浅谈初中数学开放性试题的解题技巧
摘要：近几年在初中数学各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题。开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。
一、数学开放题的概述
1、关于数学开放题的几种论述：
什么是数学开放题，现在还没有统一的认识，主要有如下的论述：
（1）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；
（2）开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；
（3）有多处正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方
式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；
（4）答案不唯一的问题是开放性的问题；
（5）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；
（6）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余，称之为开放题。
一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例
如：对n 个人两两握手共握多少次的问题，在学生学习《组合》知识以前解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题。
2、数学开放题的基本类型：大概包括以下几种：
（1）条件开放型
这类问题一般是由给定的结论，反思探索应具备的
条件，而满足结论的条件并不唯一。
1
例1、如图1，要得到AD//BC，只需满足条件 （只填一个）。
再如：如图2，AB=DB，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使
△ABC ≌△DBE ，则需添加的条件是 。
（2）结论开放型
E 图2
这类题目就是在给定的条件下，探索响应的对象是否存在。它有结论存在
和结论不存在两种情况，其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出准确的判断。
例2、如图，⊙O 的直径AB 为6，P 为AB 上一点，过点P 作⊙O
的弦CD ，连结AC 、BC ，设∠BCD=m∠ACD ，是否存在正实数
m ，使弦CD 最短？如果存在，请求出m 的值；如果不存在
请说明理由。
分析：假设存在正实数m ，使弦CD 最短，则有CD ⊥AB 于P ，从而cos ∠POD=OP:OD， 因为，AB=6，所以cos ∠POD=30°。于是∠ACD=15º，∠BCD=75º，故m=5。
（3）简略开放型
例3、计算：++1
216111++，学生可能出现以下几种方法。 122030图3 方法1：直接通分，相加后再约分。
111115++) ⨯60⨯=。 6122030606
[1**********]方法3：原式=(1-) +(-) +(-) +(-) +(-) =1-=. [1**********]方法2：原式=(++12
方法1是常规方法；方法2体现的是一种化归思想，但也不简单；方法3
转化为一些互为相反数的和来计算，显然新颖、简便。
此外，设计开放型、举例开放型、实践开放型、信息开放型（限于篇幅不举例子）。还有综合开放型、情境开放型„„等。这些开放题的条件、问题变化不定，有的条件隐蔽多余，有的结论多样，有的解法丰富等。
二、开放题的显著特点
（1）数学开放题内容具有新颖性，条件复杂、结论不定、解法灵活、无现成模式可套用。题材广泛，贴近学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题。
（2）数学开放题形式具有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的寻找多种解法，有的由变求变，体现现代数学气息，不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板的叙述。
（3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方向。
（4）数学开放题教育功能具有创新性，正是因为它的这种先进而高效的教育功能，适应了当前各国人才竞争的要求。
三、开放性试题备考的几点策略：
（一）数与式的开放题
此类题常以找规律的阅读题形式出现，解题要求能善于观察分析，归纳所提供的材料，猜想其结论。
例题：观察下列等式：9-1=8， 16-4=12 ，25-9=16 ， 36-16=20 „„
这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来： 4（n-1） 。
策略小结：此类“猜想性”开放题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想。
（二）方程开放题
此类问题主要以方程知识为背景，探索方程有解的条件或某种条件解的情况，求字母参数的值。
例题：是否存在k ，使关于x 的方程9x 2-（4k-7）x-6k 2=0的两个实数根x 1、x 2，满足|x1-x2|=10如果存在，试求出所有满足条件的k 的值；若不存在，说
明理由。
策略小结：此类“存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾，否定存在性。
（三）函数开放题
此类题是以函数知识为背景，设置探索函数解析式中字母系数的值及关系，满足某条件的点的存在性等。
例题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图像如图4由此图像中所显示的抛物线的特征，可以得到二次函数的系数b 、c 的哪些关系和结论。
分析：①a>0；②-b 1=即2a+3b=0；③c= -1；„„ 2a 3图4 x
1策略小结：此类“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此类题的重要数学思想方法。
（四）几何开放题
此类问题常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系 例题：如图5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是弧BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E 。
（1）求证：AB ·DA=CD·BE
（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在弧BD
上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其他条件不
变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图6注明条件，不要求证明）
分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题。其解法是“执果索因”，要得到AB ·DA=CD·BE ，即要得△ABE ～△CDA ，已有条件∠ABE=∠CDA ，还需增加条件：∠BAE=∠ACD ，或BF=AD，或BF=DA，或FA ∥BD ，或∠BCF=∠ACD 等。
