稼轩一本通
计算模块：
一、 简便运算
1. 凑整，
（1） 整数：加法：凑10，100，1000
乘法：凑25*4，125*8
（2） 分数：凑1
（3） 拆数，改变运算顺序
2. 提取公因式 a*b+a*c=a*(b+c)
注：0.6,60%,五分之三，除1又三分之二
有些小数位数比较容易出现错误，可以先估算一个大体数，减少出错
常用方法：乘数和被乘数一个扩大一个缩小，积不变
将乘数，被乘数重新分解再组合。
3. 应用公式:
222(a ±b ) =a ±2ab +b (1)完全平方公式
22(a +b )(a -b ) =a -b (2)平方差公式
(3)等差数列公式：A ，通项：先写上公差*项数，然后再用首项做调整
B ，等差数列前和：(首项+末项）*项数/2
(4)平方和公式:1^2+2^2+3^2+„+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：N^2=N的平方)
(5)立方和公式：1^3+2^3+3^3+...+3^n=[n(n+1)/2]^2
4. 分数裂项：
1=(n -1) ⨯n ⨯(n +1) 整数裂项：1⨯2+2⨯3+3⨯4+... +(n -1) ⨯n 3
（头的头—尾的尾）除以（项内数+1）除以公差
注意有的计算题首项没有头的头则要先抛下它，然后再用公式
1111=(-) a ⨯b b -a a b
1111=[-] 分母为三个数乘积的：n ⨯(n +1) ⨯(n +2) 2n ⨯(n +1) (n +1)(n +2) 分数裂项（裂差）：（头的头—尾的尾）除以公差
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数) 的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（4）2，6，12，20，30，42，56，72，90
5. 其它常用方法：
字母换元：把式子用一个字母代替（适用于在很长的运算式子中，只有部分相同的式子，可通过多次换元，剖析式子的内在规律，逐渐简化，消项）一般是分数计算中
通项归纳：一般是分数，不典型分数裂项通过通项归纳变成典型分数裂项
整体约分：一般用于分数计算中，先横看，再竖看，相同项进行比较分析
含带分数的，整数部分相加减，分数部分相加减。
神奇的椅子数：椅子背：1，椅子面：0，像101，10000001，10101，这样的数叫椅子数，13*10101，想像13是坐椅子，靠椅子背做，010101，=131313，
椅子面不够的话抱起来，131*101=131*0101=13（1+1）31=13231
位值原理：把数按万，千，百，个位数拆开来，提取公因式再做。 二、解方程
步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
不定方程（枚举）
三、定义新运算
四、比较与估算：
化小数，通分法，比倒数（倒数越大，分数越小），设标准，糖水法，
放缩法（估算）
几何模块（单独手写）
直线几何（面积，周长，平行线（平行四边型, 梯形），三角形，一半模型，比例模型，） 曲线几何（面积，周长，基本模型（谷形，弯角，弓形，环形），注意圆形中的三角形（等腰直角三角形，等边三角形）
立体几何（基本公式，堆积体求表面积（三视图法），体积（切片法），打洞求表面积（标数法），体积（切片法），水中浸物，正方体展开图）
水中浸物：一步：先假设不完全浸没
二步：带公式
不完全浸没：水升高的体积等于水中部分铁块的体积
H=V水/（S 杯底-S 铁底）
完全浸没：水升高的体积等于铁块的体积
H=（V 水+V铁）/S杯底 三步：检验假设
四步：检验是否溢出（题目中给杯高了，120%要溢出）
应用题模块
第一类：经济问题：（利润率，银行存款，分段纳税，最优方案），
一、利润率：
1. 公式：
售价=成本+利润，利润率=利润
成本⨯100%=售价-成本
成本⨯100%
售价=成本⨯（1+利润率），成本=售价利润率+1
2. 基本方法：公式法，方程法
（1）求利润率的问题：设字母或设数，设成本为单位1，设售价为a.
（2）多商品多状态问题，列表、设未知数
（3）从求什么，需要什么条件倒找已知，需要先求什么，后求什么。
（4）类比：
一种商品先降价a%，再提价a%，比较单位1（售价）已经变化了
卖两件衣服，相同卖价，一件赔了a%，一件赚了a%,比较单位1（成本）不同
（5）设数法。（选择题中，分数，百分数关系，直接按条件设个数，最快捷）
二、银行存款：利息=本金×利率×期数（注：一定是要与利率相对应的时间份数） 本息=本金×（1+利率×期数）
三、分段纳税，分段计费，分段打折：
分段计算，可把每段的区间最高税额算出，最后把每段加起来
分段打折，累计比分买优惠：注意分买的钱已经是打过折了。
1. 先倒求原价
先把打折的区间（每段的最高付款金额算出），比较实际付的钱与区间值的大小，得出打几折，倒求出原价）
2. 然后再跟据累计购买前后折扣率的变化求合买能节省的钱。
四、最优方案：
分别算出每种方案，然后比较大小。
第二类：比例应用题
1. 找不变量（差不变，分量不变，总量不变），统一不变量（最小公倍数）
2. 方程：
法1:设1份为X ，
法2:利用比例关系列方程
3. 注意的问题：统一不变量后对应量对应的对应份数是指统一不变量后的那个份数
第三类：分百应用题：
1. A 是B 的几分之几？（除法）
2. A 的几分之几是多少？（乘法）
3. 已知A 的几分之几是B ，求A （除法）
4. 方法：公式法，方程（是，比，相等）
注意的问题：
1. 分百类的题要注意题目中给的几分之几，或者百分之几都是相对单位1而言，是相对数。
特别是百分数，本身不可以代表具体的数。
分数可以表示具体的数，也可以表示份数的概念。
2. 找准单位1：是，比后面的为单位1（尽量把要求比的转换成是字句，和比字句）
3. 统一单位1，以总量为单位1
比如说苹果是其它三种水果的三分之一，那么苹果占总量的四分之一
