行列式
1. 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等D =D T .
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.
推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.
a b c
如a 'b 'c '=0 a b c
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.
a 11
如ka 21
a 12ka 22a 32
a 13a 33
a 11a 31
a 12a 22a 32
a 13a 23 a 33
ka 23=k a 21
a 31
推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．
a b c
如a 'b 'c '=0 ka kb kc
性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.
a 11
'如a 21+a 21
a 31
a 12'a 22+a 22
a 32
a 13a 33
a 11a 31
a 12a 22a 32
a 13a 23a 33
'=a 21a 23+a 23
a 11
'+a 21
a 31
a 12
'a 22a 32a 13
' a 23a 33
性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式的值不变.
a 11
如a 21
a 12a 22a 32
a 13a 23=a 33
a 11a 21a 31+ka 11
a 12a 22a 32+ka 12
a 13a 23a 33+ka 13
a 31
2. 余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij ，A ij =(-1)
i +j
M ij 叫做元素a ij 的代数余子式．
a 11
如a 21
a 12a 22a 32
a 13
a 31
a 23，元素a 23的余子式为M 23=
a 31
a 33
2+3
a 11a 12a 32a 12a 32
，
元素a 23的代数余子式为A 23=(-1) M 23=-
a 11a 31
.
3. 行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+ +a in A in 或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj
(i =1,2, , n ; j =1,2 n )
a 11
如a 21
a 12a 22a 32
a 13
a 23=a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13 a 33
a 31
定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a i n A jn =0, 或a 1j A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj =0, i ≠j .
(i =1,2, , n ; j =1,2 n )
4. 行列式的计算 （1）二阶行列式（2）三阶行列式
a 11a 21
a 12a 22
=a 11a 22-a 12a 21
a 11a 21a 31
a 12a 22a 32
a 13
a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 a 33
λ1
（3）对角行列式
λ1
λ2
λn
a 11
=λ1λ2 λn ，
λ2
λn
=(-1)
n(m -1) λ1λ2 λn
a 11
a 22
a 12 a 1n a 22 a 2n
（4）三角行列式
a 21
a n1
a n2 a nn
=
a nn a 1n
=a 11a 22 a nn
a 11a 21
a n1
a 1,n -1a 1n a 2,n -1
=
a n1
a 2,n -1a 2n
a n2
a nn
=(-1)
n(n -1) 2
a 1n a 2,n -1 a n1
（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.
（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.
（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.
矩阵
1. 常见矩阵
1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵. 记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵. 记作E.
⎛a 11
3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵. 如
⎝⎛a 11 a 21 4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵. 如 ⎝a n1
a 12 a 22
a 1n ⎫ a 2n ⎪⎪ ⎪
⎪a nn ⎭⎫⎪⎪ ⎪
⎪
a nn ⎭
a 22
a n2
5）对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若A T =A ，即a ij =a ji ，则称A 为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若A T =-A ，即a ij =-a ji ，则称A 为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵，如果AA T =E 或A T A =E ，则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法
⎛a b 如
⎝d e c ⎫⎛a 'b '⎪+
f ⎭⎝d 'e 'c '⎫⎛a +a 'b +b '⎪=
f '⎭⎝d +d 'e +e 'c +c '⎫
⎪ f +f '⎭
注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；
② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如k
⎛a b ⎝d e c ⎫⎛ka ⎪= f ⎭⎝kd kb kc ⎫
⎪
ke kf ⎭
注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.
（3）矩阵的乘法：设A =(a ij ) m ⨯s ,B =(b ij ) s ⨯n ，规定AB =C =(c ij ) m ⨯n , 其中c ij =a i1b 1j +a i2b 2j + +a is b sj =
∑a
k =1
s
ik kj
b (i =1,2, ,m, j =1,2, ,n.)
注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；
②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素c ij . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即
(a 11
a 12
⎛b 11⎫ ⎪b
a 1s ) 21⎪=a 11b 11+a 12b 21+ a 1s b s1
⎪ ⎪⎝b s1⎭
a 11b 12 a 11b 1s ⎫
⎪
a 21b 12 a 21b 1s ⎪
⎪ ⎪
a s1b 12 a s1b 1s ⎭
-1
列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即
⎛a 11⎫⎛a 11b 11 ⎪ a 21 ⎪(b b b )= a 21b 11
1s
⎪1112 ⎪ a ⎝s1⎭⎝a s1b 11
3. 逆矩阵
设n 阶方阵A 、B ，若AB=E或BA=E，则A ，B 都可逆，且A （1）二阶方阵求逆，设A =
=B,B -1=A .