策略小结：此类探索性试题，解答一般方法是“执果索因”，能画出图形要尽量画出图形，再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件，为探索结论，可以作辅助线，对于结论未定的问题，也可反面思考，寻求否定结论的反例，达到目的。
（五）综合性开放题
此类问题是以几何、代数综合知识为背景，考查分析，推理能力，综合运用知识解题能力。
例题：如图，在△ABC 中，AB=BC=2，高BE=3，在BC 边的延长线上取一点D ，使CD=3。
（1）现有一动点P ，由A 沿AB 移动，设AP=t，S △PCD=S，求S 与t 之间的关系式及自变量的取值范围；
图5 图6
（2）在（1）的条件下，当t=时，过点C 作CH ⊥PD 垂足为H ；求证：关于x 的二次函数y= -x2-（10k-1）x+2k的图像与x 轴的两个交点关于原点对称；
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t ，使PD 边上的高CH=CD，如果存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由。
（4）假设存在实数根t ，使得CH=CD，则∠CDH=30º可推得∠BPD=90º，则BP=BD=2.5>AB，这与P 在AB 边上矛盾，故这样的P 点不存在。
策略小结：此类综合性开放题，需要学生综合题设条件，通过观察，比较、联想、猜测、推理、判断等探索活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”，再探求特殊位置下应满足的条件，利用分类讨论思想，各个击破。
四、常见的开放题举例：
例1：在多项式4x 2+1中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单
项式是 （只写出一个即可）。
分析：要使多项式4x 2+1成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可添加常数项。
解：（1）添加4x 可得完全平方式（2x+1）2
（2）添加-4x 可得完全平方式（2x-1）2
（3）添加-1可得完全平方式（2x ）2
（4）添加-4x 2可得完全平方式12
例2：已知反比例函数y =k -2，其图象在第一、第三象限内，则k 的值可为x
（写出满足条件的一个k 的值即可） 分析：对于反比例函数y =（k 是常数，k ≠0）。当它的图象在第一、第三象限时有k >0，所以本题中应该是k -2>0，即k >2。
k x
解：k -2>0 ∴k >2 即只要k 的值大于2就可以满足题目要求。
例3：已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）
分析：如果一元二次方程有解，则有两个解，题目给出方程有一个根为1，我们可以将此一元二次方程写成（x-1）（x+a）=0的形式，则问题可以解决。 例4：有这样一个分式，字母x 的取值范围是x ≠-2，若分子为x+1，你能写出一个符合上面条件的分式吗？
分析：由题目给出的已知条件x ≠-2知此分式分母中x 的取值不能为-2，否则分式会无意义。 解：满足条件的分式可以是：x +1x +1、„„ 2x +k x +2
五、教材例习题改编与开放探索试题举例：
典型范例重开放：体现师生解题智慧。
（例如基本题）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，
BD=OB，点C 在⊙O 上，∠CAB=30º，
求证：DC 是⊙O 的切线。
图7
总之，开放性试题的变化灵活多样、一则改变学生死搬硬套的解题方法，消除学生模仿死记解题的习惯；二则可以从不同角度对问题进行分析，寻求多样性的解题方法。
浅谈初中数学开放性试题的解题技巧
摘要：近几年在初中数学各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题。开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。
一、数学开放题的概述
1、关于数学开放题的几种论述：
什么是数学开放题，现在还没有统一的认识，主要有如下的论述：
（1）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；
（2）开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；
（3）有多处正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方
式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；
（4）答案不唯一的问题是开放性的问题；
（5）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；
（6）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余，称之为开放题。
一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例
如：对n 个人两两握手共握多少次的问题，在学生学习《组合》知识以前解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题。
2、数学开放题的基本类型：大概包括以下几种：
（1）条件开放型
这类问题一般是由给定的结论，反思探索应具备的
条件，而满足结论的条件并不唯一。
1
例1、如图1，要得到AD//BC，只需满足条件 （只填一个）。
再如：如图2，AB=DB，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使
△ABC ≌△DBE ，则需添加的条件是 。
（2）结论开放型
E 图2
这类题目就是在给定的条件下，探索响应的对象是否存在。它有结论存在
和结论不存在两种情况，其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出准确的判断。
例2、如图，⊙O 的直径AB 为6，P 为AB 上一点，过点P 作⊙O
的弦CD ，连结AC 、BC ，设∠BCD=m∠ACD ，是否存在正实数
m ，使弦CD 最短？如果存在，请求出m 的值；如果不存在
请说明理由。
分析：假设存在正实数m ，使弦CD 最短，则有CD ⊥AB 于P ，从而cos ∠POD=OP:OD， 因为，AB=6，所以cos ∠POD=30°。于是∠ACD=15º，∠BCD=75º，故m=5。
（3）简略开放型
例3、计算：++1
216111++，学生可能出现以下几种方法。 122030图3 方法1：直接通分，相加后再约分。
111115++) ⨯60⨯=。 6122030606
[1**********]方法3：原式=(1-) +(-) +(-) +(-) +(-) =1-=. [1**********]方法2：原式=(++12
方法1是常规方法；方法2体现的是一种化归思想，但也不简单；方法3
转化为一些互为相反数的和来计算，显然新颖、简便。
此外，设计开放型、举例开放型、实践开放型、信息开放型（限于篇幅不举例子）。还有综合开放型、情境开放型„„等。这些开放题的条件、问题变化不定，有的条件隐蔽多余，有的结论多样，有的解法丰富等。
二、开放题的显著特点
（1）数学开放题内容具有新颖性，条件复杂、结论不定、解法灵活、无现成模式可套用。题材广泛，贴近学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题。
