过曲线上一点切线方程

过圆锥曲线上一点的切线方程

赵广华 尼志福

枣庄市第三中学 山东枣庄277100

摘要 在做解析几何大题时，需要求过曲线上一点切线方程，那么过圆锥曲线上一点的切

线方程有没有一般形式呢？我们研究一下。

关键词 切线方程

在做解析几何大题时，我们经常需要求过曲线上一点切线方程。最常用的方法就是设出方程，然后联立直线方程与曲线方程，再利用0求解。这种做法思路简单，但运算量大，尤其当曲线方程含有参数时，运算量更大，更不易做对。那么过圆锥曲线上一点的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下。

问题1 求过圆x2y2r2(r0)上一点P(x0,y0)的切线方程。



解：设M(x,y)是曲线上任意一点，则OPPM0

22

即 (x0,y0)(xx0,yy0)0 整理得x0xy0yx0y01

所以切线方程为x0xy0y1

2

问题2求过圆x-aybrr0上一点P(x0,y0)的切线方程。

2

2

用解决问题1的方法我们可以得到问题2的答案（x0-a)(x-a)+(y0b)(yb)r2 类比过圆上一点的切线方程的形式我们猜想

xxyyx2y2

结论1过椭圆221上一点P(x0,y0)的切线方程为02021

ababxxyyx2y2

结论2过双曲线221上一点P(x0,y0)的切线方程为02021

abab

结论3过抛物线y2px上一点P(x0,y0)的切线方程为y0ypxpx0 上述类比推理得到的结论是否正确？我们用大学的知识来证明一下。

2

xxyyx2y2

证明过椭圆221上一点P(x0,y0)的切线方程为02021

abab

x2y22x2yy'b2x'

221 等式两边同时对x求导得221 y2 ababayb2x0b2x0

切线斜率kyxx02 切线方程为yy02(xx0)

ay0ay0

'

22

x0xy0yx0y0

整理得22221 结论得证。

abab

用同样的方法我们也能证明结论2与结论3的正确性。

下面我们用上述结论小试牛刀。看2013年山东高考数学压轴题：

x2y2椭圆C：221(ab0)的左右焦点分别是F1,F

2，过F1且垂直

ab于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1) 求椭圆C的方程.

PM交(2) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2.设PF1F2的角平分线

C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3) 在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，

设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k0，试证明值.

11

为定值，并求这个定

kk1kk2

x2

y21 解：（1）椭圆C的方程为4

（2）m的取值范围(

33,) 22

我们重点看一下第三问。

2xx2

2yy'0 y21 所以等式两边同时对x求导得 设P(x0,y0)因为

44

整理得 y

'

x'

因此直线l斜率ky4y

k2

xx0

x0

4y0

k1

所以

4y11111

()08 kk1kk2kk1k2x000

11为定值-8 kk1kk2

即

过圆锥曲线上一点的切线方程

赵广华 尼志福

枣庄市第三中学 山东枣庄277100

摘要 在做解析几何大题时，需要求过曲线上一点切线方程，那么过圆锥曲线上一点的切

线方程有没有一般形式呢？我们研究一下。

关键词 切线方程

在做解析几何大题时，我们经常需要求过曲线上一点切线方程。最常用的方法就是设出方程，然后联立直线方程与曲线方程，再利用0求解。这种做法思路简单，但运算量大，尤其当曲线方程含有参数时，运算量更大，更不易做对。那么过圆锥曲线上一点的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下。

问题1 求过圆x2y2r2(r0)上一点P(x0,y0)的切线方程。



解：设M(x,y)是曲线上任意一点，则OPPM0

22

即 (x0,y0)(xx0,yy0)0 整理得x0xy0yx0y01

所以切线方程为x0xy0y1

2

问题2求过圆x-aybrr0上一点P(x0,y0)的切线方程。

2

2

用解决问题1的方法我们可以得到问题2的答案（x0-a)(x-a)+(y0b)(yb)r2 类比过圆上一点的切线方程的形式我们猜想

xxyyx2y2

结论1过椭圆221上一点P(x0,y0)的切线方程为02021

ababxxyyx2y2

结论2过双曲线221上一点P(x0,y0)的切线方程为02021

abab

结论3过抛物线y2px上一点P(x0,y0)的切线方程为y0ypxpx0 上述类比推理得到的结论是否正确？我们用大学的知识来证明一下。

2

xxyyx2y2

证明过椭圆221上一点P(x0,y0)的切线方程为02021

abab

x2y22x2yy'b2x'

221 等式两边同时对x求导得221 y2 ababayb2x0b2x0

切线斜率kyxx02 切线方程为yy02(xx0)

ay0ay0

'

22

x0xy0yx0y0

整理得22221 结论得证。

abab

用同样的方法我们也能证明结论2与结论3的正确性。

下面我们用上述结论小试牛刀。看2013年山东高考数学压轴题：

x2y2椭圆C：221(ab0)的左右焦点分别是F1,F

2，过F1且垂直

ab于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1) 求椭圆C的方程.

PM交(2) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2.设PF1F2的角平分线

C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3) 在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，

设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k0，试证明值.

11

为定值，并求这个定

kk1kk2

x2

y21 解：（1）椭圆C的方程为4

（2）m的取值范围(

33,) 22

我们重点看一下第三问。

2xx2

2yy'0 y21 所以等式两边同时对x求导得 设P(x0,y0)因为

44

整理得 y

'

x'

因此直线l斜率ky4y

k2

xx0

x0

4y0

k1

所以

4y11111

()08 kk1kk2kk1k2x000

11为定值-8 kk1kk2

即