万有引力定律及其应用

万有引力定律及其应用

一、物理学史

几位物理学家所作科学贡献的叙述中，正确的说法是（ ）

A ．英国物理学家牛顿在前人（如第谷、开普勒、笛卡尔等）研究的基础上，借助自己的力学成就总结出万有引力定律并用实验的方法测出万有引力常量G 。

B ．第谷接受了哥白尼日心说的观点，并根据开普勒对行星运动观察记录的数据，应用严密的数学运算和椭圆轨道假说，得出了开普勒行星运动定律

C ．海王星是在理论计算中发现的，被称为“笔尖上发现的行星”。

D ．万有引力定律是在研究天体运动时总结出来的，仅适用于天体运动。

二、万有引力定律、重力与重力加速度 1、万有引力定律公式适用条件

公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r 为球心到________间的距离．

m m 例2、对于质量分别为m 1和m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G r

正确的是( )

A ．公式中的G 是引力常量，它不是由实验得出的，而是人为规定的 B ．当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大 C ．m 1和m 2所受引力大小总是相等的

D ．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力

2．关于重力

星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：

Mm GM

设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G ，即g ＝或GM ＝gR 2)

R R

Mm GM R 2

若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝G ，即g ′＝.

(R ＋h ) (R ＋h ) (R ＋h ) 江苏单科·3) 英国《新科学家(Ne w Scientist ) 》杂志评选出了2008年度世界8项科XTEJ 1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约为

M c 2

45 km ，质量M 和半径R 的关系满足(其中c 为光速，G 为引力常量) ，则该黑洞表面

R 2G

重力加速度的数量级为( )

A ．108 m /s 2 B ．1010 m /s 2

．1012 m /s 2 D ．1014 m /s 2

2012新课标）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A ．1-

d d R -d 2R 2

) D ．()

B ．1+ C ．(

R R R R -d

2012届高三上学期第三次调研考试）设地球的质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G ，“神舟七号”绕地球运行时离地面的高度为h ，则“神舟

七号”与“同步卫星”各自所处轨道处的重力加速度之比为（ ）

A ．

(2π) (R +h ) (GMT )

223

43

2

B (GM ) (R +h )

(2πT )

43

23

2

C ．

（GMT 3

223

D ．

(2πT )

23

43

（2π(R +h ) 2(GM ) (R +h ) 2

三、天体质量和密度的估算

1．解决天体圆周运动问题的一般思路

利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 (1)两条线索

①万有引力提供向心力F ＝F n .

②重力近似等于万有引力提供向心力． (2)两组公式

22

Mm v 4π2

①2m m ωr ＝m 2r

r r T

22v 4π2

②mg r ＝m m ωr ＝m r 为轨道所在处重力加速度)

r T

2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.

2

Mm gR M M 3g 由于G 2mg ，故天体质量M ＝，天体密度ρ＝R G V 434πGR

R 3

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算．

223

Mm 4π4πr

①由万有引力等于向心力，即G 2＝m 2r ，得出中心天体质量M ＝2；

r T GT

3

M M 3πr

②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝＝23

V 43GT R

πR 3

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，

3π

则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心

GT

已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g. 某同学根

Mm

据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由G ＝

h

23

2π4πh m() 2h 得M ＝. T 2GT 2

(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果． (2)

请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．

4.7倍，质量是地

球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10

11

－

N·m 2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为 ( )

A ．1.8×103 kg/m3 B ．5.6×103 kg/m3

1.1×104 kg/m3 D ．2.9×104 kg/m3 广元市第三次适应性考试) “嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运T ，则月球的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )

k k

A ．ρ＝

B ．ρ＝kT C ．ρ＝ D ．ρ＝kT 2

T T

我国于2011年10月发射了第一颗火星探测

器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2. 火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G . 仅利用以上数据，可以计算出

( ) A ．火星的密度和火星表面的重力加速度 B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C ．火星的半径和“萤火一号”的质量

D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

t ，小球落到星

球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L . 若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落L . 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G . 求该星球的质量M .

