平面向量的数量积及平面向量的应用
【知识梳理】1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a 和b 的数量积(或内积) ，记作a·b . 即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.
2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ； (2)(λa )·b ＝λ(a·b ) ＝a·(λb ) ； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .
3．平面向量数量积的有关结论
提示：不一定．a ＝0时不成立，另外a ≠0时，由数量积概念可知b 与c 不能确定． 2．等式(a ·b ) c ＝a (b ·c ) 成立吗？为什么？ 提示：(a ·b ) c ＝a (b ·c ) 不一定成立．(a ·b ) c 是c 方向上的向量，而a (b ·c ) 是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．
3．|a ·b |与|a |·|b |的大小之间有什么关系？ 提示：|a ·b |≤|a |·|b |.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ，所以|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |. 【基础自测】
1．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
2
解析：选C ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b ＝0，
1
∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0. 又∵|a |＝|b |，∴2cos θ＋1＝0，即cos θ2
2π
又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a 与b 的夹角为120°.
3
2．已知向量a ＝(1，－1) ，b ＝(2，x ) ，若a ·b ＝1，则x ＝( )
11
A ．－1 B C. D ．1
22
解析：选D ∵a ＝(1，－1) ，b ＝(2，x ) ，a ·b ＝1，∴2－x ＝1，即x ＝1.
1
3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－，则|a ＋2b |＝( )
2
2 3 C. 5 D. 7
－⎫＋4＝3. 解析：选B |a ＋2b |＝(a ＋2b )|a |＋4a ·b ＋4|b |＝ 1＋4×⎛⎝2⎭
4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t ) b . 若b·c ＝0，则t ＝________.
1
解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b b·c
2
1
＝0，得b ·[t a ＋(1－t ) b ]＝0，即t a·b ＋(1－t ) b 2＝0，所以＋(1－t ) ＝0，所以t ＝2.
2
BD ＝________. 5．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·
1
BD ＝解析：选向量的基底为AB ，AD ，则BD ＝AD －AB ，AE ＝AD ＋AB ，那么AE ·
2 ⎫ ⎛ 1
AD AB ·(－) ＝2. AD +AB ⎪
2⎝⎭
【考点分析】
【考点一】平面向量数量积的概念及运算
[例1] (1)已知点A (－1,1) 、B (1,2)、C (－2，－1) 、D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )
3231532315A. B. C ．－ D ．－
2222
(2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF
BF 的值是________． ＝2，则AE ·
[解] (1)∵A (－1,1) ，B (1，2) ，C (－2，－1) ，D (3,4)，
AB CD 310
∴AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，因此cos 〈AB ，CD 〉＝ 10
AB CD
1032
∴向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |·cos 〈AB ，CD 5＝.
102
AE ·BF 1) ，D (0,2)，C 2，2) ．设F (x ，2)(0≤x ≤2) ，由AB ·AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，
DE ·DC 的最大值． CB 的值及DE ·
解：
(2)以A
为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B 2，0) ，E (2，
＝(2，1)·(1－2，2) ＝2.
【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是AB 上的动点，求
以A 点为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A (0,0)、B (1,0)、C (1,1)、D (0,1)，设E (a ，0) ，0≤a ≤1.
DE ·(0，－1) ＝a ×0＋(－1) ×(－1) ＝1. CB ＝(a ，－1)· DE ·DC ＝(a ，－1)·DC 的最大值为1. (1,0)＝a ＋(－1) ×0＝a ≤1，故DE ·
【方法规律】平面向量数量积的类型及求法
(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
(2)求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
变式：1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x ) ，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________. 解析：∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又c ＝(3，x ) ，∴(8a －b )·c ＝18＋3x ＝30，∴x ＝4.
2π
2．若e 1，e 2是夹角为的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为
3
________．
2π
解析：∵e 1，e 2的模为1，且其夹角θ＝.
3
2
∴a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 1＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 22
2π5
＝k ＋(1－2k )cos －2＝2k －.
