六年级奥数之行程问题
（一）
知识引入
行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：
（1）相遇问题；
（2）相离问题；
（3）追及问题。
行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况：
（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和
（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。
（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差
在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
追及距离=速度差×时间。
解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。
例题分析
例1 甲、乙两人练习跑步，若让乙先跑12米，则甲经过6秒追上乙；若乙比甲先跑2秒，则甲要经过5秒追上乙；如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？ 分析与解：甲、乙的速度差为12÷6＝2（米/秒），则乙的速度为2×5÷2＝5（米/秒），如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距5×9－2×10＝25米。
例2 小陈和小许二人分别从两地同时骑车相向而行。小陈每小时行16千米，小许每小时行13千米，两人相遇时距中点3千米。求全程长多少千米？
分析与解：要求全程长多少千米，必须知道“速度和”与“相遇时间”。题目中已经给出了小陈和小许的速度，因此关键是求出相遇时间。
从线段图中可以看出，当小陈到达A 点时，与相遇时小许所行的路程相同，因此二人相遇时，小陈比小许多行了3×2＝6（千米）。
相遇时间：6÷（16－13）＝2（小时）。
全程：2×（16＋13）＝58（千米）。
答：全程长58千米。
例3 兄妹二人同时从家里出发去上学，哥哥骑车每分钟行400米，妹妹步行每分钟行100米。哥哥到校门时，发现忘了带课本，立即沿原路返回，途中与妹妹相遇。已知家与学校相距1000米，求兄妹二人从出发到相遇共用了多少分钟？
分析与解：妹二人开始时是同向行走，哥哥的速度快，因此先到达学校。当哥哥返回时，兄妹二人就变成了相向而行。
从线段图中可以看出，兄妹二人所行的路程之和是家到学校距离的2倍。
根据“相遇时间＝路程和÷速度和”，即可求出相遇时间。
所以兄妹二人从出发到相遇共用了1000×2÷（400＋100）＝4（分钟）。
答：兄妹二人从出发到相遇共用了4分钟。
例4 某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长为300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多长时间甲才能看到乙？
乙
分析与解：当甲看到乙的时候，甲和乙应在同一条边上，甲、乙两人之间的距离最多300米长。当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米），需300÷(90-70)=15（分），此时甲走了90⨯15÷300=4.5边（条），所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲出发后走5条边就可看到2乙，共需300⨯5÷90=16（分），即16分40秒。 3
甲
课堂练习
1、甲、乙二人分别从A 、B 两城同时相向而行，4小时后在途中相遇，这时甲行了全程的40％。相遇后二人仍按原速度继续前进。当乙到达A 城时，甲还要行全程的几分之几才可以到B 城？一、 v 甲s 甲40%2===。 解：相同的时间内，速度与路程成正比，即v 乙s 乙1-40%3
s 甲v 甲22==。因此，甲还要行全程的1－当乙到达A 城时，两人所行的路程之比是s 乙v 乙33
1＝才能到达B 城。 3
1答：当乙到达A 城时，甲还要行全程的才可以到达B 城。 3
2、A 、B 两地相距880千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经过8小时后相遇，已知甲、乙两车的速度比是5：6，问：甲、乙两车每小时各行多少千米？
解：甲、乙两车每小时共行880÷8＝110（千米）。
甲车每小时行110÷（5＋6）×5＝50（千米）。
乙车每小时行110÷（5＋6）×6＝60（千米）。
答：甲、乙两车每小时各行50千米、60千米。
