...CZSFD 数学 2008.5
中考数学“存在性”问题的
解题策略
余庆县白泥中学 赵远刚
“存在性”问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题。这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对同学们分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是:假设存在※推理论证※得出结论。若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;导出矛盾,就做出否定“存在”的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征。在假设存在以后进行的推理或计算,对基础知识、基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性。正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一种考验。以下举例说明这类题型的一般解法。
例1 若关于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有两个实数根,又已知a、b、c分别是
3■ABC的∠A、∠B、∠C的对边,∠C=90°,且cos,5
b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程的两个实数根的平方和等于Rt■ABC的斜边c的平方?若存在,求出满足条件的m的值,若不存在,请说明理由。
分析:这个题目的题设较长,分析时要抓住关键,假设存22
...CZSFD 数学 2008.5在这样的m,满足的条件有:m是整数,一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt■ABC斜边c的平方,隐含条件判别式■≥0等,这时抓住Rt■ABC的斜边为c这个突破口,利用题设条件和勾股定理即可求解。
解:在Rt■ABC中,∠C=90°,∵cosB,5
∴设a=3k,c=5k,则由勾股定理有b=4k,
∵b-a=3,∴4k-3k=3,∴k=3
∴a=9,b=12,c=15
22设一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0
的两实数根为x3(m+1),1,x2,则有x1+x2=
xm-9m+20.1x2=
∴xx(xx2x1+2=1+2)-1x2
=[3(m+1)]-2(m-9m+20)
=7m+36m-31.
2222由xxc,有7m+36m-31=225,1+2=
即7m+36m-256=0.
64∴m1=4,m2.7
又∵m,应舍去。7
当m=4时,■>0.
∴存在整数m=4,使方程两个实数根的平方和等于Rt■ABC的斜边c的平方。
例2 如图1所示,已知在同一坐标系中,直线y=kx+k22y轴交于点P,抛物线y=x-2(k+1)x+4k与x2
22222222
...CZSFD 数学 2008.5轴交于A(x,B(x两点,c是抛物线的顶点。1,0)2,0)
(1)求二次函数的最小值(用含k
的代数式表示);
(2)若点A在点B的左侧,且
x0:1·x2
①当k取何值时,直线通过点B;
②是否存在实数k,使两个三角形
的面积SS■ABP=■ABC?如果存在,求出
抛物线的解析式;如果不存在,请说明理由。
分析:本题的探究性体现在第(2)问的后半部分。认真观察图形,由于AB是公共边,要使SS■ABP=■ABC,只需要两个三角形相同底边上的高相等就可以。OP显然是■ABC的高,需由C作AB的垂线段,在两条高的长中含有字母k,就不难找到满足条件的k的取值。
解:(1)∵a=1>0,
∴y最小值2=-(k-1).4
22图1(2)由y=x-2(k+1)x+4k,
得:y=(x-2)(x-2k).
①当y=0时,两根x,1和x2和2k
∵点A在点B左侧,
∴xx0,∴x0,x0.1
∴A(2k,0),B(2,0),
k将B(2,0)代入直线y=kx+2,2
k得2k+2=0,2
...CZSFD 数学 2008.5
.3
∴当,直线过点B.3
②过点C作CD⊥AB于点D,则
CD= -(k-1) =(k-1)
∵直线y=kx+2y轴于P(0,2),22
k∴OP=2.2
AB·OAB·CD,22
k2∴OP=CD, 即2=(k-1).2
11解得:k2,由图像知,k
∴当时,SS■ABP=■ABC.2
∴抛物线的解析式为:y=x-x-2
.
例3 如图2所示,在平面直角坐
标系中,正方形OABC的边长为2cm,点
A、C分别在y轴的负半轴的负半轴的正
半轴上,抛物线y=ax+bx+c经过点
A和B,且12a+5c=0.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A沿AB边以图22222
2cm/秒的速度向点B移动,同时点Q由点B沿BC边以
...CZSFD 数学 2008.51cm/秒的速度向点C移动,那么:
2①移动开始后第t秒时,设S=PQ,试写出S与t之间
的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)根据题意,A(0,
-2),B(2,-2)有-2=c
-2=4a+2b+c 12a+5c=063c=-2
2∴抛物线的解析式为xx-2.63
(2)①移动开始后第t秒时:AP=2t,BQ=t,
∴P(2t,-2),Q(2,t-2)
∵S=PQ,∴S=(2t-2)+(-2-t+2).
