1 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A
点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?
B
C A
2 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5
A
B
B3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
AC
DC′
B4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•
为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•
AD
E
B
5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）． A．3 B．4 C
6．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
B
E
C
D．5
A
D
7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为
第七题 第八题
8、如图，在矩形ABCD中，AB=6,将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C'处，若
AE：BE=1：2，则折痕EF的长为 。
9、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则EB∶CE＝_________． 10、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45o，把△ADC沿AD对折，点C落在C´的位置，若BC＝2，则BC´＝_________． C A B
A F
E
题9图
11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
D C
B
C
D 图1
E
A
9013、如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:DC=1:2，
折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC
的长。
D
C
14．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
2222
A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm 16、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。
A
D
C
第14题图
F
18．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
①能.设AP＝x米，由于BP2＝16+x2，CP2＝16+(10－x)2，而在Rt△PBC中，有BP2+ CP2＝BC2，即16+x2+16+(10－x)2＝100，所以x2－10x+16＝0，即(x－5)2＝9，所以x－5＝±3，所以x＝8，x＝2，即AP＝8或2，②能.仿照①可求得AP＝4.
图
8
19.如图△ABC中，∠ACB=90︒,AC=12,BC=5,AN=AC,BM=BC则MN= 4
20、※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）
（A2d （Bd （C）2d （D）d
P,P,21※．在∆ABC中,AB=AC=1,BC边上有2006个不同的点12
记
2
mi=AP,2,i+BPi⋅PCi(i=1
P2006,
2006)
,则
m1+m2+
m2006=_____.
22※．如图所示，在Rt∆ABC中,∠BAC=90︒,AC=AB,∠DAE=45︒,且BD=3,
CE=4,求DE的长
24、※如图在Rt△ABC中,∠C=90︒,AC=4,BC=3，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）
25．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水
厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。
E
B C P F
第27题图
第26题图
26．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，
AC和BC的距离分别等于27．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2－AP2=PB×PC。
222
28、如图，已知：∠C=90︒，AM=CM，MP⊥AB于P．求证： BP=AP+BC．
B
P
C
M
A
小河
29．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
31．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米
处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
32．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?
33．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
34．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：
AE2＋BF2＝EF2．
1CB435．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF
⊥FE．
36．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．
37．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
38．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长
?
39、a、b为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a2－b2、a2+b2的三角形是直角三角形
22
(a+b)=c+2ab,则这个三角形是( ) 40. 三角形的三边长为
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
41.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
D
A
C
B
第24题图
44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取 值范围是（ ）．
A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
45如图，已知：
，
，
于P. 求证：
.
思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在
而在
∴ 又∵
∴ 在
， （已知），
.
中，根据勾股定理有
.
中，则根据勾股定理有
.
中，
∴.
47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．
解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米， CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
48、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，
∴ AB＝
AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 （一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
49、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 50 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。
求证：DE2=AD2+BE2。
E
分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。
51 如图，在△A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。
D
答案12。
52 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是
。
E
设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3， S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10
53 在△ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长. 答案25或7
A54 在△A BC
所在直线上一点，若
，求△
ABC的面积。 答案84或36 CD
55. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？为什么？
56. 在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，则△ABC是否为直角三角形？为什么？
注意BC、AC、AB的大小关系。AB＜BC＜AC。
AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。
58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放进去吗？请说明理由。
59. 已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？
222a+b=(a+b)-2ab 答案： 是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）
=17-2⨯60=169=c。 22
1
60. 如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F，使BF=4AB，那么FE与FA 相等吗？为什么？
61. 如图，∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4，CD=6，求AB的长。
62．如图，∠xoy=60°，M是∠xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。
. 过点Ｄ作ＦＥ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ，交ＢＣ的平行线ＡＦ于Ｆ点。 ＡＢ＝ＥＦ，ＤＥ＝3，ＣＥ＝３（在直角三角形中，３０°角所对的边＝斜边的一半）， ∴ＡＦ＝
AF
ＢＥ＝７。在Ｒt△ＡＤＦ中，ＦＤ＝3=7
3=73
3
33+
∴ＡB=DE+FD=716=33
答案. 延长ＡＭ交oy于Ｍ′，ＭＭ′＝２２ ∴ＡＭ′＝２４ ＯＢ＝ＯＭ′－Ｍ′Ｂ ＝-3=5 ∴在Ｒt△ＯＭＢ中，ＯＭ＝OB+BM
如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
AC22=14 GDEB
1 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A
点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?