3、A 、B 两地相距480千米，一辆轿车和一辆货车分别从两地相向而行。货车9时出发，轿车10时出发，轿车的速度是货车的1.5倍，两车在12时相遇。求：两车的速度各是多少？ 、解：不妨将货车1小时行驶的路程看做1份，则轿车1小时行驶的路程是1.5份。
因此，货车共行了（12－9）×1＝3（份），轿车共行了（12－10）×1.5＝3（份），说明将全程平均分成6份，货车与轿车各行了其中的3份。
3货车的速度是480×÷3＝80（千米/时）。 6
轿车的速度是80×1.5＝120（千米/时）。
答：两车的速度各是80千米/时、120千米/时
4、一列火车每小时行68千米，另一列火车每小时行76千米，这两列火车分别从甲、乙两站同时相对开出，行了51小时后还相距两站之间铁路长的。求：甲、乙两站之间的铁路64
长多少千米？ 55、解：小时后两车共行了（68＋76）×＝120（千米）。 66
1甲、乙两站之间的距离为120÷（1－）＝160（千米）。 4
答：甲、乙两站之间的铁路长160千米。
（二）
知识引入
基本数量关系是：火车行驶速度×时间＝车长＋桥长
. 火车过桥：火车＋有长度的物体
S ＝桥长＋车长 解法：S ＝V 车 ×T
例题分析
例1 一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。求这列火车的速度是每秒多少米？车长多少米？
分析与解：火车40秒钟行驶的路程＝桥长＋车长；火车30秒钟行驶的路程＝山洞长＋车长。比较上面两种情况，由于车长与车速都不变，所以可以得出火车40－30＝10秒能行驶530－380＝150米，由此可以求出火车的速度，车长也好求了。
解：（1）火车速度：（530－380）÷（40－30）＝150÷10＝15（米/秒）。
（2）火车长度：15×40－530＝70（米）。
答：这列火车的速度是每秒15米，车长70米。
例2 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过288米的隧道用了20秒，这列火车与另一列长128米、速度为22米的列车错开而过，问需要几秒钟？
分析与解：这道题结合了过桥问题与相遇问题两种知识。要求错车而过的时间，就要知道两列火车的长度和速度。第二列火车的长度和速度是已知的，所以求第一列火车的长度和速度就是解题的关键。
解：第一列火车速度：（342－288）÷（23－20）＝18（米）；
第一列火车长度：18×23－342＝72（米），
或 18×20－288＝72（米）；
错车时间：（72＋128）÷（22＋18）＝5（秒）。
答：两列火车错开而过需要5秒钟。
例3 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，问该列车与另一列长320米，时速64.8千米的列车错车而过需要几秒？
分析与解：列车通过隧道行进的距离是隧道长加车长，两车完全错车行进的距离之和是两车长之和。
列车通过第一个隧道比通过第二个隧道多走了40米，多用2秒，则此列车速度为：（250－210）÷（25－23）＝20（米/秒），车长为20×25－250＝250（米），另一列车时速64.8千米，合18米/秒，两车错车需时为：（250＋320）÷（20＋18）＝15（秒），即两车错车需要15秒。
在火车错车、过桥、过隧道、进站等问题中常会将车长作为行进距离的一部分，因此遇到此类问题时一定要特别小心。
家庭作业
1. 甲、乙两车同时从A 地出发到B 地，甲车每小时行80千米，乙车每小时行70千米。
途中甲车停车2小时，结果甲车比乙车晚1小时到达B 地。A 、B 两地间的路程是多少千米？
. 解：途中甲车停车2小时，结果甲车比乙车晚1小时到达B 地，说明如果顺利地从A 地行驶到B 地，甲车比乙车少用1小时。因此这道题可以理解为乙车比甲车先行1小时，结果两车同时到达B 地，从而将其转化为典型的追及问题。
追及路程：70×1=70（千米）。
追及时间：70÷（80－70）=7（小时）。
A 、B 两地间的路程：80×7=560（千米）。
答：A 、B 两地间的路程是560千米。
2. 某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从其身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，
客车长105米，每小时速度为28.8千米。求步行人每小时行多少千米？
分析与解：一列客车从其身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，实际上就是指车尾用15秒钟追上了原来与步行人105米的差距（即车长），因为车长是105米，追及时间为15秒，由此可以求出列车与人的速度差，进而求再求人的速度。
解：（1）车与人的速度差：105÷15＝7（米/秒）＝25. 2（千米/时）
