福建省2017年中考数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．3的相反数是（ ） A ．-3 B．【答案】A
C． D．3
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，因此3的相反数是-3；故选A. 2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）
A ．
B．
C． D．
【答案】B
【解析】从左边看可以看到两个小正方形摞在一起，故选B. 3．用科学计数法表示136 000，其结果是（ ） A ．【答案】B
【解析】13600=1.36³10，故选B. 4．化简A ．
的结果是（ ）
C．
D．
5
B． C． D．
B．
【答案】C
【解析】（2x ）=4x；故选C.
5．下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）
2
2
A ．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形 B ．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D ．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 【答案】A
点睛：本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，能正确地区分是解题的关键.
6．不等式组：A ．
【答案】A
的解集是（ ）
C．
D．
B．
【解析】由①得x ≤2，由②得x>-3，所以解集为：-3
7．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）
A ．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15 【答案】D
【解析】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D. 8．如图，
是
的直径，
是
上位于
异侧的两点．下列四个角中，一定与
互余的角是（ ）
A ．【答案】D
B． C． D．
【解析】∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B ，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D. 9．若直线是（ ）
A ．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C
经过点
和
，且
，则的值可以
10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段转，分别得到线段
和点
，则点
和点绕着同一个点做相同的旋
所在的单位正方形区域是（ ）
A ．1区 B．2区 C．3区 D．4区 【答案】D
【解析】如图，根据题意可得旋转中心O ，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P 的对应点落在了4区，故选D.
点睛：本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共６小题，每小题４分，共２４分． 11．计算【答案】1
【解析】原式=2-1=1.
．
12．如图，的长等于．
中，分别是的中点，连线，若，则线段
【答案】6
【解析】∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴BC=2EF=6.
13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是是．
【答案】红球（或红色的）
，那么添加的球
14．已知图所示．若
是数轴上的三个点，且
，则点
在的右侧．点表示的数分别是1，3，如
表示的数是．
【答案】7
【解析】∵AB=2，BC=2AB ，∴BC=4， 3+4=7，故点C 表示的数是7. 15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点所示，则
等于度．
，其摆放方式如图
【答案】108
【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
16． 已知矩形则矩形【答案】
7.5
的四个顶点均在反比例函数
的图象上，且点A 的横坐标是2，
的面积为．
点睛：本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x 对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称中心是原点，并能应用图形的对称性解决问题是关键.
三、解答题 ：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． 先化简，再求值：
，其中
．
【答案】【解析】
，.
试题分析：先通分计算括号内的，然后再利用分式的乘除法进行计算，最后代入求值即可. 试题解析：原式=
，
当a=-1时，原式==.
18． 如图，点在一条直线上，．求证：．
【答案】证明见解析. 【解析】
19．如图，别交
于
中，，
两点；并证明
，垂足为
．求作
的平分线，分
．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法)
【答案】作图见解析；证明见解析. 【解析】
试题分析：按作图方法作出角平分线BQ ，然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠ AQP,从而证得AP=AQ.
试题解析：作图如下，BQ 就是所求作的∠ABC 的平分线，P 、Q 就是所求作的点.
证明如下：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°，∵∠ABQ=∠PBD ，∴∠BPD=∠AQP ，∵∠BPD=∠APQ ，∴∠APQ=∠ AQP,∴AP=AQ.
20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：
“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一
共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
【答案】鸡有23只，兔有12只. 【解析】
21．如图，四边形
．
内接于，是的直径，点在的延长线上，
的长； ，
，求证：
是
的切线．
（Ⅰ）若（Ⅱ）若弧【答案】（Ⅰ）【解析】
，求弧弧
的长 =π；（Ⅱ）证明见解析.
试题分析：（Ⅰ）连接OC ，OD ，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得； （Ⅱ）由
=
，可得∠BOC=∠AOD ，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得
∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD ，由∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O 的切线.
