微积分(经管类,第三版)(中国人民大学出版社)复习题

一．一．

单项选择题（每小题3分,共45分）





1．若级数un发散，则auna0（① ）

n1

n1

① 一定发散 ② 可能收收敛，也可能发散

③ a＞0时收敛，a＜0 发散 ④a＞0时收敛，a＜0 时发散。 2．级数un收敛的充要条件是（ ③ ）

n1

①limun0 ② limn1r1 ③ limsn存在 ④ un

nnn

1

u

n

n

2

3.利用级数收敛时其一般项必须趋于零的性质,指出下列哪个级数一定发散.( ④ )

① si ② sin ③ arct1 n

3n3

④ 1341n1

23n







n



n

n1n1

n2

n1

n1

4. limun0,则级数un( ③ ) nn1

① 一定收敛 ② 一定发散 ③ 可能收敛,可能发散 ④ 一定条件收敛

5.在下列级数中,发散的是( ③ ) ① 

n1



1

n

② 3

2

3

4

1111

 24816

5

③ 0.001.0010.001 ④

3 555556.下列级数中收敛的是( ④ )

① 

n1



1

2n1

②

n

3n1n1



③ 

n1



100

q

④ n

n1

n1`

3

7. 下列级数中,收敛的是(① )

151

①  ② si ③ si1 ④ 

nn53



n

n



n1n1n1n1

8. 下列级数中,发散的级数的是( ① ) ①

n

sin2n1



② 1

n1

n1

1

n

31 ③  ④  4n





n1

n1

n3

9.级数

n1



1

n

p1

发散,则有( ① )

p＞0 ③p≤1 ④ p＜1

① p≤0 ②



10. 级数un收敛(un＞0)则下列级数中收敛的是( ③ )

n1

①(un100) ② (un100) ③10u0n ④

n1

n1

n1



100

n1n1n



11.在下列级数中,条件收敛的是( ② ) ①1

n1

n

n n1

② 1

n1

n

1n

③ 1

n1

n

1

n

2

④1

n1

n

1

nn112. 在下列级数中,绝对收敛的是( ③ ) ①

n1

1

2n1



3② 1 ③ 12



n



n

n1

1

n1n1

n

3

④1n1`



n

n1

n

13. 级数xn的收敛半径R是( ③ )

n1n2

① 1 ② 2 ③



n

n

12

④ 

14. 级数xn的收敛半径R是( ③ )

n1n3

① 1 ② 3 ③ 1 ④

3



15.幂级数1xn1的收敛区间是(③ )

n1



n

① 1,1 ② 1,1 ③ 1,1 ④ 1,1 二．解答题

1．用比值法判断级数n!n的敛散性。

1

5

n1!

解：由un

n!

5

,nun!

n1!得到，

5

n1

lim

u

n

n1n

lim

n

lim

n

n1

 5

5

根据比值判别法可知，级数n!的发散。

1



5

n2．用根值法判断级数的敛散性。 2n1

1

n

n解：limlim2n1

n

n

n

n11

lim＜1 2n1n212

n

n∴ 收敛 2n1

1

n

3．求幂级数2n1x2n2的和函数。

1



解：设sx2n1x2n213x25x42n1x2n2

1





x

Sxdx2n1x0

1

x

2n2

dx2n1x

1



x

2n2

dxx

1



2n1

=xx3x5

x1x

2

两边求导得：

2

x12221Sx2122x1x1x2

2

，x1,1

4．求函数

fxex

2

的幂级数展开式。

解：因为fxex的幂级数展开式为

e

x

1x

x

2!

23

3!



n

n!



02



n!

fxex

0

2n

2

n

把e展开式中的x换成x得

的幂级数展开式

ex

2

1x

2

2!

46

3!



2n

n!



n!

高数复习提要：

一．

积分上限函数及性质

1．积分上限函数：xaftdt

x

2．积分上限函数性质：练习题 1．lim

x0

ddx

(x)ftdtfx adxdx

5sintdt

x

2

x

x

5arctantdt2．lim

x

x0

3．lim0

x0

x

costdtx

2

1costdt

4．lim

x

x0

3

x

解答；1.解：∵lim05sint2dt0，∴lim

x0

x

5sintdt

x

2

x0

x

3

是0型极限

5sintlim

x

x0

3

x

2

dt

lim

x0

x2205sintdt5sin5 2lim33x3x

x5arctantdt 2. 解：∵lim5arctantdt0，lim∴ 是0型极限

0x

x

x

x0

x0

2

5arctantdtlim lim

x

x0

2

x0x

x

x

05arctantdt5arctanx5 lim22x2x0

x1costdt 4. 解：∵lim1costdt0，lim∴ 是0型极限

0x

x0

x

x0

lim

x0

01costdt

x

3

x

lim

x0

01costdt1cosxsinx1 2limlim36x63xx0x0

x



x二.分部积分法和变量变换法

1.分部积分法:afxdxaudvuvaavdu

b

b

b

b

2.变量代换法:

令tx,xt,dxtdt,当xa时，t,xb,时t则



b

a

fxdxfttdt





例题讲解

1．计算定积分 0e

2

4x1

dx

令t=4x1,xdx=e1

3

t

1

4

t1,dx1tdt，当x=0时，t=1.当x=2时，x=3.

