初中数学竞赛辅导专题讲座
与三角形有关的角
A A
C
图1 图2 图3 图
4
A D
B C
B C
B
B
图5 图6 图7 图8
图1中，∠A +∠B =∠C +∠D ，即：对顶三角形两底角的和相等.
图2中，若I 为∠A , ∠B 平分线的交点，则∠BIC =90+0C C D
B D E C B 1∠A . 2
1100图3中，若E 为∆ABC 两外角平分线的交点，则∠BEC =90-∠A =(180-∠A )（即等于第三个22
角的外角的一半）. 图4中，若P 为∠B 的平分线和∆ABC 外角平分线的交点, 则∠P =
图5中, ∠BOC =∠A +∠B +∠C . 1∠A . 21图6中, 若E 为∠ABC , ∠ADC 平分线的交点, 则∠E =(∠A +∠C ). 2
1图7中, AD 为∠BAC 的平分线，AE 为BC 上的高, 则∠DAE =∠B -∠C . B 2
1图8中, BE , DE 为∠ABC 和∠ADC 的平分线，则∠E =(∠A +∠BCD ) 图9
2C
例1（2002年江苏省初二数学竞赛第一试试题）在⊿ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于点O ，若⊿ABC 不是直角三角形，且∠A=600，求∠BOC 的度数. (∠A=n0呢?)
例2 (1998年上海市初二数学竞赛试题) 三角形内角平分线的交点称为内心。如图9，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，F 是△BDE 的内心。若∠BFE 的度数为整数，则∠BFE 至少是多少度？
例3（1998年重庆市初三数学竞赛试题）
三角形的三个内角分别为α, β, γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围是(D)
(A) 36≤β≤45 (B) 45≤β≤60 (C) 60≤β≤90 (D) 45≤β≤72 00000000
例4（1981年北京市初三数学竞赛试题）（1987年青岛市初中数学竞赛第二试试题）（1987年苏州市初中数学竞赛模拟试题）
（1998年天津市初二数学竞赛试题）
已知三角形中两角之和为n ，最大角比最小角大24，求n 的取值范围。（104≤n ≤136）
例5 (十一届江苏省初中数学竞赛试题) 平面上有A 、B 、C 、D 四点，其中任意三点均不共线，求证:在⊿ABC 、
0⊿ABD 、⊿ACD 、⊿BCD 中至少有一个三角形的一个内角不超过45.
00
1. 用尽可能多的方法计算下列图中字母所示角的和。
F D C
图10 图11 图12 2. （八年级上数学竞赛试题）现已知有两个角，锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算1(α+β) 4
的结果，分别为68.5º,22º,51.5º, 72º , 四个结果中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ）
（A ）68.5º （B ）22º （C ）51.5º （D ）72º
3．（2004年全国初中数学联赛深圳赛区第一试试题）
α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算1(α+β)的结果依次为50°、26°、72°和90°，9
其中确有正确的结果，那么算得正确的是（ ）（A ）甲； ( B) 乙； ( C) 丙； （D ）丁
4. （2002年江苏省初二数学竞赛试题第一试）
α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算(α+β+γ)的值时，有三个同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则α+β+γ＝＿＿.
5．（1984年重庆初中竞赛题）
如果α、β、γ是三角形三内角，x=α+β，y=β+γ，z=γ+α，那么x ，y ，z 中锐角个数的错误判断应是（ ）.
（A ）可能没有锐角 （B ）可能有一个锐角 （C ）可能有两个锐角 （D ）最多有一个锐角
6．如果α, β, γ是三角形的三个内角，而x =α+β, y =β+γ, z =γ+α, 那么x , y , z 中的锐角个数的错误
判断是（ ）（A ）可能没有锐角（B ）可能有一个锐角 （C ）可能有两个锐角 （D ）最多有一个锐角 7. (江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题)
已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，令α=B +C , β=C +A γ=A +B ，则α, β, γ中锐角的个数至多为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
8．一个三角形的三个外角中（ ）
（A ）至少有一个钝角 （B ）至少有两个钝角 （C ）至少有三个钝角 （D ）可以没有钝角
9. 在∆ABC 中, ∠B , ∠C 的平分线相交于一点P , 设∠A =x , ∠BPC =y , 如果x 每增加1, 那么y 增加
度.
10. 将一个四边形的纸片一刀剪去一个角后，所得的多边形的内角之和是0011. 已知∆ABC 中, ∠A =θ-α, ∠B =θ, ∠C =θ+α0
交于点P, 则∠APC = 度.
