第２１卷第４期
重庆工学院学报（自然科学版）
２００７年４，Ｅｌ
Ｖ０１．２１
Ｎｏ．４
ＪｏｕｒｎａｌｄＣｈｏｎｇｑｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅａｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ａｐｔ．２００７
【电子与自动化】
基于ＤＦＴ的信号幅值谱分析。
李芳，曹长修
（重庆大学自动化学院，重庆４０ｔ）０４４）
摘要：根据离散傅里叶变换ＤＦｒ的定义。推导出数字信号幅值谱的解析计算方法。并通过ｃ＋＋
Ｂｕｉｌｄｅｒ开发工具设计了一套测试程序，对数字合成信号进行了幅值谱的计算仿真，仿真结果验证了算法的有效性．最后，诠释了频谱泄漏及栅栏效应的问题，并提出了相应的改进方法．关键词：ＤＦＴ；幅值谱；频谱泄漏；栅栏效应中图分类号：ＴＮ９１１
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７１—０９２４｛２００７）０４一００６４—０３
ＤＦＴ－ＢａｓｅｄＡｎａｌｙｓｉｓ
ｏｎ
ＡｍｐｌｉｔｕｄｅＳｐｅｃｔｒｕｍ
ＵＦａｎｇ，ＣＡＯＣｈａｎｇ－ｘｉｕ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｄＡｕｔｃａ班ｔｉｏｎ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑ髓１９ｑｉＩｌｇ４０００４４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＦｒｏｍｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＤＦｒ。ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｆａｍｐｌｉｔｕｄｅｓｐｅｃｔｎａｎｆｏｒｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｌｉｓｄｅｒｉｖｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｒｏｕｇｈａ
ｔｅｓｔｉｎｇｐｒｏｇｒａｍｄｅｓｉｇｎｅｄｗｉｔｈＣ４－４－Ｂｕｉｌｄｅｒｔｏｏｌｓ，ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆａｍｐｌｉｔｕｄｅ
ｓｐｅｃ・
ｔｒｕｍｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｓ
ｆｕｌｆｉｌｌｅｄａｎｄｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓ
ｖａｌｉｄａｔｅｄ
ｔｏ
ｓａｔｉｓｆｙｔｈｅｎｅｅｄｆｏｒ
ｐｒｏｊｅｃｔ．Ｉｎ
ｔｈｅｅｎｄ，ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｓｐｅｃｔｒｕｍｌｅａｋａｇｅａｎｄｐｉｃｋｅｔｆｅｎｃｅｅｆｆｅｃｔ
ａｒｅ
ｅｘｐｌａｉｎｅｄａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｓｏｌｕ－
ｄｏｎｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＤＦＴ；ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓｐｅｃｔｒｕｍ；ｓｐｅｃｔｍｍｌｅａｋａｇｅ；ｐｉｃｋｅｔｆｅｎｃｅｅｆｆｅｃｔ
路：从离散傅里叶变换的定义出发分析数字信号幅值谱．