（2）数学开放题形式具有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的寻找多种解法，有的由变求变，体现现代数学气息，不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板的叙述。
（3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方向。
（4）数学开放题教育功能具有创新性，正是因为它的这种先进而高效的教育功能，适应了当前各国人才竞争的要求。
三、开放性试题备考的几点策略：
（一）数与式的开放题
此类题常以找规律的阅读题形式出现，解题要求能善于观察分析，归纳所提供的材料，猜想其结论。
例题：观察下列等式：9-1=8， 16-4=12 ，25-9=16 ， 36-16=20 „„
这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来： 4（n-1） 。
策略小结：此类“猜想性”开放题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想。
（二）方程开放题
此类问题主要以方程知识为背景，探索方程有解的条件或某种条件解的情况，求字母参数的值。
例题：是否存在k ，使关于x 的方程9x 2-（4k-7）x-6k 2=0的两个实数根x 1、x 2，满足|x1-x2|=10如果存在，试求出所有满足条件的k 的值；若不存在，说
明理由。
策略小结：此类“存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在，再依据有关知识推理，要么得到下面结果，肯定存在性；要么导出矛盾，否定存在性。
（三）函数开放题
此类题是以函数知识为背景，设置探索函数解析式中字母系数的值及关系，满足某条件的点的存在性等。
例题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图像如图4由此图像中所显示的抛物线的特征，可以得到二次函数的系数b 、c 的哪些关系和结论。
分析：①a>0；②-b 1=即2a+3b=0；③c= -1；„„ 2a 3图4 x
1策略小结：此类“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解此类题的重要数学思想方法。
（四）几何开放题
此类问题常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系 例题：如图5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是弧BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E 。
（1）求证：AB ·DA=CD·BE
（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在弧BD
上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其他条件不
变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图6注明条件，不要求证明）
分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题。其解法是“执果索因”，要得到AB ·DA=CD·BE ，即要得△ABE ～△CDA ，已有条件∠ABE=∠CDA ，还需增加条件：∠BAE=∠ACD ，或BF=AD，或BF=DA，或FA ∥BD ，或∠BCF=∠ACD 等。
策略小结：此类探索性试题，解答一般方法是“执果索因”，能画出图形要尽量画出图形，再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件，为探索结论，可以作辅助线，对于结论未定的问题，也可反面思考，寻求否定结论的反例，达到目的。
（五）综合性开放题
此类问题是以几何、代数综合知识为背景，考查分析，推理能力，综合运用知识解题能力。
例题：如图，在△ABC 中，AB=BC=2，高BE=3，在BC 边的延长线上取一点D ，使CD=3。
（1）现有一动点P ，由A 沿AB 移动，设AP=t，S △PCD=S，求S 与t 之间的关系式及自变量的取值范围；
图5 图6
（2）在（1）的条件下，当t=时，过点C 作CH ⊥PD 垂足为H ；求证：关于x 的二次函数y= -x2-（10k-1）x+2k的图像与x 轴的两个交点关于原点对称；
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t ，使PD 边上的高CH=CD，如果存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由。
（4）假设存在实数根t ，使得CH=CD，则∠CDH=30º可推得∠BPD=90º，则BP=BD=2.5>AB，这与P 在AB 边上矛盾，故这样的P 点不存在。
策略小结：此类综合性开放题，需要学生综合题设条件，通过观察，比较、联想、猜测、推理、判断等探索活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”，再探求特殊位置下应满足的条件，利用分类讨论思想，各个击破。
四、常见的开放题举例：
例1：在多项式4x 2+1中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单
项式是 （只写出一个即可）。
分析：要使多项式4x 2+1成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可添加常数项。
解：（1）添加4x 可得完全平方式（2x+1）2
（2）添加-4x 可得完全平方式（2x-1）2
（3）添加-1可得完全平方式（2x ）2
（4）添加-4x 2可得完全平方式12
例2：已知反比例函数y =k -2，其图象在第一、第三象限内，则k 的值可为x
（写出满足条件的一个k 的值即可） 分析：对于反比例函数y =（k 是常数，k ≠0）。当它的图象在第一、第三象限时有k >0，所以本题中应该是k -2>0，即k >2。
k x
解：k -2>0 ∴k >2 即只要k 的值大于2就可以满足题目要求。
例3：已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）
分析：如果一元二次方程有解，则有两个解，题目给出方程有一个根为1，我们可以将此一元二次方程写成（x-1）（x+a）=0的形式，则问题可以解决。 例4：有这样一个分式，字母x 的取值范围是x ≠-2，若分子为x+1，你能写出一个符合上面条件的分式吗？
分析：由题目给出的已知条件x ≠-2知此分式分母中x 的取值不能为-2，否则分式会无意义。 解：满足条件的分式可以是：x +1x +1、„„ 2x +k x +2
五、教材例习题改编与开放探索试题举例：
典型范例重开放：体现师生解题智慧。
（例如基本题）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，
BD=OB，点C 在⊙O 上，∠CAB=30º，
求证：DC 是⊙O 的切线。
图7
总之，开放性试题的变化灵活多样、一则改变学生死搬硬套的解题方法，消除学生模仿死记解题的习惯；二则可以从不同角度对问题进行分析，寻求多样性的解题方法。