4. 注意：A 比B 减少百分之几不等于B 比A 增加百分之几（原因很简单，这个增加或减少的百分数是相对单位1的，是一个相对数，而不是绝对数，正，反两说的单位1是不同的）
5. 强烈推荐用方程的方法，算术法有点绕弯的感觉
6. 运用画图来直观的看。
第四类：工程问题：
方法：以方程法为主，公式法，假设法
核心：工程总量=工作效率*工作时间1=A*A分之1（设工程总量为单位“1”）
以工作效率为核心类：基本合作，助人为乐（必须明确，或设其为未知数）
以工作时间为核心类：作休问题，交替问题（必须明确，或设其为未知数）
主要题型：
1. 基本合作问题：（工作效率作中介）公式法，可以列表解决，工作效率设为X
第一步：设工作总量为“1”，那么由题目中给出的单干或者合作干的时间，推出工效 工作量（1）←→工效←→工作量（单独）
A. 两人合作：合作分想，分作合想，合作工效=甲工效+乙工效
B. 变效：列方程（设工作效率为未知数）甲晴天比乙多干的等于乙雨天比甲多干的
C. 多人合作：轮换方程（设各自的工作效率为未知数，仔细观察，结构对称、相同后
先相加成整体的倍数关系，算出整体的数值，然后再分别解未知数）
2. 助人为乐问题，整体考虑（工作量相加，“2”）
第一步：三人同时开工，同时结束，推出：（三人一直在同时工作，合作工效） 求三人的工作时间=“2”除以三人工效相加
第二步：丙在甲帮忙的工作时间=(1-甲工效*工作时间)/丙工效
第三步：丙在乙帮忙的工作时间=总时间-在甲帮忙的时间
3. 轮流干，交替问题（周期，最后一天是谁干的）以时间为核心
第一步：找周期，（甲干一天，乙干一天，一个周期为两天）一个周期的工作量
第二步：若先甲后乙，则为整数天完成; 若先乙后甲，则多干半天。这种情况说明肯定不是偶数天，（因为甲乙等于乙甲，不可能是整周期，与题目不符），所以只有可能是奇数天。也就是说先甲后乙整数天的情况，一定是甲干最后一天。相应的先乙后甲，最后一个周期是：乙+二分之一甲，
第三步：甲=乙+1/2甲
简单的交替问题：第一步：找周期
第二步：找近似于1的工作量的周期数
第三步：1-整周期的工作量=剩余的工作量
第四步：依次检测最后一个工作者，假设甲乙丙丁四人轮流工作1小时，从甲开始检测，若甲干不完，相应的加1小时，然后乙，直接一个人的工作效率小于剩余工作量。 注意：检测时，用剩余的工作量依次用减法，减甲，乙，丙丁的工作效率，而不是直接除，因为不是全部一人能干完，
4. 轮换方程（注意轮换方程的结构是
第一步：利用方程组结构对称求出甲+乙+丙的工效（先把每个方程都加起来，发现是每个未知数是同倍的）
第二步：根据已求出的甲+乙+丙的工效，再把每个方程式按此分解（将甲+乙+丙放在一起是一个已知的整体+未知的放在一起看成一个整体），可求出单独的工效。
5. 水管问题：合作工效=进效-出效（青蛙跳井）
6. 变效问题：法1：列方程，工程总量不变，等式晴天甲多干的等于雨天乙多干的
法2：比例法
法3：假设法
第五类：平均数问题：平均数=总数量÷总分数
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
平均数是平均水平数，有了人数比，就可以设数（因为具体人数不影响平均数） 第六类：牛吃草问题：
（假设1头牛1天吃1份草，两个方案总量的差等于新草生长速度，原草，牛分组） 第七类： 和差倍（方程法，关键字：是，比，相等，已知两等量关系，一个设未知数，另一个设方程）， 还原问题（倒推法，变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘，画图）， 盈亏（利用总量不变列方程）， 鸡兔同笼（假设法（先假设，再找原因），列方程）， 浓度问题：（直接用公式，方程法，十字交叉法）
公式：浓度=溶质/溶剂+溶质*100%
年龄问题：（年龄差不变; 同时增加或者减少; 年龄的倍数是变化的）
数论模块：
（一）整除特征：
末尾系:2, 5， (看末1位)
2*2,5*5(看末2位)
2*2*2, 5*5*5 (看末3位)
数字和系: 3，9，(看数字和能整除则整除)
99 (从右向往两位一段, 数字和能整除则整除)
偶数位减奇数位的差系:7，11，13(从右往左三位一段, 奇数段的和减偶数段的和的差能整除则整除)
其它数:分解质因数(从2开始, 不浪费) 同时符合所有因数的整除规律
1001=7*11*13 整除性质:1.传递性2. 加减性
（二）质数, 合数:
1. 定义:1个数除了1和它本身以外不再有其他的因数称之为质数, 否则称为合数。
2.100以内的质数(25个)
3. 特点:以3,7,9结尾(除2,5外)
4. ”2”是唯一的偶质数(考点, 和奇偶性相结合)
5. 最大的质数是”2”, ”1”既不是质数也不是合数
6. 因数个数定理:分解质因数, 因数个数等于(指数加1) 连乘积
7. ”4”是最小的合数
（三）因数, 倍数:
假如a ÷b=c（a 、b 、c 都是整数) ，那么我们称b 和c 就是a 的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。反过来说，我们称a 为b 、c 的倍数。在研究因数和倍数时，不考虑0。
最大公因数:两个或多个整数的公因数里最大的那一个叫做它们的最大公因数。
推论：1. 是任意个数的整数之公因数。
2. 两个成倍数关系的非零自然数之间，小的那一个数就是这两个数的最大公因数。
3. 所有不为零的整数都是0的因数。
(1)定义:两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。
推论:如果两个数是倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，
相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积
互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积
几个数的公倍数, 都是它们最小公倍数的倍数