（2）步行人的速度：28.8－25.2＝3.6（千米/时）
六年级奥数之行程问题
（一）
知识引入
行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：
（1）相遇问题；
（2）相离问题；
（3）追及问题。
行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况：
（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和
（2）相背而行：相背距离=速度和×时间。
（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差
在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
追及距离=速度差×时间。
解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。
例题分析
例1 甲、乙两人练习跑步，若让乙先跑12米，则甲经过6秒追上乙；若乙比甲先跑2秒，则甲要经过5秒追上乙；如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？ 分析与解：甲、乙的速度差为12÷6＝2（米/秒），则乙的速度为2×5÷2＝5（米/秒），如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距5×9－2×10＝25米。
例2 小陈和小许二人分别从两地同时骑车相向而行。小陈每小时行16千米，小许每小时行13千米，两人相遇时距中点3千米。求全程长多少千米？
分析与解：要求全程长多少千米，必须知道“速度和”与“相遇时间”。题目中已经给出了小陈和小许的速度，因此关键是求出相遇时间。
从线段图中可以看出，当小陈到达A 点时，与相遇时小许所行的路程相同，因此二人相遇时，小陈比小许多行了3×2＝6（千米）。
相遇时间：6÷（16－13）＝2（小时）。
全程：2×（16＋13）＝58（千米）。
答：全程长58千米。
例3 兄妹二人同时从家里出发去上学，哥哥骑车每分钟行400米，妹妹步行每分钟行100米。哥哥到校门时，发现忘了带课本，立即沿原路返回，途中与妹妹相遇。已知家与学校相距1000米，求兄妹二人从出发到相遇共用了多少分钟？
分析与解：妹二人开始时是同向行走，哥哥的速度快，因此先到达学校。当哥哥返回时，兄妹二人就变成了相向而行。
从线段图中可以看出，兄妹二人所行的路程之和是家到学校距离的2倍。
根据“相遇时间＝路程和÷速度和”，即可求出相遇时间。
所以兄妹二人从出发到相遇共用了1000×2÷（400＋100）＝4（分钟）。
答：兄妹二人从出发到相遇共用了4分钟。
例4 某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长为300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多长时间甲才能看到乙？
乙
分析与解：当甲看到乙的时候，甲和乙应在同一条边上，甲、乙两人之间的距离最多300米长。当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米），需300÷(90-70)=15（分），此时甲走了90⨯15÷300=4.5边（条），所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲出发后走5条边就可看到2乙，共需300⨯5÷90=16（分），即16分40秒。 3
甲
课堂练习
1、甲、乙二人分别从A 、B 两城同时相向而行，4小时后在途中相遇，这时甲行了全程的40％。相遇后二人仍按原速度继续前进。当乙到达A 城时，甲还要行全程的几分之几才可以到B 城？一、 v 甲s 甲40%2===。 解：相同的时间内，速度与路程成正比，即v 乙s 乙1-40%3
s 甲v 甲22==。因此，甲还要行全程的1－当乙到达A 城时，两人所行的路程之比是s 乙v 乙33
1＝才能到达B 城。 3
1答：当乙到达A 城时，甲还要行全程的才可以到达B 城。 3
2、A 、B 两地相距880千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，经过8小时后相遇，已知甲、乙两车的速度比是5：6，问：甲、乙两车每小时各行多少千米？
解：甲、乙两车每小时共行880÷8＝110（千米）。
甲车每小时行110÷（5＋6）×5＝50（千米）。
乙车每小时行110÷（5＋6）×6＝60（千米）。
答：甲、乙两车每小时各行50千米、60千米。