12. ∆ABC 中, ∠A =θ-α, ∠B =θ, ∠C =θ+α, P 为∆ABC 内一点, 则∠APC 的值( )
(A) 在20与30之间 (B)在30与40之间 (C)在45与60之间 (D)在60与180之间 13. （1985年北京市初二数学竞赛试题） 00000000
∆ABC 中三边a , b , c 所对的内角分别是∠A , ∠B , ∠C ，以A 为顶点的∆ABC 的外角记为α，以B 为顶点的∆ABC 的外角记为β. 则下面四个判断中正确的一个是（ ）
(A) a =b +c (B) ∠B =α (C) α>1200, β≥1200, ∠C
在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形（ ）
A ．只有一个且为等腰三角形； B. 至少有两个且都为等腰三角形；
C. 只有一个但不是等腰三角形； D. 至少有两个，其中有非等腰三角形.
16．（2004年全国初中数学联赛深圳赛区第一试试题）（1997年埃德蒙市初中数学竞赛试题）
∆ABC 的每个角都具有正整数的度数，∠A 不小于其余的两个角，∠C 不大于其余的两个角，已知∠C=300，那么（ ）
(A) ∠A 的度数的最大值是750 (B) ∠A 的度数的最大值是1190
(C) ∠A 的度数的最大值是1200 (D) ∠A 的度数的最大值是1490
17. （1999年上海市初中数学竞赛试题）在直角三角形中，若三条高之积等于三边乘积的一半，则该三角形的最小角的大小是 度.
18. （第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试）
已知△ABC的三个内角的比是m ：(m+1)：(m+2)，其中m 是大于1的正整数，那么△ABC 是( ) (A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)等腰三角形．
19. （1984年全国初中数学竞赛）（1987年青岛市初中数学竞赛一试）（1987年湖北奥校初中数学竞赛）
∆ABC 的三条外角平分线相交成一个∆LMN ，则∆LMN （ ）
(A)一定是直角三角形． (B)一定是钝角三角形． (C)一定是锐角三角形.
(D)不一定是锐角三角形． (E)一定不是锐角三角形 .
20．（2001年“希望杯”全国数学邀请赛试题）
∆ABC 中, ∠B =600, ∠C >∠A , 且(∠C )=(∠A )+(∠B ), 则∆ABC 的形状是( )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不能确定
21. （1999年重庆市初二数学竞赛试题）△ABC 内有三个点D 、E 、F ，分别以A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个点为顶点画三角形. 如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为（ ）（A ）360°（B ）900°（C ）1260° （D ）1440°
22. （1997年“希望杯”全国初中数学邀请赛试题）
如图13，在△ABC 中，A D平分∠BAC ，EG ⊥AD, 分别交AB 、AD 、AC 、BC 的延长线于E 、H 、F 、G . 已知下列四个等式：①∠1=22211(∠2+∠3)；②∠1=2(∠3-∠2)；③∠4=(∠3-∠2)；④22
∠4=1∠1，其中有2个等式是成立的，它们是2
23. （2004年全国初中数学联赛山东赛区预赛暨2003年山东省“KLT 快灵通杯”初中数学竞赛试题）
如图14，在Rt ∆ABC 中，∠C=90°∠A=30°∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E 点，连结AE ，则∠BCE 是（ ） （A ）50° （B ）45° （C ）40° （D ）35°
24. （1995年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）如图15，已知△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角的平分线相交于D ，∠D=400，则∠A=（ ） （A ）50° （B ）60° （C ）70° （D ）80°
G A B C E C B
图13 图14 图15
25. (万松学校七年级数学（下）竞赛试题) 直角三角形两个锐角的平分线所夹的角是_____
26. （汉城国际数学邀请赛试题）锐角三角形的三个角用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度B D C 数是最大角的度数的1，求满足此条件的所有锐角三角形的度数. 4
27. (1998北京市初中数学竞赛试题)
∆ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A
若三角形的三个内角A , B , C 关系满足A >3B , C
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形但不等边 (D)等边三角形
29. （1996年四川省初中数学竞赛试题）
∆ABC 的三个内角A , B , C 满足：3A >5B ,3C ≤2B ，则这个三角形是（ ）
(A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)形状不能确定．
30. 三角形的最大角与最小角之比为1∶4，则第三个角α的取值范围是__________.