方法:短除模型： M ∟A B (关于最大公约数和最小公倍数)
a b
结论：A=Ma,B=Mb
(A,B)=M[A,B]=Mab
a,b 一定互质
(A,B) * [A,B]=A*B
注：（1）题目中出现乘积字样：一般都是要分解质因数
（2）一个数除以A ，B ，C 同余，问这个数至少是几？A,B,C 最小公倍数+余数
（3）书店一种书原价5元，后降价几毛，一天得款235，这天卖出多少本？
分解质因数
（4）四条不同米数的路种树，要求株距相等，求至少种多少树？最大公约数
（四）位值原理：
1. 拆分abcdef=a*100000+b*10000+c*1000+d*100+e*10+f
2. 用方程解位值原理的题。
杂题模块：
数列，数表:（单独手写）
基本数列：等差数列，平方数数列，等比数列（比为2的），兔子数列，三角数列，相邻乘积数列） 逻辑推理：（假设法，图表法）
1， 假设法: 真真假假
2， 列表法：情况较复杂多人多种身份 统计图：名词：优秀率=优秀的/总数
可能性=符合条件的结果数/所有可能出现的结果总数 中位数：将①数据排序后, ②位置在最中间的数值. 中位数的位置：当样本数为奇数时, 中位数取中间数; 当样本数为偶数时, 中位数取中间两数的平均值。
众数：是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，
平均数：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商 中位数代表中等水平，众数代表多数水平，平均数代表平均水平。
一般水平：当样本数分步较为分散时，用中位数
当样本数分步较为集中时，用众数
题型：1. 一圈为100%
2．与分数应用题相结合
组合计数模块：
1. =符合条件的结果数/所有可能出现的结果总数
2.
（1） 枚举：有序枚举，不重不漏
（2） 加法原理：分类，都可完成
（3） 乘法原理：分类，缺一不可。
（4） 排列组合：（排队，分组问题）
第一：有序排列，无序组合
第二：公式：
m n n -1）（n -2）（ n -m +1）排列：从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是P n =（
组合：从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数是
m C n =P n m
m P m =n （⋅n -1）（⋅n -2) ⋅ （⋅n -m +1）m （⋅m -1）（⋅m -2）⋅ ⋅3⨯2⨯1(与顺序无关) 第三：方法：
特殊人/位置：优先排
相邻（在一起）：捆绑法
不相邻（不在一起）：插空法
一组相同元素的分组问题：插板法
正难则反（反向枚举）
题型：
一条线段上共N 个点（包括端点）：同类型的:一个顶点出发分别和一条线段上的点相连能组成多少三角形?
加法原理就是：（N-1）+（N-2）+………+1
组合数就是在N 个点中选2个点(二点组成一条线段)
步骤:从哪点出发(顶点) 与哪条线段相组合, 共几种情况, 把每种情况相加(加法原理) 每种情况里有多少组合, 运用组合数
注意有重复情况, 三角形三个顶点都逐一检查.
行程模块
一、行程基本公式：
S=v*t 相遇、追及问题的本质是时间相同，所以都可以利用时间相等列方程和比例行程（时间相等，路程比等于速度比）的思想来解。
1. 相遇(相向而行) ：
A. 同时出发: 速度和*相遇时间=路程和
B. 不同时出发: 单独路程+共同路程=全程
2. 追及问题(同向而行):
A. 同时出发:速度差*追及时间=路程差(初始距离)
B. 不同时出发: 速度差*追及时间=路程差(初始距离+先走路程)
3. 混合类型:
A. 路程差推出时间, 再推出全程
B. 追及和相遇混合: 分段考虑, 分别计算
4. 平均速度
平均速度=总路程/总时间
时间相等, 平均速度=(前一段速度+后一段速度)/2
路程相等, 平均速度=(2*V1*V2)/(V1+V2)
对于不同时出发的类型:
（1）单独看，找出每个人行走的时间，速度，路程
（2）看相同的一个时间内两人合走的路程，将不同时间出发的问题变成相同时间出发的问题
二、多次追及相遇：
技巧：画图，分段考虑，数格子（已知甲乙速度比，把全程分成他俩的和的份数） 解题关键：1. 根据相遇次数求全程（份数）：N 次相遇，（2N-1）*C份全程
N 次相遇，2N-1个全程，根据甲乙的速度或速度比（A ：B ），把全程分成C （A+B）份，
2. 根据速度分全程：每次相遇，甲乙二人合走的全程中所占的比例（份数）是一样的。
甲份数：(2N-1)*A 乙份数：(2N-1)*B
3. 根据追踪求相遇：已知对应量和对应分率（份数），求全程
4. 多人相遇追求，找路程差。
解题公式： （一）直线型：
（1）两地相向出发：第一次相遇，共走1个全程，以后每相遇一次，都是合走2个全程。第N 次相遇，共走2N-1个全程
（2）同时同向出发：每次相遇，共走2个全程，第N 次相遇，共走2N 个全程
(3)解题方法:数格子, 找周期, 看每次
时间相等, 已知速度比推出路程比, 把全程分几份, 每次合走一个全程, 各人所占的份数相同. （二）环形跑道：同向而行：多跑一圈，追上一次
相向而行：合跑一圈，遇上一次
三、变速（比例行程）：
比例关系:当路程一定，速度与时间成反比; （当S 甲=S乙时，V 甲：V 乙=T甲：T 乙） 当速度一定，路程与时间成正比; （当V 甲=V乙时，S 甲：S 乙=T甲：T 乙）
当时间一定，路程与速度成正比; （当T 甲=T乙时，S 甲：S 乙=V甲：V 乙）
当没有相同量时，S 甲：S 乙=（V 甲*T甲）：（V 乙*T乙）
题型一，已知每小时比原速提高百分之几，则提前多少时间到达，若先按原速走一段，然后再提速百分之几，则提前多少时间到达，求全程。
解题步骤：原速比现速（速度比），已知速度比，跟据路程一定，得出时间比，然后得出一份时间，然后得出原计划时间。然后一般有两个方案，比较第二个方案求出的原时间与第一方案求出的原时间，求出原速度，进而求出全程。