四、对人造卫星的认识及变轨问题

1．人造卫星的动力学特征 万有引力提供向心力，即 Mm v 22πG ＝m ＝mrω2＝m() 2r r r T 2．人造卫星的运动学特征

Mm v 2(1)线速度v ：由G ＝m 得v ＝ 随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．

r r r Mm (2)角速度ω：由G mω2r 得ω随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．

r r Mm 4π2(3)周期：由G ＝m r ，得T ＝2π ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期

r T GM

增大．

3．卫星的稳定运行与变轨运行分析 (1)什么情况下卫星稳定运行？

卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．

Mm mv 2

满足的公式：G r r

(2)变轨运行分析：

当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用) ，万有引力就

mv 2

不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．①当v 增大，即

r

万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，

但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝ r

械能均增加．

mv 2

②当卫星的速度突然减小时，向心力r

此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由

v ＝ 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是

r

) ． 2009新课标）地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的。已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为

A ．0.19 B．0.44 C．

2.3 D． 5.2 山东济宁联考) 某同学通过Internet 查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一90分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知( )

A ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小 B ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小

C ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低 D ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小

江苏单科·6)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B 为轨道 Ⅱ 上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( )

A ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的速度小于经过B 的速度

B ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C ．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度

辽宁铁岭模拟) 如图4所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞

3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则( )

A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为

1

0R 2

B ．飞船在A 点处点火时，动能增加

C ．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A 点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A 点的加速度

D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π

g 0

年10月26日21时27分，北京航天飞行控制中心对“嫦娥二

号”卫星实施了降轨控制，约18分钟后，卫星成功进入了远月点100公里、近月点15公里的试验轨道，为在月球虹湾区拍摄图像做准备．如图

5为“嫦娥二号”某次在近地点A 由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是 A ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处应点火加速

B ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的速度比在轨道2的A 点处的速度大

C ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的加速度比在轨道2的A 点处的加速度大 D ．“嫦娥二号”在轨道1的B 点处的机械能比在轨道2的C 点处的机械能大

五、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星

1．环绕速度与发射速度的比较

近地卫星的环绕速度v ＝ G gR ＝7.9 km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球

R

周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．

G ，其大小随半径的增大而减r

小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大． 2．地球同步卫星特点

(1)地球同步卫星只能在赤道上空．

(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期． (3)地球同步卫星相对地面静止． (4)同步卫星的高度是一定的．

不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝

椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是 ( ) A ．近地点速度一定等于7.9 km/s B ．远地点速度一定小于7.9 km/s C ．发射此卫星的速度一定大于7.9 km/s

7.9 km/s

11

的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的814

地球上的第一宇宙速度约为7.9 km /s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )

A ．0.4 km /s B ．1.8 km /s C ．11 km /s D ．36 km /s

4所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，

向心加速度为a 1；地球赤道上的物体随地球自转的向心 加速度为

a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是 ( )

a r a R (2

a 2R a 2r v 1r v 1C. ＝

D. 2R 2r

六、开普勒定律的应用 2011新课标）卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用

卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的

5

数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3．8×10

m/s，运行周期约为27天，地球半径

约6400km ，无线电信号的传播速度为3 10

8

m /s ）

A ．0．1s B ．．25s C ．0．5s D ．1s

2010新课标）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg(T /T O ) , 纵轴是

lg(R /R O ) ; 这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T O 和R 0分别是

水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是

七、双星系统

2008） 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

．(2010·全国Ⅰ·25) 如图6所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L. 已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常数为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1. 但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2. 已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg 和7.35×1022 kg .