32
55
又∵a ·b ＝0，∴2k ＝0，即k 24
【考点二】平面向量的夹角与模的问题
1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属
中档题．
2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)两向量垂直的应用； (3)已知数量积求模； (4)知模求模．
[例2] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．
BC ，则实数λ的值为________．
(2)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2. 若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥
BE ＝1, 则AB (3)在平行四边形ABCD 中， AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·
的长为________．
[解] (1)由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2.
a ·b |b |21
又|a |＝3|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝＝－.
|a ||b |3|b |3
BC ＝0， (2)∵AP ⊥BC ，∴AP · 2 2
∴(λAB ＋AC )·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB ) ＝λAB ·AC －λAB ＋AC － AC ·AB ＝0. ∵向量AB 与AC 的夹角为120°，|AB |＝3，|AC |＝2，
7
∴(λ－1)| AB ||AC |·co s 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.
12
1
BE ＝1，所以(AB (3)法一：由题意可知，AC ＝AB ＋AD ，BE ＝－AB ＋AD . 因为AC ·
2 ⎛1 1 1 ⎫
AB +AD ⎪＝1，即AD 2＋2AB ·AD －2AB 2＝1. ⎝2⎭ 11因为|AD |＝1，∠BAD ＝60°，所以|AB |＝，即AB 22
＋AD )· -
法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，过D 作DM ⊥AB 于点M . 由AD ＝1，
13
∠BAD ＝60°，可知AM ＝，DM ＝
22
1313
设|AB |＝m (m >0)，则B (m, 0) ，C ⎛m ＋，，D ⎛.
22⎭⎝⎝22⎭
11m 11因为E 是CD 的中点，所以E ⎛⎫. 所以BE ＝⎛－，，AC ＝⎛m .
222⎝222⎭⎝22⎝
11131
m ⎛⎫1，即2m 2－m ＝0，所以m ＝0(舍去) 或. BE ＝1，可得⎛由AC ·2⎝22⎭4⎝2
1
故AB 的长为.
211
[答案] (1)－ (2)5 32
【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略
a ·b
(1)求两向量的夹角．cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
|a |·|b |
(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ②|a ±b |(a ±b )a ±2a ·b ＋b . ③若a ＝(x ，y ) ，则|a |＝x ＋y .
变式：1．若a ＝(1,2)，b ＝(1，－1) ，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )
πππ3πA ．－ B. C. D.
4644解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1) ＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1) ＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b ) ＝9，|2a ＋b |＝3，|a －b |＝3.
92π
设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，又α∈[0，π]，故α＝.
42×32
2．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝
________.
解析：∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b ) ＝0， 即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，
即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角) ．∴(k －1)(1＋cos θ) ＝0， 又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1.
3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β) ，则|2α＋β|的值为________． 解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β) ，
1
∴α·(α－2β) ＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0. ∴α·β＝.
2
∴(2α＋β) 2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝【考点三】 平面向量数量积的应用
[例3] 已知向量a ＝(cos α，sin α) ，b ＝(cos β，sin β) ，0
(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．
[解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b ) 2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .
⎧⎪cos α＋cos β＝0，
(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) ＝(0,1)，所以⎨
⎪sin α＋sin β＝1，⎩
由此得，cos α＝cos(π－β) ，由0
15ππ
1，得sin α＝sin βα>β，所以α＝，β＝266
【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
变式：设向量a ＝(4cos α，sin α) ，b ＝(sin β，4cos β) ，c ＝(cos β，－4sin β) ． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β) 的值； (2)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)由a 与b －2c 垂直，得a ·(b －2c ) ＝a ·b －2a ·c ＝0， 即4sin(α＋β) －8cos(α＋β) ＝0，tan(α＋β) ＝2.
(2)证明：由tan αtan β＝16，得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b .
小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件 两个非零向量垂直的充要条件为：a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 2个结论——与向量夹角有关的两个结论 (1)若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ·b
(1)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边△ABC
中，AB 与BC 的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .
(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a . 在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0) ，则不一定得到b ＝c .