０引言
ｌ
ＤＦｒ推导信号幅值谱
频谱是为了使信号从时域转到频域而对信号进行分析的方法，可分为幅值谱、相位谱、实频谱、虚频谱、功率谱
１．１连续周期信号的幅值谱
等，它们从不同方面描述了信号的特征，从而表示出信号众所周知，连续周期信号经过一定时间可以重复出的频率信息．幅值谱和功率谱可以反映信号各频率的能量现，数学表达式为茗（１）＝茗（Ｉ＋灯）．同时，任何周期成分，相位谱可以反映信号各频率分量的初始相位．实频信号在满足Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ条件下，均可在三角函数或复指数函谱和虚频谱在工程中的应用相对比较少，而功率谱和幅值
数的正交函数集中展开成傅里叶级数形式，如式（１）：
谱应用则比较广泛．在振动分析中，幅值谱可以反映不同茹（‘）＝ａｏ＋ａｉｃ０６（ｔａｏｔ）＋ｂｌａｉｎ（ｔｏｏｔ）＋
频率的正弦波所携带能量的多少．
０２ｃ∞（２甜ｏｔ）＋ｂ２ｓｉｎ（２∞ｏｔ）＋……＝
通常，在求随机信号的幅值谱时，没有严格的公式推－
－
导，往往采用程序验证的方法．本文中重点提出一种新思
ａｏ＋∑．ａｎｃ０８（ｎｔ００Ｉ）＋墨ｂ．ｓｉｎ（ＷＯＯｔ）＝
・收稿日期：２００７—２—１３
基金项目：重庆市科技攻关重点项目（ＣＣ＿ｓＩＥ，２００５ＡＡ４００６—１３９）．
作者简介：李芳（１９７９一），女，河北石家庄人，硕士研究生，主要从事控制理论与控制工程研究．
万
方数据
李芳：等：基于ＤＦＴ的信号幅值谱分析
６５
Ａｏ＋∑Ａ．咖（ｎＯＪ０卜‰）
（１）
其中：
Ａｏ＝ａｏ；Ａ＾＝￣／口：＋砖；
％＝ａ～叁；ａｏ＝ｉ１丘础）ｄ１．
‰＝了２
Ｊ：ｊ善（Ｉ）啷（ｈ砺Ｉ）ｄＩ．
“＝号Ｊ：毒髫（ｔ）ｓｉｎ（２丌ｎｆｏｔ）ｄｔ；而＝弓；
由式（１）不难看出。周期信号茗（Ｉ）可分解为直流分量
及各谐波成分的余弦量（或正弦量）．以频率为横坐标，幅
值为纵坐标，即可得到信号的幅值谱．
但是，计算机或微处理器只能处理数字信号，即在时间上离散。在幅度上有量化误差的随机信号．为求信号的幅值谱，就要求信号在时域和频域上离散，且都是有限长的．ＦＦｒ是常用的工具，而Ｆ下Ｔ只是离散傅里叶变换ＤＦｒ的
一种快速算法．为求信号的幅值谱，可根据ＤＦＴ的定义进
行推导．
１．２基于ＤＦｒ离散数字信号的推导
有限长序列的离散傅里叶变换的定义【卜３】如下：正变换
ｘ（ｊＩ）：Ｎ∑－Ｉｘ（ｂｅ－』和，：＇ｌ’．１．．，一１ｎ）ｅＸ（ｊＩ）＝∑ｘ（
ｏ一，＝，，…，一ｋ０１Ｎ１
（２）
＾，Ｏ
反变换
小）＝告警础）净㈣．１＇…，Ⅳ－１
㈤
在实际工程应用中。信号髫（ｎ）通常为实数．因此，在
以下推导中，将膏（ｎ）视为实数．
由ＤＦＴ定义式（２）可推导：ｘ（０）＝∑茗（ｎ）；
ｘ（｜｜｝）＝笺菇（ｎ）嘲（孙）一．『Ｎ盖－Ｉ算（ｎ）８ｉｒＩ（和）＝
ｒ，ｅＰｌ，ｒｋ２
ｌＸ（＿｜Ｉ）ｌ
Ｘ（Ｎ一蠡）：Ｎ∑－！寡（ｎ）ｅ一』裕（ＪＩｒ川：掣髫（ｎ）一和：
怠ｒａｍ０１茁（ｎ）嘲（争）＋，Ｎ量－Ｉ善（ｎ）如（等，｜Ｊ｝）＝，Ｉｅ一以
（４）
在频谱分析过程中，经常以Ｉｘ（．｜｝）Ｉ为纵坐标来建立频谱图，但Ｉｘ（七）Ｉ与信号组成成分的幅值到底有什么关系
呢？怎样建立离散数据（信号）的幅值谱？很多书上并未
进行推导说明．为此。从离散傅里叶反变换进行推导，取Ｎ为偶数，由式（３）得：
小）＝斋（ｏ）＋丙ｌ蓍砌）一和＋
吉ｚ（譬）一剿＋吉篱ｍ）一和＝
专ｘ（ｏ）＋南ｘ（譬），。＋吉警ｘ（ＪＩ）一和＋
万
方数据上Ｎ冬ｋｆｆｉｌｌｘ（Ⅳ一．｜｝）一和川）：
去ｘ（ｏ）＋啬ｘ（譬）∥４＋告警［ｘ（１｜｝）一和＋
Ｘ（Ｎ一．｜｝）√和］：
静（ｏ）＋吉ｘ（譬），“＋告警（ｈ√‘气＋和’＋
“ｅ一旭＋和’）
又有欧拉公式ｅ芦＋ｅ一声＝２０嘴口可得：