题型二，已知第一次相遇甲乙的速度比，跑了一个回合后，两人分别提速度，然后已知两次相遇点之间的距离，求全程。
解题步骤：这种就是分段考虑，每一段已知速度比，跟据时间一定，得出路程比，最后求出两次相遇距离所对应的全程的份数，进而求出全程。
四、S-T 图（S-T 的函数图像）
1. 定义：用来表示路程和时间关系的图像（一般用横坐标表示时间，纵坐标表示路程）
2. 怎么看S-T 图：
点：表示在这个时间，所处的位置
线：表示一段时间走过的距离
（1）倾斜方向：反映了物体的运动方向
向上倾斜：离最初位置越来越远
向下倾斜：离最初位置越来越近
平行于时间轴：静止不动
（2）倾斜程度：反映速度大小，倾斜程度越大，速度越大
（3）交点：表示相遇
（4）求平均速度：若图像为一条倾斜直线，则速度大小不变，用直线上任意两点的路程差除以时间差即为速度
3. 比例尺:图上的距离:实际的距离
五、时钟问题： 解题关键：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上分针与时针的追及或相遇问题 解题公式：分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走1小格，每分钟走0.5度 12
分针与时针的速度比就是60：5=12：1
题型：
（1） 追及：时针与分针重合、垂直（夹角为90°或270°）、成直线（夹角为180°） 解决问题关键：追及速度=5.5°/分钟，追及路程=角度差，追及时间=角度差/5.5
（2） 相遇：分针和时针等距离分列某一点数两旁 题型： 第一类：已知时间，求夹角
解题步骤：第一步：找出时针与分针的始，末位置。（画图）
起始：特殊位置：整点，半点
终点：题目给定的时间
第二步：分别找出分针与分针，时针与时针间的角度
分针与分针的角度=（题目给的时间-起点时间）*6
时针与时针的角度=（题目给的时间-起点时间）*0.5
第三步：通过画图得出。
法二：1. 点数*30 2. 分数*5.5 3. 大度数-小度数（超过180，用360度减） 第二类：已知分针与时针位置关系，求时间
第一步：找出时针与分针的始，末位置。(画图)
始：特殊数（整点，半点）
第二步：找出分针与分针，时针与时针的两夹角的和或差。
画图，看求两夹角的和或者哪个方便就求哪个
（相遇或追及）时间=路程和/6.5=路程差/5.5
第三步：钟表时间数=(相遇或追及) 时间+初始时间
用他们的速度比不变，算出坏钟跑了N 圈（小时），好钟应该跑多少圈（小时）？
坏钟（60+-差值）：好钟（60）=坏钟跑过的路程（对表之后跑了几小时）：好钟跑的路程（X ）
六、流水行船：
基本公式：（水速，船速，顺水速度，逆水速度）
顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。
船速=(顺水速度+逆水速度) ÷2；
水速=(顺水速度-逆水速度) ÷2
漂浮物速度=流水速度。
注意的问题：
1. 两船在水中的相遇与追及问题与水速无关，只与船速（静水速度）有关。 2. 船上掉物，船继续前行用时=船调头找物用时，跟船顺逆航行无关系。
七、火车过桥常见题型及解题方法: 一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道) 长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 一个有长度、有速度，一个没长度、没速度， 解法：火车车长(总路程) ＝火车速度×通过时间；
（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，
解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度) ×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，
解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；
（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人（速度为所在火车速度）的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）； （1）错车问题：相当于相遇问题，
解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题，
解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；
火车过桥三种题型：
（1）基本题型：这类问题需要注意两点：火车车长记入总路程；重点是车尾：火车与人擦肩而过，即车尾离人而去。
如：火车通过一条长1140米的桥梁用了50秒，火车穿过1980米的隧道用了80秒，求这列火车的速度和车长。（过桥问题）
一列火车通过800米的桥需55秒，通过500米的隧道需40秒。问该列车与另一列长384、每秒钟行18米的列车迎面错车需要多少秒钟？（火车相遇） （2）错车或者超车：看哪辆车经过，路程和或差就是哪辆车的车长
如：快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的2倍，如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？
（3）综合题：用车长求出速度（利用车长相等列等式）；虽然不知道总路程，但是可以求出某两个时刻间两人或车之间的路程关系
八、扶梯问题：顺梯：可见级数=人走级数+梯走级数 逆梯：可见级数=人走级数-梯走级数
九．猎狗追兔问题：
核心方法：二次设数法------目的：统一标准单位
猎狗跑5步的时间野兔跑7步，猎狗跑4步的距离野兔跑7步， 第1设：相同的时间，设为1S 第2设：相同的路程，设为1M
