第3卷 第2期 蒙自师范高等专科学校学报 Vol.3 No.2 2001年4月
JournalofMengziTeachers.College
Apr.2001
简谐振动运动方程的推导
蔡 群1 刘 燕2
(1)蒙自师范高等专科学校物理系,云南蒙自661100;
2)云南师范大学物理系,云南昆明650031)
X
摘 要: 本文从不同的物理角度,导出了简谐振动的运动方程.
关 键 词: 简谐振动;弹簧振子;单摆;微分方程
中图分类号: O32 文献标识码: A 文章编号: 1008-9128(2001)02-0004-03
关于简谐振动,许多文献[1]~
[6]
总是直接给后得
v=
=dt令:
2x2E
2
-x=mm=
2
(1-x)
m2E
出简谐振动的运动方程,如:弹簧振子直接给出x=ACos(Xt+U0);单摆直接给出H=ACos(Xt+U0)等.本文根据简谐振动的物理意义应用机械能守恒定律及牛顿第二运动定律,分别推出以上两个运动方程式,希望以此与同行共讨.
dt,,(1)m
x=-CosU,,(2)1 应用机械能守恒定律
1.1弹簧振子:
对于弹簧振子是忽略任何阻力的理想情况,在整个运动过程中机械能守恒,其势能曲线如图.图中E=Ek+Ep E表示总机械能,Ek表示振动动能,Ep表示弹性势能.
22
可写为:2mv+2kx=E(v表示物体的振动速度,x表示物体离开平衡位置的位移)变形
X收稿日期:2000-11-05
),,,图
(2)式两边平方有:x2=Cos2U,,(3)
2ESinUdU,,(4)k
(3)(4)两式代入(1)式后化简:(2)式微分dx=
第2期 蔡 群:简谐振动运动方程的推导5
dt,,(5)m
设初始条件t=0,U=U0+P,(5)式求定积dU=
U
dt,,(11)L
设初始条件to=0,U=U0+P,(11)式求定积dU=分
QdU=QU+P0
t
分UQdU=Q+P0
dt,U=t+U0+Pm
Ut
将U值代入(2)式x=-=
Cos(k
Cos(k
t+U0+P)m
dtL
t+U0),,(6)m
Lt+U0+P,,(12)(12)式代入(8)式U=H=-=
Cos(令A=
Cos(0)Lt+U
代入(13)式可得到Lt+U0+P)L
令A= X=代入(6)式
km
可得到弹簧振子的运动方程:x=ACos(Xt+U0)的形式.
1.2单摆:
对于单摆也是在忽略阻力的理想情况,整个实验过程机械能守恒.其势能曲线与1.1中图相同.同样Ep+Ek=E,,(1)
用H表示摆角,L表示摆长.2mv=mL()2,,(2)22dtEp=mgL(1-CosH),,(3)Ek=
CosH用泰勒级数展开,H角很小,可忽略高次项,
2
CosH=1-,,(4)
2
,X=单摆的运动方程
H=ACos(Xt+U0)的形式.
2 应用牛顿第二运动定律
2.1弹簧振子:
物体m总是受到回复力f的作用,根据胡克定律及牛顿第二运动定律得-kx=m,并
dt设X2=,可得二阶常系数线性齐次微分方程
m+X2x=0,,(1)dt方程(1)的特征方程为:r2+X2=0它有两个复根r=?iX
方程(1)式的两个特解为x1=e
+iXt
-iXt
iXt
2
2
(4)式代入(3)式Ep=mgL,,(5)
2
(2)(5)两式代入(1)式
222
mL()+mgLH=E,,(6)2dt2(6)式变形后=dt令
2
),,(7)2(1-2E2
,x2==e
其通解为:x=C1e+
(C1,C2为常数)
根据欧拉公式
+C2e-
iXt
,,(2)
2E=-CosU,,(8)
2
(8)式平方H=Cos2U,,(9)
2ESinUdU,,(10)(((8)式微分dH=
x
e(A?iB)x=(CosBx?iSinBx)eA
有e
?iXx
=CosXt?iSinXt代入(2)式
x=(C1+C2)CosXt+C1-C2)iSinXtX
6蒙自师范高等专科学校学报 第3卷
=+
A21+
1+A2(
A1
1+A2
CosXt3 结束语
本文从机械能守恒定律和牛顿第二运动定律出发,分别讨论了弹簧振子及单摆两种简谐振动的运动方程,两种方法各有千秋,但均有普适性,所以其它简谐振动(如:复摆、扭摆)的运
A2
SinU0
动方程也可用同样方法获得.