⎛a b ⎫1*1⎛d -b ⎫-1
A =A = ，则 ⎪（两调一除法）. ⎪
A ad -bc ⎝-c a ⎭⎝c d ⎭
-1
⎛a 1
（2）对角矩阵的逆
⎝⎛ ⎝a n
-1
⎛a 1-1⎫
⎪
a 2
⎪=
⎪
⎪ a n ⎭⎝
a 2-1
⎫
⎪⎪， ⎪
⎪-1⎪a n ⎭
a 2
a 1⎫⎛
⎪
⎪=
⎪
⎪ a -1
⎭⎝1
a 2
-1
a n -1⎫
⎪⎪. ⎪⎪⎪⎭
-1
⎛A 1
（3）分块对角阵的逆
⎝⎛ ⎝A s
-1
⎛A 1-1⎫
⎪
A 2
⎪=
⎪
⎪ A s ⎭⎝
A 2-1
⎫
⎪⎪; ⎪
⎪A s -1⎪⎭
A 2
A 1⎫⎛
⎪
⎪=
⎪
⎪ A -1
⎭⎝1
A 2-1
A s -1⎫
⎪⎪. ⎪⎪⎪⎭
ERT
E )−−−→(E
（4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：(A 4. 方阵的行列式
A -1).
由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式. 记作A 或det （A ）. 5. 矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 6. 初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.
⎛001⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪
如 010⎪, 0k 0⎪, 010⎪都是初等矩阵. 100⎪ 001⎪ k 01⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7. 矩阵的秩
矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩. 记作R （A ）或r （A ）. 求矩阵的秩的方法：
（1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A 的秩.
（2）初等行变换法：A −−−→行阶梯形矩阵，R （A ）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 8. 重要公式及结论
（1）矩阵运算的公式及结论
ERT
A +B =B +A, A k 1⋅A k 2=A k 1+k 2,
(A +B ) +C =A +(B +C ), (A +B )C =AC +BC , (A k 1) k 2=A k 1k 2, B ,
EA =AE =A,
(AB )C =A(BC ),
λ(A +B ) =λA +λB λ(AB ) =(λA )B =A(λB )
E k =E
(λA ) k =λk A k , A 0=E
T
(AB )
k
=A (BA )
k -1
(A T )=A,
T T
*
(A +B ) T =A T +B T ,
(λA )
=λA T ,
(AB )
n
T
=B T A T
(A *)=(A T ),
A T =A ,
(AB )
*
=B *A *, AA *=A *A =A E
A n =A ,
A +B ≠A +B
λA =λn A ,
AB =A B =BA ,
矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;
矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A 可逆时，有B=C.
一般地若AB=O，则无A=O或B=O.
2
(A +B ) ? A 2+2AB +B 2.
（2）逆矩阵的公式及定理
(A -1)=A ,
-1
(λA )
-1
=
1
λ
,
A -1,
(A B )
-1
=B -1A -1,
(A T )=(A -1)
-1
T
A -1=A
-1
,
-1*
A *=A
n -1
A -1=
-k
1*
A , A
A *=A A -1
(A )
*-1
=(A )
1=A , A
A
=(A
-1k
)
A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E （即A 与单位矩阵E 等价） （3）矩阵秩的公式及结论
R(O ) =0,
R(A m ⨯n ) ≤min{m,n },
R(A T ) =R(A ),R(kA ) =R(A ),k ≠0
A ≠0⇔R(A ) =n ,
R (A +B )≤R (A )+R (B )
R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).
特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).
ET
A −−→B ⇔A ~B ⇒ R(A )=R (B ) 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.
9. 矩阵方程
（1）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为X =A -1B ；
解法：① 求出A -1，再计算A -1B ； ② (A
ERT
B )−−−→(E
X ) .
（2）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为m ×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为X =BA -1；
解法：① 求出A -1，再计算BA -1； ②
⎛A ⎫ECT ⎛E ⎫
→ ⎪ . ⎪−−−
⎝B ⎭⎝X ⎭
10. 矩阵间的关系
（1）等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.
即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.
性质：等价矩阵的秩相等.
（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得P -1AP =B , 那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹. （3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得P AP =B ，那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.
T
向量空间
1. 线性组合
（1）若α＝k β，则称向量α与β成比例． （2）零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．
（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关
（1） 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． （2） 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． （3） 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例. （4） 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. （5） 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．
（6） 向量组α1, α2, , αm 线性相关的充分必要条件是
① 齐次线性方程组k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0有非零解.