稼轩一本通
计算模块：
一、 简便运算
1. 凑整，
（1） 整数：加法：凑10，100，1000
乘法：凑25*4，125*8
（2） 分数：凑1
（3） 拆数，改变运算顺序
2. 提取公因式 a*b+a*c=a*(b+c)
注：0.6,60%,五分之三，除1又三分之二
有些小数位数比较容易出现错误，可以先估算一个大体数，减少出错
常用方法：乘数和被乘数一个扩大一个缩小，积不变
将乘数，被乘数重新分解再组合。
3. 应用公式:
222(a ±b ) =a ±2ab +b (1)完全平方公式
22(a +b )(a -b ) =a -b (2)平方差公式
(3)等差数列公式：A ，通项：先写上公差*项数，然后再用首项做调整
B ，等差数列前和：(首项+末项）*项数/2
(4)平方和公式:1^2+2^2+3^2+„+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：N^2=N的平方)
(5)立方和公式：1^3+2^3+3^3+...+3^n=[n(n+1)/2]^2
4. 分数裂项：
1=(n -1) ⨯n ⨯(n +1) 整数裂项：1⨯2+2⨯3+3⨯4+... +(n -1) ⨯n 3
（头的头—尾的尾）除以（项内数+1）除以公差
注意有的计算题首项没有头的头则要先抛下它，然后再用公式
1111=(-) a ⨯b b -a a b
1111=[-] 分母为三个数乘积的：n ⨯(n +1) ⨯(n +2) 2n ⨯(n +1) (n +1)(n +2) 分数裂项（裂差）：（头的头—尾的尾）除以公差
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数) 的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（4）2，6，12，20，30，42，56，72，90
5. 其它常用方法：
字母换元：把式子用一个字母代替（适用于在很长的运算式子中，只有部分相同的式子，可通过多次换元，剖析式子的内在规律，逐渐简化，消项）一般是分数计算中
通项归纳：一般是分数，不典型分数裂项通过通项归纳变成典型分数裂项
整体约分：一般用于分数计算中，先横看，再竖看，相同项进行比较分析
含带分数的，整数部分相加减，分数部分相加减。
神奇的椅子数：椅子背：1，椅子面：0，像101，10000001，10101，这样的数叫椅子数，13*10101，想像13是坐椅子，靠椅子背做，010101，=131313，
椅子面不够的话抱起来，131*101=131*0101=13（1+1）31=13231
位值原理：把数按万，千，百，个位数拆开来，提取公因式再做。 二、解方程
步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
不定方程（枚举）
三、定义新运算
四、比较与估算：
化小数，通分法，比倒数（倒数越大，分数越小），设标准，糖水法，
放缩法（估算）
几何模块（单独手写）
直线几何（面积，周长，平行线（平行四边型, 梯形），三角形，一半模型，比例模型，） 曲线几何（面积，周长，基本模型（谷形，弯角，弓形，环形），注意圆形中的三角形（等腰直角三角形，等边三角形）
立体几何（基本公式，堆积体求表面积（三视图法），体积（切片法），打洞求表面积（标数法），体积（切片法），水中浸物，正方体展开图）
水中浸物：一步：先假设不完全浸没
二步：带公式
不完全浸没：水升高的体积等于水中部分铁块的体积
H=V水/（S 杯底-S 铁底）
完全浸没：水升高的体积等于铁块的体积
H=（V 水+V铁）/S杯底 三步：检验假设
四步：检验是否溢出（题目中给杯高了，120%要溢出）
应用题模块
第一类：经济问题：（利润率，银行存款，分段纳税，最优方案），
一、利润率：
1. 公式：
售价=成本+利润，利润率=利润
成本⨯100%=售价-成本
成本⨯100%
售价=成本⨯（1+利润率），成本=售价利润率+1
2. 基本方法：公式法，方程法
（1）求利润率的问题：设字母或设数，设成本为单位1，设售价为a.
（2）多商品多状态问题，列表、设未知数
（3）从求什么，需要什么条件倒找已知，需要先求什么，后求什么。
（4）类比：
一种商品先降价a%，再提价a%，比较单位1（售价）已经变化了
卖两件衣服，相同卖价，一件赔了a%，一件赚了a%,比较单位1（成本）不同
（5）设数法。（选择题中，分数，百分数关系，直接按条件设个数，最快捷）
二、银行存款：利息=本金×利率×期数（注：一定是要与利率相对应的时间份数） 本息=本金×（1+利率×期数）
三、分段纳税，分段计费，分段打折：
分段计算，可把每段的区间最高税额算出，最后把每段加起来
分段打折，累计比分买优惠：注意分买的钱已经是打过折了。
1. 先倒求原价
先把打折的区间（每段的最高付款金额算出），比较实际付的钱与区间值的大小，得出打几折，倒求出原价）
2. 然后再跟据累计购买前后折扣率的变化求合买能节省的钱。
四、最优方案：
分别算出每种方案，然后比较大小。
第二类：比例应用题
1. 找不变量（差不变，分量不变，总量不变），统一不变量（最小公倍数）
2. 方程：
法1:设1份为X ，
法2:利用比例关系列方程
3. 注意的问题：统一不变量后对应量对应的对应份数是指统一不变量后的那个份数
第三类：分百应用题：
1. A 是B 的几分之几？（除法）
2. A 的几分之几是多少？（乘法）
3. 已知A 的几分之几是B ，求A （除法）
4. 方法：公式法，方程（是，比，相等）
注意的问题：
1. 分百类的题要注意题目中给的几分之几，或者百分之几都是相对单位1而言，是相对数。
特别是百分数，本身不可以代表具体的数。
分数可以表示具体的数，也可以表示份数的概念。
2. 找准单位1：是，比后面的为单位1（尽量把要求比的转换成是字句，和比字句）
3. 统一单位1，以总量为单位1
比如说苹果是其它三种水果的三分之一，那么苹果占总量的四分之一