求T 2与T 1两者平方之比．(结果保留3位小数)

2012届高三联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用. 已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。试求两种形式下，星体运动的周期之比T1/T2。

答案C 。解析A 、错误。万有引力常数是由卡文迪许通过扭秤实验测定出来的。B 、错误。开普勒根据第谷对行星运动观察记录的数据，应用严密的数学运算和椭圆轨道假说，得出了开普勒行星运动定律。C 、正确。见课本P39。D 、错误，任何两个物体之间都存在万有引力。

m1m2

。解析：B 错误。要弄清楚公式F ＝G 的各物理量的含义．当两物体可以看成质

r2

r 是指两质点间距离；对质量分布均匀的球体，r 是指两球心间距离．当两物体间的距离r 趋于零时，这两个物体不能看做质点，万有引力定律不适用于此种情况同时．两个物体间的万有引力是一对相互作用力，不是平衡力。C 正确，D 错误。

GMm GM M c 2

mg ＝g ＝＝R R R 2G

(3×10

8)2c 22

得g ＝1012 m/s2.] m/s＝1×2R 2×45×10

(黄金代换) 的应用，难度较小。对于在地球表面

4

G πR 3ρ

GMm

的物体，所受地球的万有引力近似等于重力即mg g =, 又因在质量

R R

分布均匀球壳内对其内部引力为零，则可以将矿井深度为d 处重力加速度看做半径为R -d 43

G π（R-d

）ρg ' d 的均匀球体，故对矿井底部的物体有：g =

，解得=1-

R -d g R

代入数据求得C 。

（GMT 3

223

原题C 选项印错了，分子T 少了平方。

（2π(R +h )

2

(1)上面的结果是错误的，地球的半径R 在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：

4π2(R ＋h )32π2

G ＝m () (R ＋h ) 得M ＝T 2GT (R ＋h )2

GMm gR 2

(2)解法一 在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力，由mg ，解得M ＝.

R G 23

Mm 2π4πr

解法二 对月球绕地球做圆周运动，由G ＝m () 2r ，得M ＝

r T 1GT 1

Mm 4π4πr

D 。由万有引力等于向心力，即G 2m 2，得出中心天体质量M ＝2r T GT

3

M M 3πr

知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝＝23；天体的卫星在天体表面附近环绕天体

V 43GT R

πR 3

3π

运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝

GT

C 。解析与例6相同。

A 。由探测器绕卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力。分别对不同轨道列式R 为火星半径m 为探测器质量。

223

GMm 4π2

=m (R +h 1)

(R +h 1) 2T 1

GMm 4π2

=m (R +h 2)

(R +h 2) T 2

联立两式可解出M 与R 。由GM=R2g 可求出重力加速度g 与密度ρ。A 正确。式中m 作用消去，说明探测器的运动与其质量m 无关。因此不能求出m.BCD 错误。

h, 第一次平抛的水平射程为x, 则有x 2+h2=L2

由平抛运动规律，当初速度增大到2倍时，其水平射程增大到2x, 可得（2x ）2+h2=（3L ）2 设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得：h= gt2 由万有引力定律与牛顿第二定律得：mg= G 联立以上各式解得M=（3LR

2）/3Gt 2

Mm v

2

B 。【解析】

天体的运动满足万有引力充当向心力即G 2=m 可知v =

R R v 木≈0.44，B 正确。 可见木星与地球绕太阳运行的线速度之比v 地解析人造卫星的运动学特征（注意以下分析均必须是匀速圆周运动）

Mm v 2(1)线速度v ：由G ＝m 得v ＝ 随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．

r r r Mm (2)角速度ω：由G mω2r 得ω随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．

r r Mm 4π2(3)周期：由G ＝m r ，得

T ＝2π ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期

r T GM

增大．

GM Mm

（4）加速度：由F=G,a=

r r 神舟”六号飞船周期小，推导出轨道半径小再根据公式得到：其线速度大，角速度大，加速

解析：在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A 选项正确．

由A 点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A 点的加速度是个定值，故D 项错误．飞机从A 点进入轨道 Ⅱ 相对于轨道 Ⅰ 可看成向心运动，则可知飞机在轨道 Ⅱ 上A 点速度小于轨道 Ⅰ 上A 点速度，再结合动能定义式可知B 选项正确．根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知C 选项正确．综上知正确答案为A 、B 、C. 卫星变轨中从低轨道向高轨道变轨过程中，要加速；从高轨道向低轨道变轨过程中，