② 以向量组为列作的矩阵(α1, α2, , αm )的秩
以向量组为列作的行列式的值(α1, α2, , αn )=0. （8） 向量组α1, α2, , αm 线性无关的充分必要条件是
① 齐次线性方程组k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0只有零解. ② 以向量组为列作的矩阵(α1, α2, , αm )的秩=向量的个数m. （9） n 个n 维向量α1, α2, , αn 线性无关的充分必要条件是
以向量组为列作的行列式的值(α1, α2, , αn )≠0. （10）当m>n时，m 个n 维向量一定线性相关.
定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, am （m ≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.
向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, ar 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 ,……, ar ，α线性相关，则α可
由A 线性表示，且表示式唯一.
定理3：设向量组A :α1, α2, , αr ，B :α1, α2, , αr , αr +1, , αm
若A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.
（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩
定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, ar ，满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, ar 线性无关， ⑵ ∀α∈T ，α1, α2, , αr , α线性相关.
那么称向量 a 1 , a 2 ,……, ar 是向量组 T 的一个极大无关组.
定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.
定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。 结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。
结论2 如果向量组的秩是r ，那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。 定理1 设向量组A:a1,a 2, …,ar ；及向量组B:b1,b 2, …, bs ，如果组A 能由组B 线性表示，且组A 线性无关，则r ≦s.
推论1 等价的向量组有相同的秩.
定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间
定义1 设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间.
5. 基与向量在基下的坐标
定义2 设V 是向量空间，如果向量组a 1 , a 2 ,……, ar ，满足条件： （1）向量组 a 1 , a 2 ,……, ar 线性无关； （2）∀α∈T ，α1, α2, , αr , α线性相关.
那么称向量组a 1 , a 2 ,……, ar 是向量空间V 的一个基， 基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数，记作dimV ，并称V 为r 维向量空间．
定义3 设向量组 a , a, … , a是向量空间V 的一个基，则V 中任一向量x 可唯一地表示为基的一个
1 2 r 线性组合，即 x =λ1a 1+λ2a 2+ +λr a r ，
称有序数组λ1, λ2, , λr 为向量x 在基 a , a, … , a下的坐标.
1 2 r
线性方程组
1. 线性方程组解的判定
（1） 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵（A,b ）的秩相同，
即R （A ）=R（A ，b ）. 当R （A ）=R（A ，b ）=r
① 方程组AX=b有惟一解的充分必要条件是r=n; ② 方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是r
（2） 方程组AX= b无解的充分必要条件是R(A ) ≠R （A ，b ）. 2. 齐次线性方程组有非零解的判定
（1） 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 R (A )
列式等于零. （即|A |=0）
（3） 齐次线性方程组AX=0中，若方程的个数m
（1） 若ξ1, ξ2是Ax=0的解，则ξ1+ξ2也是Ax=0的解； （2） 若ξ是Ax=0的解，则k ξ也是Ax=0的解.
4. 齐次线性方程组的基础解系与通解 （1） 解空间
齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合，是一个向量空间，称为方程组 Ax=0的解空间．记作V ，即V={ x | Ax=0，x ∈R }. （2） 基础解系
齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基，称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-r （A ）.
方程组AX=0的任意n-r 个线性无关的解都是AX=0的基础解系.
（3）齐次线性方程组的通解为k 1ξ1+k 2ξ2+ +k n -r ξn -r ，其中ξ1, ξ2, , ξn -r 是Ax=0的一个基础解系. 5. 非齐次线性方程组解的性质
（1）若η1, η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解； 即Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x =0的解.
（2）若η是Ax=b的解，ξ是Ax=0的解，则η+ξ是Ax=b的解.
即Ax=b 的任意一个解和其导出组 A x =0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 的解. 6. 非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组AX=b的通解为k 1ξ1+k 2ξ2+ +k n -r ξn -r +η
其中ξ1, ξ2, , ξn -r 为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系， η为非齐次线性方程组AX=b的任意一个解，称为特解.
*
*
方阵的特征值
1. 向量的内积
⎛x 1⎫⎛y 1⎫
⎪ ⎪x y 22
设x = ⎪, y = ⎪，则x ，y 的内积为[x, y ]=x 1y 1+x 2y 2+ +x n y n .
⎪ ⎪ ⎪ ⎪x ⎝n ⎭⎝y n ⎭
（1）向量x 的长度：
x =
=
（2）非零向量的单位化：若向量 x ≠0 , 则（3）当[x, y ]=0时, 称向量x 与y 正交.