4. 注意：A 比B 减少百分之几不等于B 比A 增加百分之几（原因很简单，这个增加或减少的百分数是相对单位1的，是一个相对数，而不是绝对数，正，反两说的单位1是不同的）
5. 强烈推荐用方程的方法，算术法有点绕弯的感觉
6. 运用画图来直观的看。
第四类：工程问题：
方法：以方程法为主，公式法，假设法
核心：工程总量=工作效率*工作时间1=A*A分之1（设工程总量为单位“1”）
以工作效率为核心类：基本合作，助人为乐（必须明确，或设其为未知数）
以工作时间为核心类：作休问题，交替问题（必须明确，或设其为未知数）
主要题型：
1. 基本合作问题：（工作效率作中介）公式法，可以列表解决，工作效率设为X
第一步：设工作总量为“1”，那么由题目中给出的单干或者合作干的时间，推出工效 工作量（1）←→工效←→工作量（单独）
A. 两人合作：合作分想，分作合想，合作工效=甲工效+乙工效
B. 变效：列方程（设工作效率为未知数）甲晴天比乙多干的等于乙雨天比甲多干的
C. 多人合作：轮换方程（设各自的工作效率为未知数，仔细观察，结构对称、相同后
先相加成整体的倍数关系，算出整体的数值，然后再分别解未知数）
2. 助人为乐问题，整体考虑（工作量相加，“2”）
第一步：三人同时开工，同时结束，推出：（三人一直在同时工作，合作工效） 求三人的工作时间=“2”除以三人工效相加
第二步：丙在甲帮忙的工作时间=(1-甲工效*工作时间)/丙工效
第三步：丙在乙帮忙的工作时间=总时间-在甲帮忙的时间
3. 轮流干，交替问题（周期，最后一天是谁干的）以时间为核心
第一步：找周期，（甲干一天，乙干一天，一个周期为两天）一个周期的工作量
第二步：若先甲后乙，则为整数天完成; 若先乙后甲，则多干半天。这种情况说明肯定不是偶数天，（因为甲乙等于乙甲，不可能是整周期，与题目不符），所以只有可能是奇数天。也就是说先甲后乙整数天的情况，一定是甲干最后一天。相应的先乙后甲，最后一个周期是：乙+二分之一甲，
第三步：甲=乙+1/2甲
简单的交替问题：第一步：找周期
第二步：找近似于1的工作量的周期数
第三步：1-整周期的工作量=剩余的工作量
第四步：依次检测最后一个工作者，假设甲乙丙丁四人轮流工作1小时，从甲开始检测，若甲干不完，相应的加1小时，然后乙，直接一个人的工作效率小于剩余工作量。 注意：检测时，用剩余的工作量依次用减法，减甲，乙，丙丁的工作效率，而不是直接除，因为不是全部一人能干完，
4. 轮换方程（注意轮换方程的结构是
第一步：利用方程组结构对称求出甲+乙+丙的工效（先把每个方程都加起来，发现是每个未知数是同倍的）
第二步：根据已求出的甲+乙+丙的工效，再把每个方程式按此分解（将甲+乙+丙放在一起是一个已知的整体+未知的放在一起看成一个整体），可求出单独的工效。
5. 水管问题：合作工效=进效-出效（青蛙跳井）
6. 变效问题：法1：列方程，工程总量不变，等式晴天甲多干的等于雨天乙多干的
法2：比例法
法3：假设法
第五类：平均数问题：平均数=总数量÷总分数
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
平均数是平均水平数，有了人数比，就可以设数（因为具体人数不影响平均数） 第六类：牛吃草问题：
（假设1头牛1天吃1份草，两个方案总量的差等于新草生长速度，原草，牛分组） 第七类： 和差倍（方程法，关键字：是，比，相等，已知两等量关系，一个设未知数，另一个设方程）， 还原问题（倒推法，变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘，画图）， 盈亏（利用总量不变列方程）， 鸡兔同笼（假设法（先假设，再找原因），列方程）， 浓度问题：（直接用公式，方程法，十字交叉法）
公式：浓度=溶质/溶剂+溶质*100%
年龄问题：（年龄差不变; 同时增加或者减少; 年龄的倍数是变化的）
数论模块：
（一）整除特征：
末尾系:2, 5， (看末1位)
2*2,5*5(看末2位)
2*2*2, 5*5*5 (看末3位)
数字和系: 3，9，(看数字和能整除则整除)
99 (从右向往两位一段, 数字和能整除则整除)
偶数位减奇数位的差系:7，11，13(从右往左三位一段, 奇数段的和减偶数段的和的差能整除则整除)
其它数:分解质因数(从2开始, 不浪费) 同时符合所有因数的整除规律
1001=7*11*13 整除性质:1.传递性2. 加减性
（二）质数, 合数:
1. 定义:1个数除了1和它本身以外不再有其他的因数称之为质数, 否则称为合数。
2.100以内的质数(25个)
3. 特点:以3,7,9结尾(除2,5外)
4. ”2”是唯一的偶质数(考点, 和奇偶性相结合)
5. 最大的质数是”2”, ”1”既不是质数也不是合数
6. 因数个数定理:分解质因数, 因数个数等于(指数加1) 连乘积
7. ”4”是最小的合数
（三）因数, 倍数:
假如a ÷b=c（a 、b 、c 都是整数) ，那么我们称b 和c 就是a 的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。反过来说，我们称a 为b 、c 的倍数。在研究因数和倍数时，不考虑0。
最大公因数:两个或多个整数的公因数里最大的那一个叫做它们的最大公因数。
推论：1. 是任意个数的整数之公因数。
2. 两个成倍数关系的非零自然数之间，小的那一个数就是这两个数的最大公因数。
3. 所有不为零的整数都是0的因数。
(1)定义:两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。
推论:如果两个数是倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，
相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积
互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积
几个数的公倍数, 都是它们最小公倍数的倍数