GM Mm v 2

Mm

要减速。B 错误，要减速，动能减小。C ，a=2加速度相同。AD 结合G ＝m ，G r r r r

4π2

m r 以及GM=R2, 可以得到AD 选项。 T

答案：BC 第一宇宙速度，是地球周围所有卫星做匀速圆周的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度。 近地点是椭圆轨道上离地球较近的点，不一定是离地面很近的点，如果此近地点在地球表面

附近，它的速度应大于7.9 km/s，这是因为7.9 km/s是卫星地面附近运动时的速度，而椭圆轨道过此点做离心运动，故速度大于7.9 km/s.当近地点离地球较远时，其速度可以小于7.9 km/s.因为远地点一定不是离地面很近的点，而过这一点的圆轨道速度小于7.9 km/s.椭圆轨道过这一点做向心运动，故速度小于圆轨道速度，所以一定小于7.9 km/s，C 正确．因为此卫星的近地点在地面附近处速度大于7.9 km/s.故从地球上发射时，速度应大于7.9 km/s.

正确设月球质量为M 1，半径为R 1，地球质量为M 、半径为R （则M 1=v1为近月卫星的速率，探月卫星质量为m 。由万有引力提供向心力得到：

11M R 1），814

对探月卫星：

G M 1m mv

=求得 R R 11

21

v 1=

GM 1R 1

对地球卫星：同理可得：v =

=7.9 km/s

R

1R 1v 1M 1R

=所以v 1=2／9v=1.8 km/s =

=

v 2M R 1

R

r 23T 22T 227

开普勒第三定律有3=2解得r 2=r 1⋅2，代入数据求得r 2=4. 2⨯10m. 如图所示，

r 1T 1T 1

22

s 2R +r 2

发出信号至对方接收到信号所需最短时间为t ==，代入数据求得t=0.28s.

v C

所以正确答案是B 。

T

2

3=kR 3，T 02=kR 0两式相除后取对数，得：

T 2R 3T R

lg 2=lg 3，整理得：2lg =3lg ，选项B 正确。

T 0R 0T 0R 0

m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为w 1, w 2。根据题意有

w 1=w 2 r 1+r 2=r

① ②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

m 1m 2

=m 1w 12r 1 2

r

m 1m 22

=m w r 1 122

r

③

G

联立以上各式解得

④

r 1=

m 2r

m 1+m 2

⑤

根据解速度与周期的关系知

w 1=w 2=

2π T

⑥

联立③⑤⑥式解得

4π23

m 1+m 2=2r

T G

⑦

L ．(1)2π (2)1.012

G (M ＋m )

(1)设两个星球A 和B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和R ，相互作用的万有引

Mm

力大小为F ，运行周期为T . 根据万有引力定律有：F ＝G ①

(R ＋r )由匀速圆周运动的规律得

2π

F ＝m () 2r ②

T 2π

F ＝M ) 2R ③

T

由题意有L ＝R ＋r ④

L 联立①②③④式得T ＝2π ⑤

G (M ＋m )

(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，由题意知，月球做圆周运L ′3

动的周期可由⑤式得出T 1＝2π

G (M ′＋m ′)

式中，M ′和m ′分别是地球与月球的质量，L ′是地心与月心之间的距离．若认为月球在

M ′m ′2π2

地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G ) L ′⑦ m ′(T 2L ′式中，T 2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T 2＝2π