茹（ｎ）＝分（ｏ）＋酽ｌ‘ＴＮ
Ｊ
ｅ，－”＋暮音ｈ嘲（和＋Ｏｋ）
不难看出，信号由直流分量及ｋ谐波分量组合而成，ｌ｜｝
次谐波分量幅值为２・Ｉｘ（ｋ）Ｉ／ＪＩｖ，其中（ｋ＝１，２…Ｎ／２—１），而直流分量幅值为Ｘ（Ｏ）／Ｎ．根据式（４）中ｘ（ｏ）的计算
方法，直流分量正好为采样数据点的均值，即专∑互（ｎ）．
Ｉ■
＾ｉＵ
在应用中，茗（ｎ）为实际采集的数据点，Ｎ为采样个数，采样频率为Ｅ．基频模拟频率为＆ＩＮ，ｋ次谐波模拟频率为｜｜｝・＆ＩＮ．
实际上，ＤＦＴ的定义由连续周期信号的傅里叶级数形式进行推导［２１．所以在离散化非周期时域信号和频域频谱时．就会产生一些不可避免的问题［３ｊ．
２基于ｃ＋＋Ｂｕｉｌｄｅｒ编程的设计ｃ＋＋Ｂｕｉｌｄｅｒ是一种功能强大的高级编程语言，采用类似Ｖｉｓｕａｌ
Ｂａｓｉｃ，喇等面向组件的开发方式【４Ｊ．这种高
度可视化的集成开发环境提供了大量的ＶＣＬ组件和底层函数。使开发过程简化，开发周期短暂，是值得选取的一种开发工具．
在对信号进行离散傅里叶变换、分析其幅值谱之前。
需先产生原始波形数据．在仿真程序设计中。选取３种参数可任意设定的波形进行合成，之后通过“ＤＩ吖’按钮触发，对波形数据进行离散傅里叶变换，以求信号的幅值谱．原始
波形和幅值谱波形均以曲线形式显示出来．可视化仿真软件的界面图如图１所示．
．
图ｌ仿真软件运行界面图
“Ｄｌ叩’按钮触发事件函数编程实现如下：
６６
重庆工学院学报
所示，第一个正弦波频率改为５２５Ｈｚ，５．２５次谐波成分能量泄漏到３—４，６—７等其它次谐波成分上．
ｖｏｉｄ－ｆａｓｔｅａｌｌⅡ’ｏＩｍｌ：：ＢｕｔｔｏｎＴＣｌｉｅｋ（ＴＯｂｊｅｃｔ＊Ｓｅｎｄｅｒ）｛
ｕｎｓｉｇｎｅｄｉｎｔ
Ｆｓ＝ｓｎ．ＴＯＩＩｌｔ（Ｅｄｉｔ３一＞Ｔｅｘｔ）；／／采样频率
ｕｎｓｉｇｎｅｄｉｎｔｋ，ｒｌ；
ｆｌｏａｔｄｔ＝Ｆｓ，ＸＲ，ｔ，ＸＩ，Ａ；
ＬｉｎｅＳｅｒｉｅｓ２一＞Ｃｌｅａｒ（）；／／清除波形ＬｉｎｅＳｅｒｉｅｓ２一＞Ａｄｄ（Ｏ，０，ｅＬＰ，ｅｄ）；ｆｏｒ（ｋ＝Ｏ；ｋ＜Ｎ／２；ｋ＋＋）｛ＸＲ＝０；ＸＩ＝０；
ｆｏｒ（ｎ＝０；ｎ＜Ｎ；ｎ＋．４－）｛
ＸＲ：ＸＲ＋ｘ［ｎ］＊ｃ０８（２＊Ｐ１＊ｋ＊ｎ／Ｎ）；／／计算实部ＸＩ＝ＸＩ＋ｘ［ｎ］＊ｓｉｎ（２＊ＰＩ＊ｋ＊ｎ／Ｎ）；／／计算虚部
ｌ
ｉｆ（ｋ＝＝Ｏ）Ａ＝ｓｑｎ（ｘＲ＊ｘＲ＋Ⅺ＊ＸＩ）／Ｎ；／／直流分量ｅｌｓｅＡ＝８ｑｒｔ（ｘｒｔ．Ⅺｔ＋Ⅺ＊Ⅺ）＊Ｚ／Ｎ；／／ｋ次谐波谱幅｝
ｄｔ＝ｄｔ／Ｎ；／／基频计算
Ｅｄｉｔ３７一＞Ｔｅｘｔ＝ｄｔ：
图２幅值谱误差分析
另外，离散傅里叶变换在频域是离散的，即限制在基频整数倍上，只能得到信号Ｋ次谐波成分的幅值谱，而对于非Ｋ次谐波成分的频谱则无法检测出来．如图２，基频为
１００
撇ｒｉｅｓ２一＞Ａｄｄ（Ａ，ｋ，ｄＲｅｄ）；／／幅值插入到波形显示
Ｐａｎｅｌ＇／一＞Ｖｉｓｉｂｌｅ＝１：／／基频显示｝
“波形合成”按钮触发事件函数部分编程实现如下：
ｖｏｉｄ．．＿ｆａｓｔｃａｌｌ
Ｈｚ，而５２５Ｈｚ信号的幅值为２０，在幅值谱上无法检测，要减小栅栏效应和频谱泄漏，可以减小采样频率，增
这种栅栏效应【６Ｊ也是ＤＦＩ＂应用中不可避免的问题之一．加采样点数，减小基频值，使谱线变密，这样原来漏掉的某些频谱成分就可以检测出来，但注意采样频率必须满足采样定理的要求．
ｒ１１’０ｒｍｌ：：Ｂｕｔｔｏｎ２Ｃｌｉｃｋ（ＴＯｂｊｅｅｔ＊Ｓｅｎｄｅｒ）
４结束语
在分析数字信号幅值谱时，通常采用程序验证的方法．而本文中通过离散傅里叶变换对的定义，清楚地推导出ｘ（矗）与信号幅值的关系，进而加深了对离散数字信号幅值谱的理解和应用．
／／波形合成Ｉ
……／／局部变量定义ｕｎｓｉｇｎｅｄ
ｉｎｔ
Ｆｓ＝ｓ乜．ＴｏＩｎｔ（Ｅｄｉｔ３一＞Ｔｅｘｔ）；ＩＩ采样频率