参考文献:
[1] 梁绍荣.刘昌年.盛正华.普通物理学[M].第一分
册.力学.北京:高等教育出版社,1995.299-303.[2] 顾建中.力学教程[M].北京:高等教育出版社,
1985.150-162.
[3] 孙庆元.力学[M].青岛:海洋出版社,1992.197-
A2
Xt),,(3)
(A1=C1+C2,A2=C1-C2为常数)令A==
A21+A2代入(3)式得
x=A(CosU0CosXt+SinUt)0SinX
根据三角函数和角公式,同样得到弹簧振子的运动方程x=ACos(Xt+U0)
1+A2
CosU0=
A11+
2.2单摆
物体m受重力mg及拉力T作用在平衡位置附近振动.根据牛顿第二运动定律有:
dt2
SinH用泰勒级数展开,因H[5b,忽略高次-mgSinH=mL项SinH=H代入上式
22
令X= 有=0=-+XHLLdtdt同2.1中解此微分方程可得单摆运动方程H=ACos(Xt+U0)
2
2
2
210.
[4] 马文蔚.柯景凤.物理学[M].下册.北京:高等教
育出版社,1982.1-18.
[5] 刘克哲.普通物理学[M].北京:高等教育出版社,
1994.114-124.
[6] 祝之光.物理学[M].下册.北京:高等教育出版
社,1988.381-385.
[7] 四川大学数学系.高等数学教研组编.高等数学第
一册[M].北京:人民教育出版社,1978.228-232.[8] 赵凯华.罗蔚茵.力学[M].北京:高等教育出版
社,1995.125-129.
DerivationofSimpleHarmonicMotionEquation
CAI qun1 LIU Yan2
(DepartmentofPhysics,MengziTechers.College,Mengzi661100China;2)DepartmentofPhysics,YunnanNormalUniversity,Kunming650031China)
Abstract:Thispaperderivesthesimpleharmonicmotionequationformthedifferentphysicalmeaning. Keywords:SimpleHarmonicMotion,SpringVibrator,SimplePendulum,Differentialeqution.
第3卷 第2期 蒙自师范高等专科学校学报 Vol.3 No.2 2001年4月
JournalofMengziTeachers.College
Apr.2001
简谐振动运动方程的推导
蔡 群1 刘 燕2
(1)蒙自师范高等专科学校物理系,云南蒙自661100;
2)云南师范大学物理系,云南昆明650031)
X
摘 要: 本文从不同的物理角度,导出了简谐振动的运动方程.
关 键 词: 简谐振动;弹簧振子;单摆;微分方程
中图分类号: O32 文献标识码: A 文章编号: 1008-9128(2001)02-0004-03
关于简谐振动,许多文献[1]~
[6]
总是直接给后得
v=
=dt令:
2x2E
2
-x=mm=
2
(1-x)
m2E
出简谐振动的运动方程,如:弹簧振子直接给出x=ACos(Xt+U0);单摆直接给出H=ACos(Xt+U0)等.本文根据简谐振动的物理意义应用机械能守恒定律及牛顿第二运动定律,分别推出以上两个运动方程式,希望以此与同行共讨.
dt,,(1)m
x=-CosU,,(2)1 应用机械能守恒定律
1.1弹簧振子:
对于弹簧振子是忽略任何阻力的理想情况,在整个运动过程中机械能守恒,其势能曲线如图.图中E=Ek+Ep E表示总机械能,Ek表示振动动能,Ep表示弹性势能.
22
可写为:2mv+2kx=E(v表示物体的振动速度,x表示物体离开平衡位置的位移)变形
X收稿日期:2000-11-05
),,,图
(2)式两边平方有:x2=Cos2U,,(3)
2ESinUdU,,(4)k
(3)(4)两式代入(1)式后化简:(2)式微分dx=
第2期 蔡 群:简谐振动运动方程的推导5
dt,,(5)m
设初始条件t=0,U=U0+P,(5)式求定积dU=
U
dt,,(11)L
设初始条件to=0,U=U0+P,(11)式求定积dU=分
QdU=QU+P0
t
分UQdU=Q+P0
dt,U=t+U0+Pm
Ut
将U值代入(2)式x=-=
Cos(k
Cos(k
t+U0+P)m
dtL
t+U0),,(6)m
Lt+U0+P,,(12)(12)式代入(8)式U=H=-=
Cos(令A=
Cos(0)Lt+U
代入(13)式可得到Lt+U0+P)L
令A= X=代入(6)式
km
可得到弹簧振子的运动方程:x=ACos(Xt+U0)的形式.