(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等
于a ·(b ·c ) ，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c ) 表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 【巩固练习】
1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )
A ．23 B ．23 C ．4 D ．12
1解析：选B |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a ＋b |＝3.
2
2．平面向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a －b |＝( ) A.
3
B. 3 C ．3 D ．4 2
1
解析：选C |a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 60°＝4＋1－2×2×1×3.
25 B ．25 C ．5 D ．10
3．在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2) ，则该四边形的面积为( )
BD ＝1×(－4) ＋2×2＝0. 所以AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的解析：选C 依题意得，AC ·
11
面积为AC |·|BD |＝5×20＝5.
22
4. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3 BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )
33
C ．－ D. 3 22
解析：选D 建系如图． A ．3 B.
设B (x B, 0) ，D (0,1)，C (x C ，y C ) ，BC ＝(x C －x B ，y C ) ，BD ＝(－x B, 1) ， ∵BC ＝3 BD ，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(13) x B ，y C 3，AC ＝((13) x B 3) ，AD
＝(0，1) ，AC ·AD ＝3.
5．已知a ，b ，c 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则(a －b )·c 的取值范围是( ) A ．[0,1] ；B ．[－1,1]； C ．[3，3] ；D ．[03]
解析：选C 由a 、b 为单位向量和|a ＋b |＝1的几何意义，可知|a －b |＝，设a －b 与c 的夹角为θ，所以(a －b )·c ＝|a －b ||c |cos θ∈[－3，3]．
6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2. 设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，
3
CP ＝－2λ＝( ) 若BQ ·
－3±21210A. ； B. ；C. ； 2222解析：选A 以点A 为坐标原点，A B 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (13) ，
CP ＝(－λ由AP ＝λAB ，得P (2λ，0) ，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ)) ，所以BQ ·
31
－13(1－λ))·(2λ－1，－3) ＝－(λ＋1)·(2λ－1) －3×3(1－λ) ＝－，解得λ22
7．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA ＋OB ＋OC ＝0，则向量OA ，OB 的夹角为________．
解析：∵A ，B ，C 为单位圆上三点，
∴|OA |＝|OB |＝|OC |＝1，又OA ＋OB ＋OC ＝0， 2 2 2 2 ∴OC ＝OB ＋OA ，∴OC ＝(OB ＋OA ) ＝OB ＋OA ＋2OB ·OA ，可得
1
cos 〈OA ，OB 〉＝－，∴向量OA ，OB 的夹角为120°.
2
8. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P , 且A P ＝3，则AP ·AC ＝________.
2
解析：设∠P AC ＝θ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2|AP ||AO ·cos θ＝2|AP |＝2×32＝18.
π|x |9．(2013·浙江高考) 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R . 若e 1，e 26|b |
的最大值等于________．
|x |⎫2|x |x 211⎛解析：当x ＝0时，0，当x ≠0时，⎝|b |⎭＝22＝4，
|b |y 2y ⎛y x ＋y ＋3xy 21⎛1＋⎝x ＋3
x ⎝x 2＋4
|x |y 3
的最大值是2，当且仅当时取到最大值．
|b |x 2
10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角，
5
∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ) ＋2(2＋λ)>0.∴λ>－.
3
当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，
⎧⎪1＋λ＝m ，
即(1＋λ，2＋λ) ＝m (1,2)，∴⎨解得λ＝0. 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，
⎪2＋λ＝2m ，⎩
5
－，0⎫∪(0，＋∞) ． 综上可知，实数λ的取值范围为⎛⎝3⎭
11．在平面直角坐标系x Oy 中，已知点A (－1，－2) ，B (2,3)，C (－2，－1) ． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值．
解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1) ，则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)．
所以|AB ＋AC |＝2，|AB －AC |＝42. 故所求的两条对角线长分别为210，42.
(2)由题设知OC ＝(－2，－1) ，AB －t OC ＝(3＋2t, 5＋t ) ．
由(AB －t OC )·(－2，－1) ＝0， OC ＝0，得(3＋2t, 5＋t )·
11从而5t ＝－11，所以t ＝－5
平面向量的数量积及平面向量的应用
【知识梳理】1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a 和b 的数量积(或内积) ，记作a·b . 即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.