ｕｎｓｉｇｎｅｄｉｎｔＮ＝Ｓ吼．ｏｈ吐（Ｅｄｉｌ３５一＞Ｔｅｘｔ）；／／取样点数ｓｗｉｔｃｈ（ＰａｇｅＣｏｎｔｒｏｌｌ一＞ＴａｂＩｎｄｅｘ）／／选择第一个波形
ｌ
ｃａ鸵０：／／正弦波
ｆ＝（ＳｔｒＴｏＩｎｔ）（Ｅｄ潞一＞Ｔｅｘｔ）；／／波形频率ａ＝（勖ｍ）ｎｏａｔ）（Ｅ翘ｔ１一＞Ｔｅｘｔ）；／／波形幅值ｔｈｅｉ＝（ｓｂ．Ｔ０ｎ∞ｔ）（Ｅ（Ｉ池一＞Ｔｅｘｔ）；／／波形初相位
参考文献：
［１］
门爱东，杨波，全子一．数字信号处理［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２００３：６８—７８．
［２］王世一．数字信号处理［Ｍ］．北京：北京理工大学出
版社．２００１：７１—７７．
ｘ［ｎ］＝ａ＊８ｉｎ（２＊ＰＩ＊ｆ＊ｔ＋ｔｈｅｉ＊ＰＩ）；／／．ｆｆ－弦：波
ｂｒｅａｋ；
ｅａｓｅ
１：／／方波
［３］钟佑明，汤宝平，秦树人．离散傅里叶变换（ＤＦｒ）计算
中一些问题的论证［Ｊ］．重庆大学学报：自然科学版，
２００１，２４（３）：１—５．
［４］俞涓，宋丽红．ｃ＋＋Ｂｕｉｌｄｅｒ５．０实例教程［Ｍ］．上海：
浦东电子出版社，２００１：ｌ一２０．
３幅值谱仿真分析
在满足采样定理条件下，当Ⅳ为信号周期的整数倍时，可以得到单一谱线的频谱．如图ｌ，信号周期为５００
Ｈｚ，
［５］毛筱，肖雁鸿，龚理专．ＦＦｒ应用于谐波测量中频谱泄
漏的分析与处理［Ｊ］．电工技术杂志，２００１（２）：３—７．
［６］李国朝．基于ｌａｂｖｉｅｗ的谱分析栅栏效应研究［Ｊ］．天
中学刊，２００５，２０（５）：６１—６５．
采样频率为３０ｋＨｚ。取样点ＪＩｖ为３００。截断了整５个信号周期，得到的幅值谱在０次谐波（直流分量），５次谐波和１０次谐波的幅值分别为对应的输入值１５，２０和４０．而当Ⅳ为信号周期的非整数倍时。就会产生频谱泄漏现象【５】．如图２
［７］张兢，余成波．基于虚拟仪器技术的信号分析仪的软
件实现［Ｊ］．重庆工学院学报，２００２（３）：６９—７２．
（责任编辑陈松）
万方数据
基于DFT的信号幅值谱分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李芳， 曹长修， LI Fang， CAO Chang-xiu重庆大学,自动化学院,重庆,400044
重庆工学院学报（自然科学版）
JOURNAL OF CHONGQING INSTITUTE OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION)2007,21(4)3次
参考文献(7条)
1. 门爱东;杨波;全子一 数字信号处理 20032. 王世一 数字信号处理 2001
3. 钟佑明;汤宝平;秦树人 离散傅里叶变换(DFT)计算中一些问题的论证[期刊论文]-重庆大学学报(自然科学版)2001(03)
4. 俞涓;宋丽红 C++ Builder5.0实例教程 2001
5. 毛筱;肖雁鸿;龚理专 FFT应用于谐波测量中频谱泄漏的分析与处理 2001(02)6. 李国朝 基于labview的谱分析栅栏效应研究[期刊论文]-天中学刊 2005(05)
7. 张兢;余成波 基于虚拟仪器技术的信号分析仪的软件实现[期刊论文]-重庆工学院学报 2002(03)
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1. 陈文静. 苏显渝 提高Fourier变换轮廓术测量精度的新方法[期刊论文]-光电工程2002,29(1)
2. 熊元新. 陈允平. XIONG Yuanxin. CHEN Yunping 离散傅里叶变换的定义研究[期刊论文]-武汉大学学报（工学版）2006,39(1)
