1. 已知：如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC，∠BAC=80°，在三角形ABC 内有一点D ，DA=DB 且.B=10°。求∠ACD 的度数。
分析：在解决“三角形内有一点”的相关问题时，基本方法就是构造等腰
或等边三角形在解决求角度问题时，我们常用的发方法有两个，一个是
“分割法（把一个角分割成若干个角）”，一个是“添补法（把一个角补
成一个特殊角30°、45°、60°、90°）”。
解法一、以AD 为边向△ABC 内作等边△ADE ，连接EC 。
∴AD=AE=DE，∠DAE=∠AED=60°
又∵∠BAC=80° ∴∠CAE=10°
在△BAD 和 △CAE 中：
∠BAD=∠CAE=10°
AD=AE
∴△BAD CAE
∴CE=BD . ∠ACE=∠ABD=10°
∴AD=BD=AE=EC
∴∠AEC=160°
又∵∠DEC+∠AEC+∠DEA=360°
∴∠DEC=360°-160°-10°=140°
在△DEC 中
∵DE=EC, ∠DEC=140°
∴∠ECD=20°
又∵∠ACE=10°
∴∠DCA=30°
解法二：
把△ACD 绕D 点逆时针旋转到△BDE
使BD 和EB 重合，链接EA
∵△ACD ≌△BED
∴∠CAD=∠EBD=80°-10°=70°
∴∠EBA=70°-10°=60°
∴△EBA 为等边三角形
∴EB=EA
在△EBD 与△EAD ： EB=EA
ED=ED
BD=DA
∴△EBD ≌△EAD
∴∠BED=∠AED=30°
又∵∠ACD=∠DEB
∴∠ACD=30°
2．已知：等腰△ABC, ∠ADB=∠ADC
求证： ∠DBC=∠DCB
分析：图中要证明的两角在同一三角形中，所以我们的思路就是
证明△DBC 为等腰三角形，即证明DB=DC，要证明两条线段相等
最常用的方法就是构造全等三角形。在解决等边、等腰三角形相关
问题时，一定要想到运用旋转的知识。
证明：把△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，
得到△ACD ′
∴△ABD ≌△ACD ′
∴AD=AD′，∠ADB=∠AD ′C,BD=CD′
∵∠ADB=∠ADC
∴∠ADC=∠AD ′C
又∵AD=AD′
∴∠ADD ′=∠AD ′D
∴∠D ′DC=∠DD ′C
∴DC=D′C
∵ BD=CD′
∴BD=DC
∴∠DBC=∠DCB
1. 已知：如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC，∠BAC=80°，在三角形ABC 内有一点D ，DA=DB 且.B=10°。求∠ACD 的度数。
分析：在解决“三角形内有一点”的相关问题时，基本方法就是构造等腰
或等边三角形在解决求角度问题时，我们常用的发方法有两个，一个是
“分割法（把一个角分割成若干个角）”，一个是“添补法（把一个角补
成一个特殊角30°、45°、60°、90°）”。
解法一、以AD 为边向△ABC 内作等边△ADE ，连接EC 。
∴AD=AE=DE，∠DAE=∠AED=60°
又∵∠BAC=80° ∴∠CAE=10°
在△BAD 和 △CAE 中：
∠BAD=∠CAE=10°
AD=AE
∴△BAD CAE
∴CE=BD . ∠ACE=∠ABD=10°
∴AD=BD=AE=EC
∴∠AEC=160°
又∵∠DEC+∠AEC+∠DEA=360°
∴∠DEC=360°-160°-10°=140°
在△DEC 中
∵DE=EC, ∠DEC=140°
∴∠ECD=20°
又∵∠ACE=10°
∴∠DCA=30°
解法二：
把△ACD 绕D 点逆时针旋转到△BDE
使BD 和EB 重合，链接EA
∵△ACD ≌△BED
∴∠CAD=∠EBD=80°-10°=70°
∴∠EBA=70°-10°=60°
∴△EBA 为等边三角形
∴EB=EA
在△EBD 与△EAD ： EB=EA
ED=ED
BD=DA
∴△EBD ≌△EAD
∴∠BED=∠AED=30°
又∵∠ACD=∠DEB
∴∠ACD=30°
2．已知：等腰△ABC, ∠ADB=∠ADC
求证： ∠DBC=∠DCB
分析：图中要证明的两角在同一三角形中，所以我们的思路就是
证明△DBC 为等腰三角形，即证明DB=DC，要证明两条线段相等
最常用的方法就是构造全等三角形。在解决等边、等腰三角形相关
问题时，一定要想到运用旋转的知识。
证明：把△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，
得到△ACD ′
∴△ABD ≌△ACD ′
∴AD=AD′，∠ADB=∠AD ′C,BD=CD′
∵∠ADB=∠ADC
∴∠ADC=∠AD ′C
又∵AD=AD′
∴∠ADD ′=∠AD ′D
∴∠D ′DC=∠DD ′C
∴DC=D′C
∵ BD=CD′
∴BD=DC
∴∠DBC=∠DCB