B
C A
2 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5
A
B
B3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
AC
DC′
B4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•
为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•
AD
E
B
5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）． A．3 B．4 C
6．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
B
E
C
D．5
A
D
7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为
第七题 第八题
8、如图，在矩形ABCD中，AB=6,将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C'处，若
AE：BE=1：2，则折痕EF的长为 。
9、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则EB∶CE＝_________． 10、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45o，把△ADC沿AD对折，点C落在C´的位置，若BC＝2，则BC´＝_________． C A B
A F
E
题9图
11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
D C
B
C
D 图1
E
A
9013、如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:DC=1:2，
折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC
的长。
D
C
14．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
2222
A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm 16、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。
A
D
C
第14题图
F
18．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
①能.设AP＝x米，由于BP2＝16+x2，CP2＝16+(10－x)2，而在Rt△PBC中，有BP2+ CP2＝BC2，即16+x2+16+(10－x)2＝100，所以x2－10x+16＝0，即(x－5)2＝9，所以x－5＝±3，所以x＝8，x＝2，即AP＝8或2，②能.仿照①可求得AP＝4.
图
8
19.如图△ABC中，∠ACB=90︒,AC=12,BC=5,AN=AC,BM=BC则MN= 4
20、※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）
（A2d （Bd （C）2d （D）d
P,P,21※．在∆ABC中,AB=AC=1,BC边上有2006个不同的点12
记
2
mi=AP,2,i+BPi⋅PCi(i=1
P2006,
2006)
,则
m1+m2+
m2006=_____.
22※．如图所示，在Rt∆ABC中,∠BAC=90︒,AC=AB,∠DAE=45︒,且BD=3,
CE=4,求DE的长
24、※如图在Rt△ABC中,∠C=90︒,AC=4,BC=3，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）
25．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水
厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。
E
B C P F
第27题图
第26题图
26．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，
AC和BC的距离分别等于27．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2－AP2=PB×PC。
222
28、如图，已知：∠C=90︒，AM=CM，MP⊥AB于P．求证： BP=AP+BC．
B
P
C
M
A
小河
29．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
31．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米
处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
32．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?
33．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
34．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：
AE2＋BF2＝EF2．
1CB435．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF
⊥FE．
36．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．
37．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
38．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长
?
39、a、b为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a2－b2、a2+b2的三角形是直角三角形
22
(a+b)=c+2ab,则这个三角形是( ) 40. 三角形的三边长为
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
41.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
D
A
C
B
第24题图
44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取 值范围是（ ）．
A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
45如图，已知：
，
，
于P. 求证：
.
思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在
而在
∴ 又∵
∴ 在
， （已知），
.
中，根据勾股定理有
.
中，则根据勾股定理有
.
中，
∴.
47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．
解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米， CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
48、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，
∴ AB＝
AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 （一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
49、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 50 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。
求证：DE2=AD2+BE2。
E
分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。
51 如图，在△A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。
D
答案12。
52 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是
。
E
设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3， S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10
53 在△ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长. 答案25或7
A54 在△A BC
所在直线上一点，若
，求△
ABC的面积。 答案84或36 CD
55. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？为什么？
56. 在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，则△ABC是否为直角三角形？为什么？
注意BC、AC、AB的大小关系。AB＜BC＜AC。
AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。
58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放进去吗？请说明理由。
59. 已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？
222a+b=(a+b)-2ab 答案： 是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）
=17-2⨯60=169=c。 22
1
60. 如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，延长AB到F，使BF=4AB，那么FE与FA 相等吗？为什么？
61. 如图，∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4，CD=6，求AB的长。
62．如图，∠xoy=60°，M是∠xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。
. 过点Ｄ作ＦＥ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ，交ＢＣ的平行线ＡＦ于Ｆ点。 ＡＢ＝ＥＦ，ＤＥ＝3，ＣＥ＝３（在直角三角形中，３０°角所对的边＝斜边的一半）， ∴ＡＦ＝
AF
ＢＥ＝７。在Ｒt△ＡＤＦ中，ＦＤ＝3=7
3=73
3
33+
∴ＡB=DE+FD=716=33
答案. 延长ＡＭ交oy于Ｍ′，ＭＭ′＝２２ ∴ＡＭ′＝２４ ＯＢ＝ＯＭ′－Ｍ′Ｂ ＝-3=5 ∴在Ｒt△ＯＭＢ中，ＯＭ＝OB+BM
如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
AC22=14 GDEB