2即S=5t-8t+4(0
②当S取得最小值时,t,5
86∴P,-2),Q(2,).55
假设在抛物线上存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,若以PR为一条对角线(如图3),使四边形PBRQ为平行四边形,222
...CZSFD 数学 2008.5 图3 图4
82 ∵BP=2=QR,55
212126∴2,,).5555
经检验,)在抛物线上,55
若USPB为一条对角线(如图4),使四边形PRBQ为平行四边形,
∵BQ=t4=PR,5
.∴-255
∴R,),经检验,)不在抛物线上。5555
综上所述,当S最小时,抛物线上存在点,),55
使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。
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中考数学“存在性”问题的
解题策略
余庆县白泥中学 赵远刚
“存在性”问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题。这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对同学们分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是:假设存在※推理论证※得出结论。若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;导出矛盾,就做出否定“存在”的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征。在假设存在以后进行的推理或计算,对基础知识、基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性。正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一种考验。以下举例说明这类题型的一般解法。
例1 若关于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有两个实数根,又已知a、b、c分别是
3■ABC的∠A、∠B、∠C的对边,∠C=90°,且cos,5
b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程的两个实数根的平方和等于Rt■ABC的斜边c的平方?若存在,求出满足条件的m的值,若不存在,请说明理由。
分析:这个题目的题设较长,分析时要抓住关键,假设存22
...CZSFD 数学 2008.5在这样的m,满足的条件有:m是整数,一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt■ABC斜边c的平方,隐含条件判别式■≥0等,这时抓住Rt■ABC的斜边为c这个突破口,利用题设条件和勾股定理即可求解。
解:在Rt■ABC中,∠C=90°,∵cosB,5
∴设a=3k,c=5k,则由勾股定理有b=4k,
∵b-a=3,∴4k-3k=3,∴k=3
∴a=9,b=12,c=15
22设一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0
的两实数根为x3(m+1),1,x2,则有x1+x2=
xm-9m+20.1x2=
∴xx(xx2x1+2=1+2)-1x2
=[3(m+1)]-2(m-9m+20)
=7m+36m-31.
2222由xxc,有7m+36m-31=225,1+2=
即7m+36m-256=0.
64∴m1=4,m2.7
又∵m,应舍去。7
当m=4时,■>0.
∴存在整数m=4,使方程两个实数根的平方和等于Rt■ABC的斜边c的平方。
例2 如图1所示,已知在同一坐标系中,直线y=kx+k22y轴交于点P,抛物线y=x-2(k+1)x+4k与x2
22222222
...CZSFD 数学 2008.5轴交于A(x,B(x两点,c是抛物线的顶点。1,0)2,0)
(1)求二次函数的最小值(用含k
的代数式表示);
(2)若点A在点B的左侧,且
x0:1·x2
①当k取何值时,直线通过点B;
②是否存在实数k,使两个三角形
的面积SS■ABP=■ABC?如果存在,求出
抛物线的解析式;如果不存在,请说明理由。
分析:本题的探究性体现在第(2)问的后半部分。认真观察图形,由于AB是公共边,要使SS■ABP=■ABC,只需要两个三角形相同底边上的高相等就可以。OP显然是■ABC的高,需由C作AB的垂线段,在两条高的长中含有字母k,就不难找到满足条件的k的取值。
解:(1)∵a=1>0,
∴y最小值2=-(k-1).4
22图1(2)由y=x-2(k+1)x+4k,
得:y=(x-2)(x-2k).
①当y=0时,两根x,1和x2和2k
∵点A在点B左侧,
∴xx0,∴x0,x0.1
∴A(2k,0),B(2,0),
k将B(2,0)代入直线y=kx+2,2
k得2k+2=0,2
...CZSFD 数学 2008.5
.3
∴当,直线过点B.3
②过点C作CD⊥AB于点D,则
CD= -(k-1) =(k-1)
∵直线y=kx+2y轴于P(0,2),22
k∴OP=2.2
AB·OAB·CD,22
k2∴OP=CD, 即2=(k-1).2
11解得:k2,由图像知,k
∴当时,SS■ABP=■ABC.2
∴抛物线的解析式为:y=x-x-2
.
例3 如图2所示,在平面直角坐
标系中,正方形OABC的边长为2cm,点
A、C分别在y轴的负半轴的负半轴的正
半轴上,抛物线y=ax+bx+c经过点
A和B,且12a+5c=0.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A沿AB边以图22222
2cm/秒的速度向点B移动,同时点Q由点B沿BC边以
...CZSFD 数学 2008.51cm/秒的速度向点C移动,那么:
2①移动开始后第t秒时,设S=PQ,试写出S与t之间
的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)根据题意,A(0,
-2),B(2,-2)有-2=c
-2=4a+2b+c 12a+5c=063c=-2
2∴抛物线的解析式为xx-2.63
(2)①移动开始后第t秒时:AP=2t,BQ=t,
∴P(2t,-2),Q(2,t-2)
∵S=PQ,∴S=(2t-2)+(-2-t+2).
2即S=5t-8t+4(0
②当S取得最小值时,t,5
86∴P,-2),Q(2,).55
假设在抛物线上存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,若以PR为一条对角线(如图3),使四边形PBRQ为平行四边形,222
...CZSFD 数学 2008.5 图3 图4
82 ∵BP=2=QR,55
212126∴2,,).5555
经检验,)在抛物线上,55
若USPB为一条对角线(如图4),使四边形PRBQ为平行四边形,
∵BQ=t4=PR,5
.∴-255
∴R,),经检验,)不在抛物线上。5555
综上所述,当S最小时,抛物线上存在点,),55
使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。