3. 吕尧新. 刘志强. 朱祥华 基于相位一致性原理的图像特征检测技术[会议论文]-2004
4. 马世文. 任盛怡. 曹长修. MA Shi-wen. REN Sheng-yi. CAO Chang-xiu 单变量ARIMA模型的铁水钛含量预报[期刊论文]-重庆工学院学报（自然科学版）2009,23(3)
5. 李新鄂. LI Xin-e 基于DFT的信号幅值频谱分析[期刊论文]-襄樊学院学报2008,29(11)
6. 王刚. 王艳芬. WANG Gang. WANG Yan-fen 幅度对DFT测频分辨率影响的研究[期刊论文]-电测与仪表2008,45(4)7. 刘永熙. 闻邦椿. 杨积东. 郭立新 投资时间序列的混沌分维研究[期刊论文]-东北大学学报(自然科学版)2001,22(5)
8. 彭良玉. 何怡刚. 黄满池. PENG Liang-yu. HE Yi-gang. HUANG Man-chi 基于E型频变负阻的五阶椭圆高通滤波器设计[期刊论文]-半导体技术2006,31(3)
9. 钟秉翔. 李家庆. 李芳. Zhong Bingxiang. Li Jiaqing. Li Fang 利用单片机技术实现对传感器实验仪的改造[期刊论文]-自动化仪表2005,26(11)
10. 孙大飞. 刘浩. 刘彬. 陈务深. SUN Dafei. LIU Hao. LIU Bin. CHEN Wushen 离散傅里叶变换的进一步探析[期刊论文]-现代电子技术2006,29(11)
引证文献(3条)
1. 张登攀. 高志强 噪声1/3倍频程计权声级算法[期刊论文]-河南理工大学学报（自然科学版） 2013(6)
2. 李百寿. 秦其明. 蒋洪波. 叶霞. 崔容菠. 张泽勋. 王清培. 陈超 被动式超低频电磁探测数据采集与处理方法研究[期刊论文]-地学前缘 2010(3)
3. 李百寿. 秦其明. 蒋洪波. 叶霞. 崔容菠. 张泽勋. 王清培. 陈超 被动式超低频电磁探测数据采集与处理方法研究[期刊论文]-地学前缘 2010(3)
引用本文格式：李芳. 曹长修. LI Fang. CAO Chang-xiu 基于DFT的信号幅值谱分析[期刊论文]-重庆工学院学报（自然科学版） 2007(4)
第２１卷第４期
重庆工学院学报（自然科学版）
２００７年４，Ｅｌ
Ｖ０１．２１
Ｎｏ．４
ＪｏｕｒｎａｌｄＣｈｏｎｇｑｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅａｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ａｐｔ．２００７
【电子与自动化】
基于ＤＦＴ的信号幅值谱分析。
李芳，曹长修
（重庆大学自动化学院，重庆４０ｔ）０４４）
摘要：根据离散傅里叶变换ＤＦｒ的定义。推导出数字信号幅值谱的解析计算方法。并通过ｃ＋＋
Ｂｕｉｌｄｅｒ开发工具设计了一套测试程序，对数字合成信号进行了幅值谱的计算仿真，仿真结果验证了算法的有效性．最后，诠释了频谱泄漏及栅栏效应的问题，并提出了相应的改进方法．关键词：ＤＦＴ；幅值谱；频谱泄漏；栅栏效应中图分类号：ＴＮ９１１
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７１—０９２４｛２００７）０４一００６４—０３
ＤＦＴ－ＢａｓｅｄＡｎａｌｙｓｉｓ
ｏｎ
ＡｍｐｌｉｔｕｄｅＳｐｅｃｔｒｕｍ