试题解析：（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=
AB=2，∴
的长=
=π；
22．小明在某次作业中得到如下结果：
， ，
， ，
．
据此，小明猜想：对于任意锐角（Ⅰ）当
时，验证
，均有
是否成立；
．
（Ⅱ）小明的猜想是否成立? 若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． 【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）成立，当
时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；
（Ⅱ）成立，如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证. 试题解析：（Ⅰ）当
时，
=sin30°+sin 60°=
2
2
= =1，所以成立；
（Ⅱ）小明的猜想成立. 证明如下：
如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α， sin α+sin （90°-α）=
2
2
=1
23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A 品牌共享单车的意愿，得到如下数据： （Ⅰ）写出
的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A 品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A 品牌共享单车能否获利? 说明理由． 【答案】（Ⅰ）a=1.2，b=1.4；（Ⅱ）不能获利，理由见解析； 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据调整后的收费歀：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费通过计算即可得a=1.2，b=1.4；
（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A 品牌共享单车的平均车费 为：³（0³5+0.5³15+0.9³10+1.2³30+1.4³25+1.1³15）=1.1（元），
所以估计该校5000名师生一天使用A 品牌共享单车的总车费为：5000³1.1=5500（元）， 因为5500
24．如图，矩形
为矩形． 中，，分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若是等腰三角形时，求，求的长． 的长；
【答案】（Ⅰ）AP 的长为4或5或
【解析】 ；（Ⅱ）CF=
试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；
（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，通过证明△ADP ∽△CDF ，从而得
，由AP= ，从而可得CF=.
试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC=
=10；
要使△PCD 是等腰三角形，有如下三种情况：
（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；
（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD ，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA ，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP= ，即AP=5；
（3）当DP=DC时，过D 作DQ ⊥AC 于Q ，则PQ=CQ，∵S △ADC = AD²DC= AC²DQ ，∴DQ=
，∴CQ= ，∴PC=2CQ =, ∴AP=AC-PC=.
综上所述，若△PCD 是等腰三角形，AP 的长为4或5或；
（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，
点睛：本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，能正确地分情况进行讨论是判定△PCD 要等腰三角形的关键.
25．已知直线
（Ⅰ）求抛物线顶点与抛物线 ，且． 有一个公共点的坐标（用含的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为
（ⅰ）若，求线段． 长度的取值范围；
（ⅱ）求面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q 的坐标为（-，-）；（Ⅱ）理由见解析；
（Ⅲ）（i ）5
【解析】 ≤MN ≤7. （ii ）△QMN 面积的最小值为.
试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M （1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax+ax+b=ax+ax-2a配方得y=a(x+) -222, 从而可得抛物线顶点Q 的坐标为（-，-）.
（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M （1，0），可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax+ax-2a，可得ax +（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点. 22
（ii ）作直线x=-交直线y=2x-2于点E ，得 E（-，-3），
从而可得△QMN 的面积S=S△QEN +S△QEM = ，即27a +(8S-54)a+24=0，（*）
2
因为关于a 的方程（*）有实数根，从而可和S ≥ ，继而得到面积的最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为抛物线过点M （1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以
y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(x+22) -2, 所以抛物线顶点Q 的坐标为（-，-）. （Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M （1，0），所以0=2³1+m，解得m=-2.
把y=2x-2代入y=ax+ax-2a，得ax +（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△
=(a-2)-4a(-2a+2)=9a-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a0，所以△>0，所以方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点. 2222
（ii ）作直线x=-交直线y=2x-2于点E ，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E （-，-3）， 又因为M （1，0），N （-2，-6），且由（Ⅱ）知a
所以△QMN 的面积S=S△QEN +S△QEM =
即27a +(8S-54)a+24=0，（*） = ， 2
因为关于a 的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）-4³27³24≥0，即（8S-54）≥（36
），
又因为a, 所以8S-54>0，所以8S-54>0，
222
所以8S-54≥36，即S ≥ ，
当S=时，由方程（*）可得a=-满足题意.
故当a=-，b =时，△QMN 面积的最小值为.
点睛：本题考查的二次函数的综合问题，能正确地应用待定系数法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等是解决本题的关键.
