课题 1.1.2 充分条件和必要条件
【学习要求】
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义． 2．会判断某些条件之间的关系． 【学法指导】
从命题的真假、推出关系、集合间的包含关系多角度理解充分条件、必要条件，使思维活动更加严谨. 课前预习
1、充分条件与必要条件
学生活动
活动一 充分条件、必要条件
问题1 判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.
结论：一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
问题4 结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；
(2)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (3)p：x>1，q：x2>1；
(4)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
小结 本例四个小题分别体现了定义法、集合法、等价法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题．
问题2 结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解．
问题3 判断命题“若x＝1，则 x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．
1
跟踪训练1 指出下列命题中p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1； (3)p：sin α>sin β，q：α>β.
活动二 充要条件的判断
问题1 已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么p是q的什么条件？q又是p的什么条件？
结论：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
活动三 充分条件、必要条件与集合的关系 问题 设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
例3 是否存在实数p，使“4x＋p0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
小结 (1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
问题2 结合实例说说你对充要条件的理解．
例2 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数； (2)p：x>0，y>0，q：xy>0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
小结 判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．
2
跟踪训练3 已知p：3x＋m0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围． 课堂反馈
1．“－21或x
跟踪训练2 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是________．
(2)x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是___________．(答案不惟一)
(3)“函数y＝x－2x－a没有零点”的充要条件是_______．
2
2
2．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的______________条件．
3．若“x0”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
4．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
课堂小结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题非q⇒非p即可；同理要证p⇐q，只需证非q⇐非p即可．所以p⇔q，只需非q⇔非p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根
据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等(组)进行式求解．
自我检测
1.1.2 充分条件和必要条件
一、基础过关
1．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的____________条件．
2．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是
“A∩B＝{4}”的____________条件． 3．设条件p：x2＋3x－4>0，结论q：x＝2，则p是q的____________条件．
4．下列命题中，正确的是________(填序号)． ①“x2>0”是“x>0”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0”的必要条件； ③“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件； ④“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件． 11
5．设a，b为实数，则“0”
ba的______________条件．
π
6．设0
2________________条件．
7．不等式(a＋x)(1＋x)
二、能力提升
8．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α. 其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．
3
9．“a>1”是“函数f(x)＝logax－x＋2 (a>0，且a≠1)有两个零点”的________条件．
10．下列各题中，p是q的什么条件？说明理由． (1)p：a2＋b2＝0；q：a＋b＝0.
(2)p：p≤－2或p≥2；q：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根．
(3)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切；q：c2＝(a2＋b2)r2.
11．设命题p：2x2－3x＋1≤0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
abc
12．在△ABC中，设命题p：，
sin Bsin Csin A命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的什么条件？并说明理由．
三、探究与拓展
13．设计如下图所示的两个电路图，条件A：“开
关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，问A是B的什么条件？
4
课题 1.1.2 充分条件和必要条件
【学习要求】
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义． 2．会判断某些条件之间的关系． 【学法指导】
从命题的真假、推出关系、集合间的包含关系多角度理解充分条件、必要条件，使思维活动更加严谨. 课前预习
1、充分条件与必要条件
学生活动
活动一 充分条件、必要条件
问题1 判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.
结论：一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
问题4 结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；
(2)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (3)p：x>1，q：x2>1；
(4)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
小结 本例四个小题分别体现了定义法、集合法、等价法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题．
问题2 结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解．
问题3 判断命题“若x＝1，则 x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．
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跟踪训练1 指出下列命题中p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1； (3)p：sin α>sin β，q：α>β.
活动二 充要条件的判断
问题1 已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么p是q的什么条件？q又是p的什么条件？
结论：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
活动三 充分条件、必要条件与集合的关系 问题 设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
例3 是否存在实数p，使“4x＋p0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
小结 (1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
问题2 结合实例说说你对充要条件的理解．
例2 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数； (2)p：x>0，y>0，q：xy>0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
小结 判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．
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跟踪训练3 已知p：3x＋m0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围． 课堂反馈
1．“－21或x
跟踪训练2 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是________．
(2)x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是___________．(答案不惟一)
(3)“函数y＝x－2x－a没有零点”的充要条件是_______．
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2．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的______________条件．
3．若“x0”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
4．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
课堂小结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题非q⇒非p即可；同理要证p⇐q，只需证非q⇐非p即可．所以p⇔q，只需非q⇔非p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根
据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等(组)进行式求解．
自我检测
1.1.2 充分条件和必要条件
一、基础过关
1．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的____________条件．
2．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是
“A∩B＝{4}”的____________条件． 3．设条件p：x2＋3x－4>0，结论q：x＝2，则p是q的____________条件．
4．下列命题中，正确的是________(填序号)． ①“x2>0”是“x>0”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0”的必要条件； ③“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件； ④“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件． 11
5．设a，b为实数，则“0”
ba的______________条件．
π
6．设0
2________________条件．
7．不等式(a＋x)(1＋x)
二、能力提升
8．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α. 其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．
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9．“a>1”是“函数f(x)＝logax－x＋2 (a>0，且a≠1)有两个零点”的________条件．
10．下列各题中，p是q的什么条件？说明理由． (1)p：a2＋b2＝0；q：a＋b＝0.
(2)p：p≤－2或p≥2；q：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根．
(3)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切；q：c2＝(a2＋b2)r2.
11．设命题p：2x2－3x＋1≤0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
abc
12．在△ABC中，设命题p：，
sin Bsin Csin A命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的什么条件？并说明理由．
三、探究与拓展
13．设计如下图所示的两个电路图，条件A：“开
关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，问A是B的什么条件？
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