ＵＦａｎｇ，ＣＡＯＣｈａｎｇ－ｘｉｕ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｄＡｕｔｃａ班ｔｉｏｎ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑ髓１９ｑｉＩｌｇ４０００４４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＦｒｏｍｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＤＦｒ。ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｆａｍｐｌｉｔｕｄｅｓｐｅｃｔｎａｎｆｏｒｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｌｉｓｄｅｒｉｖｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｒｏｕｇｈａ
ｔｅｓｔｉｎｇｐｒｏｇｒａｍｄｅｓｉｇｎｅｄｗｉｔｈＣ４－４－Ｂｕｉｌｄｅｒｔｏｏｌｓ，ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆａｍｐｌｉｔｕｄｅ
ｓｐｅｃ・
ｔｒｕｍｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｓ
ｆｕｌｆｉｌｌｅｄａｎｄｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓ
ｖａｌｉｄａｔｅｄ
ｔｏ
ｓａｔｉｓｆｙｔｈｅｎｅｅｄｆｏｒ
ｐｒｏｊｅｃｔ．Ｉｎ
ｔｈｅｅｎｄ，ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｓｐｅｃｔｒｕｍｌｅａｋａｇｅａｎｄｐｉｃｋｅｔｆｅｎｃｅｅｆｆｅｃｔ
ａｒｅ
ｅｘｐｌａｉｎｅｄａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｓｏｌｕ－
ｄｏｎｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＤＦＴ；ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓｐｅｃｔｒｕｍ；ｓｐｅｃｔｍｍｌｅａｋａｇｅ；ｐｉｃｋｅｔｆｅｎｃｅｅｆｆｅｃｔ
路：从离散傅里叶变换的定义出发分析数字信号幅值谱．
０引言
ｌ
ＤＦｒ推导信号幅值谱
频谱是为了使信号从时域转到频域而对信号进行分析的方法，可分为幅值谱、相位谱、实频谱、虚频谱、功率谱
１．１连续周期信号的幅值谱
等，它们从不同方面描述了信号的特征，从而表示出信号众所周知，连续周期信号经过一定时间可以重复出的频率信息．幅值谱和功率谱可以反映信号各频率的能量现，数学表达式为茗（１）＝茗（Ｉ＋灯）．同时，任何周期成分，相位谱可以反映信号各频率分量的初始相位．实频信号在满足Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ条件下，均可在三角函数或复指数函谱和虚频谱在工程中的应用相对比较少，而功率谱和幅值
数的正交函数集中展开成傅里叶级数形式，如式（１）：
谱应用则比较广泛．在振动分析中，幅值谱可以反映不同茹（‘）＝ａｏ＋ａｉｃ０６（ｔａｏｔ）＋ｂｌａｉｎ（ｔｏｏｔ）＋
频率的正弦波所携带能量的多少．
０２ｃ∞（２甜ｏｔ）＋ｂ２ｓｉｎ（２∞ｏｔ）＋……＝
通常，在求随机信号的幅值谱时，没有严格的公式推－
－
导，往往采用程序验证的方法．本文中重点提出一种新思
ａｏ＋∑．ａｎｃ０８（ｎｔ００Ｉ）＋墨ｂ．ｓｉｎ（ＷＯＯｔ）＝
・收稿日期：２００７—２—１３
基金项目：重庆市科技攻关重点项目（ＣＣ＿ｓＩＥ，２００５ＡＡ４００６—１３９）．
作者简介：李芳（１９７９一），女，河北石家庄人，硕士研究生，主要从事控制理论与控制工程研究．
万
方数据
