求解船过河问题
【渡河问题所涉及的就是渡河的最短时间问题和渡河的最短位移问题。】
v 船：船相对水的速度，
其方向即船头方向【或称船头指向，船在静水中的速度】v 水：水相对岸的速度，即水的流速 v 合：船相对岸的速度
【等效模型：蚂蚁在传送带上爬行】
一条宽度为d 的河流，水流速度为v 水，已知船在静水中的速度为v 船，那么：
============================= （1）怎样渡河时间最短？ 过河的时间与什么因素有关？
要想过河，关键看v 合在垂直于河岸方向的速度分量！
【亦即v 船在垂直于河岸方向的速度分量！why ？？
因为：v 水在垂直于河岸方向的速度分量总是0！】
t =v 过河时间仅由船速船的垂直于岸的分量v ⊥决定，即
d v ⊥
，与
水速v 水无关，所以当v 船垂直于岸时，过河所用时间最短，
【最短时间为
t =
d v 船
，与
v 水无关】
。
v 船在垂直于河岸方向的速度分量与v 合在垂直于河岸方向的速度分量总是相等。why ？？
【另解：】其实，如图所示，
设v 船【船头方向】与河岸成任意角θ，这时v 船在垂直于河岸方向的速度分量V 1=v 船sin θ, 渡河所需时间为：t =V
L
船
sin θ
数学知识：当θ=90时，sin θ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，
t m in =
L V 船
综上，最短渡河时间问题： 无论v >v 、v =v ，还是v 船渡河，则所用时间最短，
船
水
船水
，只要v 船沿垂直于河岸方向
且最短时间为
t 最短=
d v 船
（其中d 为河宽）
===========================
（2）怎样渡河位移最小？
过河路程由实际运动轨迹的方向决定。 易知：船的合速度V 的方向（即合位移方向）与河岸夹角越大，渡河位移越小！！！！
理论上，渡河的最小位移即河的宽度。
如图
所示，理论上，渡河的最小位移即河的宽度
d 。此时，船的合速度V 的方向（即。合位移方向）与河岸垂直
这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θθ>0】。
且满足：V 船cos θ=V水Why ？？？
【必有
由于必须满足θ>0，所以只有在V 船>V水时，船才有可能垂直于河岸横渡。
如果V 水>V船，水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。此时，怎样才能使渡河的位移最短呢？ 如图
所示，设船头v 船与河岸成θ角，合速度V 合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的合位移越短。
那么，在什么条件下α角最大呢？
以V 水的矢尖为圆心，以V 船为半径画圆，当V 合与圆相切时，α角最大。
由于船头与河岸的夹角cos θ=v ，
水
v 船
此时渡河的最短位移为：s =cos θ
d
=
v 水v 船
d
.
综上，渡河的最短位移问题： ① 当v >v 时，S 最短=d
【此时，v 合与河岸垂直，v 船充当斜边。】
② 当v 船=v 水时，无最短位移
【无限接近但永远不能达到河宽d 。】
船
水
③ 当v 船
S =
v 水v 船
d
以v 水的箭头为圆心，以v 船的大小为半径，画弧，以v 水的箭尾为起点做圆弧的切线，延长该切线到对岸，即为最短位移，由
三角形相似d ∴
S =
v 水v 船
d
S
=
v 水v 船
，
。
d
s
V 船
V 合
V 水
v 正对岸 合
求解船过河问题
【渡河问题所涉及的就是渡河的最短时间问题和渡河的最短位移问题。】
v 船：船相对水的速度，
其方向即船头方向【或称船头指向，船在静水中的速度】v 水：水相对岸的速度，即水的流速 v 合：船相对岸的速度
【等效模型：蚂蚁在传送带上爬行】
一条宽度为d 的河流，水流速度为v 水，已知船在静水中的速度为v 船，那么：
============================= （1）怎样渡河时间最短？ 过河的时间与什么因素有关？
要想过河，关键看v 合在垂直于河岸方向的速度分量！
【亦即v 船在垂直于河岸方向的速度分量！why ？？
因为：v 水在垂直于河岸方向的速度分量总是0！】
t =v 过河时间仅由船速船的垂直于岸的分量v ⊥决定，即
d v ⊥
，与
水速v 水无关，所以当v 船垂直于岸时，过河所用时间最短，
【最短时间为
t =
d v 船
，与
v 水无关】
。
v 船在垂直于河岸方向的速度分量与v 合在垂直于河岸方向的速度分量总是相等。why ？？
【另解：】其实，如图所示，
设v 船【船头方向】与河岸成任意角θ，这时v 船在垂直于河岸方向的速度分量V 1=v 船sin θ, 渡河所需时间为：t =V
L
船
sin θ
数学知识：当θ=90时，sin θ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，
t m in =
L V 船
综上，最短渡河时间问题： 无论v >v 、v =v ，还是v 船渡河，则所用时间最短，
船
水
船水
，只要v 船沿垂直于河岸方向
且最短时间为
t 最短=
d v 船
（其中d 为河宽）
===========================
（2）怎样渡河位移最小？
过河路程由实际运动轨迹的方向决定。 易知：船的合速度V 的方向（即合位移方向）与河岸夹角越大，渡河位移越小！！！！
理论上，渡河的最小位移即河的宽度。
如图
所示，理论上，渡河的最小位移即河的宽度
d 。此时，船的合速度V 的方向（即。合位移方向）与河岸垂直
这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θθ>0】。
且满足：V 船cos θ=V水Why ？？？
【必有
由于必须满足θ>0，所以只有在V 船>V水时，船才有可能垂直于河岸横渡。
如果V 水>V船，水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。此时，怎样才能使渡河的位移最短呢？ 如图
所示，设船头v 船与河岸成θ角，合速度V 合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的合位移越短。
那么，在什么条件下α角最大呢？
以V 水的矢尖为圆心，以V 船为半径画圆，当V 合与圆相切时，α角最大。
由于船头与河岸的夹角cos θ=v ，
水
v 船
此时渡河的最短位移为：s =cos θ
d
=
v 水v 船
d
.
综上，渡河的最短位移问题： ① 当v >v 时，S 最短=d
【此时，v 合与河岸垂直，v 船充当斜边。】
② 当v 船=v 水时，无最短位移
【无限接近但永远不能达到河宽d 。】
船
水
③ 当v 船
S =
v 水v 船
d
以v 水的箭头为圆心，以v 船的大小为半径，画弧，以v 水的箭尾为起点做圆弧的切线，延长该切线到对岸，即为最短位移，由
三角形相似d ∴
S =
v 水v 船
d
S
=
v 水v 船
，
。
d
s
V 船
V 合
V 水
v 正对岸 合