L ′3

⑧ GM ′

m ′T 由⑥⑧式得(2＝1T 1M ′

T 2代入题给数据得(2＝1.012

T 1

答案】T 1T 2【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有 ⋅2

2m 24π2

︒+Ga 2=mT 2a

①

1

2πa 3

解得T 1=Gm ②

对正方形模式，四星的轨道半径均为2a ，同理有

2⋅G m 224π2a 2cos45︒T 2a ③

22

2π2a 3

解得T 2=7Gm ④ 故T 1

T 2

图4 11

万有引力定律及其应用

一、物理学史

几位物理学家所作科学贡献的叙述中，正确的说法是（ ）

A ．英国物理学家牛顿在前人（如第谷、开普勒、笛卡尔等）研究的基础上，借助自己的力学成就总结出万有引力定律并用实验的方法测出万有引力常量G 。

B ．第谷接受了哥白尼日心说的观点，并根据开普勒对行星运动观察记录的数据，应用严密的数学运算和椭圆轨道假说，得出了开普勒行星运动定律

C ．海王星是在理论计算中发现的，被称为“笔尖上发现的行星”。

D ．万有引力定律是在研究天体运动时总结出来的，仅适用于天体运动。

二、万有引力定律、重力与重力加速度 1、万有引力定律公式适用条件

公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r 为球心到________间的距离．

m m 例2、对于质量分别为m 1和m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G r

正确的是( )

A ．公式中的G 是引力常量，它不是由实验得出的，而是人为规定的 B ．当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大 C ．m 1和m 2所受引力大小总是相等的

D ．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力

2．关于重力

星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：

Mm GM

设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G ，即g ＝或GM ＝gR 2)

R R

Mm GM R 2

若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝G ，即g ′＝.

(R ＋h ) (R ＋h ) (R ＋h ) 江苏单科·3) 英国《新科学家(Ne w Scientist ) 》杂志评选出了2008年度世界8项科XTEJ 1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约为

M c 2

45 km ，质量M 和半径R 的关系满足(其中c 为光速，G 为引力常量) ，则该黑洞表面

R 2G

重力加速度的数量级为( )

A ．108 m /s 2 B ．1010 m /s 2

．1012 m /s 2 D ．1014 m /s 2

2012新课标）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A ．1-

d d R -d 2R 2

) D ．()

B ．1+ C ．(

R R R R -d

2012届高三上学期第三次调研考试）设地球的质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G ，“神舟七号”绕地球运行时离地面的高度为h ，则“神舟

七号”与“同步卫星”各自所处轨道处的重力加速度之比为（ ）

A ．

(2π) (R +h ) (GMT )

223

43

2

B (GM ) (R +h )

(2πT )

43

23

2

C ．

（GMT 3

223

D ．

(2πT )

23

43

（2π(R +h ) 2(GM ) (R +h ) 2

三、天体质量和密度的估算

1．解决天体圆周运动问题的一般思路

利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 (1)两条线索

①万有引力提供向心力F ＝F n .

②重力近似等于万有引力提供向心力． (2)两组公式

22

Mm v 4π2

①2m m ωr ＝m 2r

r r T

22v 4π2

②mg r ＝m m ωr ＝m r 为轨道所在处重力加速度)

r T

2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.

2

Mm gR M M 3g 由于G 2mg ，故天体质量M ＝，天体密度ρ＝R G V 434πGR

R 3

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算．

223

Mm 4π4πr

①由万有引力等于向心力，即G 2＝m 2r ，得出中心天体质量M ＝2；

r T GT

3

M M 3πr

②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝＝23

V 43GT R

πR 3

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，

3π

则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心

GT

已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g. 某同学根

Mm

据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由G ＝

h

23

2π4πh m() 2h 得M ＝. T 2GT 2

(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果． (2)

请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．

4.7倍，质量是地

球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10

11

－

N·m 2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为 ( )

A ．1.8×103 kg/m3 B ．5.6×103 kg/m3

1.1×104 kg/m3 D ．2.9×104 kg/m3 广元市第三次适应性考试) “嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运T ，则月球的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )

k k

A ．ρ＝

B ．ρ＝kT C ．ρ＝ D ．ρ＝kT 2

T T

我国于2011年10月发射了第一颗火星探测

器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2. 火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G . 仅利用以上数据，可以计算出

( ) A ．火星的密度和火星表面的重力加速度 B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C ．火星的半径和“萤火一号”的质量

D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

t ，小球落到星

球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L . 若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落L . 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G . 求该星球的质量M .