方法:短除模型： M ∟A B (关于最大公约数和最小公倍数)
a b
结论：A=Ma,B=Mb
(A,B)=M[A,B]=Mab
a,b 一定互质
(A,B) * [A,B]=A*B
注：（1）题目中出现乘积字样：一般都是要分解质因数
（2）一个数除以A ，B ，C 同余，问这个数至少是几？A,B,C 最小公倍数+余数
（3）书店一种书原价5元，后降价几毛，一天得款235，这天卖出多少本？
分解质因数
（4）四条不同米数的路种树，要求株距相等，求至少种多少树？最大公约数
（四）位值原理：
1. 拆分abcdef=a*100000+b*10000+c*1000+d*100+e*10+f
2. 用方程解位值原理的题。
杂题模块：
数列，数表:（单独手写）
基本数列：等差数列，平方数数列，等比数列（比为2的），兔子数列，三角数列，相邻乘积数列） 逻辑推理：（假设法，图表法）
1， 假设法: 真真假假
2， 列表法：情况较复杂多人多种身份 统计图：名词：优秀率=优秀的/总数
可能性=符合条件的结果数/所有可能出现的结果总数 中位数：将①数据排序后, ②位置在最中间的数值. 中位数的位置：当样本数为奇数时, 中位数取中间数; 当样本数为偶数时, 中位数取中间两数的平均值。
众数：是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，
平均数：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商 中位数代表中等水平，众数代表多数水平，平均数代表平均水平。
一般水平：当样本数分步较为分散时，用中位数
当样本数分步较为集中时，用众数
题型：1. 一圈为100%
2．与分数应用题相结合
组合计数模块：
1. =符合条件的结果数/所有可能出现的结果总数
2.
（1） 枚举：有序枚举，不重不漏
（2） 加法原理：分类，都可完成
（3） 乘法原理：分类，缺一不可。
（4） 排列组合：（排队，分组问题）
第一：有序排列，无序组合
第二：公式：
m n n -1）（n -2）（ n -m +1）排列：从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是P n =（
组合：从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数是
m C n =P n m
m P m =n （⋅n -1）（⋅n -2) ⋅ （⋅n -m +1）m （⋅m -1）（⋅m -2）⋅ ⋅3⨯2⨯1(与顺序无关) 第三：方法：
特殊人/位置：优先排
相邻（在一起）：捆绑法
不相邻（不在一起）：插空法
一组相同元素的分组问题：插板法
正难则反（反向枚举）
题型：
一条线段上共N 个点（包括端点）：同类型的:一个顶点出发分别和一条线段上的点相连能组成多少三角形?
加法原理就是：（N-1）+（N-2）+………+1
组合数就是在N 个点中选2个点(二点组成一条线段)
步骤:从哪点出发(顶点) 与哪条线段相组合, 共几种情况, 把每种情况相加(加法原理) 每种情况里有多少组合, 运用组合数
注意有重复情况, 三角形三个顶点都逐一检查.
行程模块
一、行程基本公式：
S=v*t 相遇、追及问题的本质是时间相同，所以都可以利用时间相等列方程和比例行程（时间相等，路程比等于速度比）的思想来解。
1. 相遇(相向而行) ：
A. 同时出发: 速度和*相遇时间=路程和
B. 不同时出发: 单独路程+共同路程=全程
2. 追及问题(同向而行):
A. 同时出发:速度差*追及时间=路程差(初始距离)
B. 不同时出发: 速度差*追及时间=路程差(初始距离+先走路程)
3. 混合类型:
A. 路程差推出时间, 再推出全程
B. 追及和相遇混合: 分段考虑, 分别计算
4. 平均速度
平均速度=总路程/总时间
时间相等, 平均速度=(前一段速度+后一段速度)/2
路程相等, 平均速度=(2*V1*V2)/(V1+V2)
对于不同时出发的类型:
（1）单独看，找出每个人行走的时间，速度，路程
（2）看相同的一个时间内两人合走的路程，将不同时间出发的问题变成相同时间出发的问题
二、多次追及相遇：
技巧：画图，分段考虑，数格子（已知甲乙速度比，把全程分成他俩的和的份数） 解题关键：1. 根据相遇次数求全程（份数）：N 次相遇，（2N-1）*C份全程
N 次相遇，2N-1个全程，根据甲乙的速度或速度比（A ：B ），把全程分成C （A+B）份，
2. 根据速度分全程：每次相遇，甲乙二人合走的全程中所占的比例（份数）是一样的。
甲份数：(2N-1)*A 乙份数：(2N-1)*B
3. 根据追踪求相遇：已知对应量和对应分率（份数），求全程
4. 多人相遇追求，找路程差。
解题公式： （一）直线型：
（1）两地相向出发：第一次相遇，共走1个全程，以后每相遇一次，都是合走2个全程。第N 次相遇，共走2N-1个全程
（2）同时同向出发：每次相遇，共走2个全程，第N 次相遇，共走2N 个全程
(3)解题方法:数格子, 找周期, 看每次
时间相等, 已知速度比推出路程比, 把全程分几份, 每次合走一个全程, 各人所占的份数相同. （二）环形跑道：同向而行：多跑一圈，追上一次
相向而行：合跑一圈，遇上一次
三、变速（比例行程）：
比例关系:当路程一定，速度与时间成反比; （当S 甲=S乙时，V 甲：V 乙=T甲：T 乙） 当速度一定，路程与时间成正比; （当V 甲=V乙时，S 甲：S 乙=T甲：T 乙）
当时间一定，路程与速度成正比; （当T 甲=T乙时，S 甲：S 乙=V甲：V 乙）
当没有相同量时，S 甲：S 乙=（V 甲*T甲）：（V 乙*T乙）
题型一，已知每小时比原速提高百分之几，则提前多少时间到达，若先按原速走一段，然后再提速百分之几，则提前多少时间到达，求全程。
解题步骤：原速比现速（速度比），已知速度比，跟据路程一定，得出时间比，然后得出一份时间，然后得出原计划时间。然后一般有两个方案，比较第二个方案求出的原时间与第一方案求出的原时间，求出原速度，进而求出全程。