2

2

e

2

4x1

1131ttdttde2212

2



tet

3



1

13t11313

dt3ee=eee12222



e

3

2．计算定积分 0cos解：t=

2x,x

2

2

2

2xdx

12

,dxtdt，当t2

x=0时，t=0.当x=2时，t=2.

cos

2xdx=tcostdttdsint

tsintsintdt2sin2cost

2

2

20

=2sin2-cos2+1

3．计算定积分 0e4. 0sin

3

3

dx

xdx

三.全微分及隐函数偏导数计算 1.全微分:zfx,y,dzzdxzdy

x

y

2.隐函数偏导数;设fx,y,z0,zx,zFy

x

F

z

y

F

z

例题讲解

1．求由方程sin3xsin3ysin3z1.所确定的函数z=f(x,y)的全微分。

解：两边微分得：d(sin3xsin3ysin3z)0 dsin3xdsin3ydsin3z0

3sin2xcosxdx+3sin2ycosydy+3sin2zcoszdz=0 dz2

2

xcosxzcosz

sin

dx

cosydy

sinzcosz

2

2

解法2：Fx,y,zsin3xsin3ysin3x`1

Fx3sin2xcosx

Fy3sinycosy

2

Fz3sinzcosz

2

xcosx

∴zx2 xFzsinzcoszzFyycosy 2yFzsinzcosz

2

2

xcosxcosyzzdxdy dzdxdy=22

xysinzcoszsinzcosz

22

2

2．求函数ulnxy

2

2

z的全微分。 

解法1；u

x

2x

xyz

2

2

u

， 2

x2y

2y

xyz

2

2

u

， 2

x2z

2z

xyz

2

2

2

∴ du=

2x

xyz

2

2

dx+2

xyz

2

2

dy+2

xyz

2

2

2

dz

四.二重积分计算

1.作出积分区域图并判别其形态，（X-型，Y-型） 2．把二重点积分列成二次积分。 3．计算二次积分。 1；计算二重积分。

xed,D:0x1,0y1

xy

D

xeddxxedy

D

xy

11

xy

=0dx0exydxy =

11

e

10

xy

dx

10



1

e1dx

x

=ex



x

e1

10

2．计算二重积分。

66y2x2d,D是由yx2与yx围成的区域。

D

解： 66y2xd60dx

2

1

D

6y2xdy=6x

x

2

2

3y2xy1

2

2

x

2

x

dx

1453=63x2x5xdx=6xxx=3 2

1

2

3

4

3．计算二重积分。

xed,D:0x1,0y1

y

D

五.用比值法及根值法判别级数收敛性 比值法：如果limn1r

n

u

n

①．r＜1.级数un收敛。



②

1

r≥1.级数un发散。



1.判断级数的敛散性。

n!

n

n2．用根值法判断级数的敛散性。 5n1

1

n

3.判断级数n!的敛散性。

1



7

六.求幂级数的和函数 已知收敛幂级数的和函数 1．xn1xx2xn

0

1

,x1,1 1x

n1

2．1



n1

x

n

1xx

2

1

x

n



11x

3．x2n1xx3x5x2n1



x1x

n

2



x1x

2

4．1x

n



2n1

xxx

35

1x

2n1

1．求幂级数2n1x2n2的和函数。

1

解：设sx2n1x2n213x25x42n1x2n2

1





x

Sxdx

x1

2n1x

2n2

dx2n1x

1

1



x

2n2

dxx

1



2n1

=xx3x5

x1x

2

2

x12221Sx221x1x21x2

2

2.求幂级数n1x的和函数。

0

n

解：设sxn1xn12x3x2n1xn



两边积分得：



x

Sxdxn1xdx0n1x0

n

1

x



x

n

dxx



n1

xxx

2n

x

1x

x

两边求导得：Sx

1x

1

n

1x1

2

3. 求幂级数n1x的和函数。 解：设sxn1xn2x3x2n1xn

1

两边积分得：

Sxdxn1xdxn1xdxx

n

n

1

1

1

x

x



x



n1

xx

2n

1x

2



22x1x212x2

22 两边求导得：Sx

1x

1x1x

一．一．

单项选择题（每小题3分,共45分）





1．若级数un发散，则auna0（① ）

n1

n1

① 一定发散 ② 可能收收敛，也可能发散

③ a＞0时收敛，a＜0 发散 ④a＞0时收敛，a＜0 时发散。 2．级数un收敛的充要条件是（ ③ ）

n1

①limun0 ② limn1r1 ③ limsn存在 ④ un

nnn

1

u

n

n

2

3.利用级数收敛时其一般项必须趋于零的性质,指出下列哪个级数一定发散.( ④ )