福建省2017年中考数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．3的相反数是（ ） A ．-3 B．【答案】A
C． D．3
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，因此3的相反数是-3；故选A. 2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）
A ．
B．
C． D．
【答案】B
【解析】从左边看可以看到两个小正方形摞在一起，故选B. 3．用科学计数法表示136 000，其结果是（ ） A ．【答案】B
【解析】13600=1.36³10，故选B. 4．化简A ．
的结果是（ ）
C．
D．
5
B． C． D．
B．
【答案】C
【解析】（2x ）=4x；故选C.
5．下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）
2
2
A ．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形 B ．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D ．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 【答案】A
点睛：本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，能正确地区分是解题的关键.
6．不等式组：A ．
【答案】A
的解集是（ ）
C．
D．
B．
【解析】由①得x ≤2，由②得x>-3，所以解集为：-3
7．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）
A ．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15 【答案】D
【解析】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D. 8．如图，
是
的直径，
是
上位于
异侧的两点．下列四个角中，一定与
互余的角是（ ）
A ．【答案】D
B． C． D．
【解析】∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B ，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D. 9．若直线是（ ）
A ．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C
经过点
和
，且
，则的值可以
10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段转，分别得到线段
和点
，则点
和点绕着同一个点做相同的旋
所在的单位正方形区域是（ ）
A ．1区 B．2区 C．3区 D．4区 【答案】D
【解析】如图，根据题意可得旋转中心O ，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P 的对应点落在了4区，故选D.
点睛：本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共６小题，每小题４分，共２４分． 11．计算【答案】1
【解析】原式=2-1=1.
．
12．如图，的长等于．
中，分别是的中点，连线，若，则线段
【答案】6
【解析】∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴BC=2EF=6.
13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是是．
【答案】红球（或红色的）
，那么添加的球
14．已知图所示．若
是数轴上的三个点，且
，则点
在的右侧．点表示的数分别是1，3，如
表示的数是．
【答案】7
【解析】∵AB=2，BC=2AB ，∴BC=4， 3+4=7，故点C 表示的数是7. 15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点所示，则
等于度．
，其摆放方式如图
【答案】108
【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
16． 已知矩形则矩形【答案】
7.5
的四个顶点均在反比例函数
的图象上，且点A 的横坐标是2，
的面积为．
点睛：本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x 对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称中心是原点，并能应用图形的对称性解决问题是关键.
三、解答题 ：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． 先化简，再求值：
，其中
．
【答案】【解析】
，.
试题分析：先通分计算括号内的，然后再利用分式的乘除法进行计算，最后代入求值即可. 试题解析：原式=
，
当a=-1时，原式==.
18． 如图，点在一条直线上，．求证：．
【答案】证明见解析. 【解析】
19．如图，别交
于
中，，
两点；并证明
，垂足为
．求作
的平分线，分
．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法)
【答案】作图见解析；证明见解析. 【解析】
试题分析：按作图方法作出角平分线BQ ，然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠ AQP,从而证得AP=AQ.
试题解析：作图如下，BQ 就是所求作的∠ABC 的平分线，P 、Q 就是所求作的点.
证明如下：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°，∵∠ABQ=∠PBD ，∴∠BPD=∠AQP ，∵∠BPD=∠APQ ，∴∠APQ=∠ AQP,∴AP=AQ.
20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：
“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一
共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
【答案】鸡有23只，兔有12只. 【解析】
21．如图，四边形
．
内接于，是的直径，点在的延长线上，
的长； ，
，求证：
是
的切线．
（Ⅰ）若（Ⅱ）若弧【答案】（Ⅰ）【解析】
，求弧弧
的长 =π；（Ⅱ）证明见解析.
试题分析：（Ⅰ）连接OC ，OD ，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得； （Ⅱ）由
=
，可得∠BOC=∠AOD ，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得
∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD ，由∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O 的切线.