2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ； (2)(λa )·b ＝λ(a·b ) ＝a·(λb ) ； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .
3．平面向量数量积的有关结论
提示：不一定．a ＝0时不成立，另外a ≠0时，由数量积概念可知b 与c 不能确定． 2．等式(a ·b ) c ＝a (b ·c ) 成立吗？为什么？ 提示：(a ·b ) c ＝a (b ·c ) 不一定成立．(a ·b ) c 是c 方向上的向量，而a (b ·c ) 是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．
3．|a ·b |与|a |·|b |的大小之间有什么关系？ 提示：|a ·b |≤|a |·|b |.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ，所以|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |. 【基础自测】
1．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
2
解析：选C ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b ＝0，
1
∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0. 又∵|a |＝|b |，∴2cos θ＋1＝0，即cos θ2
2π
又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a 与b 的夹角为120°.
3
2．已知向量a ＝(1，－1) ，b ＝(2，x ) ，若a ·b ＝1，则x ＝( )
11
A ．－1 B C. D ．1
22
解析：选D ∵a ＝(1，－1) ，b ＝(2，x ) ，a ·b ＝1，∴2－x ＝1，即x ＝1.
1
3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－，则|a ＋2b |＝( )
2
2 3 C. 5 D. 7
－⎫＋4＝3. 解析：选B |a ＋2b |＝(a ＋2b )|a |＋4a ·b ＋4|b |＝ 1＋4×⎛⎝2⎭
4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t ) b . 若b·c ＝0，则t ＝________.
1
解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b b·c
2
1
＝0，得b ·[t a ＋(1－t ) b ]＝0，即t a·b ＋(1－t ) b 2＝0，所以＋(1－t ) ＝0，所以t ＝2.
2
BD ＝________. 5．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·
1
BD ＝解析：选向量的基底为AB ，AD ，则BD ＝AD －AB ，AE ＝AD ＋AB ，那么AE ·
2 ⎫ ⎛ 1
AD AB ·(－) ＝2. AD +AB ⎪
2⎝⎭
【考点分析】
【考点一】平面向量数量积的概念及运算
[例1] (1)已知点A (－1,1) 、B (1,2)、C (－2，－1) 、D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )
3231532315A. B. C ．－ D ．－
2222
(2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF
BF 的值是________． ＝2，则AE ·
[解] (1)∵A (－1,1) ，B (1，2) ，C (－2，－1) ，D (3,4)，
AB CD 310
∴AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，因此cos 〈AB ，CD 〉＝ 10
AB CD
1032
∴向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |·cos 〈AB ，CD 5＝.
102
AE ·BF 1) ，D (0,2)，C 2，2) ．设F (x ，2)(0≤x ≤2) ，由AB ·AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，
DE ·DC 的最大值． CB 的值及DE ·
解：
(2)以A
为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B 2，0) ，E (2，
＝(2，1)·(1－2，2) ＝2.
【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是AB 上的动点，求
以A 点为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A (0,0)、B (1,0)、C (1,1)、D (0,1)，设E (a ，0) ，0≤a ≤1.
DE ·(0，－1) ＝a ×0＋(－1) ×(－1) ＝1. CB ＝(a ，－1)· DE ·DC ＝(a ，－1)·DC 的最大值为1. (1,0)＝a ＋(－1) ×0＝a ≤1，故DE ·
【方法规律】平面向量数量积的类型及求法
(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
(2)求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
变式：1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x ) ，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________. 解析：∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又c ＝(3，x ) ，∴(8a －b )·c ＝18＋3x ＝30，∴x ＝4.
2π
2．若e 1，e 2是夹角为的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为
3
________．
2π
解析：∵e 1，e 2的模为1，且其夹角θ＝.
3
2
∴a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 1＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 22
2π5
＝k ＋(1－2k )cos －2＝2k －.
