阶R-K 法计算y (1.3),y (1.5),其中h =0.1

{

y '=x +x y y (1)=1

23

四、算法设计（共10分, 每小题10分）

24、⑴编程实现四阶R-K 方法求一阶常微分方程初值问题

{

y '=f (x , y ) ,x∈[a,b] y (a ) =y 0

的数值解（C 、类C 、MATLAB 等）；

⑵调用⑴设计的程序计算如下初值问题：

⎧⎪y '=1(-y+x2+4x-1) ,x∈[0,0.5] ⎨2y (0)=0⎪⎩

的解y (x ) 在x =ih (h =0.05) 的近似值y i 。