3、A 、B 两地相距480千米，一辆轿车和一辆货车分别从两地相向而行。货车9时出发，轿车10时出发，轿车的速度是货车的1.5倍，两车在12时相遇。求：两车的速度各是多少？ 、解：不妨将货车1小时行驶的路程看做1份，则轿车1小时行驶的路程是1.5份。
因此，货车共行了（12－9）×1＝3（份），轿车共行了（12－10）×1.5＝3（份），说明将全程平均分成6份，货车与轿车各行了其中的3份。
3货车的速度是480×÷3＝80（千米/时）。 6
轿车的速度是80×1.5＝120（千米/时）。
答：两车的速度各是80千米/时、120千米/时
4、一列火车每小时行68千米，另一列火车每小时行76千米，这两列火车分别从甲、乙两站同时相对开出，行了51小时后还相距两站之间铁路长的。求：甲、乙两站之间的铁路64
长多少千米？ 55、解：小时后两车共行了（68＋76）×＝120（千米）。 66
1甲、乙两站之间的距离为120÷（1－）＝160（千米）。 4
答：甲、乙两站之间的铁路长160千米。
（二）
知识引入
基本数量关系是：火车行驶速度×时间＝车长＋桥长
. 火车过桥：火车＋有长度的物体
S ＝桥长＋车长 解法：S ＝V 车 ×T
例题分析
例1 一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。求这列火车的速度是每秒多少米？车长多少米？
分析与解：火车40秒钟行驶的路程＝桥长＋车长；火车30秒钟行驶的路程＝山洞长＋车长。比较上面两种情况，由于车长与车速都不变，所以可以得出火车40－30＝10秒能行驶530－380＝150米，由此可以求出火车的速度，车长也好求了。
解：（1）火车速度：（530－380）÷（40－30）＝150÷10＝15（米/秒）。
（2）火车长度：15×40－530＝70（米）。
答：这列火车的速度是每秒15米，车长70米。
例2 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过288米的隧道用了20秒，这列火车与另一列长128米、速度为22米的列车错开而过，问需要几秒钟？
分析与解：这道题结合了过桥问题与相遇问题两种知识。要求错车而过的时间，就要知道两列火车的长度和速度。第二列火车的长度和速度是已知的，所以求第一列火车的长度和速度就是解题的关键。
解：第一列火车速度：（342－288）÷（23－20）＝18（米）；
第一列火车长度：18×23－342＝72（米），
或 18×20－288＝72（米）；
错车时间：（72＋128）÷（22＋18）＝5（秒）。
答：两列火车错开而过需要5秒钟。
例3 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，问该列车与另一列长320米，时速64.8千米的列车错车而过需要几秒？
分析与解：列车通过隧道行进的距离是隧道长加车长，两车完全错车行进的距离之和是两车长之和。
列车通过第一个隧道比通过第二个隧道多走了40米，多用2秒，则此列车速度为：（250－210）÷（25－23）＝20（米/秒），车长为20×25－250＝250（米），另一列车时速64.8千米，合18米/秒，两车错车需时为：（250＋320）÷（20＋18）＝15（秒），即两车错车需要15秒。
在火车错车、过桥、过隧道、进站等问题中常会将车长作为行进距离的一部分，因此遇到此类问题时一定要特别小心。
家庭作业
1. 甲、乙两车同时从A 地出发到B 地，甲车每小时行80千米，乙车每小时行70千米。
途中甲车停车2小时，结果甲车比乙车晚1小时到达B 地。A 、B 两地间的路程是多少千米？
. 解：途中甲车停车2小时，结果甲车比乙车晚1小时到达B 地，说明如果顺利地从A 地行驶到B 地，甲车比乙车少用1小时。因此这道题可以理解为乙车比甲车先行1小时，结果两车同时到达B 地，从而将其转化为典型的追及问题。
追及路程：70×1=70（千米）。
追及时间：70÷（80－70）=7（小时）。
A 、B 两地间的路程：80×7=560（千米）。
答：A 、B 两地间的路程是560千米。
2. 某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从其身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，
客车长105米，每小时速度为28.8千米。求步行人每小时行多少千米？
分析与解：一列客车从其身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，实际上就是指车尾用15秒钟追上了原来与步行人105米的差距（即车长），因为车长是105米，追及时间为15秒，由此可以求出列车与人的速度差，进而求再求人的速度。
解：（1）车与人的速度差：105÷15＝7（米/秒）＝25. 2（千米/时）
（2）步行人的速度：28.8－25.2＝3.6（千米/时）