31. 锐角∆ABC 中, ∠C =2∠B , 则∠B 的取值范围是( )
(A) 10
32. （1994年安徽省初中数学竞赛试题）
已知在∆ABC 中，∠A ≤∠C ≤∠B , 且2∠B =5∠C , 则∠B 的取值范围是 .
33. 一个三角形的两个外角和等于第三个内角的三倍，则这个三角形是( )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)锐角或钝角三角形
035. （1997年全国“希望杯”数学邀请赛初二试题）在∆ABC 中，∠A=96，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分
线相交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，依此类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于点
0000 A 5，则∠A 5的大小是( ) (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 19.2
36. 已知，点D 是∆ABC 的∠C 的外角平分线与BA 的延长线的交点，求证：∠BAC >∠B . 37. （2000年全国初中数学联赛试题）
如图16，四边形ABCD 的对角∠BAD 与∠BCD 的角平分线AE 、CF 互相平行，则∠B 与∠D 的关系为（ ）
(A) ∠B=∠D (B) ∠B 与∠D 互补 (C) ∠B ＞∠D (D) ∠B ＜∠D
38. （1998年山东省初中数学竞赛试题）如图17, CD 平分为∠A D B ，EC 平分为∠AEB ，若00000000
∠DA E =α, ∠DB E =β，则∠DCE =（用α, β表示）。
39. （1990年北京市初二数学竞赛初赛试题）（2002年河南省初二数学竞赛试题）
如图18，在∆ABC 中，∠A =42，∠B 和∠C 的三等分线分别交于点D , E ，则∠B D C 的度数是（ ）
(A) 670 (B) 840 (C) 880 (D) 1100 0
D
B E C
D B C C
图16 图17 图18 图19
40. （1994年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）
如图19，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G . 若∠BDC=1400, ∠BGC=1100，则∠A 的大小是（ ） （A ）70° （B ）75° （C ）80° （D ）85°
41. 如图20所示的七角星形中，已知∠B=140, ∠C=150, ∠F=160，并且∠A+∠D+∠E+∠G=k·450，则k 等
于 。
42. 如图21，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H 的度数为 度。
43. （山东省初中数学竞赛试题）如图22，∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =（ ）
000(A) 360-α (B) 270-α (C) 180+α (D) 2α
G C
C D
图20 图21 图22 E
44. （1996年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）
已知：如图23，DO 平分∠ADC ，BO 平分∠ABC ，且∠A=270，∠O=330，则∠C 的大小是 . 45. （1994年四川省初中数学竞赛试题）
如图24，已知∠xoy=900，点A 、B 分别在射线ox 、oy 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线交于点C . 试问∠ACB 的大小是否变动？证明你的结论.
46. （江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题）
0如图25，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，∠XHF ＝40，那么∠XYZ ＝ 度.
A B
X F Y
图23 图24 图25
48.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，过A 、B 两点分别作BC 和AC 的垂线，这两条垂线相交于O ，则∠AOB
等于( ) A.120° B.60° C.70°或50° D.60°或120°
49. （江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试）
如图26，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）
0000A 、60 B、75 C 、90 D 、135
50. (2004年富阳市初一数学竞赛试卷)
000如图27，已知AB ∥ED ，∠C ＝90，∠ABC ＝∠DEF ，∠D ＝130，∠F ＝100，求∠E 的大小。
51. （1988年上海市初二数学竞赛）
0一个六边形的六个内角都是120, 连续四边的长依次是1,3,3,2, 则该六边形的周长是____.
52. 已知空间中有8个点，其中任四点不在同一个平面上，在这8点中间连结21条线段，则这些线段最多能构成的三角形的个数为（ ） (A)56 (B)35 (C)21 (D)以上都不对
53. 平面上有n 个点，其中每三个点都是某个正三角形的顶点，则n 的最大值是 .
54. (1988年上海市初二数学竞赛试题) ∆ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角, 且2∠B =5∠A , 若∠B 的最
00大的值是m 最小值是n , 则m +n = .
55. 如图28所示, 四边形ABCD 中,AB=AC=AD,
(1) 若∠DAC=2∠BAC, 则∠DBC=2∠BDC, 说明理由;
(2) 试猜想当∠DAC=3∠BAC, ∠DAC=4∠BAC, …, ∠DAC=n∠BAC 时, ∠DBC 与∠BDC 有何关系? 并说明你的理由
A
D
O B C
图26 图27 图28
初中数学竞赛辅导专题讲座
与三角形有关的角
A A
C
图1 图2 图3 图
4
A D
B C
B C
B
B
图5 图6 图7 图8
图1中，∠A +∠B =∠C +∠D ，即：对顶三角形两底角的和相等.
