4.2.1直线与圆的位置关系教案

张喜林制

4. 2.1 直线与圆的位置关系

【教学目标】

１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．

【教学重难点】

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 【教学过程】

㈠情景导入、展示目标 问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？

教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？

学生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为

x2y29

轮船航线所在直线 l 的方程为

x2y80.

教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.

由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法： 方法一：代数法

x2y29

由直线与圆的方程，得： 消去y，得2x24x70,

x2y80

因为△(-4)242740＜0 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。 方法二：几何法

圆心（0，0）到直线x2y80的距离

d

0208

222



8853

5所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？ 让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法. ①代数法：

AxByC0

由方程组， 222

(xa)(yb)r

得mx2nx2p0(m0)，

n24mp

0,则方程组有两解,直线与圆相交；0，则方程组有一解，直线与圆相切；0，

则方程组无解，直线与圆相离. ②几何法：

直线与圆相交 ,则dr；直线与圆相切 ,则dr；直线与圆相离 ,则dr.

例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：

xy

2

2

4x6y120，判断直线和圆的

位置关系.

解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.

解:(法一)

联立方程组,消y得

2x20x430

因为

2



所以直线与圆相交.

(法二)

2042432160

2

将圆的方程化为

x2y3

2



2

5.

2

可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=2

所以直线与圆相交.

点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法. 变式1.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：解:将圆的方程化为

2

x

2

y4x6y120的位置关系.

2

2

x2y35.

2

可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=52>5, 所以直线与圆相离.

例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：

xy

2

2

2x4y0截得的弦ＡＢ的长．

解析:可以引导学生画图分析几何性质. 解:(法一) 将圆的方程化为

x1y25.

2



2

可得圆心Ｃ(1,2),半径r=5. 圆心到直线的距离

d

326

. 2

弦ＡＢ的长AB25(法二)

联立方程组,消y得

5

. 2

x

得

则

2

5x60

x2,x

1

2

3,

y

1

0,y3,

2

所以直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长

AB

(法三)

联立方程组,消y得

2303

2



2

.

x

2

5x60

根据一元二次方程根与系数的关系,有直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长

xx

1

2

5,x1x26.

2

AB

1kx1x24xx

 135462





12

22

点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.

㈣反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

【板书设计】

一．直线与圆的位置关系 (1)相交，两个交点；

(2)相切，一个交点； (3)相离，无交点. 二.实例的解决 方法一 方法二

三.判断直线与圆位置关系的方法 四.例题 例1 变式1 例2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

4.2.1 直线与圆的位置关系学案

课前预习学案

一．预习目标

回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法．

二．预习内容

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

一．学习目标

１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．

学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 二．学习过程 问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？ 1.如何建立直角坐标系？

2.根据直角坐标系写出直线和圆的方程.

3.怎样用方程判断他们的位置关系?

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？

例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：位置关系.

变式１.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：

x

2

y4x6y120，判断直线和圆的

2

x

2

y4x6y120的位置关系.

2

例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：

四．当堂检测

1．已知直线5x12ya0与圆x2xy0相切，则a的值为（ ） A．8 B．-18 C．－18或8 D．不存在

2．设直线2x3y10和圆xy2x30相交于点A、B，则弦AB的垂直平 分线方程是 .

2

22

2

xy

2

2

2x4y0截得的弦ＡＢ的长．

3．求经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y= -2x上的圆的方程．

参考答案:1.Ｃ 2．3x2y30 3．解：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2

2a21b2r2

ab1

由题意则有 r2

2

b2a

解得a=1，b=-2，r=2，故所求圆的方程为 （x-1）2+（y+2）2=2.

课后练习与提高

1．直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）

A

．1) B

．11) C

．(11) D

．1) 2.圆x2y24x0在点P(1,)处的切线方程为

A、xy20 B、xy40 C、x3y40 D、x3y20

3．若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l:axby

0的距离为

则直线l的倾斜角的取值范围是 ( )

5A.[,] B.[,] C.[,] D.[0,]

1241212263

4．设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB

的长为

a

5．已知圆C:(x5)2y2r2(r0)和直线l:3xy50. 若圆C与直线l没有公 共点，则r的取值范围是 . 6．已知圆

xy

2

2

8，定点P(4，0)，问过P点的直线斜率在什么范围内取值时，这条

直线与已知圆(1)相切？(2)相交？(3)相离？

张喜林制

4. 2.1 直线与圆的位置关系

【教学目标】

１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．

【教学重难点】

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 【教学过程】

㈠情景导入、展示目标 问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？

教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？

学生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为

x2y29

轮船航线所在直线 l 的方程为

x2y80.