① si ② sin ③ arct1 n

3n3

④ 1341n1

23n







n



n

n1n1

n2

n1

n1

4. limun0,则级数un( ③ ) nn1

① 一定收敛 ② 一定发散 ③ 可能收敛,可能发散 ④ 一定条件收敛

5.在下列级数中,发散的是( ③ ) ① 

n1



1

n

② 3

2

3

4

1111

 24816

5

③ 0.001.0010.001 ④

3 555556.下列级数中收敛的是( ④ )

① 

n1



1

2n1

②

n

3n1n1



③ 

n1



100

q

④ n

n1

n1`

3

7. 下列级数中,收敛的是(① )

151

①  ② si ③ si1 ④ 

nn53



n

n



n1n1n1n1

8. 下列级数中,发散的级数的是( ① ) ①

n

sin2n1



② 1

n1

n1

1

n

31 ③  ④  4n





n1

n1

n3

9.级数

n1



1

n

p1

发散,则有( ① )

p＞0 ③p≤1 ④ p＜1

① p≤0 ②



10. 级数un收敛(un＞0)则下列级数中收敛的是( ③ )

n1

①(un100) ② (un100) ③10u0n ④

n1

n1

n1



100

n1n1n



11.在下列级数中,条件收敛的是( ② ) ①1

n1

n

n n1

② 1

n1

n

1n

③ 1

n1

n

1

n

2

④1

n1

n

1

nn112. 在下列级数中,绝对收敛的是( ③ ) ①

n1

1

2n1



3② 1 ③ 12



n



n

n1

1

n1n1

n

3

④1n1`



n

n1

n

13. 级数xn的收敛半径R是( ③ )

n1n2

① 1 ② 2 ③



n

n

12

④ 

14. 级数xn的收敛半径R是( ③ )

n1n3

① 1 ② 3 ③ 1 ④

3



15.幂级数1xn1的收敛区间是(③ )

n1



n

① 1,1 ② 1,1 ③ 1,1 ④ 1,1 二．解答题

1．用比值法判断级数n!n的敛散性。

1

5

n1!

解：由un

n!

5

,nun!

n1!得到，

5

n1

lim

u

n

n1n

lim

n

lim

n

n1

 5

5

根据比值判别法可知，级数n!的发散。

1



5

n2．用根值法判断级数的敛散性。 2n1

1

n

n解：limlim2n1

n

n

n

n11

lim＜1 2n1n212

n

n∴ 收敛 2n1

1

n

3．求幂级数2n1x2n2的和函数。

1



解：设sx2n1x2n213x25x42n1x2n2

1





x

Sxdx2n1x0

1

x

2n2

dx2n1x

1



x

2n2

dxx

1



2n1

=xx3x5

x1x

2

两边求导得：

2

x12221Sx2122x1x1x2

2

，x1,1

4．求函数

fxex

2

的幂级数展开式。

解：因为fxex的幂级数展开式为

e

x

1x

x

2!

23

3!



n

n!



02



n!

fxex

0

2n

2

n

把e展开式中的x换成x得

的幂级数展开式

ex

2

1x

2

2!

46

3!



2n

n!



n!

高数复习提要：

一．

积分上限函数及性质

1．积分上限函数：xaftdt

x

2．积分上限函数性质：练习题 1．lim

x0

ddx

(x)ftdtfx adxdx

5sintdt

x

2

x

x

5arctantdt2．lim

x

x0

3．lim0

x0

x

costdtx

2

1costdt

4．lim

x

x0

3

x

解答；1.解：∵lim05sint2dt0，∴lim

x0

x

5sintdt

x

2

x0

x

3

是0型极限

5sintlim

x

x0

3

x

2

dt

lim

x0

x2205sintdt5sin5 2lim33x3x

x5arctantdt 2. 解：∵lim5arctantdt0，lim∴ 是0型极限

0x

x

x

x0

x0

2

5arctantdtlim lim

x

x0

2

x0x

x

x

05arctantdt5arctanx5 lim22x2x0

x1costdt 4. 解：∵lim1costdt0，lim∴ 是0型极限

0x

x0

x

x0

lim

x0

01costdt

x

3

x

lim

x0

01costdt1cosxsinx1 2limlim36x63xx0x0

x



x二.分部积分法和变量变换法

1.分部积分法:afxdxaudvuvaavdu

b

b

b

b

2.变量代换法:

令tx,xt,dxtdt,当xa时，t,xb,时t则



b

a

fxdxfttdt





例题讲解

1．计算定积分 0e

2

4x1

dx

令t=4x1,xdx=e1

3

t

1

4

t1,dx1tdt，当x=0时，t=1.当x=2时，x=3.