32
55
又∵a ·b ＝0，∴2k ＝0，即k 24
【考点二】平面向量的夹角与模的问题
1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属
中档题．
2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度： (1)求两向量的夹角； (2)两向量垂直的应用； (3)已知数量积求模； (4)知模求模．
[例2] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．
BC ，则实数λ的值为________．
(2)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2. 若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥
BE ＝1, 则AB (3)在平行四边形ABCD 中， AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·
的长为________．
[解] (1)由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2.
a ·b |b |21
又|a |＝3|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝＝－.
|a ||b |3|b |3
BC ＝0， (2)∵AP ⊥BC ，∴AP · 2 2
∴(λAB ＋AC )·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB ) ＝λAB ·AC －λAB ＋AC － AC ·AB ＝0. ∵向量AB 与AC 的夹角为120°，|AB |＝3，|AC |＝2，
7
∴(λ－1)| AB ||AC |·co s 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.
12
1
BE ＝1，所以(AB (3)法一：由题意可知，AC ＝AB ＋AD ，BE ＝－AB ＋AD . 因为AC ·
2 ⎛1 1 1 ⎫
AB +AD ⎪＝1，即AD 2＋2AB ·AD －2AB 2＝1. ⎝2⎭ 11因为|AD |＝1，∠BAD ＝60°，所以|AB |＝，即AB 22
＋AD )· -
法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，过D 作DM ⊥AB 于点M . 由AD ＝1，
13
∠BAD ＝60°，可知AM ＝，DM ＝
22
1313
设|AB |＝m (m >0)，则B (m, 0) ，C ⎛m ＋，，D ⎛.
22⎭⎝⎝22⎭
11m 11因为E 是CD 的中点，所以E ⎛⎫. 所以BE ＝⎛－，，AC ＝⎛m .
222⎝222⎭⎝22⎝
11131
m ⎛⎫1，即2m 2－m ＝0，所以m ＝0(舍去) 或. BE ＝1，可得⎛由AC ·2⎝22⎭4⎝2
1
故AB 的长为.
211
[答案] (1)－ (2)5 32
【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略
a ·b
(1)求两向量的夹角．cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
|a |·|b |
(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ②|a ±b |(a ±b )a ±2a ·b ＋b . ③若a ＝(x ，y ) ，则|a |＝x ＋y .
变式：1．若a ＝(1,2)，b ＝(1，－1) ，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )
πππ3πA ．－ B. C. D.
4644解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1) ＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1) ＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b ) ＝9，|2a ＋b |＝3，|a －b |＝3.
92π
设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，又α∈[0，π]，故α＝.
42×32
2．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝
________.
解析：∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b ) ＝0， 即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，
即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角) ．∴(k －1)(1＋cos θ) ＝0， 又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1.
3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β) ，则|2α＋β|的值为________． 解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β) ，
1
∴α·(α－2β) ＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0. ∴α·β＝.
2
∴(2α＋β) 2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝【考点三】 平面向量数量积的应用
[例3] 已知向量a ＝(cos α，sin α) ，b ＝(cos β，sin β) ，0
(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．
[解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b ) 2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .
⎧⎪cos α＋cos β＝0，
(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) ＝(0,1)，所以⎨
⎪sin α＋sin β＝1，⎩
由此得，cos α＝cos(π－β) ，由0
15ππ
1，得sin α＝sin βα>β，所以α＝，β＝266
【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
变式：设向量a ＝(4cos α，sin α) ，b ＝(sin β，4cos β) ，c ＝(cos β，－4sin β) ． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β) 的值； (2)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)由a 与b －2c 垂直，得a ·(b －2c ) ＝a ·b －2a ·c ＝0， 即4sin(α＋β) －8cos(α＋β) ＝0，tan(α＋β) ＝2.
(2)证明：由tan αtan β＝16，得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b .
小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件 两个非零向量垂直的充要条件为：a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 2个结论——与向量夹角有关的两个结论 (1)若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ·b
(1)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边△ABC
中，AB 与BC 的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .
(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a . 在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0) ，则不一定得到b ＝c .