1
x 是单位向量. x
（4）若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组． （5）若正交组中每个向量都是单位向量，则称它为标准正交组. 定理1 正交向量组必线性无关
定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量都是单位向量且两两正交． （6）施密特正交化过程
设α1, α2, α3是一个线性无关的向量组，
① 正交化：令β1=α1, β2=a 2-
[β1, β2]β, β=a -[β1,a 3]β-[β2,a 3]β； β1, β1133β1, β11β2, β22
② 单位化：取e 1=
ββ1β
, e 2=2, e 3=3. β1β2β3
则e 1,e 2,e 3是与α1, α2, α3等价的标准正交组. 2. 特征值与特征向量
（1）方阵A 的特征值λ是特征方程A -λE =0的根. （2）三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元．
（3）方阵和它的转置方阵有相同的特征值.
（4）设λ1, λ2, , λn 是n 阶方阵A 的全部特征值，则tr (A )=λ1+λ2+ +λn ，A =λ1⋅λ2⋅ λn . 即方阵A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和，方阵A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积. （5）若λ是方阵A 的特征值，则f (λ)是方阵f (A )的特征值. 特别地，当f (A )=0时，方阵A 的特征值是f (λ)=0的根. 说明：f (x ) =a m x m +a m -1x
m -1
+ +a 1x +a 0，f (A ) =a m A m +a m -1A m -1+ +a 1A +a 0E .
例如λ是方阵A 的特征值，则方阵f (A )=A +2E 的特征值是f (λ)=λ+2.
方阵f (A )=A -3A -4E 的特征值是f (λ)=λ-3λ-4.
2
2
例如若A -3A -4E =0，则方阵A 的特征值是λ-3λ-4=0的根，即λ1=-1, λ2=4.
（6）设P 则k 1P 1+k 2P 2k 1,k 2不全为零也是λ0的1,P 2都是方阵A 的属于同一特征值λ0的特征向量，特征向量.
（7）属于不同特征值的特征向量线性无关.
（8）属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关. 3. 方阵的对角化
（1）若方阵A 与对角矩阵Λ相似，则说A 可以对角化．即存在可逆矩阵P ，使得P AP =Λ. （Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. ） （2）n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是
①A 有n 个线性无关的特征向量；
②属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同． （3）n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等． （4）若A 与B 相似，则f (A )与f (B )相似.
4. 实对称矩阵的对角化
（1）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.
（2）实对称矩阵一定可以对角化. 即存在正交矩阵P ，使得P AP =Λ.
-1
-1
22
()
（Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. ） （3）利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：
(1)求特征值；(2)求特征向量；(3)将特征向量正交化，单位化；(4)最后将这些特征向量做成矩阵．
二次型
1. 二次型的标准化
（1） 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: ① 写出二次型f =x Ax 的对称矩阵A ； ② 求A 的全部特征值λ1, λ2, , λn ；
③ 求每个特征值的线性无关的特征向量ξ1, ξ2, , ξn ； ④ 将特征向量正交化，单位化，得η1, η2, , ηn ；
⑤ 将这些特征向量做成矩阵，记C =(η1, η2, , ηn )，最后做正交变换x=Cy，得到f 的标准形为
222T
f =λ1y 1+λ2y 2+ +λn y n . （其中λ1, λ2, , λn 是f =x Ax 的矩阵A 的特征值. ）
T
（2） 用配方法化二次型为标准形的具体步骤:
① 若二次型含有x i 的平方项，则先把含有x i 的项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;
⎧x i =y i -y j
⎪
② 若二次型中不含有平方项，则先作可逆线性变换，令⎨x j =y i +y j ，（k=1,2, …,n ，i≠j）
⎪x =y
k ⎩k
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
2. 规范二次型
T
设二次型f =x Ax 的标准形为f =d 1y 1+ +d p y p -d p +1y p +1- -d r y r ，（d i >0，r 是f 的秩）
2
2
2
2
⎧
⎪y 1=⎪⎪⎪
⎪y =
p
⎪⎪令⎨
⎪y =⎪p +1⎪⎪⎪
⎪y r =⎪⎩
z 1z p z p +1
z r 第 11 页 共 12 页
T
，得f =z 1+ +z p -z p +1- -z r ，称为二次型f =x Ax 的规范形.
2222
注：规范形是唯一的. 其中正平方项的个数p 称为f =x Ax 正惯性指数，负平方项的个数r-p 称为
T
f =x T Ax 负惯性指数，它们的差p-(r-p)=2p-r称为f =x T Ax 符号差.
3. 正定二次型
二次型f =x Ax 正定⇔矩阵A 正定⇔A 的特征值全为正⇔A 的各阶顺序主子式都为正. 二次型f =x Ax 负定⇔矩阵A 负定⇔A 的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正.