2

2

e

2

4x1

1131ttdttde2212

2



tet

3



1

13t11313

dt3ee=eee12222



e

3

2．计算定积分 0cos解：t=

2x,x

2

2

2

2xdx

12

,dxtdt，当t2

x=0时，t=0.当x=2时，t=2.

cos

2xdx=tcostdttdsint

tsintsintdt2sin2cost

2

2

20

=2sin2-cos2+1

3．计算定积分 0e4. 0sin

3

3

dx

xdx

三.全微分及隐函数偏导数计算 1.全微分:zfx,y,dzzdxzdy

x

y

2.隐函数偏导数;设fx,y,z0,zx,zFy

x

F

z

y

F

z

例题讲解

1．求由方程sin3xsin3ysin3z1.所确定的函数z=f(x,y)的全微分。

解：两边微分得：d(sin3xsin3ysin3z)0 dsin3xdsin3ydsin3z0

3sin2xcosxdx+3sin2ycosydy+3sin2zcoszdz=0 dz2

2

xcosxzcosz

sin

dx

cosydy

sinzcosz

2

2

解法2：Fx,y,zsin3xsin3ysin3x`1

Fx3sin2xcosx

Fy3sinycosy

2

Fz3sinzcosz

2

xcosx

∴zx2 xFzsinzcoszzFyycosy 2yFzsinzcosz

2

2

xcosxcosyzzdxdy dzdxdy=22

xysinzcoszsinzcosz

22

2

2．求函数ulnxy

2

2

z的全微分。 

解法1；u

x

2x

xyz

2

2

u

， 2

x2y

2y

xyz

2

2

u

， 2

x2z

2z

xyz

2

2

2

∴ du=

2x

xyz

2

2

dx+2

xyz

2

2

dy+2

xyz

2

2

2

dz

四.二重积分计算

1.作出积分区域图并判别其形态，（X-型，Y-型） 2．把二重点积分列成二次积分。 3．计算二次积分。 1；计算二重积分。

xed,D:0x1,0y1

xy

D

xeddxxedy

D

xy

11

xy

=0dx0exydxy =

11

e

10

xy

dx

10



1

e1dx

x

=ex



x

e1

10

2．计算二重积分。

66y2x2d,D是由yx2与yx围成的区域。

D

解： 66y2xd60dx

2

1

D

6y2xdy=6x

x

2

2

3y2xy1

2

2

x

2

x

dx

1453=63x2x5xdx=6xxx=3 2

1

2

3

4

3．计算二重积分。

xed,D:0x1,0y1

y

D

五.用比值法及根值法判别级数收敛性 比值法：如果limn1r

n

u

n

①．r＜1.级数un收敛。



②

1

r≥1.级数un发散。



1.判断级数的敛散性。

n!

n

n2．用根值法判断级数的敛散性。 5n1

1

n

3.判断级数n!的敛散性。

1



7

六.求幂级数的和函数 已知收敛幂级数的和函数 1．xn1xx2xn

0

1

,x1,1 1x

n1

2．1



n1

x

n

1xx

2

1

x

n



11x

3．x2n1xx3x5x2n1



x1x

n

2



x1x

2

4．1x

n



2n1

xxx

35

1x

2n1

1．求幂级数2n1x2n2的和函数。

1

解：设sx2n1x2n213x25x42n1x2n2

1





x

Sxdx

x1

2n1x

2n2

dx2n1x

1

1



x

2n2

dxx

1



2n1

=xx3x5

x1x

2

2

x12221Sx221x1x21x2

2

2.求幂级数n1x的和函数。

0

n

解：设sxn1xn12x3x2n1xn



两边积分得：



x

Sxdxn1xdx0n1x0

n

1

x



x

n

dxx



n1

xxx

2n

x

1x

x

两边求导得：Sx

1x

1

n

1x1

2

3. 求幂级数n1x的和函数。 解：设sxn1xn2x3x2n1xn

1

两边积分得：

Sxdxn1xdxn1xdxx

n

n

1

1

1

x

x



x



n1

xx

2n

1x

2



22x1x212x2

22 两边求导得：Sx

1x

1x1x