试题解析：（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=
AB=2，∴
的长=
=π；
22．小明在某次作业中得到如下结果：
， ，
， ，
．
据此，小明猜想：对于任意锐角（Ⅰ）当
时，验证
，均有
是否成立；
．
（Ⅱ）小明的猜想是否成立? 若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． 【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）成立，当
时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；
（Ⅱ）成立，如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证. 试题解析：（Ⅰ）当
时，
=sin30°+sin 60°=
2
2
= =1，所以成立；
（Ⅱ）小明的猜想成立. 证明如下：
如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α， sin α+sin （90°-α）=
2
2
=1
23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A 品牌共享单车的意愿，得到如下数据： （Ⅰ）写出
的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A 品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A 品牌共享单车能否获利? 说明理由． 【答案】（Ⅰ）a=1.2，b=1.4；（Ⅱ）不能获利，理由见解析； 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据调整后的收费歀：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费通过计算即可得a=1.2，b=1.4；
（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A 品牌共享单车的平均车费 为：³（0³5+0.5³15+0.9³10+1.2³30+1.4³25+1.1³15）=1.1（元），
所以估计该校5000名师生一天使用A 品牌共享单车的总车费为：5000³1.1=5500（元）， 因为5500
24．如图，矩形
为矩形． 中，，分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若是等腰三角形时，求，求的长． 的长；
【答案】（Ⅰ）AP 的长为4或5或
【解析】 ；（Ⅱ）CF=
试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；
（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，通过证明△ADP ∽△CDF ，从而得
，由AP= ，从而可得CF=.
试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC=
=10；
要使△PCD 是等腰三角形，有如下三种情况：
（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；
（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD ，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA ，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP= ，即AP=5；
（3）当DP=DC时，过D 作DQ ⊥AC 于Q ，则PQ=CQ，∵S △ADC = AD²DC= AC²DQ ，∴DQ=
，∴CQ= ，∴PC=2CQ =, ∴AP=AC-PC=.
综上所述，若△PCD 是等腰三角形，AP 的长为4或5或；
（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，
点睛：本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，能正确地分情况进行讨论是判定△PCD 要等腰三角形的关键.
25．已知直线
（Ⅰ）求抛物线顶点与抛物线 ，且． 有一个公共点的坐标（用含的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为
（ⅰ）若，求线段． 长度的取值范围；
（ⅱ）求面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q 的坐标为（-，-）；（Ⅱ）理由见解析；
（Ⅲ）（i ）5
【解析】 ≤MN ≤7. （ii ）△QMN 面积的最小值为.
试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M （1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax+ax+b=ax+ax-2a配方得y=a(x+) -222, 从而可得抛物线顶点Q 的坐标为（-，-）.
（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M （1，0），可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax+ax-2a，可得ax +（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点. 22
（ii ）作直线x=-交直线y=2x-2于点E ，得 E（-，-3），
从而可得△QMN 的面积S=S△QEN +S△QEM = ，即27a +(8S-54)a+24=0，（*）
2
因为关于a 的方程（*）有实数根，从而可和S ≥ ，继而得到面积的最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为抛物线过点M （1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以
y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(x+22) -2, 所以抛物线顶点Q 的坐标为（-，-）. （Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M （1，0），所以0=2³1+m，解得m=-2.
把y=2x-2代入y=ax+ax-2a，得ax +（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△
=(a-2)-4a(-2a+2)=9a-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a0，所以△>0，所以方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点. 2222
（ii ）作直线x=-交直线y=2x-2于点E ，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E （-，-3）， 又因为M （1，0），N （-2，-6），且由（Ⅱ）知a
所以△QMN 的面积S=S△QEN +S△QEM =
即27a +(8S-54)a+24=0，（*） = ， 2
因为关于a 的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）-4³27³24≥0，即（8S-54）≥（36
），
又因为a, 所以8S-54>0，所以8S-54>0，
222
所以8S-54≥36，即S ≥ ，
当S=时，由方程（*）可得a=-满足题意.
故当a=-，b =时，△QMN 面积的最小值为.
点睛：本题考查的二次函数的综合问题，能正确地应用待定系数法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等是解决本题的关键.