T T
第 12 页 共 12 页
行列式
1. 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等D =D T .
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.
推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.
a b c
如a 'b 'c '=0 a b c
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.
a 11
如ka 21
a 12ka 22a 32
a 13a 33
a 11a 31
a 12a 22a 32
a 13a 23 a 33
ka 23=k a 21
a 31
推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．
a b c
如a 'b 'c '=0 ka kb kc
性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.
a 11
'如a 21+a 21
a 31
a 12'a 22+a 22
a 32
a 13a 33
a 11a 31
a 12a 22a 32
a 13a 23a 33
'=a 21a 23+a 23
a 11
'+a 21
a 31
a 12
'a 22a 32a 13
' a 23a 33
性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式的值不变.
a 11
如a 21
a 12a 22a 32
a 13a 23=a 33
a 11a 21a 31+ka 11
a 12a 22a 32+ka 12
a 13a 23a 33+ka 13
a 31
2. 余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij ，A ij =(-1)
i +j
M ij 叫做元素a ij 的代数余子式．
a 11
如a 21
a 12a 22a 32
a 13
a 31
a 23，元素a 23的余子式为M 23=
a 31
a 33
2+3
a 11a 12a 32a 12a 32
，
元素a 23的代数余子式为A 23=(-1) M 23=-
a 11a 31
.
3. 行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+ +a in A in 或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj
(i =1,2, , n ; j =1,2 n )
a 11
如a 21
a 12a 22a 32
a 13
a 23=a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13 a 33
a 31
定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a i n A jn =0, 或a 1j A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj =0, i ≠j .
(i =1,2, , n ; j =1,2 n )
4. 行列式的计算 （1）二阶行列式（2）三阶行列式
a 11a 21
a 12a 22
=a 11a 22-a 12a 21
a 11a 21a 31
a 12a 22a 32
a 13
a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 a 33
λ1
（3）对角行列式
λ1
λ2
λn
a 11
=λ1λ2 λn ，
λ2
λn
=(-1)
n(m -1) λ1λ2 λn
a 11
a 22
a 12 a 1n a 22 a 2n
（4）三角行列式
a 21
a n1
a n2 a nn
=
a nn a 1n
=a 11a 22 a nn
a 11a 21
a n1
a 1,n -1a 1n a 2,n -1
=
a n1
a 2,n -1a 2n
a n2
a nn
=(-1)
n(n -1) 2
a 1n a 2,n -1 a n1
（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.
（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.
（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.
矩阵
1. 常见矩阵
1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵. 记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵. 记作E.
⎛a 11
3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵. 如
⎝⎛a 11 a 21 4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵. 如 ⎝a n1
a 12 a 22
a 1n ⎫ a 2n ⎪⎪ ⎪
⎪a nn ⎭⎫⎪⎪ ⎪
⎪
a nn ⎭
a 22
a n2
5）对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若A T =A ，即a ij =a ji ，则称A 为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若A T =-A ，即a ij =-a ji ，则称A 为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵，如果AA T =E 或A T A =E ，则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法
⎛a b 如
⎝d e c ⎫⎛a 'b '⎪+
f ⎭⎝d 'e 'c '⎫⎛a +a 'b +b '⎪=
f '⎭⎝d +d 'e +e 'c +c '⎫
⎪ f +f '⎭
注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；
② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如k
⎛a b ⎝d e c ⎫⎛ka ⎪= f ⎭⎝kd kb kc ⎫
⎪
ke kf ⎭
注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.
（3）矩阵的乘法：设A =(a ij ) m ⨯s ,B =(b ij ) s ⨯n ，规定AB =C =(c ij ) m ⨯n , 其中c ij =a i1b 1j +a i2b 2j + +a is b sj =
∑a
k =1
s
ik kj
b (i =1,2, ,m, j =1,2, ,n.)
注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；
②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素c ij . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即
(a 11
a 12
⎛b 11⎫ ⎪b
a 1s ) 21⎪=a 11b 11+a 12b 21+ a 1s b s1
⎪ ⎪⎝b s1⎭
a 11b 12 a 11b 1s ⎫
⎪
a 21b 12 a 21b 1s ⎪
⎪ ⎪
a s1b 12 a s1b 1s ⎭
-1
列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即
⎛a 11⎫⎛a 11b 11 ⎪ a 21 ⎪(b b b )= a 21b 11
1s
⎪1112 ⎪ a ⎝s1⎭⎝a s1b 11
3. 逆矩阵
设n 阶方阵A 、B ，若AB=E或BA=E，则A ，B 都可逆，且A （1）二阶方阵求逆，设A =
=B,B -1=A .