教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.

由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法： 方法一：代数法

x2y29

由直线与圆的方程，得： 消去y，得2x24x70,

x2y80

因为△(-4)242740＜0 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。 方法二：几何法

圆心（0，0）到直线x2y80的距离

d

0208

222



8853

5所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？ 让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法. ①代数法：

AxByC0

由方程组， 222

(xa)(yb)r

得mx2nx2p0(m0)，

n24mp

0,则方程组有两解,直线与圆相交；0，则方程组有一解，直线与圆相切；0，

则方程组无解，直线与圆相离. ②几何法：

直线与圆相交 ,则dr；直线与圆相切 ,则dr；直线与圆相离 ,则dr.

例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：

xy

2

2

4x6y120，判断直线和圆的

位置关系.

解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.

解:(法一)

联立方程组,消y得

2x20x430

因为

2



所以直线与圆相交.

(法二)

2042432160

2

将圆的方程化为

x2y3

2



2

5.

2

可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=2

所以直线与圆相交.

点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法. 变式1.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：解:将圆的方程化为

2

x

2

y4x6y120的位置关系.

2

2

x2y35.

2

可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5. 因为圆心到直线的距离d=52>5, 所以直线与圆相离.

例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：

xy

2

2

2x4y0截得的弦ＡＢ的长．

解析:可以引导学生画图分析几何性质. 解:(法一) 将圆的方程化为

x1y25.

2



2

可得圆心Ｃ(1,2),半径r=5. 圆心到直线的距离

d

326

. 2

弦ＡＢ的长AB25(法二)

联立方程组,消y得

5

. 2

x

得

则

2

5x60

x2,x

1

2

3,

y

1

0,y3,

2

所以直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长

AB

(法三)

联立方程组,消y得

2303

2



2

.

x

2

5x60

根据一元二次方程根与系数的关系,有直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长

xx

1

2

5,x1x26.

2

AB

1kx1x24xx

 135462





12

22

点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.

㈣反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

【板书设计】

一．直线与圆的位置关系 (1)相交，两个交点；

(2)相切，一个交点； (3)相离，无交点. 二.实例的解决 方法一 方法二

三.判断直线与圆位置关系的方法 四.例题 例1 变式1 例2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

4.2.1 直线与圆的位置关系学案

课前预习学案

一．预习目标

回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法．

二．预习内容

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

一．学习目标

１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．

学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 二．学习过程 问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？ 1.如何建立直角坐标系？

2.根据直角坐标系写出直线和圆的方程.

3.怎样用方程判断他们的位置关系?

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？

例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：位置关系.

变式１.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：

x

2

y4x6y120，判断直线和圆的

2

x

2

y4x6y120的位置关系.

2

例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：

四．当堂检测

1．已知直线5x12ya0与圆x2xy0相切，则a的值为（ ） A．8 B．-18 C．－18或8 D．不存在

2．设直线2x3y10和圆xy2x30相交于点A、B，则弦AB的垂直平 分线方程是 .

2

22

2

xy

2

2

2x4y0截得的弦ＡＢ的长．

3．求经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y= -2x上的圆的方程．

参考答案:1.Ｃ 2．3x2y30 3．解：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2

2a21b2r2

ab1

由题意则有 r2

2

b2a

解得a=1，b=-2，r=2，故所求圆的方程为 （x-1）2+（y+2）2=2.

课后练习与提高

1．直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）

A

．1) B

．11) C

．(11) D

．1) 2.圆x2y24x0在点P(1,)处的切线方程为

A、xy20 B、xy40 C、x3y40 D、x3y20

3．若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l:axby

0的距离为

则直线l的倾斜角的取值范围是 ( )

5A.[,] B.[,] C.[,] D.[0,]

1241212263

4．设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB

的长为

a

5．已知圆C:(x5)2y2r2(r0)和直线l:3xy50. 若圆C与直线l没有公 共点，则r的取值范围是 . 6．已知圆

xy

2

2

8，定点P(4，0)，问过P点的直线斜率在什么范围内取值时，这条

直线与已知圆(1)相切？(2)相交？(3)相离？