李芳：等：基于ＤＦＴ的信号幅值谱分析
６５
Ａｏ＋∑Ａ．咖（ｎＯＪ０卜‰）
（１）
其中：
Ａｏ＝ａｏ；Ａ＾＝￣／口：＋砖；
％＝ａ～叁；ａｏ＝ｉ１丘础）ｄ１．
‰＝了２
Ｊ：ｊ善（Ｉ）啷（ｈ砺Ｉ）ｄＩ．
“＝号Ｊ：毒髫（ｔ）ｓｉｎ（２丌ｎｆｏｔ）ｄｔ；而＝弓；
由式（１）不难看出。周期信号茗（Ｉ）可分解为直流分量
及各谐波成分的余弦量（或正弦量）．以频率为横坐标，幅
值为纵坐标，即可得到信号的幅值谱．
但是，计算机或微处理器只能处理数字信号，即在时间上离散。在幅度上有量化误差的随机信号．为求信号的幅值谱，就要求信号在时域和频域上离散，且都是有限长的．ＦＦｒ是常用的工具，而Ｆ下Ｔ只是离散傅里叶变换ＤＦｒ的
一种快速算法．为求信号的幅值谱，可根据ＤＦＴ的定义进
行推导．
１．２基于ＤＦｒ离散数字信号的推导
有限长序列的离散傅里叶变换的定义【卜３】如下：正变换
ｘ（ｊＩ）：Ｎ∑－Ｉｘ（ｂｅ－』和，：＇ｌ’．１．．，一１ｎ）ｅＸ（ｊＩ）＝∑ｘ（
ｏ一，＝，，…，一ｋ０１Ｎ１
（２）
＾，Ｏ
反变换
小）＝告警础）净㈣．１＇…，Ⅳ－１
㈤
在实际工程应用中。信号髫（ｎ）通常为实数．因此，在
以下推导中，将膏（ｎ）视为实数．
由ＤＦＴ定义式（２）可推导：ｘ（０）＝∑茗（ｎ）；
ｘ（｜｜｝）＝笺菇（ｎ）嘲（孙）一．『Ｎ盖－Ｉ算（ｎ）８ｉｒＩ（和）＝
ｒ，ｅＰｌ，ｒｋ２
ｌＸ（＿｜Ｉ）ｌ
Ｘ（Ｎ一蠡）：Ｎ∑－！寡（ｎ）ｅ一』裕（ＪＩｒ川：掣髫（ｎ）一和：
怠ｒａｍ０１茁（ｎ）嘲（争）＋，Ｎ量－Ｉ善（ｎ）如（等，｜Ｊ｝）＝，Ｉｅ一以
（４）
在频谱分析过程中，经常以Ｉｘ（．｜｝）Ｉ为纵坐标来建立频谱图，但Ｉｘ（七）Ｉ与信号组成成分的幅值到底有什么关系
呢？怎样建立离散数据（信号）的幅值谱？很多书上并未
进行推导说明．为此。从离散傅里叶反变换进行推导，取Ｎ为偶数，由式（３）得：
小）＝斋（ｏ）＋丙ｌ蓍砌）一和＋
吉ｚ（譬）一剿＋吉篱ｍ）一和＝
专ｘ（ｏ）＋南ｘ（譬），。＋吉警ｘ（ＪＩ）一和＋
万
方数据上Ｎ冬ｋｆｆｉｌｌｘ（Ⅳ一．｜｝）一和川）：
去ｘ（ｏ）＋啬ｘ（譬）∥４＋告警［ｘ（１｜｝）一和＋
Ｘ（Ｎ一．｜｝）√和］：
静（ｏ）＋吉ｘ（譬），“＋告警（ｈ√‘气＋和’＋
“ｅ一旭＋和’）
又有欧拉公式ｅ芦＋ｅ一声＝２０嘴口可得：
茹（ｎ）＝分（ｏ）＋酽ｌ‘ＴＮ
Ｊ
ｅ，－”＋暮音ｈ嘲（和＋Ｏｋ）
不难看出，信号由直流分量及ｋ谐波分量组合而成，ｌ｜｝
次谐波分量幅值为２・Ｉｘ（ｋ）Ｉ／ＪＩｖ，其中（ｋ＝１，２…Ｎ／２—１），而直流分量幅值为Ｘ（Ｏ）／Ｎ．根据式（４）中ｘ（ｏ）的计算
方法，直流分量正好为采样数据点的均值，即专∑互（ｎ）．
Ｉ■
＾ｉＵ
在应用中，茗（ｎ）为实际采集的数据点，Ｎ为采样个数，采样频率为Ｅ．基频模拟频率为＆ＩＮ，ｋ次谐波模拟频率为｜｜｝・＆ＩＮ．
实际上，ＤＦＴ的定义由连续周期信号的傅里叶级数形式进行推导［２１．所以在离散化非周期时域信号和频域频谱时．就会产生一些不可避免的问题［３ｊ．
２基于ｃ＋＋Ｂｕｉｌｄｅｒ编程的设计ｃ＋＋Ｂｕｉｌｄｅｒ是一种功能强大的高级编程语言，采用类似Ｖｉｓｕａｌ
Ｂａｓｉｃ，喇等面向组件的开发方式【４Ｊ．这种高
度可视化的集成开发环境提供了大量的ＶＣＬ组件和底层函数。使开发过程简化，开发周期短暂，是值得选取的一种开发工具．
在对信号进行离散傅里叶变换、分析其幅值谱之前。
需先产生原始波形数据．在仿真程序设计中。选取３种参数可任意设定的波形进行合成，之后通过“ＤＩ吖’按钮触发，对波形数据进行离散傅里叶变换，以求信号的幅值谱．原始
波形和幅值谱波形均以曲线形式显示出来．可视化仿真软件的界面图如图１所示．
．
图ｌ仿真软件运行界面图
“Ｄｌ叩’按钮触发事件函数编程实现如下：
６６
重庆工学院学报