⎛a b ⎫1*1⎛d -b ⎫-1
A =A = ，则 ⎪（两调一除法）. ⎪
A ad -bc ⎝-c a ⎭⎝c d ⎭
-1
⎛a 1
（2）对角矩阵的逆
⎝⎛ ⎝a n
-1
⎛a 1-1⎫
⎪
a 2
⎪=
⎪
⎪ a n ⎭⎝
a 2-1
⎫
⎪⎪， ⎪
⎪-1⎪a n ⎭
a 2
a 1⎫⎛
⎪
⎪=
⎪
⎪ a -1
⎭⎝1
a 2
-1
a n -1⎫
⎪⎪. ⎪⎪⎪⎭
-1
⎛A 1
（3）分块对角阵的逆
⎝⎛ ⎝A s
-1
⎛A 1-1⎫
⎪
A 2
⎪=
⎪
⎪ A s ⎭⎝
A 2-1
⎫
⎪⎪; ⎪
⎪A s -1⎪⎭
A 2
A 1⎫⎛
⎪
⎪=
⎪
⎪ A -1
⎭⎝1
A 2-1
A s -1⎫
⎪⎪. ⎪⎪⎪⎭
ERT
E )−−−→(E
（4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：(A 4. 方阵的行列式
A -1).
由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式. 记作A 或det （A ）. 5. 矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 6. 初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.
⎛001⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪
如 010⎪, 0k 0⎪, 010⎪都是初等矩阵. 100⎪ 001⎪ k 01⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7. 矩阵的秩
矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩. 记作R （A ）或r （A ）. 求矩阵的秩的方法：
（1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A 的秩.
（2）初等行变换法：A −−−→行阶梯形矩阵，R （A ）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 8. 重要公式及结论
（1）矩阵运算的公式及结论
ERT
A +B =B +A, A k 1⋅A k 2=A k 1+k 2,
(A +B ) +C =A +(B +C ), (A +B )C =AC +BC , (A k 1) k 2=A k 1k 2, B ,
EA =AE =A,
(AB )C =A(BC ),
λ(A +B ) =λA +λB λ(AB ) =(λA )B =A(λB )
E k =E
(λA ) k =λk A k , A 0=E
T
(AB )
k
=A (BA )
k -1
(A T )=A,
T T
*
(A +B ) T =A T +B T ,
(λA )
=λA T ,
(AB )
n
T
=B T A T
(A *)=(A T ),
A T =A ,
(AB )
*
=B *A *, AA *=A *A =A E
A n =A ,
A +B ≠A +B
λA =λn A ,
AB =A B =BA ,
矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;
矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A 可逆时，有B=C.
一般地若AB=O，则无A=O或B=O.
2
(A +B ) ? A 2+2AB +B 2.
（2）逆矩阵的公式及定理
(A -1)=A ,
-1
(λA )
-1
=
1
λ
,
A -1,
(A B )
-1
=B -1A -1,
(A T )=(A -1)
-1
T
A -1=A
-1
,
-1*
A *=A
n -1
A -1=
-k
1*
A , A
A *=A A -1
(A )
*-1
=(A )
1=A , A
A
=(A
-1k
)
A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E （即A 与单位矩阵E 等价） （3）矩阵秩的公式及结论
R(O ) =0,
R(A m ⨯n ) ≤min{m,n },
R(A T ) =R(A ),R(kA ) =R(A ),k ≠0
A ≠0⇔R(A ) =n ,
R (A +B )≤R (A )+R (B )
R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).
特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).
ET
A −−→B ⇔A ~B ⇒ R(A )=R (B ) 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.
9. 矩阵方程
（1）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为X =A -1B ；
解法：① 求出A -1，再计算A -1B ； ② (A
ERT
B )−−−→(E
X ) .
（2）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为m ×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为X =BA -1；
解法：① 求出A -1，再计算BA -1； ②
⎛A ⎫ECT ⎛E ⎫
→ ⎪ . ⎪−−−
⎝B ⎭⎝X ⎭
10. 矩阵间的关系
（1）等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.
即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.
性质：等价矩阵的秩相等.
（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得P -1AP =B , 那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹. （3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得P AP =B ，那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.
T
向量空间
1. 线性组合
（1）若α＝k β，则称向量α与β成比例． （2）零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．
（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关
（1） 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． （2） 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． （3） 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例. （4） 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. （5） 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．
（6） 向量组α1, α2, , αm 线性相关的充分必要条件是
① 齐次线性方程组k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0有非零解.