图2中，若I 为∠A , ∠B 平分线的交点，则∠BIC =90+0C C D
B D E C B 1∠A . 2
1100图3中，若E 为∆ABC 两外角平分线的交点，则∠BEC =90-∠A =(180-∠A )（即等于第三个22
角的外角的一半）. 图4中，若P 为∠B 的平分线和∆ABC 外角平分线的交点, 则∠P =
图5中, ∠BOC =∠A +∠B +∠C . 1∠A . 21图6中, 若E 为∠ABC , ∠ADC 平分线的交点, 则∠E =(∠A +∠C ). 2
1图7中, AD 为∠BAC 的平分线，AE 为BC 上的高, 则∠DAE =∠B -∠C . B 2
1图8中, BE , DE 为∠ABC 和∠ADC 的平分线，则∠E =(∠A +∠BCD ) 图9
2C
例1（2002年江苏省初二数学竞赛第一试试题）在⊿ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于点O ，若⊿ABC 不是直角三角形，且∠A=600，求∠BOC 的度数. (∠A=n0呢?)
例2 (1998年上海市初二数学竞赛试题) 三角形内角平分线的交点称为内心。如图9，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，F 是△BDE 的内心。若∠BFE 的度数为整数，则∠BFE 至少是多少度？
例3（1998年重庆市初三数学竞赛试题）
三角形的三个内角分别为α, β, γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围是(D)
(A) 36≤β≤45 (B) 45≤β≤60 (C) 60≤β≤90 (D) 45≤β≤72 00000000
例4（1981年北京市初三数学竞赛试题）（1987年青岛市初中数学竞赛第二试试题）（1987年苏州市初中数学竞赛模拟试题）
（1998年天津市初二数学竞赛试题）
已知三角形中两角之和为n ，最大角比最小角大24，求n 的取值范围。（104≤n ≤136）
例5 (十一届江苏省初中数学竞赛试题) 平面上有A 、B 、C 、D 四点，其中任意三点均不共线，求证:在⊿ABC 、
0⊿ABD 、⊿ACD 、⊿BCD 中至少有一个三角形的一个内角不超过45.
00
1. 用尽可能多的方法计算下列图中字母所示角的和。
F D C
图10 图11 图12 2. （八年级上数学竞赛试题）现已知有两个角，锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算1(α+β) 4
的结果，分别为68.5º,22º,51.5º, 72º , 四个结果中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ）
（A ）68.5º （B ）22º （C ）51.5º （D ）72º
3．（2004年全国初中数学联赛深圳赛区第一试试题）
α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算1(α+β)的结果依次为50°、26°、72°和90°，9
其中确有正确的结果，那么算得正确的是（ ）（A ）甲； ( B) 乙； ( C) 丙； （D ）丁
4. （2002年江苏省初二数学竞赛试题第一试）
α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算(α+β+γ)的值时，有三个同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则α+β+γ＝＿＿.
5．（1984年重庆初中竞赛题）
如果α、β、γ是三角形三内角，x=α+β，y=β+γ，z=γ+α，那么x ，y ，z 中锐角个数的错误判断应是（ ）.
（A ）可能没有锐角 （B ）可能有一个锐角 （C ）可能有两个锐角 （D ）最多有一个锐角
6．如果α, β, γ是三角形的三个内角，而x =α+β, y =β+γ, z =γ+α, 那么x , y , z 中的锐角个数的错误
判断是（ ）（A ）可能没有锐角（B ）可能有一个锐角 （C ）可能有两个锐角 （D ）最多有一个锐角 7. (江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题)
已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，令α=B +C , β=C +A γ=A +B ，则α, β, γ中锐角的个数至多为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
8．一个三角形的三个外角中（ ）
（A ）至少有一个钝角 （B ）至少有两个钝角 （C ）至少有三个钝角 （D ）可以没有钝角
9. 在∆ABC 中, ∠B , ∠C 的平分线相交于一点P , 设∠A =x , ∠BPC =y , 如果x 每增加1, 那么y 增加
度.
10. 将一个四边形的纸片一刀剪去一个角后，所得的多边形的内角之和是0011. 已知∆ABC 中, ∠A =θ-α, ∠B =θ, ∠C =θ+α0
交于点P, 则∠APC = 度.
