第一讲 有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1 计算：
分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．
例2 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000．
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3 计算：S=1-2+3-4+„+(-1)n+1·n ．
分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，„，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．
解 S=(1-2)+(3-4)+„+(-1)n+1·n ．
下面需对n 的奇偶性进行讨论：
当n 为偶数时，上式是n ／2个(-1)的和，所以有
当n 为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有
例4 在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n ，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
所以，所求最小非负数是1．
说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
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2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4
=1002-22．
这是一个对具体数的运算，若用字母a 代换100，用字母b 代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b 2．
于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b 2， ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．
例5 计算 3001×2999的值．
解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)
=30002-12=8 999 999．
例6 计算 103×97×10 009的值．
解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)
=(1002-9)(1002+9)
=1004-92=99 999 919．
例7 计算：
分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得
n 2-(n2-12)=n2-n 2+1=1，
即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
例8 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
分析 式子中2，22，24，„每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b 2了．
解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=„„
=(232-1)(232+1)
=264-1．
例9 计算：
分析 在前面的例题中，应用过公式
(a+b)(a-b)=a2-b 2．
这个公式也可以反着使用，即
a 2-b 2=(a+b)(a-b)．
本题就是一个例子．
通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．
例10 计算：
我们用一个字母表示它以简化计算．
3．观察算式找规律
例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
+2+5+(-2)
=1800-1=1799，
平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
例12 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．
分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法． 解 用字母S 表示所求算式，即
S=1+3+5+„+1997+1999． ①
再将S 各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+„+3+1． ②
将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1)
=2000+2000+„+2000+2000(500个2000)
=2000×500．
从而有 S=500 000．
说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题
3-1=5-3=7-5=„=1999-1997，都等于2) ，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．
例13 计算 1+5+52+53+„+599+5100的值．
分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
解 设
S=1+5+52+„+599+5100， ①
所以
5S=5+52+53+„+5100+5101． ②
②—①得
4S=5101-1，
说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5) ，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
例14 计算：
分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式
来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
解 由于
所以
说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．
练习一
1．计算下列各式的值：
(1)-1+3-5+7-9+11-„-1997+1999；
(2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100；
(3)1991×1999-1990×2000；
(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；
(6)1+4+7+„+244；
2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．
第一讲 有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1 计算：
分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．
例2 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000．
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3 计算：S=1-2+3-4+„+(-1)n+1·n ．
分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，„，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．
解 S=(1-2)+(3-4)+„+(-1)n+1·n ．
下面需对n 的奇偶性进行讨论：
当n 为偶数时，上式是n ／2个(-1)的和，所以有
当n 为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有
例4 在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n ，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
所以，所求最小非负数是1．
说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
有这种竞赛讲义一整套 小学初中的 含答案 最新的 需要的 可以联系我
46~8453~607
微 信 13699~77~1074
2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4
=1002-22．
这是一个对具体数的运算，若用字母a 代换100，用字母b 代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b 2．
于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b 2， ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．
例5 计算 3001×2999的值．
解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)
=30002-12=8 999 999．
例6 计算 103×97×10 009的值．
解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)
=(1002-9)(1002+9)
=1004-92=99 999 919．
例7 计算：
分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得
n 2-(n2-12)=n2-n 2+1=1，
即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
例8 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
分析 式子中2，22，24，„每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b 2了．
解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=„„
=(232-1)(232+1)
=264-1．
例9 计算：
分析 在前面的例题中，应用过公式
(a+b)(a-b)=a2-b 2．
这个公式也可以反着使用，即
a 2-b 2=(a+b)(a-b)．
本题就是一个例子．
通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．
例10 计算：
我们用一个字母表示它以简化计算．
3．观察算式找规律
例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
+2+5+(-2)
=1800-1=1799，
平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
例12 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．
分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法． 解 用字母S 表示所求算式，即
S=1+3+5+„+1997+1999． ①
再将S 各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+„+3+1． ②
将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1)
=2000+2000+„+2000+2000(500个2000)
=2000×500．
从而有 S=500 000．
说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题
3-1=5-3=7-5=„=1999-1997，都等于2) ，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．
例13 计算 1+5+52+53+„+599+5100的值．
分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
解 设
S=1+5+52+„+599+5100， ①
所以
5S=5+52+53+„+5100+5101． ②
②—①得
4S=5101-1，
说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5) ，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．
例14 计算：
分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式
来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
解 由于
所以
说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．
练习一
1．计算下列各式的值：
(1)-1+3-5+7-9+11-„-1997+1999；
(2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100；
(3)1991×1999-1990×2000；
(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；
(6)1+4+7+„+244；
2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．