1.2单摆:
对于单摆也是在忽略阻力的理想情况,整个实验过程机械能守恒.其势能曲线与1.1中图相同.同样Ep+Ek=E,,(1)
用H表示摆角,L表示摆长.2mv=mL()2,,(2)22dtEp=mgL(1-CosH),,(3)Ek=
CosH用泰勒级数展开,H角很小,可忽略高次项,
2
CosH=1-,,(4)
2
,X=单摆的运动方程
H=ACos(Xt+U0)的形式.
2 应用牛顿第二运动定律
2.1弹簧振子:
物体m总是受到回复力f的作用,根据胡克定律及牛顿第二运动定律得-kx=m,并
dt设X2=,可得二阶常系数线性齐次微分方程
m+X2x=0,,(1)dt方程(1)的特征方程为:r2+X2=0它有两个复根r=?iX
方程(1)式的两个特解为x1=e
+iXt
-iXt
iXt
2
2
(4)式代入(3)式Ep=mgL,,(5)
2
(2)(5)两式代入(1)式
222
mL()+mgLH=E,,(6)2dt2(6)式变形后=dt令
2
),,(7)2(1-2E2
,x2==e
其通解为:x=C1e+
(C1,C2为常数)
根据欧拉公式
+C2e-
iXt
,,(2)
2E=-CosU,,(8)
2
(8)式平方H=Cos2U,,(9)
2ESinUdU,,(10)(((8)式微分dH=
x
e(A?iB)x=(CosBx?iSinBx)eA
有e
?iXx
=CosXt?iSinXt代入(2)式
x=(C1+C2)CosXt+C1-C2)iSinXtX
6蒙自师范高等专科学校学报 第3卷
=+
A21+
1+A2(
A1
1+A2
CosXt3 结束语
本文从机械能守恒定律和牛顿第二运动定律出发,分别讨论了弹簧振子及单摆两种简谐振动的运动方程,两种方法各有千秋,但均有普适性,所以其它简谐振动(如:复摆、扭摆)的运
A2
SinU0
动方程也可用同样方法获得.
参考文献:
[1] 梁绍荣.刘昌年.盛正华.普通物理学[M].第一分
册.力学.北京:高等教育出版社,1995.299-303.[2] 顾建中.力学教程[M].北京:高等教育出版社,
1985.150-162.
[3] 孙庆元.力学[M].青岛:海洋出版社,1992.197-
A2
Xt),,(3)
(A1=C1+C2,A2=C1-C2为常数)令A==
A21+A2代入(3)式得
x=A(CosU0CosXt+SinUt)0SinX
根据三角函数和角公式,同样得到弹簧振子的运动方程x=ACos(Xt+U0)
1+A2
CosU0=
A11+
2.2单摆
物体m受重力mg及拉力T作用在平衡位置附近振动.根据牛顿第二运动定律有:
dt2
SinH用泰勒级数展开,因H[5b,忽略高次-mgSinH=mL项SinH=H代入上式
22
令X= 有=0=-+XHLLdtdt同2.1中解此微分方程可得单摆运动方程H=ACos(Xt+U0)
2
2
2
210.
[4] 马文蔚.柯景凤.物理学[M].下册.北京:高等教
育出版社,1982.1-18.
[5] 刘克哲.普通物理学[M].北京:高等教育出版社,
1994.114-124.
[6] 祝之光.物理学[M].下册.北京:高等教育出版
社,1988.381-385.
[7] 四川大学数学系.高等数学教研组编.高等数学第
一册[M].北京:人民教育出版社,1978.228-232.[8] 赵凯华.罗蔚茵.力学[M].北京:高等教育出版
社,1995.125-129.
DerivationofSimpleHarmonicMotionEquation
CAI qun1 LIU Yan2
(DepartmentofPhysics,MengziTechers.College,Mengzi661100China;2)DepartmentofPhysics,YunnanNormalUniversity,Kunming650031China)
Abstract:Thispaperderivesthesimpleharmonicmotionequationformthedifferentphysicalmeaning. Keywords:SimpleHarmonicMotion,SpringVibrator,SimplePendulum,Differentialeqution.