12. ∆ABC 中, ∠A =θ-α, ∠B =θ, ∠C =θ+α, P 为∆ABC 内一点, 则∠APC 的值( )
(A) 在20与30之间 (B)在30与40之间 (C)在45与60之间 (D)在60与180之间 13. （1985年北京市初二数学竞赛试题） 00000000
∆ABC 中三边a , b , c 所对的内角分别是∠A , ∠B , ∠C ，以A 为顶点的∆ABC 的外角记为α，以B 为顶点的∆ABC 的外角记为β. 则下面四个判断中正确的一个是（ ）
(A) a =b +c (B) ∠B =α (C) α>1200, β≥1200, ∠C
在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形（ ）
A ．只有一个且为等腰三角形； B. 至少有两个且都为等腰三角形；
C. 只有一个但不是等腰三角形； D. 至少有两个，其中有非等腰三角形.
16．（2004年全国初中数学联赛深圳赛区第一试试题）（1997年埃德蒙市初中数学竞赛试题）
∆ABC 的每个角都具有正整数的度数，∠A 不小于其余的两个角，∠C 不大于其余的两个角，已知∠C=300，那么（ ）
(A) ∠A 的度数的最大值是750 (B) ∠A 的度数的最大值是1190
(C) ∠A 的度数的最大值是1200 (D) ∠A 的度数的最大值是1490
17. （1999年上海市初中数学竞赛试题）在直角三角形中，若三条高之积等于三边乘积的一半，则该三角形的最小角的大小是 度.
18. （第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试）
已知△ABC的三个内角的比是m ：(m+1)：(m+2)，其中m 是大于1的正整数，那么△ABC 是( ) (A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)等腰三角形．
19. （1984年全国初中数学竞赛）（1987年青岛市初中数学竞赛一试）（1987年湖北奥校初中数学竞赛）
∆ABC 的三条外角平分线相交成一个∆LMN ，则∆LMN （ ）
(A)一定是直角三角形． (B)一定是钝角三角形． (C)一定是锐角三角形.
(D)不一定是锐角三角形． (E)一定不是锐角三角形 .
20．（2001年“希望杯”全国数学邀请赛试题）
∆ABC 中, ∠B =600, ∠C >∠A , 且(∠C )=(∠A )+(∠B ), 则∆ABC 的形状是( )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不能确定
21. （1999年重庆市初二数学竞赛试题）△ABC 内有三个点D 、E 、F ，分别以A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个点为顶点画三角形. 如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为（ ）（A ）360°（B ）900°（C ）1260° （D ）1440°
22. （1997年“希望杯”全国初中数学邀请赛试题）
如图13，在△ABC 中，A D平分∠BAC ，EG ⊥AD, 分别交AB 、AD 、AC 、BC 的延长线于E 、H 、F 、G . 已知下列四个等式：①∠1=22211(∠2+∠3)；②∠1=2(∠3-∠2)；③∠4=(∠3-∠2)；④22
∠4=1∠1，其中有2个等式是成立的，它们是2
23. （2004年全国初中数学联赛山东赛区预赛暨2003年山东省“KLT 快灵通杯”初中数学竞赛试题）
如图14，在Rt ∆ABC 中，∠C=90°∠A=30°∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E 点，连结AE ，则∠BCE 是（ ） （A ）50° （B ）45° （C ）40° （D ）35°
24. （1995年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）如图15，已知△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角的平分线相交于D ，∠D=400，则∠A=（ ） （A ）50° （B ）60° （C ）70° （D ）80°
G A B C E C B
图13 图14 图15
25. (万松学校七年级数学（下）竞赛试题) 直角三角形两个锐角的平分线所夹的角是_____
26. （汉城国际数学邀请赛试题）锐角三角形的三个角用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度B D C 数是最大角的度数的1，求满足此条件的所有锐角三角形的度数. 4
27. (1998北京市初中数学竞赛试题)
∆ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A
若三角形的三个内角A , B , C 关系满足A >3B , C
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形但不等边 (D)等边三角形
29. （1996年四川省初中数学竞赛试题）
∆ABC 的三个内角A , B , C 满足：3A >5B ,3C ≤2B ，则这个三角形是（ ）
(A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)形状不能确定．
30. 三角形的最大角与最小角之比为1∶4，则第三个角α的取值范围是__________.