(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等
于a ·(b ·c ) ，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c ) 表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 【巩固练习】
1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )
A ．23 B ．23 C ．4 D ．12
1解析：选B |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a ＋b |＝3.
2
2．平面向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a －b |＝( ) A.
3
B. 3 C ．3 D ．4 2
1
解析：选C |a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 60°＝4＋1－2×2×1×3.
25 B ．25 C ．5 D ．10
3．在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2) ，则该四边形的面积为( )
BD ＝1×(－4) ＋2×2＝0. 所以AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的解析：选C 依题意得，AC ·
11
面积为AC |·|BD |＝5×20＝5.
22
4. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3 BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )
33
C ．－ D. 3 22
解析：选D 建系如图． A ．3 B.
设B (x B, 0) ，D (0,1)，C (x C ，y C ) ，BC ＝(x C －x B ，y C ) ，BD ＝(－x B, 1) ， ∵BC ＝3 BD ，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(13) x B ，y C 3，AC ＝((13) x B 3) ，AD
＝(0，1) ，AC ·AD ＝3.
5．已知a ，b ，c 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则(a －b )·c 的取值范围是( ) A ．[0,1] ；B ．[－1,1]； C ．[3，3] ；D ．[03]
解析：选C 由a 、b 为单位向量和|a ＋b |＝1的几何意义，可知|a －b |＝，设a －b 与c 的夹角为θ，所以(a －b )·c ＝|a －b ||c |cos θ∈[－3，3]．
6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2. 设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，
3
CP ＝－2λ＝( ) 若BQ ·
－3±21210A. ； B. ；C. ； 2222解析：选A 以点A 为坐标原点，A B 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (13) ，
CP ＝(－λ由AP ＝λAB ，得P (2λ，0) ，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ)) ，所以BQ ·
31
－13(1－λ))·(2λ－1，－3) ＝－(λ＋1)·(2λ－1) －3×3(1－λ) ＝－，解得λ22
7．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA ＋OB ＋OC ＝0，则向量OA ，OB 的夹角为________．
解析：∵A ，B ，C 为单位圆上三点，
∴|OA |＝|OB |＝|OC |＝1，又OA ＋OB ＋OC ＝0， 2 2 2 2 ∴OC ＝OB ＋OA ，∴OC ＝(OB ＋OA ) ＝OB ＋OA ＋2OB ·OA ，可得
1
cos 〈OA ，OB 〉＝－，∴向量OA ，OB 的夹角为120°.
2
8. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P , 且A P ＝3，则AP ·AC ＝________.
2
解析：设∠P AC ＝θ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2|AP ||AO ·cos θ＝2|AP |＝2×32＝18.
π|x |9．(2013·浙江高考) 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R . 若e 1，e 26|b |
的最大值等于________．
|x |⎫2|x |x 211⎛解析：当x ＝0时，0，当x ≠0时，⎝|b |⎭＝22＝4，
|b |y 2y ⎛y x ＋y ＋3xy 21⎛1＋⎝x ＋3
x ⎝x 2＋4
|x |y 3
的最大值是2，当且仅当时取到最大值．
|b |x 2
10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角，
5
∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ) ＋2(2＋λ)>0.∴λ>－.
3
当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，
⎧⎪1＋λ＝m ，
即(1＋λ，2＋λ) ＝m (1,2)，∴⎨解得λ＝0. 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，
⎪2＋λ＝2m ，⎩
5
－，0⎫∪(0，＋∞) ． 综上可知，实数λ的取值范围为⎛⎝3⎭
11．在平面直角坐标系x Oy 中，已知点A (－1，－2) ，B (2,3)，C (－2，－1) ． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值．
解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1) ，则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)．
所以|AB ＋AC |＝2，|AB －AC |＝42. 故所求的两条对角线长分别为210，42.
(2)由题设知OC ＝(－2，－1) ，AB －t OC ＝(3＋2t, 5＋t ) ．
由(AB －t OC )·(－2，－1) ＝0， OC ＝0，得(3＋2t, 5＋t )·
11从而5t ＝－11，所以t ＝－5