② 以向量组为列作的矩阵(α1, α2, , αm )的秩
以向量组为列作的行列式的值(α1, α2, , αn )=0. （8） 向量组α1, α2, , αm 线性无关的充分必要条件是
① 齐次线性方程组k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0只有零解. ② 以向量组为列作的矩阵(α1, α2, , αm )的秩=向量的个数m. （9） n 个n 维向量α1, α2, , αn 线性无关的充分必要条件是
以向量组为列作的行列式的值(α1, α2, , αn )≠0. （10）当m>n时，m 个n 维向量一定线性相关.
定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, am （m ≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.
向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, ar 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 ,……, ar ，α线性相关，则α可
由A 线性表示，且表示式唯一.
定理3：设向量组A :α1, α2, , αr ，B :α1, α2, , αr , αr +1, , αm
若A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.
（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩
定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, ar ，满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, ar 线性无关， ⑵ ∀α∈T ，α1, α2, , αr , α线性相关.
那么称向量 a 1 , a 2 ,……, ar 是向量组 T 的一个极大无关组.
定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.
定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。 结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。
结论2 如果向量组的秩是r ，那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。 定理1 设向量组A:a1,a 2, …,ar ；及向量组B:b1,b 2, …, bs ，如果组A 能由组B 线性表示，且组A 线性无关，则r ≦s.
推论1 等价的向量组有相同的秩.
定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间
定义1 设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间.
5. 基与向量在基下的坐标
定义2 设V 是向量空间，如果向量组a 1 , a 2 ,……, ar ，满足条件： （1）向量组 a 1 , a 2 ,……, ar 线性无关； （2）∀α∈T ，α1, α2, , αr , α线性相关.
那么称向量组a 1 , a 2 ,……, ar 是向量空间V 的一个基， 基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数，记作dimV ，并称V 为r 维向量空间．
定义3 设向量组 a , a, … , a是向量空间V 的一个基，则V 中任一向量x 可唯一地表示为基的一个
1 2 r 线性组合，即 x =λ1a 1+λ2a 2+ +λr a r ，
称有序数组λ1, λ2, , λr 为向量x 在基 a , a, … , a下的坐标.
1 2 r
线性方程组
1. 线性方程组解的判定
（1） 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵（A,b ）的秩相同，
即R （A ）=R（A ，b ）. 当R （A ）=R（A ，b ）=r
① 方程组AX=b有惟一解的充分必要条件是r=n; ② 方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是r
（2） 方程组AX= b无解的充分必要条件是R(A ) ≠R （A ，b ）. 2. 齐次线性方程组有非零解的判定
（1） 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 R (A )
列式等于零. （即|A |=0）
（3） 齐次线性方程组AX=0中，若方程的个数m
（1） 若ξ1, ξ2是Ax=0的解，则ξ1+ξ2也是Ax=0的解； （2） 若ξ是Ax=0的解，则k ξ也是Ax=0的解.
4. 齐次线性方程组的基础解系与通解 （1） 解空间
齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合，是一个向量空间，称为方程组 Ax=0的解空间．记作V ，即V={ x | Ax=0，x ∈R }. （2） 基础解系
齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基，称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-r （A ）.
方程组AX=0的任意n-r 个线性无关的解都是AX=0的基础解系.
（3）齐次线性方程组的通解为k 1ξ1+k 2ξ2+ +k n -r ξn -r ，其中ξ1, ξ2, , ξn -r 是Ax=0的一个基础解系. 5. 非齐次线性方程组解的性质
（1）若η1, η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解； 即Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x =0的解.
（2）若η是Ax=b的解，ξ是Ax=0的解，则η+ξ是Ax=b的解.
即Ax=b 的任意一个解和其导出组 A x =0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 的解. 6. 非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组AX=b的通解为k 1ξ1+k 2ξ2+ +k n -r ξn -r +η
其中ξ1, ξ2, , ξn -r 为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系， η为非齐次线性方程组AX=b的任意一个解，称为特解.
*
*
方阵的特征值
1. 向量的内积
⎛x 1⎫⎛y 1⎫
⎪ ⎪x y 22
设x = ⎪, y = ⎪，则x ，y 的内积为[x, y ]=x 1y 1+x 2y 2+ +x n y n .
⎪ ⎪ ⎪ ⎪x ⎝n ⎭⎝y n ⎭
（1）向量x 的长度：
x =
=
（2）非零向量的单位化：若向量 x ≠0 , 则（3）当[x, y ]=0时, 称向量x 与y 正交.