所示，第一个正弦波频率改为５２５Ｈｚ，５．２５次谐波成分能量泄漏到３—４，６—７等其它次谐波成分上．
ｖｏｉｄ－ｆａｓｔｅａｌｌⅡ’ｏＩｍｌ：：ＢｕｔｔｏｎＴＣｌｉｅｋ（ＴＯｂｊｅｃｔ＊Ｓｅｎｄｅｒ）｛
ｕｎｓｉｇｎｅｄｉｎｔ
Ｆｓ＝ｓｎ．ＴＯＩＩｌｔ（Ｅｄｉｔ３一＞Ｔｅｘｔ）；／／采样频率
ｕｎｓｉｇｎｅｄｉｎｔｋ，ｒｌ；
ｆｌｏａｔｄｔ＝Ｆｓ，ＸＲ，ｔ，ＸＩ，Ａ；
ＬｉｎｅＳｅｒｉｅｓ２一＞Ｃｌｅａｒ（）；／／清除波形ＬｉｎｅＳｅｒｉｅｓ２一＞Ａｄｄ（Ｏ，０，ｅＬＰ，ｅｄ）；ｆｏｒ（ｋ＝Ｏ；ｋ＜Ｎ／２；ｋ＋＋）｛ＸＲ＝０；ＸＩ＝０；
ｆｏｒ（ｎ＝０；ｎ＜Ｎ；ｎ＋．４－）｛
ＸＲ：ＸＲ＋ｘ［ｎ］＊ｃ０８（２＊Ｐ１＊ｋ＊ｎ／Ｎ）；／／计算实部ＸＩ＝ＸＩ＋ｘ［ｎ］＊ｓｉｎ（２＊ＰＩ＊ｋ＊ｎ／Ｎ）；／／计算虚部
ｌ
ｉｆ（ｋ＝＝Ｏ）Ａ＝ｓｑｎ（ｘＲ＊ｘＲ＋Ⅺ＊ＸＩ）／Ｎ；／／直流分量ｅｌｓｅＡ＝８ｑｒｔ（ｘｒｔ．Ⅺｔ＋Ⅺ＊Ⅺ）＊Ｚ／Ｎ；／／ｋ次谐波谱幅｝
ｄｔ＝ｄｔ／Ｎ；／／基频计算
Ｅｄｉｔ３７一＞Ｔｅｘｔ＝ｄｔ：
图２幅值谱误差分析
另外，离散傅里叶变换在频域是离散的，即限制在基频整数倍上，只能得到信号Ｋ次谐波成分的幅值谱，而对于非Ｋ次谐波成分的频谱则无法检测出来．如图２，基频为
１００
撇ｒｉｅｓ２一＞Ａｄｄ（Ａ，ｋ，ｄＲｅｄ）；／／幅值插入到波形显示
Ｐａｎｅｌ＇／一＞Ｖｉｓｉｂｌｅ＝１：／／基频显示｝
“波形合成”按钮触发事件函数部分编程实现如下：
ｖｏｉｄ．．＿ｆａｓｔｃａｌｌ
Ｈｚ，而５２５Ｈｚ信号的幅值为２０，在幅值谱上无法检测，要减小栅栏效应和频谱泄漏，可以减小采样频率，增
这种栅栏效应【６Ｊ也是ＤＦＩ＂应用中不可避免的问题之一．加采样点数，减小基频值，使谱线变密，这样原来漏掉的某些频谱成分就可以检测出来，但注意采样频率必须满足采样定理的要求．
ｒ１１’０ｒｍｌ：：Ｂｕｔｔｏｎ２Ｃｌｉｃｋ（ＴＯｂｊｅｅｔ＊Ｓｅｎｄｅｒ）
４结束语
在分析数字信号幅值谱时，通常采用程序验证的方法．而本文中通过离散傅里叶变换对的定义，清楚地推导出ｘ（矗）与信号幅值的关系，进而加深了对离散数字信号幅值谱的理解和应用．
／／波形合成Ｉ
……／／局部变量定义ｕｎｓｉｇｎｅｄ
ｉｎｔ
Ｆｓ＝ｓ乜．ＴｏＩｎｔ（Ｅｄｉｔ３一＞Ｔｅｘｔ）；ＩＩ采样频率
ｕｎｓｉｇｎｅｄｉｎｔＮ＝Ｓ吼．ｏｈ吐（Ｅｄｉｌ３５一＞Ｔｅｘｔ）；／／取样点数ｓｗｉｔｃｈ（ＰａｇｅＣｏｎｔｒｏｌｌ一＞ＴａｂＩｎｄｅｘ）／／选择第一个波形
ｌ
ｃａ鸵０：／／正弦波
ｆ＝（ＳｔｒＴｏＩｎｔ）（Ｅｄ潞一＞Ｔｅｘｔ）；／／波形频率ａ＝（勖ｍ）ｎｏａｔ）（Ｅ翘ｔ１一＞Ｔｅｘｔ）；／／波形幅值ｔｈｅｉ＝（ｓｂ．Ｔ０ｎ∞ｔ）（Ｅ（Ｉ池一＞Ｔｅｘｔ）；／／波形初相位
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（责任编辑陈松）
万方数据
基于DFT的信号幅值谱分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李芳， 曹长修， LI Fang， CAO Chang-xiu重庆大学,自动化学院,重庆,400044
重庆工学院学报（自然科学版）
JOURNAL OF CHONGQING INSTITUTE OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION)2007,21(4)3次
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引用本文格式：李芳. 曹长修. LI Fang. CAO Chang-xiu 基于DFT的信号幅值谱分析[期刊论文]-重庆工学院学报（自然科学版） 2007(4)