阿基米德三角形的性质
切线方程：
1.过抛物线y2=2px上一点M(x0,y0)的切线方程为：y0y=p(x+x0)
2.过抛物线y2=-2px上一点M(x0,y0)的切线方程为：y0y=-p(x+x0)
3.过抛物线x2=2py上一点M(x0,y0)的切线方程为：x0x=p(y+y0)
4.过抛物线x2=-2py上一点M(x0,y0)的切线方程为：x0x=-p(y+y0) 性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.
证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M为弦AB的中点，则过A的切线方程为y1y=p(x+x1)，过B
，解得两切线交点的切线方程为2y2y=p(x+x2)，联立方程，y12=2px1，y2=2px2
Q(y1y2y1+y2,) 2p2
性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线
性质3：.抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹
性质4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点
a3
性质5：底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为 8p
性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p
性质7：在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB
性质8：抛物线上任取一点I（不与A,B重合），过I作抛物线切线交QA，QB于S,T，则∆QST的垂心在准线上 性质9：AF⋅BF=QF
性质10：QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行
性质11：在性质8中，连接AI,BI，则∆ABI的面积是∆QST面积的2倍 22
1.如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，M为 直线y=-2p
上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B
（Ⅰ）求证：A,B,M三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为(2,-
2p)时，AB=抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛
物线x=2py(p＞0)上，其中，点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出2
所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2.设点p(x0,y0)在直线x=m(y≠±m,0
曲线x2-y2=1的两条切线PA,PB，切点为A,B，定点
M(1,0)． m
（1）求证：三点A,B,M共线．
（2）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求∆AMN的
重心G所在曲线方程．
阿基米德三角形的性质
切线方程：
1.过抛物线y2=2px上一点M(x0,y0)的切线方程为：y0y=p(x+x0)
2.过抛物线y2=-2px上一点M(x0,y0)的切线方程为：y0y=-p(x+x0)
3.过抛物线x2=2py上一点M(x0,y0)的切线方程为：x0x=p(y+y0)
4.过抛物线x2=-2py上一点M(x0,y0)的切线方程为：x0x=-p(y+y0) 性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.
证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M为弦AB的中点，则过A的切线方程为y1y=p(x+x1)，过B
，解得两切线交点的切线方程为2y2y=p(x+x2)，联立方程，y12=2px1，y2=2px2
Q(y1y2y1+y2,) 2p2
性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线
性质3：.抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹
性质4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点
a3
性质5：底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为 8p
性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p
性质7：在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB
性质8：抛物线上任取一点I（不与A,B重合），过I作抛物线切线交QA，QB于S,T，则∆QST的垂心在准线上 性质9：AF⋅BF=QF
性质10：QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行
性质11：在性质8中，连接AI,BI，则∆ABI的面积是∆QST面积的2倍 22
1.如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，M为 直线y=-2p
上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B
（Ⅰ）求证：A,B,M三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为(2,-
2p)时，AB=抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛
物线x=2py(p＞0)上，其中，点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出2
所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2.设点p(x0,y0)在直线x=m(y≠±m,0
曲线x2-y2=1的两条切线PA,PB，切点为A,B，定点
M(1,0)． m
（1）求证：三点A,B,M共线．
（2）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求∆AMN的
重心G所在曲线方程．