四、对人造卫星的认识及变轨问题

1．人造卫星的动力学特征 万有引力提供向心力，即 Mm v 22πG ＝m ＝mrω2＝m() 2r r r T 2．人造卫星的运动学特征

Mm v 2(1)线速度v ：由G ＝m 得v ＝ 随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．

r r r Mm (2)角速度ω：由G mω2r 得ω随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．

r r Mm 4π2(3)周期：由G ＝m r ，得T ＝2π ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期

r T GM

增大．

3．卫星的稳定运行与变轨运行分析 (1)什么情况下卫星稳定运行？

卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．

Mm mv 2

满足的公式：G r r

(2)变轨运行分析：

当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用) ，万有引力就

mv 2

不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．①当v 增大，即

r

万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，

但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝ r

械能均增加．

mv 2

②当卫星的速度突然减小时，向心力r

此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由

v ＝ 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是

r

) ． 2009新课标）地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的。已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为

A ．0.19 B．0.44 C．

2.3 D． 5.2 山东济宁联考) 某同学通过Internet 查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一90分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知( )

A ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小 B ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小

C ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低 D ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小

江苏单科·6)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B 为轨道 Ⅱ 上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( )

A ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的速度小于经过B 的速度

B ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C ．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度

辽宁铁岭模拟) 如图4所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞

3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则( )

A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为

1

0R 2

B ．飞船在A 点处点火时，动能增加

C ．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A 点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A 点的加速度

D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π

g 0

年10月26日21时27分，北京航天飞行控制中心对“嫦娥二

号”卫星实施了降轨控制，约18分钟后，卫星成功进入了远月点100公里、近月点15公里的试验轨道，为在月球虹湾区拍摄图像做准备．如图

5为“嫦娥二号”某次在近地点A 由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是 A ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处应点火加速

B ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的速度比在轨道2的A 点处的速度大

C ．“嫦娥二号”在轨道1的A 点处的加速度比在轨道2的A 点处的加速度大 D ．“嫦娥二号”在轨道1的B 点处的机械能比在轨道2的C 点处的机械能大

五、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星

1．环绕速度与发射速度的比较

近地卫星的环绕速度v ＝ G gR ＝7.9 km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球

R

周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．

G ，其大小随半径的增大而减r

小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大． 2．地球同步卫星特点

(1)地球同步卫星只能在赤道上空．

(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期． (3)地球同步卫星相对地面静止． (4)同步卫星的高度是一定的．

不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝

椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是 ( ) A ．近地点速度一定等于7.9 km/s B ．远地点速度一定小于7.9 km/s C ．发射此卫星的速度一定大于7.9 km/s

7.9 km/s

11

的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的814

地球上的第一宇宙速度约为7.9 km /s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )

A ．0.4 km /s B ．1.8 km /s C ．11 km /s D ．36 km /s

4所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，

向心加速度为a 1；地球赤道上的物体随地球自转的向心 加速度为

a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是 ( )

a r a R (2

a 2R a 2r v 1r v 1C. ＝

D. 2R 2r

六、开普勒定律的应用 2011新课标）卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用

卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的

5

数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3．8×10

m/s，运行周期约为27天，地球半径

约6400km ，无线电信号的传播速度为3 10

8

m /s ）

A ．0．1s B ．．25s C ．0．5s D ．1s

2010新课标）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg(T /T O ) , 纵轴是

lg(R /R O ) ; 这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T O 和R 0分别是

水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是

七、双星系统

2008） 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

．(2010·全国Ⅰ·25) 如图6所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L. 已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常数为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1. 但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2. 已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg 和7.35×1022 kg .