题型二，已知第一次相遇甲乙的速度比，跑了一个回合后，两人分别提速度，然后已知两次相遇点之间的距离，求全程。
解题步骤：这种就是分段考虑，每一段已知速度比，跟据时间一定，得出路程比，最后求出两次相遇距离所对应的全程的份数，进而求出全程。
四、S-T 图（S-T 的函数图像）
1. 定义：用来表示路程和时间关系的图像（一般用横坐标表示时间，纵坐标表示路程）
2. 怎么看S-T 图：
点：表示在这个时间，所处的位置
线：表示一段时间走过的距离
（1）倾斜方向：反映了物体的运动方向
向上倾斜：离最初位置越来越远
向下倾斜：离最初位置越来越近
平行于时间轴：静止不动
（2）倾斜程度：反映速度大小，倾斜程度越大，速度越大
（3）交点：表示相遇
（4）求平均速度：若图像为一条倾斜直线，则速度大小不变，用直线上任意两点的路程差除以时间差即为速度
3. 比例尺:图上的距离:实际的距离
五、时钟问题： 解题关键：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上分针与时针的追及或相遇问题 解题公式：分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走1小格，每分钟走0.5度 12
分针与时针的速度比就是60：5=12：1
题型：
（1） 追及：时针与分针重合、垂直（夹角为90°或270°）、成直线（夹角为180°） 解决问题关键：追及速度=5.5°/分钟，追及路程=角度差，追及时间=角度差/5.5
（2） 相遇：分针和时针等距离分列某一点数两旁 题型： 第一类：已知时间，求夹角
解题步骤：第一步：找出时针与分针的始，末位置。（画图）
起始：特殊位置：整点，半点
终点：题目给定的时间
第二步：分别找出分针与分针，时针与时针间的角度
分针与分针的角度=（题目给的时间-起点时间）*6
时针与时针的角度=（题目给的时间-起点时间）*0.5
第三步：通过画图得出。
法二：1. 点数*30 2. 分数*5.5 3. 大度数-小度数（超过180，用360度减） 第二类：已知分针与时针位置关系，求时间
第一步：找出时针与分针的始，末位置。(画图)
始：特殊数（整点，半点）
第二步：找出分针与分针，时针与时针的两夹角的和或差。
画图，看求两夹角的和或者哪个方便就求哪个
（相遇或追及）时间=路程和/6.5=路程差/5.5
第三步：钟表时间数=(相遇或追及) 时间+初始时间
用他们的速度比不变，算出坏钟跑了N 圈（小时），好钟应该跑多少圈（小时）？
坏钟（60+-差值）：好钟（60）=坏钟跑过的路程（对表之后跑了几小时）：好钟跑的路程（X ）
六、流水行船：
基本公式：（水速，船速，顺水速度，逆水速度）
顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。
船速=(顺水速度+逆水速度) ÷2；
水速=(顺水速度-逆水速度) ÷2
漂浮物速度=流水速度。
注意的问题：
1. 两船在水中的相遇与追及问题与水速无关，只与船速（静水速度）有关。 2. 船上掉物，船继续前行用时=船调头找物用时，跟船顺逆航行无关系。
七、火车过桥常见题型及解题方法: 一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道) 长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 一个有长度、有速度，一个没长度、没速度， 解法：火车车长(总路程) ＝火车速度×通过时间；
（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，
解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度) ×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，
解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；
（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人（速度为所在火车速度）的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）； （1）错车问题：相当于相遇问题，
解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题，
解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；
火车过桥三种题型：
（1）基本题型：这类问题需要注意两点：火车车长记入总路程；重点是车尾：火车与人擦肩而过，即车尾离人而去。
如：火车通过一条长1140米的桥梁用了50秒，火车穿过1980米的隧道用了80秒，求这列火车的速度和车长。（过桥问题）
一列火车通过800米的桥需55秒，通过500米的隧道需40秒。问该列车与另一列长384、每秒钟行18米的列车迎面错车需要多少秒钟？（火车相遇） （2）错车或者超车：看哪辆车经过，路程和或差就是哪辆车的车长
如：快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的2倍，如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？
（3）综合题：用车长求出速度（利用车长相等列等式）；虽然不知道总路程，但是可以求出某两个时刻间两人或车之间的路程关系
八、扶梯问题：顺梯：可见级数=人走级数+梯走级数 逆梯：可见级数=人走级数-梯走级数
九．猎狗追兔问题：
核心方法：二次设数法------目的：统一标准单位
猎狗跑5步的时间野兔跑7步，猎狗跑4步的距离野兔跑7步， 第1设：相同的时间，设为1S 第2设：相同的路程，设为1M