装
装订
线左侧---------------------------------
不 订
要书写内容
---------------------------------
线
------------------------------------------------
试卷类型： 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 2.
Ln (-3+4i )
考试科目： 专业： 班级： 解：原式=Ln -3+4i +i [arg(-3+4i ) +2k π] =ln 5+i (π-arctan 43
+2k π)
=ln 5-i arctan
43
+(2k +1) π, k =0, ±1, ±2,
3. ⎰
e
2z
z =
1z 24
+z
。一、填空题 e
2z
1. -sin
π
π
2z
6-i cos
6的三角表示式为cos(-
23
π) +i sin(-
2=3
π)
解：原式 ⎰
z =
14
z =2πi e
z +1
=2πi
z =0
2. cos z = 1∞
2
(e iz -e
-iz
) 。
4. 求级数∑
(-1) n
n
n =0
n !
的收敛半径。3.
⎰
1
dz =。
n +1
z =1
cos z
lim
C n +1n !
n →∞
C =lim
(-1) n
n →∞
(n +1)! (-1)
n
4. sin i =
e -e -1
解：
=lim
1
2
i 。
n →∞
n +1
=0
5. z =0是sin z z
的 可去 奇点。
所以 R =+∞。 6. 求函数f (z ) =
4z +5z 2
在有限奇点处的留数。
(z -3)
解：z =0; 3分别为f (z ) 的二阶极点，一阶极点，
二、计算题
R e s [f (z ), 0]=1lim
d 4z +51．用三角形式计算(1+)(i ) 。
(2-1)!
z →0
dz
[(z -0)
2
z 2
(z -3)
=
-17解：原式=2(cos
π
π
9
3+i sin
3
⨯2(cos(-
5ππ6
) +i sin(-
56
=4[cos(-π
2
) +i sin(-
π
2
=-4i
------------------------------------------------ 装
装订
线左侧---------------------------------
不 订
要书写内容
---------------------------------
线
------------------------------------------------
试卷类型：
试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 考试科目： 专业： 班级： ⎧y ''+9y =0
10. 求解微分方程⎪
⎨y (0)=0。
⎪y '(0)=37. 用定义求函数f (t ) =
sin t t
的拉普拉斯变换。
⎩
解：
L [f (t )]=L [sin t t
=
⎰
∞令Y (s ) =L [y (t )]，方程两边同时取拉普拉斯变换得
解：
s
L [sint ]ds
。
2
=
⎰
∞1Y (s ) -sy (0)-y '(0)+9Y (s ) =0,
s
1+s
2
ds =arc cot s
s 代入初值得Y (s ) =
3
8. 求函数f 1(t ) =sin t 与f 2(t ) =sin t 在[0,∞) 上的卷积。 s 2
+9
, 所以y (t ) =L -1[Y (s )]=sin 3t
sin t *sin t =⎰
t 0
sin τsin(t -τ) d τ
=-1⎰t -t )]d τ
2
[cosτ-cos(2τ =-
12
t cos t +
1 2sin t
9. 求函数F (s ) =
1的拉普拉斯逆变换。
(s +3)(s -1) L -1[F (s )]=L -1
[
1
14(s -1
-
1s +3 1 解：=
1-1
1-1
4(L [
s -1
-L [s +3
])
=
1(e t
-e -3t
)
4
------------------------------------------------ 装
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线左侧---------------------------------
不 订
要书写内容
---------------------------------
线
------------------------------------------------
试卷类型：
试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 考试科目： 专业： 班级：
四、解答题
三、 讨论题
1. 验证v =e -x sin y +x +y 是调和函数，并求以v 为实部的解析函数f (z ) =u +iv ，使之满足f (0)=2。 1. 讨论函数f (z ) =xy 2+ix 2y 的可导性与解析性。 解：u (x , y ) =xy 2
, v (x , y ) =x 2
y ， 解：
∂v ∂2
v ∂2
v
∂x
=-e
-x
sin y +1,
∂v ∂y
=e
-x
cos y +1,
∂x
2
=e
-x
sin y ,
∂y
2
=-e
-x
sin y ，∂u ∂u ∂2
u ∂2
u ∂x
=y 2
,
∂y
=2xy ,
∂v ∂x
=2xy ,
∂v 2
，
∂y
=x 显然
∂x
2
+
∂y
2
=0.
可见C-R 方程只在（0，0）处成立。显然u,v 均在点（0，0）处可微， v =⎰
(x , y ) -x
所以f(z)只在（0，0）处可导，在整个复平面处处不解析。 (0,0)
(e cos y +1) dx +(e
-x
sin y -1) dy +C
=
y ⎰
x (e -x
+1) dx +
⎰
(e
-x
sin y -1) dy +C
=e
-x
(-cos y ) +x -y +C
又由f (0)=2, 得C =3.