求T 2与T 1两者平方之比．(结果保留3位小数)

2012届高三联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用. 已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。试求两种形式下，星体运动的周期之比T1/T2。

答案C 。解析A 、错误。万有引力常数是由卡文迪许通过扭秤实验测定出来的。B 、错误。开普勒根据第谷对行星运动观察记录的数据，应用严密的数学运算和椭圆轨道假说，得出了开普勒行星运动定律。C 、正确。见课本P39。D 、错误，任何两个物体之间都存在万有引力。

m1m2

。解析：B 错误。要弄清楚公式F ＝G 的各物理量的含义．当两物体可以看成质

r2

r 是指两质点间距离；对质量分布均匀的球体，r 是指两球心间距离．当两物体间的距离r 趋于零时，这两个物体不能看做质点，万有引力定律不适用于此种情况同时．两个物体间的万有引力是一对相互作用力，不是平衡力。C 正确，D 错误。

GMm GM M c 2

mg ＝g ＝＝R R R 2G

(3×10

8)2c 22

得g ＝1012 m/s2.] m/s＝1×2R 2×45×10

(黄金代换) 的应用，难度较小。对于在地球表面

4

G πR 3ρ

GMm

的物体，所受地球的万有引力近似等于重力即mg g =, 又因在质量

R R

分布均匀球壳内对其内部引力为零，则可以将矿井深度为d 处重力加速度看做半径为R -d 43

G π（R-d

）ρg ' d 的均匀球体，故对矿井底部的物体有：g =

，解得=1-

R -d g R

代入数据求得C 。

（GMT 3

223

原题C 选项印错了，分子T 少了平方。

（2π(R +h )

2

(1)上面的结果是错误的，地球的半径R 在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：

4π2(R ＋h )32π2

G ＝m () (R ＋h ) 得M ＝T 2GT (R ＋h )2

GMm gR 2

(2)解法一 在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力，由mg ，解得M ＝.

R G 23

Mm 2π4πr

解法二 对月球绕地球做圆周运动，由G ＝m () 2r ，得M ＝

r T 1GT 1

Mm 4π4πr

D 。由万有引力等于向心力，即G 2m 2，得出中心天体质量M ＝2r T GT

3

M M 3πr

知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝＝23；天体的卫星在天体表面附近环绕天体

V 43GT R

πR 3

3π

运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝

GT

C 。解析与例6相同。

A 。由探测器绕卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力。分别对不同轨道列式R 为火星半径m 为探测器质量。

223

GMm 4π2

=m (R +h 1)

(R +h 1) 2T 1

GMm 4π2

=m (R +h 2)

(R +h 2) T 2

联立两式可解出M 与R 。由GM=R2g 可求出重力加速度g 与密度ρ。A 正确。式中m 作用消去，说明探测器的运动与其质量m 无关。因此不能求出m.BCD 错误。

h, 第一次平抛的水平射程为x, 则有x 2+h2=L2

由平抛运动规律，当初速度增大到2倍时，其水平射程增大到2x, 可得（2x ）2+h2=（3L ）2 设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得：h= gt2 由万有引力定律与牛顿第二定律得：mg= G 联立以上各式解得M=（3LR

2）/3Gt 2

Mm v

2

B 。【解析】

天体的运动满足万有引力充当向心力即G 2=m 可知v =

R R v 木≈0.44，B 正确。 可见木星与地球绕太阳运行的线速度之比v 地解析人造卫星的运动学特征（注意以下分析均必须是匀速圆周运动）

Mm v 2(1)线速度v ：由G ＝m 得v ＝ 随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．

r r r Mm (2)角速度ω：由G mω2r 得ω随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．

r r Mm 4π2(3)周期：由G ＝m r ，得

T ＝2π ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期

r T GM

增大．

GM Mm

（4）加速度：由F=G,a=

r r 神舟”六号飞船周期小，推导出轨道半径小再根据公式得到：其线速度大，角速度大，加速

解析：在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A 选项正确．

由A 点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A 点的加速度是个定值，故D 项错误．飞机从A 点进入轨道 Ⅱ 相对于轨道 Ⅰ 可看成向心运动，则可知飞机在轨道 Ⅱ 上A 点速度小于轨道 Ⅰ 上A 点速度，再结合动能定义式可知B 选项正确．根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知C 选项正确．综上知正确答案为A 、B 、C. 卫星变轨中从低轨道向高轨道变轨过程中，要加速；从高轨道向低轨道变轨过程中，