31. 锐角∆ABC 中, ∠C =2∠B , 则∠B 的取值范围是( )
(A) 10
32. （1994年安徽省初中数学竞赛试题）
已知在∆ABC 中，∠A ≤∠C ≤∠B , 且2∠B =5∠C , 则∠B 的取值范围是 .
33. 一个三角形的两个外角和等于第三个内角的三倍，则这个三角形是( )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)锐角或钝角三角形
035. （1997年全国“希望杯”数学邀请赛初二试题）在∆ABC 中，∠A=96，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分
线相交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，依此类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于点
0000 A 5，则∠A 5的大小是( ) (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 19.2
36. 已知，点D 是∆ABC 的∠C 的外角平分线与BA 的延长线的交点，求证：∠BAC >∠B . 37. （2000年全国初中数学联赛试题）
如图16，四边形ABCD 的对角∠BAD 与∠BCD 的角平分线AE 、CF 互相平行，则∠B 与∠D 的关系为（ ）
(A) ∠B=∠D (B) ∠B 与∠D 互补 (C) ∠B ＞∠D (D) ∠B ＜∠D
38. （1998年山东省初中数学竞赛试题）如图17, CD 平分为∠A D B ，EC 平分为∠AEB ，若00000000
∠DA E =α, ∠DB E =β，则∠DCE =（用α, β表示）。
39. （1990年北京市初二数学竞赛初赛试题）（2002年河南省初二数学竞赛试题）
如图18，在∆ABC 中，∠A =42，∠B 和∠C 的三等分线分别交于点D , E ，则∠B D C 的度数是（ ）
(A) 670 (B) 840 (C) 880 (D) 1100 0
D
B E C
D B C C
图16 图17 图18 图19
40. （1994年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）
如图19，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G . 若∠BDC=1400, ∠BGC=1100，则∠A 的大小是（ ） （A ）70° （B ）75° （C ）80° （D ）85°
41. 如图20所示的七角星形中，已知∠B=140, ∠C=150, ∠F=160，并且∠A+∠D+∠E+∠G=k·450，则k 等
于 。
42. 如图21，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H 的度数为 度。
43. （山东省初中数学竞赛试题）如图22，∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =（ ）
000(A) 360-α (B) 270-α (C) 180+α (D) 2α
G C
C D
图20 图21 图22 E
44. （1996年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）
已知：如图23，DO 平分∠ADC ，BO 平分∠ABC ，且∠A=270，∠O=330，则∠C 的大小是 . 45. （1994年四川省初中数学竞赛试题）
如图24，已知∠xoy=900，点A 、B 分别在射线ox 、oy 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线交于点C . 试问∠ACB 的大小是否变动？证明你的结论.
46. （江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题）
0如图25，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，∠XHF ＝40，那么∠XYZ ＝ 度.
A B
X F Y
图23 图24 图25
48.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，过A 、B 两点分别作BC 和AC 的垂线，这两条垂线相交于O ，则∠AOB
等于( ) A.120° B.60° C.70°或50° D.60°或120°
49. （江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试）
如图26，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）
0000A 、60 B、75 C 、90 D 、135
50. (2004年富阳市初一数学竞赛试卷)
000如图27，已知AB ∥ED ，∠C ＝90，∠ABC ＝∠DEF ，∠D ＝130，∠F ＝100，求∠E 的大小。
51. （1988年上海市初二数学竞赛）
0一个六边形的六个内角都是120, 连续四边的长依次是1,3,3,2, 则该六边形的周长是____.
52. 已知空间中有8个点，其中任四点不在同一个平面上，在这8点中间连结21条线段，则这些线段最多能构成的三角形的个数为（ ） (A)56 (B)35 (C)21 (D)以上都不对
53. 平面上有n 个点，其中每三个点都是某个正三角形的顶点，则n 的最大值是 .
54. (1988年上海市初二数学竞赛试题) ∆ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角, 且2∠B =5∠A , 若∠B 的最
00大的值是m 最小值是n , 则m +n = .
55. 如图28所示, 四边形ABCD 中,AB=AC=AD,
(1) 若∠DAC=2∠BAC, 则∠DBC=2∠BDC, 说明理由;
(2) 试猜想当∠DAC=3∠BAC, ∠DAC=4∠BAC, …, ∠DAC=n∠BAC 时, ∠DBC 与∠BDC 有何关系? 并说明你的理由
A
D
O B C
图26 图27 图28