从而 f (z ) =e -x (-cos y ) +x -y +3+i (e -x sin y +x +y )
装
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要书写内容
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线
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试卷类型： 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 2.
Ln (-3+4i )
考试科目： 专业： 班级： 解：原式=Ln -3+4i +i [arg(-3+4i ) +2k π] =ln 5+i (π-arctan 43
+2k π)
=ln 5-i arctan
43
+(2k +1) π, k =0, ±1, ±2,
3. ⎰
e
2z
z =
1z 24
+z
。一、填空题 e
2z
1. -sin
π
π
2z
6-i cos
6的三角表示式为cos(-
23
π) +i sin(-
2=3
π)
解：原式 ⎰
z =
14
z =2πi e
z +1
=2πi
z =0
2. cos z = 1∞
2
(e iz -e
-iz
) 。
4. 求级数∑
(-1) n
n
n =0
n !
的收敛半径。3.
⎰
1
dz =。
n +1
z =1
cos z
lim
C n +1n !
n →∞
C =lim
(-1) n
n →∞
(n +1)! (-1)
n
4. sin i =
e -e -1
解：
=lim
1
2
i 。
n →∞
n +1
=0
5. z =0是sin z z
的 可去 奇点。
所以 R =+∞。 6. 求函数f (z ) =
4z +5z 2
在有限奇点处的留数。
(z -3)
解：z =0; 3分别为f (z ) 的二阶极点，一阶极点，
二、计算题
R e s [f (z ), 0]=1lim
d 4z +51．用三角形式计算(1+)(i ) 。
(2-1)!
z →0
dz
[(z -0)
2
z 2
(z -3)
=
-17解：原式=2(cos
π
π
9
3+i sin
3
⨯2(cos(-
5ππ6
) +i sin(-
56
=4[cos(-π
2
) +i sin(-
π
2
=-4i
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试卷类型：
试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 考试科目： 专业： 班级： ⎧y ''+9y =0
10. 求解微分方程⎪
⎨y (0)=0。
⎪y '(0)=37. 用定义求函数f (t ) =
sin t t
的拉普拉斯变换。
⎩
解：
L [f (t )]=L [sin t t
=
⎰
∞令Y (s ) =L [y (t )]，方程两边同时取拉普拉斯变换得
解：
s
L [sint ]ds
。
2
=
⎰
∞1Y (s ) -sy (0)-y '(0)+9Y (s ) =0,
s
1+s
2
ds =arc cot s
s 代入初值得Y (s ) =
3
8. 求函数f 1(t ) =sin t 与f 2(t ) =sin t 在[0,∞) 上的卷积。 s 2
+9
, 所以y (t ) =L -1[Y (s )]=sin 3t
sin t *sin t =⎰
t 0
sin τsin(t -τ) d τ
=-1⎰t -t )]d τ
2
[cosτ-cos(2τ =-
12
t cos t +
1 2sin t
9. 求函数F (s ) =
1的拉普拉斯逆变换。
(s +3)(s -1) L -1[F (s )]=L -1
[
1
14(s -1
-
1s +3 1 解：=
1-1
1-1
4(L [
s -1
-L [s +3
])
=
1(e t
-e -3t
)
4
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线
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试卷类型：
试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 考试科目： 专业： 班级：
四、解答题
三、 讨论题
1. 验证v =e -x sin y +x +y 是调和函数，并求以v 为实部的解析函数f (z ) =u +iv ，使之满足f (0)=2。 1. 讨论函数f (z ) =xy 2+ix 2y 的可导性与解析性。 解：u (x , y ) =xy 2
, v (x , y ) =x 2
y ， 解：
∂v ∂2
v ∂2
v
∂x
=-e
-x
sin y +1,
∂v ∂y
=e
-x
cos y +1,
∂x
2
=e
-x
sin y ,
∂y
2
=-e
-x
sin y ，∂u ∂u ∂2
u ∂2
u ∂x
=y 2
,
∂y
=2xy ,
∂v ∂x
=2xy ,
∂v 2
，
∂y
=x 显然
∂x
2
+
∂y
2
=0.
可见C-R 方程只在（0，0）处成立。显然u,v 均在点（0，0）处可微， v =⎰
(x , y ) -x
所以f(z)只在（0，0）处可导，在整个复平面处处不解析。 (0,0)
(e cos y +1) dx +(e
-x
sin y -1) dy +C
=
y ⎰
x (e -x
+1) dx +
⎰
(e
-x
sin y -1) dy +C
=e
-x
(-cos y ) +x -y +C
又由f (0)=2, 得C =3.
从而 f (z ) =e -x (-cos y ) +x -y +3+i (e -x sin y +x +y )