GM Mm v 2

Mm

要减速。B 错误，要减速，动能减小。C ，a=2加速度相同。AD 结合G ＝m ，G r r r r

4π2

m r 以及GM=R2, 可以得到AD 选项。 T

答案：BC 第一宇宙速度，是地球周围所有卫星做匀速圆周的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度。 近地点是椭圆轨道上离地球较近的点，不一定是离地面很近的点，如果此近地点在地球表面

附近，它的速度应大于7.9 km/s，这是因为7.9 km/s是卫星地面附近运动时的速度，而椭圆轨道过此点做离心运动，故速度大于7.9 km/s.当近地点离地球较远时，其速度可以小于7.9 km/s.因为远地点一定不是离地面很近的点，而过这一点的圆轨道速度小于7.9 km/s.椭圆轨道过这一点做向心运动，故速度小于圆轨道速度，所以一定小于7.9 km/s，C 正确．因为此卫星的近地点在地面附近处速度大于7.9 km/s.故从地球上发射时，速度应大于7.9 km/s.

正确设月球质量为M 1，半径为R 1，地球质量为M 、半径为R （则M 1=v1为近月卫星的速率，探月卫星质量为m 。由万有引力提供向心力得到：

11M R 1），814

对探月卫星：

G M 1m mv

=求得 R R 11

21

v 1=

GM 1R 1

对地球卫星：同理可得：v =

=7.9 km/s

R

1R 1v 1M 1R

=所以v 1=2／9v=1.8 km/s =

=

v 2M R 1

R

r 23T 22T 227

开普勒第三定律有3=2解得r 2=r 1⋅2，代入数据求得r 2=4. 2⨯10m. 如图所示，

r 1T 1T 1

22

s 2R +r 2

发出信号至对方接收到信号所需最短时间为t ==，代入数据求得t=0.28s.

v C

所以正确答案是B 。

T

2

3=kR 3，T 02=kR 0两式相除后取对数，得：

T 2R 3T R

lg 2=lg 3，整理得：2lg =3lg ，选项B 正确。

T 0R 0T 0R 0

m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为w 1, w 2。根据题意有

w 1=w 2 r 1+r 2=r

① ②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G

m 1m 2

=m 1w 12r 1 2

r

m 1m 22

=m w r 1 122

r

③

G

联立以上各式解得

④

r 1=

m 2r

m 1+m 2

⑤

根据解速度与周期的关系知

w 1=w 2=

2π T

⑥

联立③⑤⑥式解得

4π23

m 1+m 2=2r

T G

⑦

L ．(1)2π (2)1.012

G (M ＋m )

(1)设两个星球A 和B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和R ，相互作用的万有引

Mm

力大小为F ，运行周期为T . 根据万有引力定律有：F ＝G ①

(R ＋r )由匀速圆周运动的规律得

2π

F ＝m () 2r ②

T 2π

F ＝M ) 2R ③

T

由题意有L ＝R ＋r ④

L 联立①②③④式得T ＝2π ⑤

G (M ＋m )

(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，由题意知，月球做圆周运L ′3

动的周期可由⑤式得出T 1＝2π

G (M ′＋m ′)

式中，M ′和m ′分别是地球与月球的质量，L ′是地心与月心之间的距离．若认为月球在

M ′m ′2π2

地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G ) L ′⑦ m ′(T 2L ′式中，T 2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T 2＝2π

L ′3

⑧ GM ′

m ′T 由⑥⑧式得(2＝1T 1M ′

T 2代入题给数据得(2＝1.012

T 1

答案】T 1T 2【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有 ⋅2

2m 24π2

︒+Ga 2=mT 2a

①

1

2πa 3

解得T 1=Gm ②

对正方形模式，四星的轨道半径均为2a ，同理有

2⋅G m 224π2a 2cos45︒T 2a ③

22

2π2a 3

解得T 2=7Gm ④ 故T 1

T 2

图4 11