1
x 是单位向量. x
（4）若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组． （5）若正交组中每个向量都是单位向量，则称它为标准正交组. 定理1 正交向量组必线性无关
定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量都是单位向量且两两正交． （6）施密特正交化过程
设α1, α2, α3是一个线性无关的向量组，
① 正交化：令β1=α1, β2=a 2-
[β1, β2]β, β=a -[β1,a 3]β-[β2,a 3]β； β1, β1133β1, β11β2, β22
② 单位化：取e 1=
ββ1β
, e 2=2, e 3=3. β1β2β3
则e 1,e 2,e 3是与α1, α2, α3等价的标准正交组. 2. 特征值与特征向量
（1）方阵A 的特征值λ是特征方程A -λE =0的根. （2）三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元．
（3）方阵和它的转置方阵有相同的特征值.
（4）设λ1, λ2, , λn 是n 阶方阵A 的全部特征值，则tr (A )=λ1+λ2+ +λn ，A =λ1⋅λ2⋅ λn . 即方阵A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和，方阵A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积. （5）若λ是方阵A 的特征值，则f (λ)是方阵f (A )的特征值. 特别地，当f (A )=0时，方阵A 的特征值是f (λ)=0的根. 说明：f (x ) =a m x m +a m -1x
m -1
+ +a 1x +a 0，f (A ) =a m A m +a m -1A m -1+ +a 1A +a 0E .
例如λ是方阵A 的特征值，则方阵f (A )=A +2E 的特征值是f (λ)=λ+2.
方阵f (A )=A -3A -4E 的特征值是f (λ)=λ-3λ-4.
2
2
例如若A -3A -4E =0，则方阵A 的特征值是λ-3λ-4=0的根，即λ1=-1, λ2=4.
（6）设P 则k 1P 1+k 2P 2k 1,k 2不全为零也是λ0的1,P 2都是方阵A 的属于同一特征值λ0的特征向量，特征向量.
（7）属于不同特征值的特征向量线性无关.
（8）属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关. 3. 方阵的对角化
（1）若方阵A 与对角矩阵Λ相似，则说A 可以对角化．即存在可逆矩阵P ，使得P AP =Λ. （Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. ） （2）n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是
①A 有n 个线性无关的特征向量；
②属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同． （3）n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等． （4）若A 与B 相似，则f (A )与f (B )相似.
4. 实对称矩阵的对角化
（1）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.
（2）实对称矩阵一定可以对角化. 即存在正交矩阵P ，使得P AP =Λ.
-1
-1
22
()
（Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. ） （3）利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：
(1)求特征值；(2)求特征向量；(3)将特征向量正交化，单位化；(4)最后将这些特征向量做成矩阵．
二次型
1. 二次型的标准化
（1） 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: ① 写出二次型f =x Ax 的对称矩阵A ； ② 求A 的全部特征值λ1, λ2, , λn ；
③ 求每个特征值的线性无关的特征向量ξ1, ξ2, , ξn ； ④ 将特征向量正交化，单位化，得η1, η2, , ηn ；
⑤ 将这些特征向量做成矩阵，记C =(η1, η2, , ηn )，最后做正交变换x=Cy，得到f 的标准形为
222T
f =λ1y 1+λ2y 2+ +λn y n . （其中λ1, λ2, , λn 是f =x Ax 的矩阵A 的特征值. ）
T
（2） 用配方法化二次型为标准形的具体步骤:
① 若二次型含有x i 的平方项，则先把含有x i 的项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;
⎧x i =y i -y j
⎪
② 若二次型中不含有平方项，则先作可逆线性变换，令⎨x j =y i +y j ，（k=1,2, …,n ，i≠j）
⎪x =y
k ⎩k
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
2. 规范二次型
T
设二次型f =x Ax 的标准形为f =d 1y 1+ +d p y p -d p +1y p +1- -d r y r ，（d i >0，r 是f 的秩）
2
2
2
2
⎧
⎪y 1=⎪⎪⎪
⎪y =
p
⎪⎪令⎨
⎪y =⎪p +1⎪⎪⎪
⎪y r =⎪⎩
z 1z p z p +1
z r 第 11 页 共 12 页
T
，得f =z 1+ +z p -z p +1- -z r ，称为二次型f =x Ax 的规范形.
2222
注：规范形是唯一的. 其中正平方项的个数p 称为f =x Ax 正惯性指数，负平方项的个数r-p 称为
T
f =x T Ax 负惯性指数，它们的差p-(r-p)=2p-r称为f =x T Ax 符号差.
3. 正定二次型
二次型f =x Ax 正定⇔矩阵A 正定⇔A 的特征值全为正⇔A 的各阶顺序主子式都为正. 二次型f =x Ax 负定⇔矩阵A 负定⇔A 的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正.
T T
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